Степенева | Y1 = ln

Х1 = ln х | Крива попиту з одиничною еластичністю

Гіперболічна

І типу | Х1 =1/х | Зростаючі процеси з насиченням

Гіперболічна ІІ типу | Y1 =1/

Гіперболічна ІІІ типу (проста раціональна) | Y1 =1/

Х1 =1/х

Логарифмічна | =b1lnх+b0 | Х1 = ln х | Зростаючі процеси із зменшенням темпу зростання

S-подібна | Y1 = ln

Х1 =1/х | Описує повний цикл розвитку динамічних процесів

Обернено логарифмічна | Y1 =1/

Х1 = ln х | Зростаючі процеси із зменшенням темпу зростання

Основним критерієм вибору найкращої кривої для прогнозування в більшості випадків обирають коефіцієнт детермінації:

(2.8)

де yi – фактичне значення показника (вихідна інформація);

– вирівняне значення показника (теоретичні значення);

- середнє значення показника.

Найкращою кривою вважається та, для якої коефіцієнт детермінації є найбільшим.

Середня ковзання

Традиційним методом прогнозування майбутнього значення показника являється усереднене n його минулих значень. Формально його можна визначити так:

(2.9)

або

(2.10)

З формул слідує, що поточне значення середнього ковзання відрізняється від попереднього на величину 1/n різниці поточного значення показника і його значення на момент часу, зсунутого на n одиниць назад.

Обчислене значення mt у випадку стаціонарного ряду вважається рівним прогнозу очікуваного значення показника в майбутньому не тільки на період прогнозу, але і на період, наступним за ним, і далі.

Середня ковзання має ряд особливостей:

Для того, щоб почати процес середнього ковзання, необхідно мати в запасі n-1 минулих значень спостережень. Прогноз не може бути побудований раніше, чим через n моментів часу.

Даним, що включені в процес середнього ковзання, присвоюється однакова вага, всім іншим даним присвоюється нульова вага. Вага окремого спостереження вказує на долю вкладу його значення в значення середнього, і у випадку середнього ковзання ця доля рівна 1/n для спостережень, що входять в середнє, і нулю для спостережень, що відсутні в ньому. При цьому самі свіжі дані мають більш важливе значення і тому повинні мати і більшу вагу.

Для усунення цього недоліку можна запропонувати процедуру усереднення з різними вагами. Наступні рівняння представляють два з подібних способів усереднення: перший оснований на дрібних, а другий на десяткових вагах. Слід відзначити, що в обох випадках сума ваг рівна одиниці, ця умова, очевидно необхідна для того, щоб відповідні величини були середніми значеннями.

Отже,

(2.11)

або

(2.12)

Якщо не враховуються більш старі дані, то для середнього ковзання це може виявитись занадто важливим. На практиці, для того щоб середнє було не надто чутливим, використовують усереднення по двадцятиточковому періоду.

Чутливість середньої ковзання обернено пропорційна n – числу точок, що входять в середнє, тому без зміни n чутливість змінити неможливо.

Більшість з перерахованим недоліків усувається, якщо система ваг експоненціальна.

Розглянемо використання методу ковзання на наступному прикладі. Розрахувати плинн середн, використовуючи дан про денний випуск продукцї. Результати розрахункв звести в таблицю.

Для будь-якого нтервалу згладжування k плинну середню розраховуємо за формулою:

(2.13)

де – -й рвень ряду динамки (=1, 2, 3, ..., n);

– k -а плинна середня при нтервал згладжування р [k=1, 2,..., n-(n-1)].

Наприклад, для р=3 четверта плинна дорвнюватиме

, (2.14)

а остання плинна середня:

(2.15)

У табл. 2.3 наведено плинн середн триденна й п’ятиденна. Вихдний та зрвняний динамчн ряди (за допомогою п’ятиденної плинної середньої) зображен на рис. 2.4.

Таблиця . – Згладжування ряду динамiки за допомогою плинної середньої

Показники | Робочі дні

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15

1.Обсяг виробництва продукції, тис.грн. | 58 | 55 | 56 | 70 | 69 | 74 | 72 | 76 | 75 | 82 | 78 | 84 | 81 | 89 | 91

2. Плинна сума, тис. грн. | 3-денна | - | 169 | 181 | 195 | 213 | 214 | 222 | 223 | 233 | 235 | 244 | 243 | 254 | 261 | -

5-денна | - | - | 308 | 324 | 341 | 361 | 366 | 378 | 383 | 395 | 400 | 414 | 423 | - | -

3. Плинна середня, тис. грн. | 3-денна | - | 56,3 | 60,3 | 65,0 | 71,0 | 71,3 | 77,0 | 75,7 | 82,7 | 76,7 | 84,3 | 80,7 | 67,7 | 87 | -

5-денна | - | - | 61,6 | 64,8 | 68,2 | 722 | 73,2 | 75,6 | 76,6 | 79,0 | 80,0 | 82,8 | 84,6 | - | -

Рисунок . – Графік виробництва продукцii

Проста експоненціально зважена середня (ПЕЗС)

Замість одної із розглянутих раніше систем ваг розглянемо цілий ряд ваг, що убувають в часі по експоненціальному закону.

Цей ряд визначимо наступним чином:

(2.16)

Для істинного середнього його сума повинна прямувати до одиниці.

З допомогою експоненціально зваженого ряду експоненціальне зважене середнє Ut запишемо як:

(2.17)

В результаті отримаємо, що:

(2.18)

- основне рівняння, що визначає просту експоненціально зважену середню.

Якщо записати значення прогнозу для періоду t=1, то отримаємо:

(2.19)

де U0 – початковий рівень згладжування, який можна задати наступними методами.

1) – приймається рівним першому значення із ряду фактичних значень.

2) – середнє фактичних значень ряду.

3) – середнє m фактичних значень ряду.

4) – експертна оцінка.

На його основі будуються інші моделі експоненціального зглажування.

Експоненціально зважена середня має ряд переваг перед традиційною середньою ковзання.

Для побудови прогнозу по експоненціально зваженому середньому необхідно задати лише початкову оцінку прогнозу; подальше прогнозування можливе одразу