то нульова гіпотеза Но про рівність нулю коефіцієнта кореляції в генеральній сукупності відкидається і приймається альтернативна гіпотеза Н1 про існування залежності між змінними. Коефіцієнт кореляції, розрахований за даними вибірки, вважається статистично значимим. Якщо
, то нульова гіпотеза Но приймається, а коефіцієнт кореляції r вважається статистично незначимим.
Аналогічно перевіряються нульові гіпотези відносно оцінок б та в. Для них емпіричні значення параметру знаходять за формулами:
7. Перевірка адекватності (відповідності реальній дійсності) економетричної моделі здійснюється з допомогою критерію Фішера.
Етапи перевірки:
Обчислюємо емпіричне значення параметру F:
.
2) Знаходимо по таблицях Фішера критичне значення параметру F: Fкр для заданого рівня значимості б=1-р і ступенями вільності , де m - кількість факторів моделі (незалежних змінних); n - об’єм вибірки.
3) Якщо Fемп>Fкр,, то побудована нами економетрична модель адекватна реальній дійсності і по ній можна робити прогноз на наступний період. Якщо ж Fемп<Fкр,, то економетрична модель неадекватна реальній дійсності і прогноз робити не можна.
Прогнозування – це наукове передбачення ймовірних шляхів розвитку для найближчого майбутнього. У випадку, коли ЕМ адекватна і потрібно зробити прогноз для y в n+1 періоді, то ми підставляємо значення хn+1 безпосередньо в оціночне рівняння і знаходимо значення yn+1: .
Приклад 2. Враховуючи результати попереднього прикладу і для тих же статистичних даних:
обчислити загальну, пояснену та непояснену дисперсії;
знайти коефіцієнти детермінації та кореляції;
побудувати довірчі інтервали для оціночного рівняння та оцінок параметрів ЕМ;
з ймовірністю р=0,9 перевірити нульові гіпотези відносно коефіцієнта кореляції, оцінок а та b параметрів ЕМ;
перевірити адекватність знайденої ЕМ з ймовірністю р=0,95.
Для знаходження дисперсій використаємо наступні формули:
Для спрощення підрахунків побудуємо таблицю:
№ п/п | yi | xi
1 | 8 | 12 | -5,4 | 29,16 | 9,8 | -3,6 | 12,96 | -1,8 | 3,24
2 | 17 | 16 | 3,6 | 12,96 | 14,6 | 1,2 | 1,44 | 2,4 | 5,76
3 | 13 | 15 | -0,4 | 0,16 | 13,4 | 0 | 0 | -0,4 | 0,16
4 | 14 | 14 | 0,6 | 0,36 | 12,2 | -1,2 | 1,44 | 1,8 | 3,24
5 | 15 | 18 | 1,6 | 2,56 | 17 | 3,6 | 12,96 | -2 | 4
Сума | 67 | 75 | 45,2 | 28,8 | 16,4
Отже, маємо:
; ; .
Знайдемо значень коефіцієнтів детермінації та кореляції.
Для обчислення коефіцієнта детермінації використовуємо формулу:
,
а це означає, що 65 % загальної дисперсії пояснюється оціночною прямою, на долю неврахованих факторів припадає 35 %.
Коефіцієнт кореляції знайдемо за формулою:
.
Знак коефіцієнта кореляції визначається знаком кутового коефіцієнта оціночного рівняння b (в нашому випадку він додатний). Отримане значення коефіцієнта кореляції вказує на ступінь тісноти зв’язку між вибраними факторами у вигляді прямолінійної залежності. r = 0,81, а це значить, що лінійна форма зв’язку вибрана вірно і зв’язок між змінними у та х тісний.
Знайдемо довірчий інтервал оціночного рівняння ЕМ для р=0,9.
Обчислимо граничну похибку . Значення знайдемо, розв’язавши наступне рівняння: , де - інтегральна функція Лапласа. Так, наприклад, для р=0,9 маємо: tр=1,65. Також знайдемо
Тоді .
Довірчий інтервал матиме вигляд:
,
.
Для побудови оціночного рівняння, верхньої та нижньої межі довірчого інтервалу достатньо по дві точки. Знайдемо їх:
Нижня межа | Оціночна пряма | Верхня межа
x | y | x | y | x | y
10 | 4,41 | 10 | 7,4 | 10 | 10,39
15 | 10,41 | 15 | 13,4 | 15 | 16,39
Знайдемо довірчі інтервали для оцінок. Знаходження довірчих інтервалів для оцінок а та b почнемо із обчислення граничних похибок оцінок:
, ,
де - відповідно дисперсії для оцінок а та b, які в свою чергу обчислюються за формулами:
.
Далі знайдемо
;
.
Отже, нами отримано наступні інтервали довіри для оцінки a:
.
.
для оцінки b:
,
.
Здійснимо перевірку нульових гіпотез.
Нульова гіпотеза Но: Rген = 0, альтернативна гіпотеза Н1: Rген 0.
Далі для заданої вибірки з k=n-2 ступенями вільності обчислимо емпіричне значення критерію Стьюдента:
Для заданої ймовірності р=0,9 і k=5-2=3 ступенів вільності знаходимо табличне значення .
Оскільки , то з надійністю р=0,9 гіпотезу Но необхідно відкинути і прийняти альтернативну гіпотезу Н1 про існування залежності між змінними. Отже, у 90 % вибірок із генеральної сукупності коефіцієнт кореляції не дорівнює нулю.
Далі виконаємо перевірку нульової гіпотези відносно оцінки b, Но: в=0, проти альтернативної Н1: в0. Для цього знаходимо емпіричне значення за формулою:
Оскільки емпіричне значення t більше критичного (tемп>tкр), то нульова гіпотеза відхиляється і робиться висновок, що кутовий коефіцієнт b розрахований за даною вибіркою вважається статистично значущим з ймовірністю р=0,9.
Перевіримо нульову гіпотезу Но: б=0. Обчислимо
.
tемп<tкр, значить нульова гіпотеза приймається і параметр б може бути рівним нулю в генеральній сукупності.
Для оцінки рівня адекватності побудованої економетричної моделі експериментальним даним використовуємо критерій Фішера F, основу якого складає формула
Знайдемо табличне значення даного критерію (Fкр.) для рівня надійності Р=0,95 та числа ступенів вільності k1=m=1, k2=n-m-1=5-1-1=3
Fкр = 10,13
Оскільки Fемп.<F таб., то отримана економетрична модель
неадекватна експериментальним даним і на її основі не можна робити прогноз на наступний період.
