Робота любої СМО полягає в виконанні потоку вимог, що поступили на неї, причому вимоги поступають одна за одною у випадкові моменти часу. Обслуговування вимоги, яка поступила, продовжується деякий час, після чого канал звільняється і стає готовим для прийому наступної заявки. Кожна СМО в залежності від числа каналів та їх продуктивності володіє деякою пропускною здатністю, яка дозволяє їй більш-менш справлятися з потоком вимог[5].

Предметом теорії масового обслуговування є встановлення залежності між характером потоку вимог, продуктивністю окремого каналу, числом каналів та ефективністю обслуговування. В більшості випадків всі параметри, що описують системи масового обслуговування, є випадковими величинами або функціями, тому ці системи відносяться до стохастичних систем.

В якості характеристик ефективності обслуговування можуть застосовуватися різні величини і функції, наприклад:

– середній процент вимог, які отримали відмову і залишили СМО необслуженими;

– середній час очікування в черзі;

– середній час простою окремих каналів і системи в цілому;

– ймовірність того, що вимога, що поступила, негайно буде обслуговуватися;

– закон розподілу довжини черги та ін[8].

Кожна з даних характеристик описує ступінь пристосування системи до виконання потоку вимог, іншими словами – її пропускну здатність.

Під пропускною здатністю зазвичай розуміють середнє число вимог, які система може обслужити в одиницю часу. Існує також поняття відносної пропускної здатності – середнє відношення числа вимог, які вже обслужили, до тих, які подані на обслуговування. Пропускна здатність в загальному випадку залежить не лише від параметрів системи, а також від характеру потоку вимог. Якби вимоги поступали через строго визначені проміжки часу, і обслуговування кожної вимоги також мало б строго визначену довжину, розрахунок пропускної здатності не був би важким. Проте на практиці ці два параметри випадкові. У зв’язку з цим процес роботи системи відбувається нерегулярно: в потоці вимог утворюються місцеві згущення й розрідження. Згущення можуть призвести до відмов в обслуговуванні, або ж до утворення черг. Розрідження – до непродуктивних простоїв окремих каналів або системи в цілому. На ці випадки, пов’язані з неоднорідністю потоку вимог, накладаються ще такі випадки, пов’язані з затримками обслуговування окремих вимог. Таким чином, процес функціонування системи масового обслуговування являє собою випадковий процес. Для того, щоб дати рекомендації по раціональній організації системи, вияснити її пропускну здатність і пред’явити до неї вимоги, потрібно визначити випадковий процес, що протікає в системі, й описати його математично. Цим і займається теорія масового обслуговування[1].

2.2 Основні поняття ТМО

Теорія масового обслуговування включає наступні елементи: джерело вимог, вхідний потік вимог, черга, обслуговуючий пристрій (канал обслуговування), вихідний потік вимог.

Вимога (заявка) – кожен окремий запит на виконання якої-небудь роботи. В даному дипломному проекті під заявкою будемо розуміти покупця, що підходить до каси для обслуговування.

Вхідний потік вимог – кількість вимог, що поступають від всіх джерел в обслуговуючу систему.

Час обслуговування – час, протягом якого виконується (обслуговується) заявка. Ця величина може бути як невипадковою, так і випадковою. Більш загальним є випадковий час обслуговування.

Інтенсивність обслуговування – кількість вимог, що обслуговуються одним каналом обслуговування в одиницю часу.

Математична модель СМО – це сукупність математичних виразів, що описують вхідний потік вимог, час обслуговування і їх взаємозв'язок[4].

2.3 Потоки подій. Найпростіший потік та його властивості

Під потоком подій в теорії ймовірності розуміють послідовність подій, які відбуваються одне за одним в якісь моменти часу. Прикладами можуть бути: потік викликів на телефонній станції, потік заявок на обслуговування в СМО та ін[25].

Потік подій є регулярним, якщо події наступають одне за одним через строго визначені проміжки часу. В реальних системах такі потоки зустрічаються досить рідко.

Існує ряд наступних подій, які володіють деякими простими властивостями:

– ординарний потік (однорідний). Потік подій є ординарним, якщо ймовірність попадання на інтервал (t, t + x) двох або більше подій є малою в порівнянні з ймовірністю попадання однієї події. В даному випадку всі заявки рівноправні, розглядаються лише моменти часу надходження заявок, тобто факти заявок без уточнення деталей кожної конкретної заявки.

– потік без післядії, якщо число подій будь-якого інтервалу часу (t, t + x) не залежить від числа подій на будь-якому іншому непересічному з нашим (t, t + x) інтервалі часу.

– стаціонарний потік. Потік заявок стаціонарний, якщо ймовірність появи n подій на інтервалі часу (t, t + x) не залежить від часу t.

– найпростіший потік. Якщо потік подій володіє стаціонарністю, ординарністю та не має післядії, він є найпростішим (або стаціонарним пуасонівським). Число m подій такого потоку, випадних на інтервал t, розподілене за законом Пуассона:

(2.1)

де середнє число подій, що приходиться на одиницю часу.

Пуасонівській потік заявок зручний при розв’язку задач ТМО. Хоча дані потоки рідкісні на практиці, багато модельованих потоків допустимо розглядати як найпростіші.

Випадковий характер потоку заявок, а також, в загальному випадку, і тривалість обслуговування призводить до того, що в системі масового обслуговування відбувається випадковий процес. По характеру випадкового процесу, що відбувається в системі масового обслуговування, розрізняють марківські і немарківські системи. У марківських системах вхідний потік вимог і потік обслужених вихідних заявок є пуасонівським.

Пуасонівські потоки дозволяють легко описати і побудувати математичну модель системи масового обслуговування. Дані