Окремі методи прогнозної екстраполяції, такі як: екстраполяція на основі рядів динаміки, на основі середніх, на основі індексів достатньо повно описані в літературі із статистики. В даному розділі більш докладно зупинимось на методі найменших квадратів, середньої ковзання та експоненціального згладжування.

Тренд відображає усереднені тенденції зміни явища у часі. Припускається, що через фактор часу можна виразити вплив усіх основних факторів, іншими словами, хоча час не являється механізмом прояву закономірностей і тенденцій, він мовби акумулює дії основних факторів і виражає їх у рівнянні тренда.

Рівняння тренда може бути описане різними залежностями, серед яких:

лінійна y=a0+at

квадратична y=a0+a1t+a2t2

степенева y=a0ta1

показникова y=a0a1t

логарифмічна y=a1ln(x)+a0 та інші.

При виборі виду рівняння необхідно вирішити два питання. По-перше, чи адекватно рівняння відповідає досліджуваним процесам, а у відношенні часового тренда – наскільки воно відображає закономірність тенденції, що склалася. По-друге, чи відповідає воно статистичним критеріям. Ці два питання повинні дати відповідь – наскільки логічно і статистично відібране рівняння відповідає процесам і явищам, що досліджуються.

Вибір виду рівняння проводять за допомогою зображення динамічного ряду на графіку. При цьому основним критерієм вибору найкращої кривої для прогнозування в більшості випадків обирають коефіцієнт детермінації:

(2.1)

де yi – фактичне значення показника (вихідна інформація);

– вирівняне значення показника (розрахункові значення);

– середнє значення показника.

Найкращою кривою вважається та, для якої коефіцієнт детермінації є найбільшим.

Визначення майбутнього значення показника здійснюється шляхом підстановки у рівняння тренда значення незалежної змінної t, яка відповідає величині горизонту прогнозування.

Слід зазначити, що екстраполяція тренда може бути застосована лише у тому випадку, якщо розвиток явища достатньо добре описується побудованим рівнянням і умови, які визначають тенденцію розвитку у минулому, не зазнають значних змін у майбутньому.

Таблиця . – Вихідні дані для прогнозування

Місяці t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10

Значення показника dt | 9,66 | 10,53 | 11,98 | 12,09 | 13,27 | 14,99 | 15,21 | 16,05 | 17,98 | 18,37

Для визначення прогнозу за допомогою трендової лінії слід спочатку зобразити вихідні дані на графіку у вигляді діаграми розсіювання. Для цього слід скористатись майстром діаграм, вибравши вид діаграми – точкова. Далі, використовуючи меню «Діаграма», що з’являється на панелі інструментів при виділенні отриманої діаграми, слід вибрати функцію додавання лінії тренду. По черзі, вибираючи різні види ліній тренду та на вкладці «параметри лінії тренду», задавши функції, що дозволяють показувати рівняння регресії та значення коефіцієнта детермінації на діаграмі, отримаємо наступні результати регресійного вирівнювання.

Також, щоб зобразити на графіку прогнозні значення необхідно на вкладці «параметри лінії тренду» в полі Вперед ввести кількість бажаних періодів, протягом яких лінія тренду і буде продовжуватись вперед.

Рисунок . – Результат регресійного вирівнювання за лінійною залежністю

Рисунок . – Результат регресійного вирівнювання за поліноміальною залежністю

Рисунок . – Результат регресійного вирівнювання за степеневою залежністю

Отже, даний ряд динаміки найкраще описує поліноміальна залежність, оскільки коефіцієнт детермінації R2=0,9853 приймає для цієї залежності максимальне значення з трьох розрахованих.

За виведеним рівнянням поліноміальної залежності y=0,0084х2+0,8887х+8,7998 розрахуємо значення показника на наступні періоди:

у11=0,0084Ч112+0,8887Ч11+8,7998=19,59

y12=0,0084Ч122+0,8887Ч12+8,7998=20,67

Отже, у 11 періоді значення показника становитиме 19,59, у 12 періоді – 20,67.

Метод найменших квадратів. Лінійна регресія. Криволінійне вирівнювання

Якщо дано сукупність показників y, що залежать від фактору часу х (де х може виступати, як фактор часу t), то постає завдання знайти таку економетричну модель, яка б найкраще описувала існуючу залежність. Одним з методів є лінійна регресія. Лінійна регресія передбачає побудову такої прямої лінії, при якій значення показників, що лежать на ній будуть максимально наближені до фактичних, і продовжуючи цю пряму одержуємо значення прогнозу. Процес продовження прямої називається екстраполяцією. Відповідно до цього постає задача визначити цю пряму, тобто рівняння цієї прямої. В загальному вигляді рівняння прямої виглядає:

=b1х+b0, (2.2)

де – вирівняне значення у для відповідного значення х.

Константи b0 і b1 – константи, які передбачають зменшення суми квадратів відхилень між фактичним значенням у і вирівняним значенням .

(у – )2 min (2.3)

Коефіцієнти b0 і b1 знаходять із системи рівнянь (6.3), що випливає з формули (6.2):

(2.4)

Вихідна економетрична модель лінійної регресії передбачає наявність випадкової величини е, яка вимірює похибку між фактичним значенням і вирівняним значенням показника. Для розрахунку цих похибок використовують поняття «стандартного відхилення»

, (2.5)

де Sr – стандартна похибка рівняння регресії

n-2 – число значень ряду зменшене на кількість параметрів рівняння регресії (тобто b0 і b1).

Розрахувавши стандартну похибку рівняння регресії знаходимо стандартну похибку прогнозу:

(2.6)

Для розрахунку довірчих меж потрібно знайти значення .

Нижня межа довірчого інтервалу (песимістичний прогноз):

Верхня межа довірчого інтервалу (оптимістичний прогноз):

Прогнозне значення ур=b1xp+b0 буде знаходитись в межах від уmin до ymax.

(2.7)

де t – критерій Стьюдента (знаходиться з таблиць в залежності від ймовірності P і ступеня вільності n-m-1).

Метод найменших квадратів і процедура вибору прямої регресії, описані вище, повністю переносяться і на випадок, коли рівняння кривої може бути після перетворень зведено до лінійного тренду.

В практиці криволінійного вирівнювання широко використовуються два види перетворень: натуральний логарифм (ln) і обернене перетворення (1/х).

В таблиці 2.2 наведені деякі найбільш популярні криві, а також сфера їх застосування.

Таблиця . – Характеристика основних кривих

Назва кривої | Рівняння | Перетворення | Сфера

застосування

1 | 2 | 3 | 4

Лінійна | =b1х+b0–

Експоненційна (проста) | Y1 = ln | Параметр b1 – темп росту