залежною та незалежними змінними побудованої економетричної моделі. У протилежному випадку нульова гіпотеза приймається, і модель вважається неадекватною.
Приклад 2.8. Здійснити перевірку адекватності економетричної моделі, отриманої в прикладі 2.1.
Розв’язування.
Обчислимо емпіричне значення параметру F:
Знайдемо табличне значення даного критерію (Fкр.) для рівня надійності p=0,95 та числа ступенів вільності k1=m=2; k2=n-m-1=10-2-1=7:
Fкр = 4,74.
Оскільки Fемп.Fкр., то отримане нами оціночне рівняння економетричної моделі
адекватне реальній дійсності і на його основі можна здійснювати прогнози.
3. Нелінійна економетрична модель
3.1. Загальні відомості про нелінійні функції регресій
У більшості випадків при побудові ЕМ залежності результативного показника від пояснюючих змінних зустрічаються випадки нелінійної форми зв’язку між ними. В загальному випадку модель парної регресії можна представити у вигляді:
,
де f(x) - функція від х, а u – випадкова складова.
Нелінійна багатофакторна економетрична модель:
.
При побудові економетричної моделі з двома змінними вид залежності, яка адекватно відобразить причинно-наслідкові зв’язки певного економічного процесу чи явища, визначаємо по діаграмі розсіювання.
Основні форми нелінійних регресійних моделей, які найчастіше використовуються при встановленні залежності між двома економічними показниками:
1) парабола
2) поліноміальна
3) степені 1/2
4)логарифмічна
5) степенева
6) експонента
7) гіпербола
8) логістична
3.2. Класи нелінійних регресій
Розрізняють два класи нелінійних регресій:
І клас – це клас регресій, які нелінійні відносно пояснюючих змінних, але лінійні відносно оцінок параметрів економетричної моделі. Приклади таких функцій:
Цей клас нелінійних регресій ще називають квазілінійними регресіями, тому що їх можна привести до лінійного виду шляхом заміни, тобто лінеаризувати.
ІІ клас нелінійних регресій – це клас економетричних моделей, які нелінійні і відносно пояснюючої змінної (чи пояснюючих змінних) і відносно оцінок параметрів ЕМ. Приклади таких функцій:
Такий клас регресій часто зустрічається при дослідженні економічних процесів чи явищ. Суттєвим його недоліком є те, що неможливо провести лінеаризацію та застосувати метод найменших квадратів.
Великий економічний інтерес серед функцій нелінійної регресії другого класу представляють виробничі функції.
Першою класичною виробничою функцією є степенева функція Кобба-Дугласа:
,
де – обсяг випуску продукції; К – затрати капіталу; L – затрати праці; a – коефіцієнт пропорційності; - параметр функції або коефіцієнт еластичності по затратах праці.
Для загального випадку степенева функція Кобба-Дугласа має вигляд:
.
де – обсяг випуску продукції (національний дохід);
х1, х2, … хm – фактори впливу на результативний показник;
a1, a2, … am – коефіцієнти еластичності.
Виробничі функції використовуються в двох аспектах: як самостійні економіко-математичні моделі для аналізу зв’язків між економічними показниками, прийняття рішень, прогнозування; як складові частини складніших моделей для оптимального планування та управління виробництвом.
Нелінійні функції регресій І та ІІ класу інакше ще називають відповідно суттєво лінійними та суттєво нелінійними.
3.3. Приведення нелінійних економетричних моделей до лінійного виду
Для того, щоб привести до лінійного виду нелінійні функції регресії першого класу використовують метод заміни змінних. Розглянемо це на прикладах функцій регресій цього класу, приведених в п.3.2:
1)
Здійснимо заміну і в результаті матимемо функцію регресії лінійного виду . Аналогічно для інших функцій:
2)
3)
4)
Для знаходження оцінок параметрів нелінійних економетричних моделей другого класу використовують лінійне перетворення функцій. Наприклад прологарифмуємо степеневу функцію:
Тоді здійснюємо заміни:
В результаті отримаємо лінійну функцію:
Аналогічні лінійні перетворення можна зробити й для показникової функції:
В результаті замін:
отримаємо лінійну функцію:
Ми бачимо, що з допомогою методу заміни змінних чи лінійних перетворень (наприклад, логарифмування) нелінійні економетричні моделі можна привести до лінійного виду, а тоді вже до отриманих лінійних функцій застосовуємо метод найменших квадратів для знаходження оцінок параметрів одно- чи багатофакторної економетричної моделі та проводимо весь економетричний аналіз: будуємо довірчі інтервали, здійснюємо перевірку нульових гіпотез та перевіряємо модель на адекватність. Коли будуть знайдені інтервальні оцінки для отриманих лінійних функцій регресій, то з допомогою обернених перетворень (зворотної заміни чи використання антилогарифмів) знаходимо довірчі інтервали для нелінійних економетричних моделей.
Слід зазначити, що для побудови нелінійної однофакторної економетричної моделі доцільно використовувати можливості офісної програми EXCEL.
Приклад 3. На основі наведених в таблиці 3 по роках даних валового випуску продукції для деякого підприємства знайти рівняння лінії, яка найточніше опише тенденцію.
Таблиця 3
Роки | Валова продукція, млн. грн.
1995 | 9021
1996 | 9205
1997 | 9411
1998 | 9550
1998 | 9542
2000 | 9648
2001 | 9753
2002 | 9829
2003 | 9630
2004 | 9827
¦Розв’язування.
Занесемо дані валового випуску і роки в таблицю EXCEL і на їх основі будуємо діаграму розсіювання. Для цього лівою клавішею миші натискаємо на „Майстер діаграм”, отримуємо вікно „Мастер диаграмм: тип диаграммы”, вибираємо тип „Точечная”, натискаємо кнопку „Далее”, отримуємо вікно „Мастер диаграмм: источник данных диаграммы”, у віконечко „Диапазон” заносимо адрес області, де знаходяться вхідні дані, відмічаємо у віконечку яким чином записані дані – в рядках чи стовпцях, „Далее”, отримуємо вікно „Мастер диаграмм: параметры диаграммы”, забираємо лінії сітки, „Далее”, „Готово” і отримуємо діаграму розсіювання:
Дальше правою кнопкою миші натискаємо на одній із точок діаграми і вибираємо з отриманого списку „Добавить линию тренда”. Потім одержимо вікно „Линия тренда”, в якому вибираємо тип лінії тренду, а у вікні „Параметры” ставимо відмітки у ллітинках „Показывать уравнение на диаграмме” та „Поместить на диаграмму R^2”, „Готово”. Розглянемо для даних нашого прикладу можливі лінії тренду:
лінійна
логарифмічна
поліноміальна
степенева
- експоненціальна
Бачимо, що найбільше значення коефіцієнта детермінації R^2 для поліноміальної залежності, тобто найкраще апроксимує наші дані нелінійна економетрична модель виду
.
4. Мультиколінеарність в багатофакторних
економетричних моделях
4.1. Визначення мультиколінеарності
Досить часто на практиці при побудові багатофакторних економетричних моделей зустрічаються випадки, коли при перевірці нульових гіпотез стосовно параметрів економетричної моделі розрахункові (емпіричні) значення параметру t досить малі, що свідчить про незначущість цих параметрів, а значить і незалежних змінних, що їм відповідають, а емпіричне значення F–критерію при перевірці економетричної моделі на адекватність