За означенням коваріаційна матриця для оператора А буде:

(2.14)

Дана матриця є симетричною відносно головної діагоналі, елементами якої є дисперсії оцінок параметрів моделі , а поза діагоналлю – їх коваріація.

Оцінена дисперсія випадкової величини знаходиться за формулою:

. (2.15)

Приклад 2.1. Знайти оцінки параметрів економетричної моделі, яка описує залежність обсягу отриманого прибутку підприємствами регіону від розміру основних виробничих фондів та затрат праці (лінійна форма зв’язку). Вхідні дані приведено в таблиці 2.1.

Таблиця 2.1

Номер підприємства | Прибуток, млн.грн., y | Основні фонди, млн.грн., | Затрати праці, млн.год.,

1 | 1,2 | 2,2 | 2,9

2 | 1,4 | 2,9 | 3,2

3 | 1,8 | 3,1 | 2,5

4 | 2,1 | 3,7 | 2,6

5 | 2,8 | 2,8 | 3,3

6 | 3,2 | 4,3 | 3,2

7 | 3,5 | 4,6 | 2,5

8 | 4,4 | 5,4 | 4,9

9 | 4,9 | 4,9 | 2,1

10 | 5,3 | 6,4 | 4,7

Розв’язування.

Оціночне рівняння економетричної моделі у випадку лінійної форми зв’язку між вибраними економічними показниками має вигляд:

,

де y – прибуток, млн.грн; – вартість основних виробничих фондів, млн. грн; – затрати праці, млн. год. Для знаходження оцінок параметрів моделі використаємо математичний апарат матричної алгебри.

Введемо позначення:

;

.

Вектор оцінок А знайдемо користуючись формулою , де – матриця, транспонована до матриці Х.

Знаходимо добуток двох матриць, використовуючи стандартну офісну програму Excel. Для цього заносимо елементи вектора Y, матриць Х та . Транспоновану матрицю можна отримати, використавши майстер функцій fx, вибравши в категоріях “Сcылки и массивы”, а в функціях “ТРАНСП”. Щоб перемножити матриці, відмічаємо поле, де буде знаходитись результат, входимо в майстер функцій (fx), в категоріях вибираємо “Математические”, а в функціях “МУМНОЖ”. Дальше в область “Масив 1” вводимо адрес першої матриці , а в “Масив 2” – область другої – Х. Дальше натискаємо кнопку ”Ok”. Щоб отримати значення всіх елементів матриці добутку, одночасно натискаємо клавіші F2 та Ctrl+Shift+Enter. В результаті отримаємо:

.

Знаходимо обернену матрицю до матриці . Знову відмічаємо поле, де буде знаходитись результат, входимо в fx, вибираємо категорію “ Математические”, а в функціях “МОБР”, потім ”Ok”. Після одночасного натискання клавіш F2 та Ctrl+Shift+Enter отримаємо:

.

Потім знаходимо добуток матриці та вектора Y:

Значення елементів вектора А знайдемо, перемноживши матрицю на вектор :

.

Отже, ми отримали оціночне рівняння економетричної моделі:

.

2.4. Коефіцієнти парної кореляції. Кореляційна матриця

При побудові економетричної моделі залежності результативного показника від одного фактора щільність кореляційного зв’язку ми визначали з допомогою коефіцієнта кореляції. В багатофакторних економетричних моделях є коефіцієнти парної, частинної та множинної кореляції.

Коефіцієнти парної кореляції використовуються для вимірювання сили лінійних зв’язків різних пар змінних (ознак) із заданої множини. Значення парних коефіцієнтів кореляції між результативною змінною y та незалежними змінними xj обчислюються за формулою:

, (2.16)

а між незалежними змінними xl та xj:

(2.17)

Парні коефіцієнти кореляції утворюють кореляційну матрицю (матрицю коефіцієнтів парної кореляції):

.

Дана матриця є симетричною відносно головної діагоналі , елементи якої рівні одиниці, тобто:

. (2.18)

Припустимо, що змінна y залежить від двох факторів х1 та х2. Тоді ми будемо мати три коефіцієнти парної кореляції:

- коефіцієнт парної кореляції між y та х1, або коефіцієнт кореляції економетричної моделі :

; (2.19)

- коефіцієнт парної кореляції між y та х2, або коефіцієнт кореляції економетричної моделі :

; (2.20)

- коефіцієнт парної кореляції між незалежними змінними х1 та х2, або коефіцієнт кореляції економетричної моделі :

. (2.21)

Кореляційна матриця матиме вигляд:

.

Приклад 2.2. Використавши умову прикладу 2.1 знайти коефіцієнти парної кореляції.

Розв’язування.

Коефіцієнти парної кореляції знайдемо, використавши формули (2.19) – (2.21):

Для спрощення обчислень побудуємо розрахункову таблицю 2.2:

Підставимо отримані значення сум в формули:

,

а це означає, що зв’язок між змінними y та х1 тісний і змінна х1 пояснює 93 % загальної дисперсії змінної y.

,

а це означає, що зв’язок між змінними y та х2 середній і змінна х2 пояснює 43 % загальної дисперсії змінної y.

,

а значить зв’язок між незалежними змінними х1 та х2 середній і змінна х2 пояснює 52 % дисперсії змінної х1.

2.5. Коефіцієнти частинної кореляції

Коефіцієнти частинної кореляції так само представляють лінійні зв’язки ознак, але при цьому береться до уваги чистий зв’язок пари ознак за умови, що зв’язки всіх інших ознак з ознаками із даної пари не діють. Отже, частинною кореляцією між ознаками хi та xj називається кореляційна залежність між цими ознаками при фіксованих значеннях інших ознак.

Нехай число незалежних змінних m=2. Для знаходження коефіцієнтів частинної кореляції використовуємо наступні формули:

, (2.22)

де – коефіцієнт частинної кореляції між змінними y та x1 при виключенні впливу x2. Він показує яку долю загальної дисперсії змінної y, що не пояснила змінна x2 пояснить введення в економетричну модель змінної x1.

– коефіцієнт частинної кореляції між змінними y та x2 при виключенні впливу x1. Він показує яку долю загальної дисперсії змінної y, що не пояснила змінна x1 пояснить введення в економетричну модель нової змінної x2.

– відповідно коефіцієнти парної кореляції.

Для m=3 маємо такі коефіцієнти частинної кореляції:

Узагальнюючи приведені вище формули для будь-якого числа пояснюючих змінних, отримаємо:

.

Останнє співвідношення показує, що обчислення коефіцієнта частинної кореляції порядку m зводиться до визначення таких же коефіцієнтів, але порядку (m-1). Тому спочатку необхідно знайти коефіцієнти парної кореляції, а потім перейти до обчислення коефіцієнтів вищих порядків.

Приклад 2.4. Розрахувати коефіцієнти частинної кореляції на основі даних прикладу 2.1.

Розв’язування.

Коефіцієнти частинної кореляції обчислюємо за формулами (2.22):

,

а це говорить про те, що введення змінної x1 в економетричну