r – простий відсоток з розрахунку на рік, який заданий за умовами фінансового інструменту.

Rеф = (1 + (r / m))m – 1

Еквівалентніст безперервно нарахованого відсотку і відсотку, нарахованого m разів на рік. У фінансових розрахунках може виникнути необхідність знайти еквівалентність між безперервно нарахованим відсотком і відсотком, m разів на рік. Наприклад, у формулах визначення курсової вартості опціону використовується відсоток, що нараховується безперервно. В той же час на фінансовому ринку інвестори, головним чином, оперують ставками, що передбачають нарахування відсотку m разів на рік, півроку, квартал і місяць.

Еквівалентність між двома видами відсотків можна знайти, прирівнявши суми, отримані з врахуванням безперервно нарахованого відсотку і нарахування відмотку m разів на рік, а саме:

Pernn = P (1 + (r /m))mn,

де rn – безперервно нарахований відсоток

або

ern = (1 + (r / m))m

Звідси

ln ern = ln (1 + (r / m))m

або

rn = mln(1 + (r / m))

Комбінація простого і складного відсотків. Досить часто фінансові контракти укладаються на період, що відрізняються від цілої кількості років. В даному випадку відсотки можуть нараховуватися або за схемою складних відсотків, або за схемою, яка передбачає нарахування відсотків, що включає і складний, і простий відсоток (за змішаною схемою). Наприклад, кошти вкладника знаходяться на рахунку в банку n років і t днів. Відсотки капіталізуються (тобто приєднуються до основної суми коштів, на яку нараховується відсоток) в кінці кожного року. Протягом року нараховується простий відсоток. Для такого випадку суму, яку одержить інвестор, можна розрахувати за наступною формулою:

Pn+t = P (1 + r)n(1 + (r t / 360),

де Pn+t – сума, яку одержить інвестор, за nроків і t днів;

Р – початково інвестована сума;

t – число днів, за які нараховується простий відсоток;

r – відсоток, що нараховується протягом року.

На практиці в даному випадку часто користуються формулою складних відсотків з відповідними нецілими показниками ступеня. Але потрібно взяти до уваги, що з точки зору сутності нарахування відсотків цей спосіб є приблизним і погрішність при розрахунках буде тим більшою, чим більше значення величин, що входять до формули. Потрібно врахуватиЮ що приблизний метод дає менший, ніж є в дійсності, результат.

Таким чином, в ситуації, коли номінали грошових сум досить високі, від цього методу краще взагалі відмовитися.

В залежності від того, коли вкладник розміщує кошти на рахунку, простий відсоток може нараховуватись також на початку періоду інвестування коштів або і на початку, і в кінці. Суми, які одержить вкладник, можна розрахувати за допомогою таких формул (капіталізація відсотків здійснюється щорічно):

Pn+t = (1 + (r t / 360))(1 + r)n,

Pn+t1+t2 = (1 + (r t1 / 360))(1 + r)n(1 + (r t2 / 360),

Дисконтна вартість. У фінансових розрахунках виникає необхідність порівнювати між собою різні суми грошей в різні моменти часу.

Щоб порівняти суми грошей в часі, їх необхідно привести до одного часового знаменника. В практиці фінансових розрахунків прийнято приводити суми коштів, які одержить інвестор, до сьогоднішнього дня (початкової точки відліку), тобто визначити величину суми Р, яка в майбутньому повинна скласти задану величину Рn. В цьому випадку Р буде називатись поточною (теперішньою, приведеною) величиною суми Рn.

Теперішня вартість – грошова вартість майбутніх доходів на теперішній час. Розрахунки теперішньої вартості здійснюють за допомогою дисконтування.

Дисконтування – це зведення економічних показників різних років до порівняного в часі вигляду. Дисконтування здійснюється за допомогою коефіцієнта дисконтування (дисконтуючого множника), в основі якого лежить формула складних відсотків і значення якого також табульовані.

Цю задачу вирішують за допомлгою формули, яка називається формулою дисконтованої або приведеної вартості.

P = Pn / (1 +r)n,

де Pn – це майбутня ватрість;

Р – дисконтована або приведена вартість;

1 / (1 + r)n – це коефіцієнт дисконтування. Економічний зміст даного коефіцієнта полягає в тому, що його величина відповідає поточній вартості однієї грошової одиниці, яка буде одержана в кінці періоду n при складному відсотку r. Його величина залежить від тривалості часового періоду і необхідної ставки дисконту.

Формула використовується і при оцінці облігацій з нульовим купоном. Оскільки грошові надходження по цій облігації за роками, за вийнятком останнього дорівнюють 0.

При нарахуванні складного відсотку m разів на рік формула набуває вигляду:

P = Pn / (1 + r /m)mn,

а для відсотку, що нараховується безперервно:

P = Pn / em.

На підставі цих формул одержуємо відповідні формули дисконтованої вартості для простого відсотку:

P = Pn / 1 + nr.

P = Pn / 1 + (r t / 360).

P = Pn / 1 + (r t / 365).

Визначення періоду нарахування відсотків. На практиці виникають питання визначення періоду часу, який необхідний для збільшення суми Р до значення Рn при нарахування відсотку r.

Для простого відсотку з формули одержимо:

n = ((Pn / P) – 1) / r.

Визначення майбутньої вартості потоку платежів. Нехай інвестор протягом певного періоду часу в кінці кожного року одержує платежі, які не є однаковими. Якщо він буде інвестувати суму кожного платежу на час до закінчення даного періоду, то після його завершення одержить деяку суму грошей, яку називають майбутньою вартістю потоку платежів.

Майбутню вартість потоку платежів мажна визначити за формулою:

n

F = Ct (1 + r)n-t

t = 1

де F – майбутня вартість потоку платежів;

Ct – сума платежу за рік t;

r – відсоток, під який інвестується сума Ct;

n – кількість років, протягом яких проводяться виплати.

Як видно з формули, нарахування відсотків на