(2.11)

ж) загальну кількість вимог , що знаходяться в системі, визначають таким чином:

(2.12)

з) середній час очікування початку обслуговування (середня тривалість перебування заявки в черзі) можна визначити по формулі:

(2.13)

і) середня тривалість перебування заявки в системі масового обслуговування визначається за формулою:

(2.14)

2.6 Розрахунок параметрів багатоканальної системи масового обслуговування з очікуванням

Якщо час очікування заявки в черзі нічим не обмежено, система називається „чистою системою з очікуванням”. Якщо ж він обмежений будь-якими умовами, то система носить назву „змішаного типу”. Це проміжний випадок між чистою системою з відмовами та чистою системою з очікуванням. На практиці найбільший інтерес представляють системи змішаного типу.

Система масового обслуговування називається системою з очікуванням, якщо вимога стає в чергу і чекає, доки не звільниться який-небудь канал з усіх, що були зайнятими. Проте реальні системи масового обслуговування з очікуванням при деяких обставинах можуть стати змішаною системою. Тому ймовірність відмови існує, і в даному дипломному проекті вона буде врахована при розрахунку параметрів торгового центру[23].

Обмеження, які накладаються на очікування, можуть бути різного типу. Часто буває, що обмеження накладається на час очікування заявки в черзі; рахується, що він обмежений зверху деяким строком Точ, який може бути як строго визначеним, так і випадковим. При цьому обмежується тільки строк очікування в черзі, а почате обслуговування доводиться до кінця незалежно від того, скільки часу відбувалося очікування (наприклад, клієнт в перукарні, сідаючи в крісло, як правило вже не йде до кінця обслуговування). В інших задачах краще накласти обмеження не на час очікування в черзі, а на загальний час перебування заявки в системі. Можна розглядати й таку змішану систему (вона найближча до типу торгівельних підприємств, які торгують предметами першої необхідності), коли вимога стає в чергу тільки в тому випадку, коли довжина черги є не дуже великою.

Тут обмеження накладається на кількість каналів обслуговування, час обслуговування однієї вимоги та час очікування в черзі.

Нехай в системі масового обслуговування, що розглядається в даному дипломному проекті, вхідний і вихідний потоки є пуассоновськіми з інтенсивностями і відповідно. Час обслуговування однієї заявки – – показовий (експоненційний). Якщо всі канали зайняті, вимога стає в чергу і очікує на обслуговування; час очікування в черзі обмежений деяким випадковим строком , який також розподілений по показовому закону. Система має N аналів обслуговування.

За умови простого потоку вимог і експоненціального закону розподілу часу очікування в черзі та часу обслуговування однієї вимоги отримаємо наступні характеристики даної системи:

– ймовірність того, що всі канали вільні (2.5);

– ймовірності станів системи (2.6);

– ймовірність відмови (2.7);

– довжина черги L (2.8);

– відносна пропускна здатність системи q (2.9);

– абсолютна пропускна здатність системи A (2.10);

– середнє число зайнятих обслуговуванням каналів (2.11);

– загальна кількість вимог, що знаходяться в системі (2.12);

– середня тривалість перебування заявки в черзі (2.13);

– середня тривалість перебування заявки в системі (2.14).

3 МОДЕЛЬ ФУНКЦІОНУВАННЯ МАГАЗИНУ САМООБСЛУГОВУВАННЯ ЯК СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

3.1 Структура системи масового обслуговування

Як вже згадувалося вище, системами масового обслуговування є такі системи, в яких з одного боку, виникають масові заявки (вимоги) на виконання яких-небудь видів послуг, а з іншого боку – відбувається задоволення цих заявок.

СМО складається з обслуговуваної і обслуговуючої систем. Обслуговувана система включає сукупність джерел вимог і вхідного потоку вимог. Обслуговуюча система складається з накопичувача і механізму обслуговування[17].

Оптимізація роботи магазину самообслуговування полягає в наступному. Якщо, наприклад, в СМО працює лише одна каса, а покупці заходять часто, то виникне черга покупців, які чекають на обслуговування. Якщо ж, навпаки, покупці заходять рідко, а касирів декілька, то виникне черга касирів, що очікують на покупця. В обох випадках магазин несе втрати: у першому випадку тому, що не всі охочі купити товар будуть обслужені, а в другому - тому, що касирів дуже багато і частина фонду їх заробітної плати витрачатиметься марно. Тому, в даному випадку критерієм правильності організації роботи магазина може служити середня сума часу очікування покупця і часу очікування касира. Робота магазина організована найкращим чином, якщо ця величина мінімальна[18].

Для оцінки СМО застосовуються також показники її пропускної здатності: абсолютною (середнє число заявок, яке може бути обслужене за одиницю часу) і відносною (середня частка обслуговуваних заявок в загальній кількості тих, що поступають в систему).

3.2 Формування математичної моделі СМО

Для того, щоб достатньо повно сформулювати математичну модель СМО, зазвичай необхідно задати основні компоненти системи масового обслуговування, якими є:

– вхідний потік вимог, що поступають, або заявок на обслуговування (або характеристика середовища);

– дисципліна черги;

– характеристика механізму обслуговування.

Вхідний потік вимог. Для опису вхідного потоку потрібно задати ймовірнісний закон, що визначає послідовність моментів надходження вимог на обслуговування і вказати кількість таких вимог в кожному черговому надходженні. При цьому, як правило, оперують поняттям “ймовірнісний розподіл моментів надходження вимог”. Тут можуть поступати як одиничні, так і групові вимоги (вимоги поступають групами в систему). У останньому випадку зазвичай йдеться про систему обслуговування з паралельно-груповим обслуговуванням[5].

Дисципліна черги - це важливий компонент системи масового обслуговування, він визначає принцип, відповідно до якого заявки, що поступають на вхід обслуговуючої системи, підключаються з черги до процедури обслуговування. Найчастіше використовуються дисципліни черги, визначувані наступними правилами:

– першим прийшов - перший обслуговуєшся;

– прийшов останнім - обслуговуєшся першим;

– випадковий відбір заявок;

– відбір заявок по критерію