2.4 Класифікація систем масового обслуговування

Системи масового обслуговування класифікують за різними ознаками.

а) по умові очікування вимоги початку обслуговування системи поділються на наступні види:

– системи масового обслуговування з втратами (відмовами);

– системи масового обслуговування з очікуванням;

– системи масового обслуговування з обмеженою довжиною черги;

– системи масового обслуговування з обмеженим часом очікування.

Системи масового обслуговування, в яких вимоги, що поступають в момент, коли всі канали обслуговування зайняті, дістають відмову і втрачаються, називаються системами з втратами або відмовами.

Системи масового обслуговування, в яких можлива поява як завгодно довгої черги вимог до каналу обслуговування, називаються системами з очікуванням.

Системи масового обслуговування, що допускають чергу, але з обмеженим числом місць в ній, називаються системами з обмеженою довжиною черги.

Системи масового обслуговування, що допускають чергу, але з обмеженим терміном перебування кожної вимоги в ній, називаються системами з обмеженим часом очікування.

б) по числу обслуговуючих пристроїв системи діляться на:

– одноканальні;

– багатоканальні (системи, в яких вимога, яка поступила, може бути обслужена одним з декількох каналів, що входять в блок обслуговування).

в) по місцю знаходження джерела вимог системи масового обслуговування діляться на:

– розімкнуті, коли джерело знаходиться поза системою;

– замкнуті, коли джерело знаходиться в самій системі. До цього вигляду відноситься, наприклад, верстатна ділянка, в якій верстати є джерелом несправностей, а отже, і вимог на їх обслуговування[17].

В системах з очікуванням велике значення має так звана „дисципліна черги”. Заявки, які очікують своєї черги, можуть викликатися на обслуговування як в порядку черги (раніше прибула – раніше вибула), так і випадково, в неорганізованому порядку. Існують системи масового обслуговування „з перевагами”, де деякі заявки обслуговуються першочергово порівняно з іншими (“генерали і полковники поза чергою”). Кожний тип системи з очікуванням має свої особливості і свою математичну теорію.

Приведена класифікація СМО є умовною. На практиці найчастіше системи масового обслуговування виступають як змішані системи. Наприклад, заявки чекають початки обслуговування до певного моменту, після чого система починає працювати як система з відмовами.

Однією з форм класифікації систем масового обслуговування є кодова (символьна) класифікація Д. Кендалла. При цій класифікації характеристику системи записують у вигляді трьох, чотири або п'яти символів, наприклад А\ В\S, де А - тип розподілу вхідного потоку вимог, В - тип розподілу часу обслуговування, S - число каналів обслуговування. Для експоненційного розподілу приймають символ М, для будь-якого (довільного) розподілу - символ G. Запис G/М/3 означає, що вхідний потік вимог є пуасонівським (найпростішим), час обслуговування розподілений по експоненціальному закону, в системі є три канали обслуговування. Четвертий символ вказує допустиму довжину черги, а п'ятий - порядок відбору (пріоритету) вимог[5].

2.5 Показники ефективності систем масового обслуговування

Показники ефективності діляться на показники, що характеризують якість і умови роботи обслуговуючої системи, і показники, що відображають економічні особливості системи[22].

Показники першої групи зазвичай формують на основі отриманої з розрахунків значень ймовірності станів системи. Показники другої групи розраховують на основі показників першої групи.

Для обрахунку показників системи першої групи будемо оперувати наступними вхідними параметрами системи:–

інтенсивність вхідного потоку вимог (середнє число вимог, що поступають в одиницю часу – в годину), поток заявок;

– інтенсивність обслуговування (середнє число обслужених вимог в одиницю часу – в годину), поток звільнень:

, (2.2)

де – час обслуговування одної заявки;

– інтенсивність потоку звільнення заявки, що стоїть в черзі:

, (2.3)

де – час очікування заявки, що стоїть в черзі, на обслуговування.

Очевидно, що при – система з відмовами; а при – система з очікуванням.

N – кількість каналів обслуговування.

Серед показників, що характеризують якість і умови роботи обслуговуючої системи можна виділити наступні.

У стаціонарному режимі функціонування (умова ) багатоканальна система масового обслуговування з очікуванням може бути описана за допомогою системи алгебраїчних рівнянь (при ):

(2.4)

Розв’язок системи наступний:

а) ймовірність того, що всі канали вільні :

(2.5)

де і – кількість зайнятих каналів обслуговування (при умові, що черга відсутня);

, середнє число заявок, що приходиться на середній час обслуговування одної заявки.

s – кількість заявок, що стоять в черзі. Очевидно, що даний ряд є збіжним, і при збільшенні s він приймає малі значення, отже для спрощення розрахунків знайдемо деяке число кінцевого значення s, при якому значення суми на загальну формулу практично не впливає.

, середнє число звільнень заявки, що стоїть в черзі, що приходиться на середній час обслуговування одної заявки.

б) ймовірності станів системи при ( – ймовірність того, що 1 канал зайнятий при умові відсутності черги, – ймовірність того, що 2 канали зайняті при умові відсутності черги, і т. д.) :

(2.6)

Формули (2.6) називаються формулами Ерланга. Вони дають закон розподілу числа зайнятих каналів в залежності від характеристик потоку заявок і продуктивності системи обслуговування[1].

Формули Ерланга справедливі для показового закону розподілу часу обслуговування. Проте дослідження останніх років показали, що ці формули також правдиві при любому законі розподілу при умові пуасонівського вхідного потоку.

Знаючи ймовірності всіх станів системи, можна визначити інші характеристики, такі, як:

в) ймовірність того, що вимога залишить систему необслуженою (ймовірність відмови) :

(2.7)

г) середня кількість вимог, що чекають на обслуговування (довжина черги) L:

(2.8)

д) відносна пропускна здатність системи q:

(2.9)

абсолютну пропускну здатність системи знаходять по формулі:

(2.10)

е)