Вирівнювання за прямою використовують в тих випадках, коли абсолютні прирости більш-менш постійні, тобто коли рівні динамічного ряду змінюються в арифметичній прогресії або близькі до неї.

Рівняння прямої має вигляд:

yt = a + bt,

де yt – вирівняні значення динамічного ряду;

a i b – параметри прямої (початковий рівень і щорічний приріст);

t – умовне позначення часу.

Для знаходження параметрів a i b потрібно розв’язати за способом найменших квадратів систему нормальних рівнянь:

?y = na + b ? t

?yt = a?t + b?t2 ,

де y - фактичні рівні динамічного ряду;

n - число членів ряду динаміки.

Дану систему нормальних рівнянь можна легко спростити, якщо відлік часу брати з середини ряду таким чином, щоб сума часу дорівнювала нулю (?t=0). При непарному числі рівнів серединна точка приймається за 0, тоді попередні періоди позначаються відповідно через -1, -2, -3, і т.д., а наступні за серединним періодом – відповідно через +1, +2, +3 і т.д. При парному числі рівнів динамічного ряду два серединних моменти часу позначаються через –1 і +1, всі решта – через два інтервали, тобто попередні періоди до середини через –3, -5, -7 і т.д., а наступні – відповідно через +3, +5, +7 і т.д. При відліку часу від середини ряду, коли ? t = 0, система рівнянь для знаходження параметрів a i b матиме вигляд:

? y = na

? yt = b ? t2

Звідки: a = Уy b = Уyt

N Уt2

Використовуючи розрахункові підсумки, отримуємо:

a = У y = 4287 = 857,4

n 5

b = У yt = 1624,5 = 162,45

Уt2 10

Звідки рівняння прямої буде мати такий вигляд:

Yпр.= 857,4 + 162,45t

При вирівнюванні за параболою другого порядку параметри визначаються способом найменших квадратів, для чого складають і розв’язують систему нормальних рівнянь:

Уy = na + bУt + cУt2

Уyt = aУt + bУt2 + cУt3

Уyt2 = aУt2 + bУt3 + cУt4

Якщо домогтись, щоб Уt = 0, тоді і Уt3 = 0, отже, система рівнянь скоротиться:

Уy = na + cУt2

Уyt = bУt2

Уyt2 = aУt2 + cУt4

Із цієї системи параметри визначають шляхом розв’язання системи двох рівнянь з двома невідомими

b = 1624,5 : 10 = 162,45

5a + 10c = 4287

10a + 34c = 9264,7

14c = 690,7

c = 49,335 a = 758,73

yпер., = 758,73 + 462,45t + 49,335t2

Висновок.

Оскільки, теоретичні значення, розраховані за рівнянням параболи, по модулю менші мають відхилення від фактичних значень, то прогнозування слід проводити, використовуючи рівняння параболи. Приймаємо для 2001 р. t = 3, тоді маємо:

yпар = 758,73 + 162,45 · 3 + 49,335 = 1690,095

для 2002 р. t = 4, тоді маємо:

yпер. = 646 + 9,5 · 4 – 22,4 · 42 = 293,6 грн.

для 2003 року:

yпар. = 758,73 + 162,45 · 4 + 49,335 · 16 = 2197,89

Отже, бачимо, що собівартість 1 м проходки матиме тенденцію до збільшення (див. рис. 3.2).

Вирівнювання за прямою використовують в тих випадках, коли абсолютні прирости більш-менш постійні, тобто коли рівні динамічного ряду змінюються в арифметичній прогресії або близькі до неї.

Рівняння прямої має вигляд:

yt = a + bt,

де yt – вирівняні значення динамічного ряду;

a i b – параметри прямої (початковий рівень і щорічний приріст);

t – умовне позначення часу.

Для знаходження параметрів a i b потрібно розв’язати за способом найменших квадратів систему нормальних рівнянь:

?y = na + b ? t

?yt = a?t + b?t2 ,

де y - фактичні рівні динамічного ряду;

n - число членів ряду динаміки.

Дану систему нормальних рівнянь можна легко спростити, якщо відлік часу брати з середини ряду таким чином, щоб сума часу дорівнювала нулю (?t=0). При непарному числі рівнів серединна точка приймається за 0, тоді попередні періоди позначаються відповідно через -1, -2, -3, і т.д., а наступні за серединним періодом – відповідно через +1, +2, +3 і т.д. При парному числі рівнів динамічного ряду два серединних моменти часу позначаються через –1 і +1, всі решта – через два інтервали, тобто попередні періоди до середини через –3, -5, -7 і т.д., а наступні – відповідно через +3, +5, +7 і т.д. При відліку часу від середини ряду, коли ? t = 0, система рівнянь для знаходження параметрів a i b матиме вигляд:

? y = na

? yt = b ? t2

Звідки: a = Уy b = Уyt

N Уt2

Використовуючи розрахункові підсумки, отримуємо:

a = У y = 4287 = 857,4

n 5

b = У yt = 1624,5 = 162,45

Уt2 10

Звідки рівняння прямої буде мати такий вигляд:

Yпр.= 857,4 + 162,45t

При вирівнюванні за параболою другого порядку параметри визначаються способом найменших квадратів, для чого складають і розв’язують систему нормальних рівнянь:

Уy = na + bУt + cУt2

Уyt = aУt + bУt2 + cУt3

Уyt2 = aУt2 + bУt3 + cУt4

Якщо домогтись, щоб Уt = 0, тоді і Уt3 = 0, отже, система рівнянь скоротиться:

Уy = na + cУt2

Уyt = bУt2

Уyt2 = aУt2 + cУt4

Із цієї системи параметри визначають шляхом