(2.22)

та

(2.23)

де параметри А і В знаходяться в межах від 0 до 1.

Фактор росту л оцінюється по коефіцієнту bt. Характерна особливість даного методу полягає в тому, що обчислення поточного значення експоненціально зваженого середнього Ut включає в себе обчислення минулого показника росту bt-1, адаптуючись таким чином до попереднього значення лінійного тренду.

Після оцінки в моделі Холта показника росту (або падіння) bt прогноз f на ф моментів часу обчислюється наступним чином:

(2.24)

Значення параметрів А і В рекомендується брати рівними 0,1 і 0,01 відповідно.

Метод Холта з модифікаціями Муїра

Муїр довів, що якщо, прогноз здійснюється на достатньо великий проміжок часу (теоретично на безкінечно великий), то

(2.25)

та

(2.26)

Відповідно значення прогнозу f на ф моментів часу обчислюється наступним чином:

(2.27)

Метод подвійного згладжування Брауна

Браун довів, що за оцінку поточного значення показника можна взяти наступну величину:

(2.28)

де

(2.29)

(2.30)

Фактор росту л оцінюється по коефіцієнту bt:

(2.31)

Відповідно, прогноз на період t+ ф рівний:

(2.32)

Перевага методу Брауна в однопараметреності.

Метод адаптивного згладжування Брауна

Відповідно до другого методу Брауна передбачається, що якщо, наприклад, ряд значень продаж або попиту можна описати деякою моделлю, то логічніше б було застосування регресійного аналізу на основі зваженої регресії, тобто більшу увагу необхідно надати більш свіжішій інформації.

Отже, для моделі лінійно-адитивного тренду оцінка по взваженому методу найменших квадратів рівна:

(2.33)

де

(2.34)

і (2.35)

г – рівень щомісячного дисконтування спостережень (рекомендоване значення складає 0,8).

Лінійно-мультиплікативна модель

Метод Муїра

Іноді можна рахувати, що зміна середнього значення показника залежить не лінійно, а пропорційно самому значенню середнього. Тоді лінійно-мультиплікативну модель можна записати, як:

(2.36)

де с – мультиплікативний коефіцієнт тренду.

Тепер можна застосувати ту ж згладжувальну функцію Ut. Позначивши її через Vt, отримаємо:

(2.37)

де r – незміщена оцінка с, яка обчислюється з формулою:

(2.38)

Відповідно прогноз на момент часу t+ ф знайдемо з

(2.39)

Комбінація лінійних і сезонно-адитивних моделей трендів

В прогностичній моделі враховується сезонність, як правило, засобом декомпозиції прогностичних методів. При цьому передбачається, що характеристики руху ряду показника, а саме стаціонарність, лінійність і сезонність, можуть бути розділені, вивчені і оцінені ізольовано один від одного. Кінцевий прогноз буд здійснюватись зведенням прогнозів різних елементів в один. Однією із найбільш популярних моделей прогнозування такого типу трендів є сезонно-декомпозиційна прогностична модель Холта-Вінтера.

Дана модель основана на застосуванні методу експоненціально взваженого середнього. Оцінка стаціонарно-лінійного і сезонного факторів для неї проводиться наступним чином.

а) Оцінка стаціонарного фактора. Рівняння оцінки таке ж, як і у випадку методу Холта (7.2), а саме:

При цьому передбачається, що ряд поточних значень dt очищений від сезонності діленням його на величину Ft-L – коефіцієнт сезонної декомпозиції, що відповідає моменту часу t-L, тобто зсунутому на L одиниць часу назад.

Відповідно рівняння оцінки набере вигляду:

(2.40)

б) Оцінка лінійного росту обчислюється на основі моделі росту Холта:

в) Оцінка сезонного фактору (адаптація коефіцієнта сезонності). Коефіцієнт сезонності представляє собою відношення значення поточного спостереження до середньостаціонарного значення, тобто цей коефіцієнт на момент часу t рівний dt/Ut. Тепер можна визначити експоненціально зважене середнє поточного значення коефіцієнта сезонності:

(2.41)

г) Прогноз. При ізольованій оцінці трьох факторів, що визначають рух процесу, прогноз на ф моментів часу вперед будується з трьох елементів: сумуються оцінка лінійного росту і оцінка стаціонарного фактору Ut, і результат з врахуванням сезонності помножується на відповідне значення коефіцієнта сезонності Ft-L+ф:

(2.42)

В більшості практичних ситуацій приймають наступні значення констант:

А = 0,2, В = 0,2, С = 0,5.

Через відносну складність модель Холта-Вінтера, як правило використовується з допомогою програмного забезпечення. Блок схема даного методу виглядає наступним чином (рис. 2.5)

Комбінація лінійного і сезонно-мультиплікативного тренду передбачає генерування процесу лінійно-мультиплікативним трендом.

Експоненціально зважене середнє для випадку мультиплікативного тренду, при тих же аргументах, що і для адитивної моделі, необхідно отримувати по формулі

(2.43)

де показник лінійного росту знаходиться з рівняння:

(2.44)

Значення сезонного фактору обчислюємо за рівнянням:

(2.45)

Кінцевий прогноз за даною моделлю отримуємо за формулою:

(2.46)

Прогнозування на основі сезонних коливань

Одним із статистичних методів прогнозування є розрахунок прогнозів на основі сезонних коливань рівнів динамічного ряду. При цьому під сезонними коливаннями розуміються такі зміни рівня динамічного ряду, які викликаються впливами пори року. Виявляються вони з різною інтенсивністю у всіх сферах життя суспільства: виробництві, обігу і споживанні. Їх роль дуже велика в агропромисловому комплексі, в торгівлі багатьма товарами, в будівництві, на транспорті, в захворюваності і ін. Сезонні коливання строго циклічні – повторюються через кожен рік, хоча сама тривалість пір року має коливання. Для вивчення сезонних коливань необхідно мати рівні за кожен квартал, а краще кожного місяця, інколи навіть за декади.

Методика статистичного прогнозу по сезонних коливаннях заснована на їх екстраполяції, тобто на припущенні, що параметри сезонних коливань зберігаються до прогнозованого періоду.

Для виміру сезонних коливань зазвичай обчислюються індекси сезонності (Is).

У загальному вигляді індекси сезонності визначаються відношенням вихідних (емпіричних) рівнів ряду динаміки yi, до теоретичних (розрахунковим) рівнів yti, що виступають як база порівняння:

Isi = yi : yti (2.47)

Саме в результаті того, що в приведеній вище формулі вимір сезонних коливань обчислюється на базі відповідних теоретичних рівнів тренду yti, в обчислюваних при цьому індивідуальних індексах сезонності вплив основної тенденції розвитку елімінується (усувається). І оскільки на сезонні коливання можуть накладатися випадкові відхилення, для їх усунення проводиться усереднювання індивідуальних індексів однойменних внутрішньорічних періодів аналізованого ряду динаміки. Тому для кожного періоду річного циклу визначаються узагальнені показники у вигляді середніх індексів сезонності (Is):

(2.48)

Залежно від характеру тренду формула (3.16) приймає наступні форми:

Для рядів внутрішньорічної динаміки з яскраво вираженою основною тенденцією розвитку:

(2.49)

Виступаючі при цьому як змінна база порівняння теоретичні рівні yti представляють