такого типу задач здійснюється шляхом їх розкладу на відносно невеликі та менш складні підзадачі. Для цього підходу характерним є розв’язок задачі з допомогою ряду етапів, пов’язаних між собою керованою змінною. Набір рекурентних обчислювальних процедур, які зв’язують між собою різні етапи, забезпечує отримання оптимального розв’язку задачі в цілому при завершенні останнього етапу.
Розглянемо виробничу ситуацію, пов’язану з аналізом пропозицій відносно збільшення виробничих потужностей підприємств фірми. Для можливого розширення потужностей фірма виділяє фінансові ресурси розміром х, які необхідно розділити між проектами в такий спосіб, щоб одержати максимально можливий сумарний приріст випуску продукції.
Позначимо через хі – розмір інвестицій, виділених під і–тий проект (), де і – індекс проекту. Отже, має місце рівність:
. (5.15)
На основі попереднього аналізу встановлено, що приріст продукції внаслідок реалізації і–го проекту задається функцією . Тоді сумарний приріст продукції фірми становитиме:
. (5.16)
Отже, наша задача полягає у заходженні таких значень , які задовольняють (5.15) і забезпечують максимум функції (5.16).
Позначимо максимальний сумарний приріст продукції, одержаний при розподілі інвестицій розміром х для перших k проектів через , причому
.
Для визначення функцій побудуємо рекурентне рівняння за допомогою наступних етапів.
Почнемо з розподілу наявних засобів для першого проекту. Знайдемо максимальне значення цього приросту за формулою: .
Переходимо до другого етапу розрахунків. Нам необхідно знайти оптимальний варіант розподілу інвестицій розміром х, при умові, що вони виділені першому та другому проекту. Тут слід враховувати отриману найкращу ефективність для першого проекту. Припустимо, що на другий проект виділені інвестиції розміром х2, які дають f2(х2) приросту продукції, а залишок (х-х2) виділяється першому проекту, і він дає F1(х-х2) приросту. Тоді максимальний приріст продукції, отриманий від оптимального розподілу всіх інвестицій між першим і другим проектами буде:
.
Переходимо до третього етапу, на якому необхідно знайти оптимальний варіант розподілу інвестицій при умові, що вони виділяються для перших трьох проектів разом.
Нехай на третій проект виділено х3 одиниць коштів, які в свою чергу даватимуть для нього приріст продукції розміром f3(х3). Наявний залишок (х-х3) надамо першому та другому проектам, які при оптимальному розподілі дають приріст F2(х-х3) грошових одиниць. Отже, максимальний ефект, який отримується від розподілу інвестицій між першими трьома проектами буде:
.
Розглянемо загальний випадок розподілу інвестицій для перших k проектів. Нехай k–му проекту виділено хk одиниць інвестицій, які забезпечать йому приріст продукції розміром fk(хk). Залишок інвестицій (х-хk) віддамо першим (k-1) проектам і вони при оптимальному розподілі принесуть фірмі Fk-1(х-хk) приросту продукції. При цьому фірма отримає сумарний приріст продукції рівний:
(5.17)
Отже, ми вивели рекурентне співвідношення (5.17), яке представляє собою рівняння Р.Беллмана для задачі (5.15) - (5.16).
Приклад 5.3. Для збільшення випуску продукції фірма може виділити інвестиції розміром х=200 млн. грн. своїм чотирьом підприємствам на певний період. Приріст продукції, який може отримати кожне підприємство при виділенні йому відповідних інвестицій, представлений у таблиці 5.4. Знайти оптимальний варіант вкладів інвестицій і дати економічний аналіз ефективності проведених заходів.
Таблиця 5.4
Розмір інвестицій,
млн. грн., х | Приріст продукції, млн.грн.
f1(х) | f2(х) | f3(х) | f4(х)
0
50
100
150
200 | 0
45
110
160
210 | 0
60
90
165
215 | 0
55
85
170
225 | 0
70
105
155
230
¦Розв’язування.
Для знаходження оптимального варіанту розподілу наявних інвестицій використаємо функціональне рівняння (5.17). Розрахунки проведемо в чотири етапи. Насамперед знайдемо умовно оптимальне значення варіанту розподілу виділених інвестицій для першого підприємства. Вважаємо, що підприємство це окремий проект.
Для прискорення розрахунків уcі значення Fk(xk) на наступних етапах представимо таблицею 5.5.
Таблиця 5.5
Розмір інвестицій,
млн. грн., х | Значення приросту продукції, млн. грн.
F1(х) | F2(х) | F3(х) | F4(х)
0
50
100
150
200 | 0
45
110
160
210 | 0
60
110
170
220 | 0
60
115
170
230 | -
-
-
-
240
Оскільки, , то переходимо до визначення умовно оптимального значення розподілу інвестицій, виділених двом першим підприємствам разом. Для цього використаємо формулу:
,
у якій надамо х2 усіх можливих значень (0; 50; 100; 150; 200).
.
Розглянемо випадок розподілу інвестицій розміром 50 млн. грн.
Отримаємо:
.
Максимальне значення приросту продукції від вкладення 50 млн. грн. в перших два підприємства одержано за рахунок другого члена, тобто f2(50)+F1(0). Це означає, що другому підприємству слід виділити 50 млн. грн., а першому не надавати коштів.
Аналогічно проводимо обчислення F2(x) для інших значень вкладень (100; 150; 200).
Так, при виділенні першим двом підприємствам 100 млн. грн. маємо:
.
Одержаний результат показує, що першому підприємству інвестиції потрібно виділити розміром 100 млн. грн., а другому – коштів не давати. Приріст продукції при цьому буде 110 млн. грн.
.
При розподілі 150 млн. грн. доцільно 100 млн. грн. дати першому підприємству, а 50 – другому.
Проведемо аналогічні міркування для розподілу 200 млн. грн.
Записуємо:
.
Згідно з виразом f2(50)+F1(150), який забезпечує максимальний приріст продукції обсягом 220 млн. грн., необхідно 150 млн. грн. віддати першому підприємству, а 50 млн. грн. – другому.
Перейдемо до третього етапу, в якому потрібно визначити оптимальний варіант розподілу інвестицій першим трьом підприємствам разом. Для розрахунку значень F3(х) використаємо формулу:
.
Надаючи x3=(0; 100; 200; 300; 400; 500) відповідно одержимо:
.
.
Бачимо, що вигідно всі 50 млн. грн. віддати першим двом підприємствам, а третьому не давати коштів. Максимальний приріст продукції буде 60 млн. грн.
Виконаємо відповідні обчислення при х3=100:
.
Максимальний ефект дає вираз f3(50)+F2(50), а це означає, що 100 млн.грн. між першими трьома підприємствами потрібно розподілити таким чином: першим двом підприємствам віддати 50 млн. грн. і третьому 50 млн. грн. Приріст продукції становитиме 115 млн. грн.
Обчислимо F3 (150):
.
При розподілі 150 млн. грн. ми отримали два оптимальних варіанти:
між першими двома підприємствами розподілити 150 млн. грн., а третьому не надавати коштів;
150 млн. грн. віддати третьому підприємству,