.

Цей коефіцієнт показує, що з 7 % загальної дисперсії змінної y, що не пояснила змінна x1 17 % пояснить введення в економетричну модель нової змінної x2, що свідчить про недоцільність введення в економетричну модель змінної x2.

2.6. Коефіцієнти множинної кореляції та детермінації

Основним показником тісноти кореляційного зв’язку між результативним показником y та всіма незалежними змінними , а також ступеня близькості вибраного виду математичної залежності до вибіркових даних є коефіцієнти множинної кореляції та детермінації.

Коефіцієнт множинної детермінації обчислюється за формулою:

,

Враховуючи рівність:

,

маємо:

.

Тоді вираз для R2 прийме такий вигляд:

.

З останньої формули випливає, що коли , то . Отже, якщо всі вибіркові значення показника розміщені на лінії регресії, то коефіцієнт множинної детермінації дорівнює одиниці. А значить, чим ближче вибіркові значення наближаються до лінії регресії, тим ближче наближається до одиниці, а отже, тим більше варіація залежної змінної визначається варіацією незалежних факторів. Як бачимо, коефіцієнт множинної детермінації показує частку варіації результативної ознаки, яка знаходиться під впливом досліджуваних факторів, тобто визначає, яка частка варіації ознаки y врахована в моделі та викликана впливом вибраних факторів. Його числове значення змінюється від нуля до одиниці, тобто . Якщо прямує до нуля, то у вибірці відсутній лінійний зв’язок між залежною та незалежними змінними.

Характерною особливістю коефіцієнта детермінації є те, що він – неспадна функція від кількості факторів, які входять до моделі. Отже, якщо кількість незалежних факторів зростає, то значення так само зростає.

З останньої рівності маємо:

,

причому значення знаменника у формулі не залежить від кількості факторів , тоді як чисельник, навпаки, знаходиться у зворотній залежності. Тобто, при зростанні числа незалежних факторів, величина спадає, або на крайній випадок не зростає.

Тому при співставленні між собою двох регресійних моделей для однакових залежних змінних, але з різною кількістю незалежних факторів, перевагу треба віддати тій моделі, для якої значення є більшим.

Одним з основних показників тісноти кореляційного зв’язку результативного показника y з факторами , а також мірою ступеня відповідності даних є коефіцієнт множинної кореляції. Він визначається як коефіцієнт кореляції між y та має вигляд:

.

Квадрат коефіцієнта множинної кореляції, як і випадку простої регресії є коефіцієнтом детермінації, тобто має місце .

На практиці для обчислення значень коефіцієнтів множинної детермінації та кореляції, коли розраховані значення коефіцієнтів парної кореляції, використовують наступні формули:

- коефіцієнт множинної детермінації:

. (2.23)

- коефіцієнт множинної кореляції: . (2.24)

Приклад 2.5. Використавши дані прикладу 2.1 знайти коефіцієнт множинної детермінації та кореляції.

Розв’язування.

Для знаходження коефіцієнта множинної детермінації використаємо формулу (2.23), використавши значення коефіцієнтів парної кореляції з прикладу 2.3:

а значить 85 % загальної дисперсії пояснюється залежністю обсягу валової продукції від вартості основних виробничих фондів та затрат праці. І тільки 15 % загальної дисперсії не може бути пояснено отриманою нами залежністю. Таким чином, можна зробити висновок, що побудована модель статистично значима.

Тоді коефіцієнт множинної кореляції буде:

,

а це означає, що між валовою продукцією та основними виробничими фондами і затратами праці існує тісний лінійний зв’язок.

2.7. Основні характеристики виробничої функції

Оціночне рівняння (2.2) економетричної моделі інколи поєднують із поняттям виробничої функції. Формально загальне визначення виробничої функції можна дати як функції, яка кількісно описує існуючі взаємозв’язки та взаємозалежності між результативними показниками функціонування деякого економічного процесу або явища і чинниками під впливом яких вони формуються. До основних показників можна віднести дохід, прибуток, обсяг податкових надходжень, валова продукція, рентабельність, продуктивність праці, собівартість та ін.

Виробничі функції найперше почали використовувати для дослідження причинно-наслідкових відносин виробничих процесів у сфері мікроекономіки. Потім вони стали дуже популярним та ефективним, у певній мірі, інструментом, економетричного аналізу економічних процесів і явищ, як на мезо- так і на макрорівнях.

Вид виробничої функції визначається видом алгебраїчного рівняння, з допомогою якого описується її математична модель.

Розглянемо основні характеристики виробничої функції, заданої у вигляді:

.

Першою характеристикою для довільного j-го показника (ресурсу) є його середня продуктивність при фіксованих обсягах інших ресурсів, яка визначається за формулою:

,

де – середня продуктивність j-го виду ресурсу; – середнє значення результативного показника; – середнє значення j-го чинника.

Другою характеристикою є гранична продуктивність (віддача, ефективність) j-го виду ресурсу, яка характеризує приріст результату виробництва при одиничному прирості j-го ресурсу і визначається таким чином:

.

Наприклад, якщо результативний показник відображає обсяг прибутку (млн. грн.) у залежності від вартості основних виробничих фондів (млн. грн.) та витрати праці (млн. люд.-год.), то гранична продуктивність першого фактора показує величину зміни результативного при одиничній зміні факторного (на 1млн. грн.).

Представляє інтерес з’ясування характеру зміни граничної продуктивності із зміною обсягу j-го при незмінному обсязі інших ресурсів. З цією метою знайдемо:

.

Якщо , то гранична віддача j-го ресурсу зростає, а в протилежному випадку гранична продуктивність – спадає.

Третя характеристика – відносна зміна результату виробництва на одиницю відносної зміни витрат j-го ресурсу. Цей показник називається еластичністю випуску по витратах j-го ресурсу:

.

Коефіцієнт еластичності j-го виду ресурсу показує на скільки процентів зміниться результативний показник (прибуток) при зміні факторного (вартість основних виробничих фондів) на один процент.

Додатні коефіцієнти при збільшенні факторного показника означають збільшення результативного показника, а від’ємні – зменшення.

Четверта характеристика – норма заміщення ресурсу. Для довільної пари ресурсів k та j можна визначити граничну норму заміщення j-го ресурсу k-им. Ця величина є співвідношення, взяте із знаком “-”, граничних продуктивностей j-го та k-го