Математичне моделювання – універсальний та ефективний інструмент пізнання внутрішніх закономірностей, властивих явищам і процесам. Воно дає можливість вивчити кількісні взаємозв’язки і взаємозалежності системи, що вивчається, і вдосконалити її подальший розвиток та функціонування.

Рис. 1.1. Основні етапи моделювання

Серед існуючих систем економічні є найскладнішими, тому при побудові їх моделей слід відображати тільки найважливіші та найхарактерніші властивості процесів або явищ, що вивчаються. Внаслідок цього всі моделі є спрощеним відображенням реальної системи, але якщо цей процес виконано коректно, то отримане наближене відображення реальної ситуації дає можливість мати достатньо точні характеристики об’єкта дослідження.

Загальні принципи побудови економетричних моделей. Моделі парної регресії

Регресійний аналіз та його особливості

Під регресією розуміють односторонню стохастичну залежність однієї випадкової змінної від другої чи декількох інших випадкових змінних. Таким чином, регресія встановлює відповідність між випадковими змінними. Наприклад, при визначенні залежності обсягу податкових надходжень (y) від ставки податку (х) мова йде про визначення одностороннього зв’язку, тобто про регресію. Обидві змінні є випадковими. Кожному значенню х відповідає множина значень у і навпаки, кожному значенню у відповідає множина значень х. Таким чином, ми маємо справу із статистичним розподілом значень х та у. Виходячи з цих розподілів, ми повинні знайти стохастичну залежність між у та х. Одностороння стохастична залежність виражається за допомогою функції, яка на відміну від строгої математичної залежності називається функцією регресії чи просто регресією.

Принциповою різницею між строгою функціональною залежністю та функцією регресії є те, що у першому випадку аргумент (незалежна змінна) повністю визначає значення функції, і для неї існує обернена (наприклад, функція у = х2, тоді ). Функція регресії цією властивістю не володіє. Отже, якщо між явищами відсутній функціональний зв’язок, а має місце тільки стохастичний, то функція регресії буде незворотною.

За числом змінних, введених у регресійне рівняння, розрізняють просту (парну) та множинну (багатофакторну) регресії. Відносно форми залежності моделі діляться на лінійну та нелінійну регресії.

При побудові регресійної функції спочатку потрібно провести ідентифікацію змінних, тобто визначити, яка із них є ознакою (залежною чи поянюваною змінною), а які є незалежними (факторами чи пояснюючими змінними). Якщо в загальному випадку рівняння регресії для двох змінних записати y=f(x), то y – пояснювана змінна, а х – пояснююча. Потім потрібно провести специфікацію моделі, тобто встановити форму зв’язку між змінними.

1.2. Діаграма розсіювання регресійної функції

Для того, щоб визначити форму залежності між двома змінними використовують діаграму розсіювання, яка є графічною формою представлення інформації у прямокутній системі координат. На осі абсцис відзначають значення незалежної змінної (х), на осі ординат – значення залежної змінної (у). Результат кожного спостереження (хі, уі) деякого економічного процесу відображається точкою на площині. Сукупність цих точок утворює хмарку, яка відображає зв’язок між двома змінними.

За шириною розкиду точок можна зробити висновок про тісноту зв’язку сукупності. Якщо точки розміщені близько одна до одної (у вигляді вузької смужки), то можна стверджувати про наявність відносно тісного зв’язку. Якщо точки на діаграмі розкидані широко, то має місце слабкий зв’язок між змінними, або взагалі не існує зв’язку (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Діаграма розсіювання у випадку відсутності зв’язку

На рис.1.3 представлені основні форми залежностей.

Додатна регресія

а) | б) | в)

Від’ємна регресія

г) | д) | е)

Рис. 1.3. Основні форми регресій

Отже, розрізняють додатну лінійну (а) та нелінійну (б, в) і від’ємну лінійну (г) та нелінійну (д, е) регресії.

За виглядом скупчення точок можна висунути гіпотезу про лінійність чи нелінійність взаємозв’язку між змінними. Так, на діаграмі 1.3 (а, г) маємо явно виражені лінійні тенденції скупчення точок. Спробуємо апроксимувати залежності, зображені на цих діаграмах, лінійною функцією регресії. Звичайно, ці тенденції існують лише в середньому. Вони порушені відхиленням окремих точок. Відхилення від прямої пояснюється впливом інших неврахованих факторів.

Модель парної лінійної регресії

Припустимо, що за виглядом діаграми розсіювання ми встановили, що між двома змінними існує лінійний зв’язок. Проста (парна) лінійна регресія встановлює лінійну залежність між двома змінними. При цьому одна із змінних (у) вважається залежною змінною (екзогенна, пояснювана, результативна змінна, регресант, відгук) і розглядається як функція від другої (х) незалежної змінної (ендогенна, пояснююча, регресор).

В загального випадку проста лінійна модель запишеться так:

(1.1)

Величина у={у1, у2 ,.., уn} (n – число спостережень) складається з двох складових:

1) невипадкової складової +х, де х=х1,х2,.., хn, і – параметри рівняння;

2) випадкової складової u (збурення, помилки) u=u1,u2,..,un.

Якщо у та х – це кількісні показники деяких економічних явищ чи процесів, то рівняння (1.1) називають економетричною моделлю.

Розглянемо основні причини існування збурення:

Невключення в модель інших пояснюючих змінних. Встановлення зв’язку тільки між двома факторами у та х є дуже великим спрощенням. Наспрaвді існують інші фактори, що суттєво впливають на результативний показник, які не враховані чи не можуть бути врахованими у формулі (1.1). Вплив цих факторів приводить до того, що істинні точки лежать поза прямою. Об’єднавши всі такі можливі складові впливу на результативний показник, ми якраз отримаємо величину u. Наприклад, при вивченні залежності попиту на товар (у) від ціни на товар (х), збурена змінна u включала би в себе вплив на попит таких чинників: величина сімейного бюджету, якість товару та інші випадкові фактори. Якби ми точно знали, які змінні необхідно включати в модель, і мали можливість точно їх виміряти, то можна на їх основі будувати рівняння і тим самим виключати відповідний елемент збурення.

Неправильна функціональна специфікація. Функціональне співвідношення між у та х математично може бути