2.2.1. Кількісний лідер: модель Штакельберга.

Ця модель була розроблена Генріхом фон Штакельбергом, німецьким економістом у 1934 році. Вона часто використовується для того, щоб описати ринки, на яких діє домінуюча фірма, що є природним лідером у галузі. Передумови в цій моделі наступні. Нехай в галузі існують тільки дві фірми (тобто вхід у галузь для інших фірм блокований). Припустимо, що фірма 1 – лідер – і вона вирішує виробляти об'єм випуску y1. Фірма 2 – послідовник – і вона вибирає об'єм випуску y2 залежно від того, який об'єм випуску вибере фірма 1. Нехай фірми виробляють однорідний продукт, тобто їх товари є досконалими субститутами. Припустимо, крім того, що фірми знають криву ринкового попиту, а також знають, що рівноважна ціна на ринку залежить від загального виробленого об'єму випуску. Зворотна функція попиту [21, 255]:

р(Y) = р(у1 + у2).

Припустимо також, що обидві фірми прагнуть до максимізації прибутку. Шукатимемо внутрішній оптимум для кожної фірми. Допустимо, що стратегії поведінки розробляють тільки фірми; споживачі не грають з ними. На відміну від моделі Курно, де гра грається одночасно, гра в моделі Штакельберга є послідовною грою і складається з двох стадій: спочатку 1-а фірма робить свій хід, а потім – після неї – свій хід робить друга фірма. Нехай функція витрат лідера: c1(y1); а функція витрат послідовника: c2(y2).

Який об'єм випуску слід вибирати лідеру, щоб максимізувати свій прибуток? Відповідь залежить від того, якою, на думку лідера, буде реакція послідовника на зроблений ним вибір. Лідер, мабуть, повинен чекати, що послідовник максимізує свій прибуток, приймаючи вибір, зроблений лідером, як якусь задану величину. Значить, лідеру перш, ніж ухвалити рішення про власний об'єм випуску, необхідно вирішити проблему максимізації прибутку послідовником. Таким чином, рішення задач при послідовних іграх здійснюється методом зворотної індукції.

Функція прибутку послідовника може бути представлена таким чином:

р2(у1, у2) = р(у1 + у2) · у2 – с2(у2),

де р(у1 + у2) · у2 – загальна виручки послідовника. Як видно з формули, прибуток фірми 2 залежить від кількості продукції, що випускається лідером. Але з погляду послідовника випуск фірми-лідера зумовлений, отже, послідовник розглядає y1 як константу. Тому, максимізувавши прибуток, він встановлює тільки свій власний рівень виробництва – і проблема виглядає так:

Умовою першого порядку є рівність нулю першої похідної функції прибутку: |

(2.3)

Якщо ми з останнього рівняння в явному вигляді виразимо y2 через y1, то от-ри-маємо функцію реагування послідовника на об'єм випуску, зроблений лідером:

y2 = f2(y1).

Ця функція показує, яким чином рівень виробництва, що максимізує прибуток послідовника, залежить від випуску, вибраного лідером.

Рухаючись назад, до першої стадії гри, ми бачимо, що фірма 1 тепер хоче вибрати свій рівень випуску, заглядаючи вперед і усвідомлюючи, як фірма 2 відповідатиме. Таким чином, фірма 1 вирішує проблему максимізації свого прибутку таким чином:

Це приводить до умови 1-го порядку у формі:

або |

(2.4)

Рівняння (2.3) і (2.4) достатні, щоб визначити рівні випуску обох фірм. Вирішуючи це рівняння (2.4), ми знаходимо об'єм випуску фірми-лідера, що максимізує її прибуток. Підставляючи отриманий результат у1* у функцію реакції фірми-послідовника у2* = f (y1*), ми отримуємо об'єм випуску у2*, що максимізує прибуток послідовника.

2.2.2. Лідерство в цінах

Найбільш поширена практика олігопольної поведінки – лідерство в цінах. Його суть зводиться до наступного.

Одна фірма на ринку, найбільша, діє як ціновий лідер, який установлює ціну, щоб максимізувати свої власні прибутки, тоді як інші фірми слідують за лідером. Фірми, що змагаються, призначають ту ж ціну, яка встановлена лідером, і працюють при рівні випуску, який максимізує їх прибутки при цій ціні. Фактично вся решта фірм у галузі приймає ціну, встановлену лідером, як дану. Отже, фірма – ціновий лідер виступає як часткова монополія (price-maker), а інші фірми як price-taker (тому вони й називаються "конкурентним оточенням".

У моделі дуополії цінове лідерство виникає, коли фірма встановлює ціну, яку інша фірма приймає як задану. Модель цінового лідерства вирішується точно так, як і модель Штакельберга: спочатку ми визначаємо поведінку послідовника, а потім – поведінка лідера, тобто вирішуємо проблему методом зворотної індукції.

Введемо передумови аналізу. Нехай всі фірми в галузі виробляють однорідну продукцію. Припустимо, крім того, що в галузі працюють тільки 2 фірми, тобто все конкурентне оточення розглядаємо як одну фірму. Це не вплине на результати, оскільки пропозицію цієї гіпотетичної фірми-послідовника можна розглядати як рішення про пропозицію (загальну) n – 1 фірм у галузі, яка виходить шляхом горизонтального підсумовування кривих граничних витрат цих фірм. Припустимо, що D(р) – функція ринкового попиту і вона відома обом фірмам. Нехай фірма 1 – лідер (її функція витрат: c1(y1)), а фірма 2 – послідовник (c2(y2) – її витрати). Обидві фірми прагнуть до максимізації прибутку. Отже, лідер може встановити ціну. Але щоб це зробити, він повинен передбачити, як буде себе поводити його послідовник. Виходячи з передумов про те, що фірми виробляють однакову продукцію, неважко припустити, що послідовник вибере ту ж ціну, що й лідер, тому що якщо хтось із них понизить ціну, то почнеться конкуренція за Бертраном.

Нехай лідер встановив ціну p1. Тоді послідовник прийме її як дане і вибере свій випуск, що максимізує прибуток, точно так, як це робить абсолютно конкурентна фірма:

p1 = c'2(у2), де p1 = const.

З цієї умови легко отримати функцію пропозиції для фірми-послідовника: S2(p1). Оскільки послідовник діє як досконалий конкурент, то у нього є