= P (1 + (r t / 360) (1)
або
Pt = P (1 + (r t / 365) (2)
В формулі (1) фінансовий рік складатиме 360, а в формулі (2) – 365 днів. Вибір формули (1) або (2) залежить від того, з яким інструментом працює інвестор. Так, в банківській системі рік вважається рівним 360 дням. Тому розрахунки по нарахуванню відсотків по вкладах потрібно робити за допомогою формули (1). Розрахунки по операціях з державними короткостроковими облігаціями здійснюються на базі, рівній 365 дням. В даному випадку використовують формулу (2).
В залежності від способу визначення тривалості фінансової операції розраховується або точний, або приблизний (комерційний) відсоток.
Дата видачі і дата погашення позики завжди приймаються за один день. При цьому можливі два варіанти:
використовується точна кількість днів позики, яка визначається по спеціальних таблицях, де вказані порядкові номери кожного дня року; з номеру, який відповідає дню закінчення позики, рахують день першого дня;
береться приблизна кількість днів позики, коли тривалість повного місяця приймається за 30 днів; цей метод використовується, коли не потрібна велика точність, наприклад, при частковому погашенні позики.
Точний відсоток одержують, коли за часову базу беруть фактичну кількість днів в році (365 або 366) і точне число днів позики.
На практиці вибір того чи іншого способу залежить від величини суми, яка використовується при здійсненні фінансової операції.
Для порівняльного аналізу фінансові розрахунки необхідно здійснювати на підставі одного часового періоду, тобто 360 або 365 днів. Тому виникає необхідність перерахунку величини відсотку з однієї часової бази на іншу. Це можливо зробити за допомогою формул (3) і (4):
r365 = (r360 / 360) x 365, (3)
r360 = (r365 / 365) x 360, (4)
де r365 – ставка відсотку на базі 365 днів;
r360 – ставка відсотку на базі 360 днів.
Якщо період нарахування відсотків вимірюється в місяцях, то формули (1) і (2) можна переставити наступним чином:
Pt = P (1 + (r t / 12)),
де t – кількість місяців, протягом яких нараховується відсоток;
Pt – сума, яку інвестор отримає через t місяців.
Складний відсоток: нарахування відсотку один рах на рік.
У довгострокових фінансово-кредитних угодах частіше використовують нарахування складних відсотків. При нарахуванні складних відсотків їх нараховують не тільки на одну суму, а й на суму, що включає як основну суму, так і нараховані раніше відсотки. У цьому випадку кажуть, що відбувається капіталізація відсотків в міру їх нарахування.
Відповідно до ідеології нарахування складних відсотків за перший період нарахування відсотків базою для нарахування є основна сума:
P1 = P (1 + r)
Відмінність результатів для складного і простого відсотків за перший період нарахування відсотків виникає, починаючи з другого періоду нарахування, оскільки в кінці другого року його капітал зросте до:
P2 = P (1 + r) + P (1 + r) r = P (1 + r ) (1 + r) = P (1 + r)2
В кінці третього року він складе:
P3 = P (1 + r)2 + P(1 + r)2 r = P(1 + r)2 (1 + r) = P(1 + r)3
Аналогічно можна показати, що через n років сума на рахунку зросте до величини:
Pn = P(1 + r)n
Формула складних відсотків є однією з багатьох формул у фінансових розрахунках, тому для зручності користування значення множника, який носить назву мультиплікованого множника і який забезпечує нарощення вартості, табульовані для різних значень r і n.
Нарахування відсотків декілька раз на рік. Складний відсоток може нараховуватися частіше, ніж один раз на рік, наприклад, раз в півроку, квартал, місяць тощо. Нарахування складних відсотків декілька разів на рік називається компаундингом. Як правило, у фінансових контрактах фіксується річна відсоткова ставка і при цьому відсотки можуть нараховуватися по півріччях, кварталах, місяцях тощо. Відсотки, що нараховуються з певною періодичністю, називаються дискретними. В цьому випадку річна ставка називається номінальною, а відсоткова ставка за один інтервал нарахування вважається рівною відношенню номінальної ставки до кількості інтервалів в році. Нарощена сума буде розраховуватись за наступною формулою:
Pn = P (1 + (r / m))nm,
де m – періодичність нарахування відсотку протягом року.
Отже, можна зробити висновок, що прифіксованій номінальній ставці є необхідним зазначення частоти нарахувань, оскільки зі зростанням кількості нарахувань відсотків протягом року абсолютний річний дохід зростає.
Безперервні нарахування відсотку. Складний відсоток може нараховуватися дуже часто. Якщо тривалість інтервалу нарахування наближається до нуля, а періодичність нарахування відсотків – до нескінченності, ми одержимо безперервне нарахування відсотків, яке нерідко використовується в світовій практиці. Іншими словами, безперервне нарахування відсотків називається нескінченним компаудингом. Не дивлячись на те, що непросто уявити частоту нарахування відсотків, яка дорівнює нескінченності, математично можливо визначити ту суму коштів, яку одержить інвестор, якщо розмістить гроші на умовах відсотку, що нараховується безперервно. Формула для нескінченно нарахованого відсотку має наступний вигляд:
Pn = Pernn,
де rn – відсоток, що нараховується безперервно;
n – період часу нарахування відсотку;
е – 2,71828…
Еквівалентний і ефективний відсоток. В практиці фінансового ринку відсоток, що нараховується по активу, задають як простий відсоток з розрахунку на рік. Однак, якщо в рамках року по активу передбачено нарахування складного відсотку, то загальний результат, який одержить інвестор, буде вище декларованого. Щоб його визначити, необхідно розрахувати ефективний або реальний відсоток.
Ефективний (реальний) відсоток – це відсоток, який одержується за результатами року при нарахуванні складного відсотку.
Ефективний відсоток можна визначити з наступного співвідношення:
1 + rеф = (1 + (r / m))m,
де rеф