.

У випадку лінійної форми зв’язку коефіцієнт граничної продуктивності співпадає з відповідною оцінкою параметру економетричної моделі, тобто має місце:

, (2.25)

а формула для обчислення коефіцієнта еластичності по кожному фактору:

. (2.26)

Приклад 2.6. Використавши умову прикладу 2.1 знайти коефіцієнти граничної продуктивності та еластичності.

Розв’язування.

В прикладі 2.1 ми знайшли вигляд оціночного рівняння, що описує залежність валової продукції від основних виробничих фондів та затрат праці у вигляді: .

Обчислимо коефіцієнти граничної продуктивності за формулою (2.25):

, а це означає, що при збільшенні основних виробничих фондів на 1 млн. грн. валова продукція зросте на 1,06 млн. грн.

, а значить випуск валової продукції зменшиться на 0,11 млн.грн. при збільшенні затрат робочого часу на 1 млн. люд.-год.

Для знаходження значень коефіцієнтів еластичності використаємо формулу (2.24).

Спочатку знайдемо середні значення змінних y, x1 та x2, взявши значення їх сум з прикладу 2.2:

; ; .

Тоді:

,

а це значить, що при збільшенні основних виробничих фондів на 1 % валовий випуск продукції зросте на 1,4 %.

,

а значить при збільшенні затрат робочого часу на 1 % валовий випуск продукції зменшиться на 0,12 %.

Коефіцієнт сумарної еластичності

Е=Е1+Е2=1,4-0,12=1,28

вказує на те, що при одночасному збільшенні і основних виробничих фондів і затрат робочого часу на 1 % валовий випуск продукції зросте на 1,28 %.

2.8. Перевірка значущості оцінок параметрів

економетричної моделі

Значущість коефіцієнта множинної кореляції та оцінок параметрів економетричної моделі перевіряється аналогічно моделі парної регресії за t–критерієм Стьюдента.

Для оцінки значущості коефіцієнта множинної кореляції обчислюємо емпіричне значення параметру t:

, (2.27)

яке порівнюється з критичним значенням tкр, що знаходиться за таблицями розподілу Стьюдента при заданому рівні значущості та k= n-m-1 ступенях вільності.

Правило використання критерію полягає у наступному:

Перевірку нульових гіпотез стосовно параметрів b0, b1 та b2 економетричної моделі проводять аналогічно. Спочатку висуваємо нульові гіпотези:

H0: b0=0, H0: b1=0, H0: b2=0.

Альтернативними будуть гіпотези:

H1: b00, H1: b10, H1: b20.

Потім обчислюємо емпіричні значення параметра t за формулами:

. (2.26)

Емпіричне значення параметру порівнюють з критичним, знайденим за таблицями Стьюдента для заданого рівня значущості та k=n-m-1 ступенів вільності. Якщо , то нульова гіпотеза Но із рівнем значущості б відкидається і приймається альтернативна гіпотеза Н1. Тоді відповідна оцінка вважається статистично значимою. Якщо ж , то нульова гіпотеза Но для рівня значущості б приймається, а відповідна оцінка не є статистично знaчимою.

Приклад 2.7. На основі даних прикладу 2.1 виконати перевірки нульових гіпотез стосовно коефіцієнта кореляції та параметрів економетричної моделі.

Розв’язування.

Висуваємо нульову гіпотезу Но: Rген=0 (робимо припущення, що коефіцієнт кореляції генеральної сукупності рівний нулю). Альтернативною гіпотезою буде Н1: Rген0.

Далі для заданої вибірки з k=n-m-1 ступенями вільності обчислимо емпіричне значення критерію Стьюдента:

Для заданої ймовірності р=0,9 (=1-р=1-0,9=0,1) і k=10-2-1=7 ступенів вільності знаходимо табличне значення tкр.=1,89.

Оскільки , то з надійністю р=0,9 гіпотезу Но необхідно відкинути і прийняти альтернативну гіпотезу Н1 про існування залежності між змінними. Отже, у 90 % вибірок із генеральної сукупності коефіцієнт множинної кореляції не дорівнює нулю.

Далі виконаємо перевірку нульових гіпотез відносно b0, b1 та b2. Для цього спочатку обчислимо елементи дисперсійно-коваріаційної матриці, по головній діагоналі якої знаходяться дисперсії оцінок a0, a1 та а2, використавши формулу (2.14):

,

а для обчислення дисперсії помилок формулу (2.15):

.

Елементи матриці , векторів Y, та А візьмемо з прикладу 2.1:

;;.

;

;

Тоді обчислимо і 110,2, а потім:

=0,377.

Перемноживши дисперсію помилок на діагональні елементи матриці , отримаємо дисперсії оцінок, коренем з яких є середні квадратичні відхилення:

Дальше висуваємо гіпотезу Но: b0=0 проти альтернативної Н1: b00. Для цього знаходимо емпіричне значення за формулою:

Оскільки емпіричне значення t менше критичного (tкр.=1,89), то нульова гіпотеза приймається і робиться висновок, що параметр b0 може бути рівним нулю в генеральній сукупності.

Перевіримо нульову гіпотезу Но: b1=0. Обчислимо

.

tемпtкр, тому нульова гіпотеза відхиляється, значить b1 не може бути рівним нулю в генеральній сукупності, а отже оцінка a1, розрахована за даними вибірки, є статистично значимою.

Здійснимо перевірку нульової гіпотези стосовно параметру b2. Порахуємо

.

Оскільки емпіричне значення t менше критичного, то нульова гіпотеза приймається, значить параметр b2 може бути рівним нулю в генеральній сукупності, а отже оцінка a2, розрахована за даними вибірки, не є статистично значимою.

2.9. Оцінка якості економетричних моделей

Якість лінійних економетричних моделей оцінюється стандартним для економіко-математичних задач способом: за адекватністю та точністю.

Для перевірки адекватності множинної регресійної моделі, як і у випадку парної регресії, використовується F-критерій Фішера. У даному випадку нульова гіпотеза узагальнюється:

Тоді альтернативною гіпотезою буде Н1 : хоча б одне значення bj відмінне від нуля. У випадку невиконання гіпотези Н0 приймається гіпотеза Н1. Отже, не всі параметри незначною мірою відрізняються від нуля. Це свідчить про те, що включені до моделі фактори пояснюють змінну результативного показника.

Для перевірки гіпотези Н0 використовують F-критерій Фішера з m та (n-m-1) ступенями вільності:

,

де m – кількість незалежних факторів, n – загальна кількість спостережень.

На практиці для обчислення емпіричного значення параметру F, у випадку, коли знайдене значення коефіцієнта множинної детермінації , використовують формулу:

. (2.29)

Далі для заданого рівня значущості і ступенів вільності k1=m та k2=n–m-1 знаходимо табличне (критичне) значення критерію Фішера – Fкр.(k1,k2,). Знайдене розрахункове значення критерію порівнюємо з табличним: якщо Fемп>Fкр., тоді гіпотеза Н0 відхиляється і приймається альтернативна, що свідчить про адекватність побудованої моделі, іншими словами підтверджується наявність істотного зв’язку між