Розв'язання. Продуктивність спочатку зростає, досягаючи максимального значення всередині робочого дня, при t=4, а потім спадає.

мал.

Денний виробіток становитиме

де множник й0 має розмірність одиниці продукції.

Приклад 2. Виробництво деякого обладнання характеризується темпом росту його випуску

де Дy - приріст випуску цього обладнання за час Дt , а y - рівень його виробництва за одиницю часу на момент t. Знайти загальну кількість обладнання, виготовленого до моменту часу t, вважаючи що К - відома постійна величина, одиниця часу - рік , а в початковий момент часу t=0 рівень річного виробництва обладнання був у0.

Розв'язання. Вважаючи, що у - неперервна функція від t, знайдемо границю

Інтегруючи останній вираз в межах від 0 до t, маємо

або

Сумарна кількість обладнання, виготовленого за час t, буде рівна

Тоді, наприклад, при к=0.05 ( 5% щорічний темп росту) загальна кількість обладнання, виготовленого за 10 років

причому рівень виробництва за вказаний період збільшився майже на 65%.

Часто для визначення економічної ефективності капіталовкладень зустрічаються так звані задачі дисконтування: визначення початкової суми S через час t за її кінцевою величиною S при відсотковій ставці р.

Застосування апарату диференціальних рівнянь в економіці

Розглянемо деякі приклади застосування теорії диференціальних рівнянь в неперервних моделях економіки, де незалежною змінною є час t. Такі моделі досить ефективні при дослідженні еволюції економічних систем на довгих інтервалах часу. Вони і є предметом дослідження економічної динаміки.

Модель природного росту випуску продукції

Нехай деяка продукція продається за фіксованою ціною Р, Q(t) - кількість продукції реалізованої на момент t. Тоді дохід складає PQ(t). Нехай частина доходу реалізується на інвестиції у виробництво реалізованої продукції, т.т.

J(t) = mPQ(t), (1)

де m - норма інвестиції, стале число (0<т<1).

Якщо вважати, що ринок ненаситний (повна реалізація продукції), то в результаті розширеного виробництва отримаємо приріст доходу, частина якого знову піде на розширення випуску продукції. Це приведе до росту швидкості випуску (акселерації), причому швидкість випуску продукції пропорційна збільшенню інвестицій

Q' = LJ(t) (2)

де 1/L- норма акселерації. Підставляючи (2) в (1), отримаємо

Q' = kQ, (k = LmP). (3)

Диференціальне рівняння (3) є рівнянням з розділеними змінними, яке має загальний розв'язок Q = С ekt, С - довільна стала.

Якщо в початковий момент часу t = t0, задано об'єм випуску продукції Q0, то Q0 = С exp(kt0), звідки С =Q0exp(-kt0). Тому частинний розв'язок

(4)

Зауважимо, що ця математична модель є загальною. Так процес розмноження бактерій, в результаті біологічних дослідів, також описується рівнянням (3). Процес радіоактивного розпаду підпорядковується закономірності (4).

Ріст випуску продукції в умовах конкуренції

Будемо тут вважати, що ринок ненаситний. Нехай Р = P(Q) - спадна функція, тобто збільшення Q - об'єму випуску продукції веде до спадання її ціни, тому

Тепер із формул (1) - (3), отримуємо нелінійне ДР першого порядку з розділеними змінними

Q' = б P(Q) Q, б = Lm. (5)

Поскільки всі множники в правій частині (5) додатні, то Q' > 0, тобто Q(t) - зростаюча функція. Характер зростаючої функції визначається її другою похідною. Із (5), маємо

Ввівши еластичність попиту , ця рівність має вигляд

Так як , а значить Е < 0, отримаємо:

(6)

Із рівняння (6) випливає, що при еластичному попиті, тобто коли |Е| > 1, Q" > 0 і графік функції Q(t) опуклий вниз, що означає прогресивний ріст.

При нееластичному попиті |Е| < 1, Q" < 0 — графік функції Q(t) випуклий вверх, це вказує на сповільнений ріст (насичення ринку).

Для простоти залежність P(Q) візьмемо лінійною (рис.1).

(7)

рис.1. рис.2.

Тоді рівняння (5) набирає вигляду

Q' = б(а – bQ)Q. (8)

Звідки

Q" = б Q' (a --2bQ). (9)

Із співвідношень (8) і (9), отримаємо Q' = 0, при Q = 0 і при причому Q">0, при i Q"<0, при

Отже, - точка перегину графіка функції Q=Q(t).

Інтегральна крива (рис.2) носить назву логістична крива.

Аналогічні криві характеризують і інші процеси. Наприклад, розмноження бактерій в обмеженому середовищі, динаміка епідемій всередині обмеженої системи біологічних організмів та ін.

Динамічна модель Кейнса

Розглянемо найпростішу балансову модель, яка включає в себе основні компоненти динаміки витратної і дохідної частин економіки. Нехай Y(t), E(t), S(t), J(t) - відповідно:

Y(t) - національний дохід;

E(t) - державні витрати;

S(t) - споживання;

J (t) - інвестиції.

Всі ці величини розглядають як функції часу. Тоді справедливі співвідношення:

де a(t) - коефіцієнт схильності до споживання

b(t) - автономне (залишкове) споживання;

k(t) - норма акселерації.

Всі функції, що входять в (10), вважаються додатніми. Пояснимо зміст цих рівнянь. Сума всіх витрат має бути рівна національному доходу - 1-е рівняння. Загальне споживання складається із внутрішнього споживання частини національного доходу в народному господарстві плюс залишкове споживання - 2-е рівняння. Розмір інвестицій не може бути довільним. Він визначається добутком норми акселерації (величина якою характеризується рівень технології і інфраструктури даної держави) на граничний національний дохід.

Будемо вважати, що функції a(t), b(t), k(t), E(t) задані, вони виражають функціонування і еволюцію даної держави. Потрібно знайти динаміку національного доходу Y(t).

Підставивши 2-е і 3-є рівняння системи (10) в перше, отримаємо неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку

(11)

Якщо взяти a, b, k- сталими, то рівняння (11) спрощується до випадку лінійного диференціального рівняння першого порядку з постійними коефіцієнтами

(12)

Частинний розв'язок рівняння (12) (так званий рівноважний розв'язок, коли Y’=0) такий

(13)

Тоді загальний розв'язок рівняння (12)

(14)

Інтегральні криві (14) зображені на рис.3.

рис.3

Інтегральні криві (рис.3) характеризують еволюцію національного доходу.

Якщо в початковий момент часу Y0<Y , то C=Y0 - Yp < 0