В експоненціально зваженій середній значення ваг зменшуються із часом, тому (на відміну від методу середньої ковзання) тут немає точки, на якій ваги обнулюються.

Для обчислення експоненціально зваженого середнього Ut потрібно всього два значення: минуле значення середнього (Ut-1) і поточне значення (dt) а також значення ступеня згладжування б:

(2.20)

Типові значення б, що використовуються в області економічного і промислового прогнозування, лежать в межах від 0,05 до 0,3. це означає, що довжина усереднення з точки зору чутливості прогнозу може бути знайдена у відповідності з n по наступній таблиці.

б | n

0,05 | 39

0,1 | 19

0,2 | 9

0,3 | 5,66 (?6)

Чутливість експоненціально зваженого середнього з метою підвищення адекватності прогностичної системи може бути в будь-який момент часу змінена шляхом зміни величини б (чутливість прогнозу – це здатність прогнозу реагувати на появу нових факторів). Чим вище значення б, тим вище чутливість середнього; чим нижче б, тим стійкішою стає експоненціально зважена середня. Чутливість методу середньої ковзання залежить від довжини ряду, а чутливість методу експоненціального згладжування – тільки від б. І нарешті, якщо більш підходящими виявляються більш високі значення б, то це вказує на порушення умов стаціонарності, тобто проста експоненціально зважена середня стає неприйнятною і необхідно застосовувати інші, більш складні моделі, що описують випадок нестаціонарної поведінки показника.

В таблиці 2.4 наведено приклад розрахунку за методом простої експоненціально взваженої середньої при б=0,5 і U0 = 54.

Таблиця . – Приклад розрахунку прогнозу за методом ПЕЗС

Період t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6

Фактичне значення

показника dt | 40,0 | 50,0 | 65,0 | 68,0 | 62,0 | 54,0

* dt | 20,0 | 25,0 | 32,5 | 34,0 | 31,0 | 27,0

Ut-1 | 54,0 | 47,0 | 48,5 | 56,75 | 62,4 | 62,2

( 1 – ) Ut-1 | 27,0 | 23,5 | 24,25 | 28,4 | 31,2 | 31,1

Прогноз Ut | 47,0 | 48,5 | 56,75 | 62,4 | 62,2 | 58,1

Основна ідея методу ПЕЗС полягає в тому, що кожен новий прогноз виходить за допомогою переміщення попереднього прогнозу в напрямі, який дав би кращі результати в порівнянні зі старим прогнозом. Константа згладжування є величиною, що самокоректується. Іншими словами, кожен новий прогноз є сумою попереднього прогнозу і поправочного коефіцієнту, який і пересуває новий прогноз в такому напрямі, що робить попередній результат більш точним.

Згладжування є дуже корисним в тих випадках, коли у тимчасовому ряді спостерігаються істотні відмінності в рівнях даних. Методи прогнозування, що використовують константу згладжування враховують ефекти стрибка функції набагато краще, ніж способи, що використовують регресивний аналіз.

Особливості методів для прогнозування нестаціонарних показників

Середнє, яке змінюється прийнято називати трендом. Тренди розрізняють по характеру і по типу.

За характером тренди поділяються на:

а) лінійний тренд.

Лінійним трендом називають такий закон зміни середнього, при якому середнє зростає або убуває з часом по лінійній залежності. Наприклад, попит на деякий продукт може мати зростаючий лінійний тренд, якщо продукт являється для ринку новим товаром або якщо розширюється об’єм самого ринку при умові, що частка продукту залишається незмінною. Навпаки, якщо деякий товар старіє, то тренд попиту на нього буде спадним.

б) сезонні тренди.

Тренд називається сезонним, якщо середнє змінюється циклічно у відповідності з деяким часовим циклом. В більшості випадків на практиці цей часовий цикл не змінюється на протязі року, причому середнє за кожний місяць у порівнянні із середнім за рік може і спадати, і зростати. Сезонні коливання притаманні динаміці попиту на такі товари, як одяг і взуття. Подібні коливання спостерігаються також і у великих галузях промисловості (наприклад, коливання в попиті на автомобілі, що спадає із наближенням зими і зростає навесні).

в) змішані сезонно-лінійні тренди.

Такий характер тренду представляє собою комбінацію з двох вже розглянутих. Прикладом подібного тренду служить продаж авіа білетів. (Збільшення частки повітряного транспорту в загальному обсязі перевезень в довгостроковому аспекті визначає лінійний тренд; сезонні коливання пояснюються коливанням потоку авіапасажирів в межах року (попит на авіаквитки підвищується на святкові дні і літні канікули).

Тренди можна розрізняти не тільки по характеру, але і по типу:

а) адитивні тренди.

В адитивних трендах фактичні значення відрізняються від середнього приблизно на однакову величину. Наприклад, для лінійно-адитивного тренду середній приріст величини попиту за місяць може складати десять одиниць виміру.

б) мультиплікативні тренди.

В мультиплікативних трендах збільшення або зменшення фактичного значення складає приблизно однаковий процент відносно середнього, що визначається характером тренду. Наприклад, передбачається, що попит на деякий товар з лінійно-мультиплікативним трендом буде збільшуватись на 2% за місяць.

в) комбінація адитивних і мультиплікативних трендів

Цей тип тренду являється очевидним поєднанням двох уже згаданих. Його вивчення достатньо складне, тому і застосування досить рідкісне.

При описі тренду любого показника необхідно задати характер тренду і його тип. Таким чином, характер тренду визначає середнє, а тип тренду – відхилення від середнього.

Розглянемо найбільш поширені прогностичні моделі.

Лінійно-адитивна прогностична модель

При лінійно-адитивній моделі тренду передбачається, що середнє прогнозованого показника dt змінюється по лінійній функції від часу:

(2.21)

де м – середнє процесу, л – швидкість його росту, еt – випадкова величина з нульовим середнім.

Для опису такої ситуації можна запропонувати декілька моделей.

Метод Холта

Метод, запропонований Холтом, оснований на оцінці параметру – мірі степеня лінійного росту (або падіння) показника у часі.

Основні рівняння