Крива реакції кожної фірми показує, як змінюється об'єм виробництва однієї фірми, що максимізував прибуток, залежно від того, як, на її думку, зростатиме об'єм випуску іншої фірми.

Кожна фірма встановлює об'єм випуску відповідно до власної кривої реакції, і тому рівноважний рівень випуску перебуває на перетині двох кривих реакції. Аналітично визначити оптимальні об'єми випуску ми можемо, розв'язавши систему рівнянь (2.1):

Вище було представлене аналітичне рішення моделі Курно. Насамкінець хотілося б зупинитися на її економічному змісті. Отже, в цій моделі дві фірми одночасно прагнуть вирішити: яку кількість продукції їм виробляти? Тут кожна фірма повинна передбачати, який випуск продукції в іншої фірми, щоб ухвалити рішення щодо власного випуску. Передбачаючи той або інший випуск іншої фірми, дана фірма залежно від цього вибирає свій власний випуск, що максимізує її прибуток. Отже, рівновага в моделі Курно досягається, коли обидві фірми правильно оцінюють можливий випуск конкурента і тому з успіхом максимізують свої власні прибутки (тобто одночасно вибирають оптимальні об'єми випуску).

Просту модель дуополії Курно можна розвинути і представити її в більш загальному вигляді для олігопольного ринку з будь-яким кінцевим числом фірм.

Модель Курно для випадку з n фірмами, де n > 2.

Нехай в галузі існують не 2, а n фірм, які конкурують за Курно; ці фірми виробляють однорідний продукт і мають функції витрат cі(xi). Тоді галузевий випуск:

Прибуток i-ї фірми:

де | зворотна функція ринкового попиту, тобто ціна одиниці продукції при кожному можливому об'ємі продажів.

Умова максимізації прибутку:

або

гранична виручка i-ї фірми | граничні витрати i-ї фірми

Перепишемо це рівняння інакше:

Тепер цей вираз з попереднього рівняння домножимо на | і отримаємо:

це – частка i-ї фірми на ринку в загальному об'ємі ринкових продажів

Нехай

де 0 < sі < 1

Перепишемо рівняння (2.1), використовуючи ці відомості: |

(2.2)

Це останнє рівняння ілюструє те факт, що модель Курно перебуває "між" випадком монополії і досконалої конкуренції. Якщо si = 1, то ми маємо ситуацію чистої монополії, тобто це випадок монопольного ціноутворення:

Якщо ж si > 0, то кожна фірма має малу частину ринку і рівновага за Курно наближається до ситуації на абсолютно конкурентному ринку.

Ввівши одну додаткову передумову, ми отримаємо вельми цікавий окремий випадок цієї моделі. Припустимо, що всі n фірм, які функціонують у галузі, абсолютно ідентичні і мають однакові і постійні граничні витрати: с. Тоді в симетричній рівновазі частка кожної фірми в загальногалузевому об'ємі випуску складе:

Тоді можна переписати рівняння 2.2 таким чином:

Якщо додатково і цінова еластичність попиту – Е – є постійною величиною, тоді розмір перевищення ціною граничних витрат теж є постійною величиною. У цьому простому випадку також ясно, що при n =1 маємо ситуацію монополії, а при n > ? ситуацію досконалої конкуренції.

2.1.2. Фірми, що встановлюють ціни: дуополія Бертрана

У моделі Курно конкуруючі фірми ухвалюють рішення про рівні виробництва, але не про ціни. Один з головних докорів до моделі Курно полягає в тому, що насправді фірми швидше вибирають стратегії зміни цін, а не виробництва. Через п'ятдесят після першої публікації роботи Курно Жозеф Бертран виступив з критикою її концепції саме з цих позицій. З тих пір конкуренція за цінами на олігопольних ринках називається конкуренцією Бертрана. Оскільки аргументи Бертрана в багатьох випадках виявляються справедливими, розглянемо цю модель.

У моделі Бертрана на ринку діють дві фірми, що виробляють однорідний продукт. Обидві фірми одночасно встановлюють ціни на свій продукт. Якщо ціни фірм розрізняються, то природно припустити, що споживач купуватиме продукт у фірми, що має нижчі ціни. Якщо дві фірми встановлять одну найнижчу ціну, то половина покупців братиме товар однієї фірми, а друга половина – іншої. Передбачається, що потужності фірм достатні, щоб задовольнити потреби покупців навіть при найбільш низькій ціні і що не існує нераціональних споживачів. Граничні витрати фірм постійні і рівні один одному. Кожна фірма вибирає ціни так, щоб максимізувати свій прибуток. На мові теорії ігор власники фірм є гравцями, встановлювані ціни – стратегією, а прибутку – виграшами.

Перераховані вище передумови моделі Бертрана можна формалізувати таким чином.

Нехай функція ринкового попиту:

q = D(p).

Нехай кожна фірма несе однакові витрати на одиницю продукції:

МС1 = МС2 = АС1 = АС2 = с = const.

Нехай Di – попит на продукцію фірми i і він описується як [21, 251]:

де pi – ціна, що встановлюється фірмою i (i = 1, 2), pj – ціна, що призначається фірмою j (j = 1, 2).

Фірми вибирають свої ціни одночасно і неузгоджено. Одночасність означає, що кожна фірма ще не знає про ціну іншої фірми, коли вибирає свою власну ціну.

Рівновага Бертрана – це пара цін (р1*, р2*), така, що ціна кожної фірми максимізує прибуток фірми при даній ціні іншої фірми. Формально – для всіх
i =1,2 і рі.

рі(рі*, рj*) > рі(рі*, рj*).

Згідно парадоксу Бертрана в однозначно певній рівновазі дві фірми призначають конкурентну ціну:

р1* = р2* = с.

Доказ цього твердження здійснюється методом від супротивного. Розглянемо 3 випадки.

Припустимо спочатку, що

р1* > р2* > с.

Встановивши ціну таким чином фірма 1 не має попиту і => р1 = 0. З іншого боку, якщо фірма 1 призначає ціну p1 = р2* – Е (де E > 0 і дуже мале), то вона повністю покриває ринковий попит D(р2* – Е) – і має прибуток

р1 = р2* – Е – с > 0.

на кожну одиницю випуску. Отже, фірма не може