Майбутня вартість звичайного ануїтету при нарахування складного відсотку один раз на рік.

Виникають ситуації, коли отримують (або виплачують) не одну суму, а декілька. Причому виплату (отримання) цих сум проводять за такими правилами: однакова сума через рівні проміжки часу за однієї й тієї самої діючої відсоткової ставки.

Такий механізм припливу (відпливу) грошей одержав назву ануїтету або ренти. Теорія ануїтетів є важливою частиною фінансової математики. Вона застосовується при розгляді питань доходності цінних паперів, в інвестиційному аналізі. Прикладами ануїтету є однакові суми коштів, які перераховують один раз на місяць на депозитний рахунок; однакові суми коштів, які отримують за договором фінансової ренти; однакові щомісячні виплати за кредитом; виплати по облігаціях; премія по страхуванню; регулярні внески до Пенсійного фонду.

Розрізняють два основних типи рент: безумовні й умовні ренти. Безумовні – ренти з фіксованим строком, тобто дати першої і ос-танньої виплати визначені до початку ренти. Умовні - ренти, в яких дата першої та останньої виплат залежить від деякої події. Наприклад, пенсія чи премія по страхуванню життя. Рента нази-вається звичайною або постнумерандо, якщо виплати здійснюють-ся в кінці кожного періоду, і приведеною (авансованою, вексель-ною або пренумерандо), якщо виплати відбуваються на початку кожного періоду. В зв'язку з тим, що період ренти може співпадати або не співпадати з періодом нарахування відсотків, ренти кла-сифікують на прості і загальні.

Найбільший інтерес з практичної точки зору представляють ануїтети, в яких всі платежі рівні між собою (постійні ануїтети) або змінюються у відповідності до деякої закономірності.

Як і для простої величини, для ануїтету можна визначити його майбутню та теперішню вартість.

Майбутню вартість ануїтету визначають як суму всіх платежів і складних відсотків, що їх нараховують на кожний платіж за період часу, який пройшов від моменту кожного платежу до моменту ос-таннього платежу. Майбутня вартість ануїтету визначається на мо-мент останнього платежу.

Визначити майбутню вартість звичайного ануїтету можливо за допомогою формули. Однак її можна привести до більш зручного вигляду, так як величина кожного платежу є однаковою. Помножимо обидві частини рівняння на (1 + r) і віднімемо одержаний результат з рівняння. Одержимо:

n n

F – (1 + r)F = C[ (1 +r)n-t - (1 + r)n-t+1] = – C[(1 + r)n – 1]

t=1 t=1

або

Fr = C[(1 + r)n – 1]

або

F = C / r [(1 + r)n – 1]

Перетворимо формулу, щоб одержати С:

C = Fr / (1 + r)n – 1.

Цю формулу можна використати, щоб визначити розмір щорічних відрахувань для формування фонду грошових коштів необхілного розміру, наприклад, пенсійного фонду або фонду по викупу підприємством своїх облігацій.

Майбутня вартість звичайного ануїтету при здійсненні виплат m разів на рік. Якщо умови ануїтету передбачають здійснення платежів m разів на рік, то формула набуває вигляду:

mn

F = C / m (1 + r / m)nm-1,

t=1

де С – величина виплати за рік.

Помножимо обидві частини рівняння на (1 + r / m) і вирахуємо результат. Після перетворення одержимо:

F = C / r[(1 + r / m)mn – 1]

Майбутня вартість ануїтету при нарахуванні відсотку m разів на рік. Випадок, що розглядається, відрізняється від попереднього тим, що складний відсоток нараховується протягом року m разів, а платежі по ануїтету здійснюються тільки в кінці кожного року. Це означає, що відсотки по першому платежу нараховуються з почат-ку другого року і здійснюються m разів на рік; по другому плате-жу — з початку третього року і також здійснюються m разів на рік тощо.

В даному випадку майбутня вартість ануїтету дорівнює:

n

F = Ct(1 + r / m)m(n-t)

t=1

Помножимо обидві частини рівняння на (1 + r / m)m і вира-хуємо результат. Після перетворення одержимо:

F = C((1 + r / m)mn – 1/ (1 + t / m)m – 1)

Приведена вартість ануїтету при нарахуванні відсотку один раз на рік.

Оберненим до поняття майбутньої вартості ануїтету є поняття теперішньої вартості ануїтету. Це — теперішня, поточна або сьо-годнішня вартість майбутніх рівномірних платежів, які здійснюють через рівні проміжки часу.

Теперішня вартість ануїтету розраховується шляхом дисконту-вання на задану ставку і задану кількість періодів, тобто на величину 1 / (1 + r)n:

P = C / r[(1 + r)n – 1](1 / (1 + r)n

або

P = C / r [1 – (1 / (1 + r)n)],

де Р - приведена вартість ануїтету.

Формулу приведеної вартості ануїтету можна також використа-ти у випадку, коли позичальник бере кредит на умовах його пога-шення в майбутньому щорічними рівними платежами. Для цього знайдемо з формули величину С:

C = R r / 1- (1 / (1 + r)n)

Де P – сума кредиту;

r – відсоток по кредиту;

С – платіж по кредиту;

М – тремін кредиту.

Приведена вартість ануїтету при здійсненні виплат m разів на рік. Для випадку, що розглядається, приведену вартість ануїтету зна-ходять дисконтуванням майбутньої вартості ануїтету на (1 + r /m)mn

Тоді

P = C / r[1-(1 / (1 + r / m)mn)]

Приведена вартість ануїтету при нарахуванні відсотку m разів на рік. Майбутня вартість такого ануїтету розраховується за фор-мулою. Приведена вартість визначається дисконтуванням правої частини формули на (1 + r / m)mn.

Тоді

P = C[1 – (1 / (1 + r / m)mn)/(1 + r / m)m – 1]

Довічна рента. Довічна рента — рента, виплати якої не обме-жені