Знаходження статистичних оцінок параметрів економетричної моделі

в) МНК за системою нормальних рівнянь. Цей метод є найточнішим методом знаходження оцінок параметрів економетричної моделі. Через хмарку точок діаграми розсіювання можна провести безліч прямих. Згідно МНК пряма повинна пройти так, щоб відхилення дійсних значень змінної y від значень змінної y, знайдених по оціночній прямій (розрахункових значень) було найменшим. Ці відхилення ми позначили . Щоб позбутися різних знаків для відхилень, піднімемо ці відхилення до квадрату і знайдемо їх суму. В результаті отримаємо функцію, невідомими величинами в якій будуть оцінки a та b:

(5)

Дослідимо цю функцію на min. Для цього візьмемо частинні похідні цієї функції по a та b і прирівняємо їх до нуля:

В результаті виконання перетворень отримаємо наступну систему, яка називається системою нормальних рівнянь:

(6)

розв’язавши яку, знаходимо a та b:

Розв’язки системи (6) методом Крамера можна знайти за формулами:

(7)

(8)

в) МНК через відхилення від середніх. Розглянемо знаходження оцінок параметрів з допомогою методу відхилень від середніх арифметичних. Основу даного методу складають властивості оцінок, знайдених МНК, які полягають в тому, що лінія регресії обов’язково проходить через точку середніх значень .

Поділимо перше рівняння системи (6) на n:

.

У результаті отримаємо

, або

. (9)

Далі віднімемо від розрахункового значення змінної y (2) її середнє значення, знайдене за формулою (9):

.

Звідси (10) Знайдемо відхилення фактичних значень змінної y від розрахункових, знайдених по формулі (10):

.

та - це відхилення змінних y та x від їх середніх значень. Для простоти позначимо їх та .

Дальше розглядаємо функцію, що представляє собою суму квадратів відхилень дійсних значень змінної y від розрахункових і досліджуємо її на min.

Оскільки отримана функція залежить тільки від b, то знаходимо частинну похідну цієї функції по b і прирівнюємо її до нуля.

.

Звідси знаходимо параметр b:

(11)

Параметр а знайдемо з формули (9):

(12)

Формули (11) та (12) – це формули для знаходження оцінок параметрів економетричної моделі методом найменших квадратів через відхилення від середніх.

Приклад 1. По статистичних даних за 5 періодів (дані умовні) про валовий випуск продукції y та кількість робочої сили x необхідно розрахувати оцінки параметрів економетричної моделі (лінійна форма взаємозв’язку):

а) МНК за системою нормальних рівнянь;

б) МНК через відхилення від середніх.

Статистичні дані для розрахунку приведені в таблиці 1.

Таблиця 1.

№ підприємства | Валовий випуск продукції,

уі | Кількість робочої сили,

хі

1 | 8 | 12

2 | 17 | 16

3 | 13 | 15

4 | 14 | 14

5 | 15 | 18

Розв’язання. Побудуємо таблицю

№ п/п | xi | yi | xi2 | xiyi | xi | ( xi)2 | yi | xi yi

1 | 8 | 12 | 144 | 96 | -3 | 9 | -5,4 | 16,2

2 | 17 | 16 | 256 | 272 | 1 | 1 | 3,6 | 3,6

3 | 13 | 15 | 225 | 195 | 0 | 0 | -0,4 | 0

4 | 14 | 14 | 196 | 196 | -1 | 1 | 0,6 | -0,6

5 | 15 | 18 | 324 | 270 | 3 | 9 | 1,6 | 4,8

Сума | 67 | 75 | 1145 | 1029 | 0 | 20 | 0 | 24

Запишемо систему нормальних рівнянь:

Розв’яжемо її:

Знайдемо ці ж оцінки за формулами відхилень від середніх (11) та (12):

; .

Отже, нами отримано оціночне рівняння економетричної моделі

= -4,6 + 1,2х.