(1.17)

Як можна побачити з виразу (1.17) перша частина є складовою дисперсії, яку можна пояснити через лінію регресії. Друга частина є пропорцією дисперсії помилок у загальній дисперсії, тобто являє собою частину дисперсії, яку не можна пояснити через регресійний зв’язок.

Частина дисперсії, що пояснюється регресією, називається коефіцієнтом детермінації і позначається d або r2:

(1.18)

З цієї формули видно, що коефіцієнт детермінації завжди додатній і знаходиться в межах від нуля до одиниці. Максимальне значення d=1, за умови, що лінія регресії точно відповідає всім спостереженням ( і всі залишки рівні нулю). Тоді . Якщо ж для вибірки відсутній зв’язок між змінними у та х, то коефіцієнт d буде близький до нуля.

Після побудови регресійної моделі необхідно оцінити тісноту зв’язку між результативною та факторною змінними. Для цього необхідно розрахувати коефіцієнт кореляції, який саме характеризує ступінь щільності лінійної залежності між випадковими величинами х та у. Він позначається r і розраховується за формулою:

,

де cov(x,y) – коефіцієнт коваріації між змінними х та у, var(x), var(y) – дисперсії змінних х та у, а x, y – їх середні квадратичні відхилення.

Коефіцієнт кореляції, на відміну від коефіцієнта коваріації, є вже не абсолютною, а відносною мірою зв’язку між двома факторами і приймає значення з інтервалу [-1;1]. Додатне значення кореляції свідчить про наявність прямого зв’язку між змінними, а від’ємне – про зворотній зв’язок. Якщо коефіцієнт кореляції прямує до ±1, то мова йде про наявність тісного лінійного зв’язку між змінними. У той же час, коли він прямує до нуля, то лінійний зв’язок між змінними слабкий. Але, якщо нами отримано r=0, то не треба спішити з висновками про відсутність зв’язку між змінними. Можна лише робити висновок про відсутність лінійного зв’язку, але між вибраними змінними може існувати тісний нелінійний зв’язок. Коефіцієнт кореляції дає можливість робити висновок про тісноту саме лінійного зв’язку між змінними.

Подивимось, чи існує зв’язок між коефіцієнтом детермінації і коефіцієнтом кореляції. Для цього здійснимо наступні перетворення для коефіцієнта детермінації:

.

Виконаємо аналогічні перетворення для коефіцієнта кореляції, врахувавши, що :

.

З останньої формули видно, що знак коефіцієнта кореляції визначається знаком оцінки b.

Ми бачимо, що коефіцієнт кореляції є коренем квадратним з коефіцієнта детермінації:

. (1.19)

Приклад 1.2. На основі даних прикладу 1.1 потрібно:

1. Обчислити загальну, пояснюючу та непояснюючу дисперсію.

2. Знайти значення коефіцієнтів детермінації та кореляції.

Розв’язування.

1. Для знаходження дисперсій використаємо наступні формули:

.

Для спрощення підрахунків побудуємо таблицю, взявши середні значення змінних з прикладу 1.1:

№ п/п | yi | xi

1 | 2,2 | 1,4 | -5,07 | 25,7 | 3,74 | -3,53 | 12,49 | -1,54 | 2,36

2 | 4,2 | 2,2 | -3,07 | 9,42 | 4,64 | -2,63 | 6,91 | -0,44 | 0,2

3 | 5,7 | 3,3 | -1,57 | 2,46 | 5,89 | -1,38 | 1,91 | -0,19 | 0,04

4 | 6,8 | 2,6 | -0,47 | 0,22 | 5,09 | -2,18 | 4,73 | 1,71 | 2,91

5 | 5,9 | 3,2 | -1,37 | 1,88 | 5,77 | -1,50 | 2,24 | 0,13 | 0,02

6 | 7,6 | 4,5 | 0,33 | 0,11 | 7,25 | -0,02 | 0 | 0,35 | 0,12

7 | 9,5 | 5,1 | 2,23 | 4,97 | 7,93 | 0,66 | 0,43 | 1,57 | 2,47

8 | 8,4 | 6,7 | 1,13 | 1,28 | 9,74 | 2,47 | 6,1 | -1,34 | 1,79

9 | 10,1 | 7,3 | 2,83 | 8,01 | 10,42 | 3,15 | 9,92 | -0,32 | 0,1

10 | 12,3 | 8,9 | 5,03 | 25,3 | 12,23 | 4,96 | 24,62 | 0,07 | 0

Сума | 72,7 | 45,2 | 0 | 79,36 | 72,7 | 0 | 69,35 | 0 | 10,01

Отже, маємо:

;;

2. Знайдемо значень коефіцієнтів детермінації та кореляції.

Для обчислення коефіцієнта детермінації використовуємо формулу:

,

а це означає, що 87 % загальної дисперсії пояснюється оціночною прямою, на долю неврахованих факторів припадає 13 %.

Коефіцієнт кореляції знайдемо за формулою:

.

Знак коефіцієнта кореляції визначається знаком кутового коефіцієнта оціночного рівняння b (в нашому випадку він додатний). Отримане значення коефіцієнта кореляції вказує на ступінь тісноти лінійного зв’язку між змінними. Значення коефіцієнта кореляції рівне 0,93 (близьке до одиниці), а це значить, що лінійна форма зв’язку між змінними у та х вибрана вірно і цей зв’язок тісний.

1.6. Умови Гаусса-Маркова для випадкової змінної

При використанні МНК для знаходження оцінок параметрів моделі випадкова змінна (збурення, випадковий член) повинна задовольняти чотири умови, що мають назву умови Гаусса-Маркова.

1. Математичне сподівання випадкової змінної для всіх спостережень рівне нулю:

M(ui)=0,

де n – кількість спостережень.

Інколи випадковий член моделі може бути додатнім, а інколи – від’ємним. Однак він не має мати систематичного зміщення в жодному можливому напрямку.

2. Дисперсія випадкової змінної повинна бути постійною для всіх спостережень (властивість гомоскедастичності):

.

3. Відсутність систематичного зв’язку між значеннями випадкової змінної в будь-яких спостереженнях:

.

Це означає, що випадкові величини незалежні між собою, тобто значення випадкової змінної u в і-му спостереженні не залежить від того, яке значення вона прийме в j–му спостереженні.

4. Випадкова змінна повинна бути розподіленою незалежно від пояснюючих змінних:

Значення будь-якої незалежної змінної в кожному спостереженні вважається екзогенним, повністю визначеним зовнішніми причинами, які не враховані в рівнянні регресії.

Крім приведених вище умов припускається дотримання нормального закону розподілу випадкового члена з нульовим математичним сподіванням і постійною дисперсією. Припущення про