Реферат на тему:
Застосування функцій багатьох змінних, визначеного інтегралу, диференціальних рівнянь в економіці
Застосування функцій багатьох змінних в економіці
Одним із базових понять економічної теорії є функція корисності, що виражає корисність придбання т різновидностей товарів. Часто вона використовується у формах:
- логарифмічна функція;
- функція постійної еластичності.
Функція Кобба - Дугласа - виробнича функція, яка характеризує залежність об'єму випуску продукції Q від затрат капіталу К і трудових ресурсів. Для випадку двох змінних вона має вигляд
де А>0 - параметр продуктивності конкретно взятої технології, 0<б<1 - доля капіталу в доході. Наведемо кілька прикладів: і) Знайти швидкість зміни об'єму продукції Q при зміні одного з факторів: витрат капіталу К чи величини трудових ресурсів L за функцією Кобба - Дугласа. Частинні похідні функції Q=А б К L1-б дають розв'язок цієї задачі
QK' = А б Кб-1 Lб-1 ; QL' = А(1-б) Кб Lб.
У функції Кобба - Дугласа показники б і 1-б є коефіцієнтами еластичності EK(Q) і EL(Q) за кожним із аргументів.
2) За функцією Кобба - Дугласа встановити на яку величину треба змінити об'єм вкладення капіталу К, щоб при зміні трудових ресурсів на L, випуск продукції не змінився.
Розв'язання. Оскільки Q = const за умовою, то dQ = 0, або
Звідки або
Для відносних величин отримується таке відношення еластичностей
Звідси видно, що для компенсації зміни ресурсу праці на 1% потрібно змінити ресурс капіталу на відсотків. Формула для ДК містить важливе економічне поняття - гранична норма зміни трудових ресурсів L капіталом К.
Розглянемо деякі типові задачі знаходження екстремуму функції кількох змінних, які часто зустрічаються в економіці.
Прибуток від виробництва товарів різних видів .
Нехай х1,х2....,хт кількості вироблених т різновидів товарів, які реалізуються за цінами p1, р2, ...рт (pі — сталі) відповідно. Нехай затрати на виробництво цих товарів задаються функцією
C=S (x1, x2, …, xm)
Тоді функція прибутку П = р1х1 + р2х2 + …+ртхт - S(x1, x2, ...,хт).
Максимум функції прибутку, при , шукаємо із умови локального екстремуму
Ці умови ведуть до розв'язування системи рівнянь
Система (1) реалізує відоме правило економіки: гранична вартість (ціна) товару рівна граничним затратам на виробництво цього товару.
Розв'язавши систему (1) треба переконатись чи отриманий розв'язок є дійсно точкою максимуму.
Прикладі. Нехай виготовляються два види товарів х та у. Їх ціни відповідно рівні p1=8, р2=10 у.о., а функція витрат С= х2+ху+уг. Знайти максимум прибутку.
Функція прибутку П(х,у) = 8x+10y - х2 - ху – у2.
Із умови локального екстремуму, отримуємо систему рівнянь
розв'язок якої є точка М(2;4). Оскільки А<0 а АС-В2>0 в точці М, тому в ній функція досягає максимуму, який рівний
Пmax = П(2;4)=28у.о.
Задача цінової дискримінації
Необхідно розподілити однорідний товар на різні ринки з різним попитом, щоб максимізувати загальний прибуток.
Оскільки, еластичність попиту на різних ринках неоднакова, то на товар встановлюються різні ціни, що веде до так званої цінової дискримінації.
Загальна постановка задачі. Нехай x1, x2...,xт кількості однорідного товару який продається на т ринках за цінами рі.(хі), тобто ціна на кожному ринку залежить від кількості пропонованого товару. Припустимо, що функція затрат залежить від загальної кількості товару
С = S (x1 + х2+...+хт).
Тоді загальний прибуток
П = х1 р1+х2 р2+...+xт рm - S(x1+x2 +...+xт) (2)
Умова екстремуму
веде до системи рівнянь, для визначення стаціонарних точок за умови хі>0, і=1,2,...,т
рі (хі)+хі.р’і.(хі)-S’(х1+х2+...+хт) = 0, і=1,2,...,т. (3)
Проаналізуємо дохід Ri = хi рi(хi) на кожному ринку. Граничний дохід
де Еi - еластичність попиту на і-тому ринку. Так як Еi - звичайно від'ємна величина, останню рівність можна переписати в зручній формі
Якщо , то R'і<0, ринок не еластичний. Якщо S'> 0, то умова (3) вимагає вибору ринку з додатнім граничним доходом, або з еластичним попитом, т.т. . Із рівняння (3), маємо
Звідки і виводиться умова “цінової дискримінації”: чим менша за абсолютною величиною еластичність даного ринку, при даній кількості товару, тим вища має бути ціна на товар на цьому ринку за умови максимального прибутку.
Приклад 2. Нехай маємо три ринки з кількістю товару для продажу х1, х2, х3 з цінами на товар відповідно рі =аі - bi хi , так що дохід Ri = хi (аi – bi хi). Нехай функція затрат виражається формулою
П = x1 (a1 – b1 x1) + х2(а2 - b2х2) + х3(а3 - b3х3) - А - В (x1+ х2 + х3).
Умова локального екстремуму має вигляд:
З цієї системи знаходимо стаціонарну точку:
Гессіан функції прибутку рівний
Оскільки bi> 0, то за критерієм Сільвестра (проходить зміна знаку в головних мінорах , починаючи з мінуса) отримана точка є точкою мінімуму. Для конкретизації, візьмемо:
а1 =25, а2 =45, а3 =85, b1 =5, b2=4, b3= 10, А=10, В=5.
Отримаємо розподіл товарів за ринками
х1 =2, х2=5, х3=А при цінах відповідно р1=15, р2=25, р3=45.
Неважко бачити, що відповідні еластичності задовольняють принцип “цінової дискримінації”: чим менша величина і-го ринку, тим вища має бути ціна товару на цьому ринку. Максимальний отриманий прибуток Пmax = 270.
Просте застосування визначеного інтегралу в економіці
В економічних задачах змінні, як правило, змінюються дискретно. Застосування визначеного інтегралу вимагає ідеалізувати математичну модель задачі, вважаючи, що незалежні змінні і функція змінюються неперервно. Наведемо два прості приклади застосування визначеного інтегралу.
Приклад 1. Знайти денний виробіток Р за робочий день тривалістю 8годин, якщо продуктивність праці протягом дня змінюється за емпіричною формулою
де t - час(год), Р0 - розмірність продуктивності (одиниця продукції за год.), t0 -