Нехай - імовірність збереження високого доходу, а - імовірність перевірки заявленого низького доходу. Припустимо, що всі гравці нейтральні до ризику, і при цьому платники податків максимізують очікуваний дохід, а податкові служби – очікуваний прибуток за відрахуванням витрат на аудит. Якщо ( ), то єдиною Неш-рівновагою в грі буде . Якщо ( ), то єдиною Неш-рівновагою в грі буде

. (2.20)

Припустимо тепер, що провіряючий може приховати результати перевірки і тим самим прикрити платника податків, який неправильно вказав свій дохід як від доплати різниці між податками на різні доходи , так і від штрафу за прихований дохід Р. Нехай з деякою імовірністю обидва можуть бути зловлені і в такому випадку вони понесуть додаткові витрати. Включимо тепер в модель припущення, що одні аудитори беруть взятки, а інші – ні, в той час як одні платники податків хочуть їх давати, а інші – ні. Введемо що - частка від суми штрафу і додаткового податку , яка йде фінансовому інспектору на взятку; - покарання за взятку, яку понесе аудитор у тому випадку, коли його зловлять (ця інформація скрита від інших гравців). Нехай також - покарання, яке понесе платник податків, який намагається приховати свій дохід у випадку розсекречення факту дачі взятки (ця інформація скрита від інших гравців); р – імовірність розсекречення факту дачі взятки. Введемо деякі припущення:

· - не залежить від суми прихованого доходу чи величини взятки. Ця випадкова величина розподілена на множині платників податків згідно функції розподілу з щільністю розподілу (*);

· - не залежить від об’єму загального ухилення від податків, відомому даному аудитору, чи від того, скільки взяток він уже отримав. Покарання за взятку знімається з аудитора один раз за кожний відомий випадок. Ця випадкова величина розподілена на множині фінансових інспекторів згідно функції розподілу з щільністю розподілу (*);

· величина задається екзогенно;

· змінна не залежить від об’єму загального відхилення від податків, яке відоме даному аудитору, чи від того, скільки хабарів він вже отримав. Це ризик, якому підлягають аудитор і платник податків, який пропонує хабара при кожній конкретній дачі хабара. Це однакова для всіх аудиторів величина;

· Аудитори нейтральні до ризику і максимізують очікуваний дохід.

Таким чином аудитор може або приховати повністю факт ухилення від податків, або видати платника податків. Якщо фінансовий інспектор закриває очі на неправильну звітність, то він отримує ) при умові, що його самого не зловлять при отриманні хабара, чи він втрачає , якщо хабар розкритий. Відповідно, аудитор, для якого покарання за хабар складає , погодиться на нього тільки, якщо

) (2.21)

Іншими словами, аудитор візьме хабара тільки, якщо <, де

=. (2.22)

Припустимо, що платники податків нейтральні до ризику. Вони мінімізують очікувані затрати, пов’язані із сплатою податків; ці затрати включають самі податки, хабарі, штрафи і покарання за ухилення від податків.

Припустимо також, що покарання за приховання доходу для даного платника податків складає , він отримав високий дохід, але в звітності вказав низький. Якщо його провіряє податковий інспектор, для якого покарання за хабар складає , причому <, тобто він, в принципі, бере хабарі, але платник податків хабарі йому не пропонує, то останній повинен буде заплатити . Якщо ж платник податків вирішив дати хабара, то його очікувані затрати складають . Відповідно платник податків пропонує хабар, якщо

. (2.23)

Іншими словами, платник податків пропонує хабар тільки, якщо <, де

=. (2.24)

Припустимо, що будемо називати платника податків чесним, якщо , і нечесним, якщо <.

Позначимо ймовірність того, що чесний платник податків вирішив ухилитись від сплати податків; - ймовірність того, що нечесний платник податків, для якого покарання за хабар складає , приховає свій високий дохід. Оскільки для податкової інспекції апріорі всі платники податків рівні, то – ймовірність перевірки низького доходу – однакова для всіх. Нехай буде функцією загальних витрат, які віднесе чесний платник податків, який приховує свій дохід, і – функцією витрат нечесного платника податків, який ухиляється від сплати податків, для якого покарання за хабар складає . Тоді,

=; (2.25)

= (2.26)

де (2.27)

Найкраща відповідь для чесного неплатника податків - це величина , яка максимізує . Найкраща відповідь для нечесного неплатника податків - це величина , яка мінімізує функцію .

Із лінійності по і по слідує:

1. найкращою відповіддю для чесного неплатника податків є

(2.28)

2. найкращою відповіддю для нечесного неплатника податків буде:

(2.29)

Для подальшого аналізу зручно розглянути ті імовірності фінансової перевірки, які залишають чесних і не чесних платників податків байдужими відносно того, приховувати свій дохід чи ні. Із твердження слідує

. (2.30)

для всіх . (2.31)

Нехай кількість перевірок не залежить від конкретних аудиторів, а визначається на більш високому адміністративному рівні. В цій моделі діють два види податкових інспекторів – наївні і опитні. Позначимо імовірність перевірки, яка проводиться цими видами інспекторів, як і відповідно.

Припустимо,