В залежності від кількості факторів, ВФ визначається як однофакторна, двофакторна, багатофакторна.

Функціональна залежність може бути подана у табличній, графічній та аналітичній формах. Так, крива TPL на рис. 1.1.а є прикладом однофакторної виробничої функції Q = f (L) у графічній формі.

Для неперервної і диференційованої двофакгорної виробничої функції (1.3) формула (1.2), що визначає граничний продукт фактора, може бути записана з використанням часткових похідних функції двох змінних [14, 65]: |

(1.2')

Звичайно виробнича функція відповідає закону спадної віддачі факторів виробництва.

Двофакторна виробнича функція у табличній формі подається у вигляді так званої виробничої сітки, її приклад див. у таблиці 1.1. Кожна клітина таблиці відображає максимальний обсяг випуску, який забезпечується відповідними обсягами факторів.

Таблиця 1.

Виробнича сітка [9]

Робочий час (L),
людино-днів за місяць | Витрати капіталу (К), одиниць за місяць

1 | 2 | 3 | 4

1 | 1 | 2 | 3 | 4

2 | 2 | 4 | 5 | 10

3 | 3 | 5 | 10 | 15

4 | 4 | 6 | 13 | 20

5 | 5 | 10 | 15 | 22

6 | 6 | 12 | 17 | 23

7 | 7 | 13 | 19 | 24

8 | 8 | 14 | 20 | 25

Для побудови двофакторної функції у графічній формі слід вибрати в табл. 1.1 всі різні комбінації ресурсів, що забезпечують один і той же обсяг випуску, і нанести точки з відповідними координатами (L, K) на координатну площину (рис. 1.2). Так, випуску Q0 = 10 відповідають точки А0(2,4), В0(3,3), D0(5,2) на рис. 1.2. Якщо з'єднати ці точки плавною кривою, отримаємо лінію незмінного випуску – ізокванту.

Ізокванта – крива, що показує всі можливі комбінації ресурсів (L, K), які дозволяють отримати певний фіксований обсяг виробництва (Q0).

Аналогічно можна розглянути різні варіанти досягнення обсягів випуску Q1 = 5, Q2 = 15 та побудувати відповідні їм ізокванти. Сукупність ізоквант однієї виробничої функції, кожна з яких відповідає певному обсягу випуску продукції, називається картою ізоквант.

Рис. 1.. Карта ізоквант [14, 66]

Ізокванти мають певні властивості: дві ізокванти, що відповідають різним обсягам випуску, не можуть перетинатись; чим далі розташована ізокванта від початку координат, тим більший випуск Q відповідає цій лінії; ізокванти опуклі в бік початку координат.

Для побудови ВФ в аналітичній формі слід з використанням відповідних економетричних процедур обрати конкретний вид функціональної залежності (наприклад, степеневу функцію) та оцінити параметри обраної функції.

Типовим прикладом ВФ в аналітичній формі запису може бути виробнича функція Коба-Дугласа [14, 66]: |

Q = a · Lb · Kc; a, b, c > 0; b, с < 1. | (1.4)

її ізокванти мають вигляд кривих, що зображені на рис. 1.2; вони опуклі в бік початку координат і не перетинають їх, а лише необмежено наближаються до координатних осей. Це означає, що фактори виробництва можуть лише частково замінювати один одного, але повна заміна неможлива, тобто F (0,) = (L, 0) = 0.

Функція з ізоквантами, що зображені на рис. 1.3.а, має вигляд [14, 66]: |

Q = min (a · L, b · K), a, b > 0 | (1.5)

і відома під назвою виробнича функція Леонтьева (з фіксованими пропорціями використання виробничих факторів).

Іншим прикладом є лінійна ВФ з повним заміщенням факторів виробництва [14, 66]: |

Q = a · L + b · K; a, b > 0. | (1.6)

її ізокванти (у випадку а =1, b = 2) зображені на рис. 1.3.б.

Рис. 1.. Ізокванти виробничих функцій: (а) з фіксованими пропорціями факторів і (б) з факторами – повними замінниками [14, 67].

1.4. Заміщення факторів виробництва. Ефект масштабу

За допомогою ізокванти виробничої функції ілюструється можливість заміщення одного фактора виробництва іншим при збереженні незмінного випуску.

Чисельною характеристикою властивості заміщення факторів є гранична норма технологічного заміщення (MRTS) капіталу працею, що визначає обсяг капіталу, який може бути заміщений однією додатковою одиницею праці при збереженні незмінного обсягу випуску [14, 67]: |

(1.7)

На рис. 1.4 відображено зміну MRTS при русі уздовж ізокванти. Так, при заміні комбінації факторів, що відповідає точці А, на комбінацію В, MRTS(A) = ?KA / ?L = 1, далі, в точках В і С, MRTS(B) = 0.7, MRTS(C) = 0.3. Це ілюструє зменшення MRTS у міру насичення виробничого процесу працею за рахунок скорочення використання капіталу.

Геометрично MRTS у кожній точці (наприклад, А) ізокванти дорівнює нахилі ізокванти у цій точці (з протилежним знаком, тому що норма заміщення визначається як додатна величина, а нахил є від'ємним). Нахил звичайно спадає із збільшенням використання "горизонтального" ресурсу за рахунок зменшення "вертикального".

У випадку функції (1.6), коли фактори є абсолютними замінниками, ізокванти мають вигляд паралельних прямих ліній із незмінним нахилом -а/b (рис. 1.3.б), a MRTS = a/b. У випадку функції (1.5), коли фактори є абсолютними доповнювачами, тобто використовуються лише у певних комплектах, ізокванти мають вигляд прямих кутів, вершини яких відповідають комплектним наборам факторів (рис. 1.3.а). Функція Коба-Дугласа (1.4) з частковою замінюваністю факторів займає проміжне місце між двома попередніми випадками щодо можливостей заміщення ресурсів і форми ізоквант.

Рис. 1.. Спадна гранична норма технологічного заміщення (MRTS) капіталу працею [14, 68]

Якщо обсяги використання факторів змінюються в одному, а не в протилежних напрямках, можна казати про зміну масштабу виробництва, яка може спостерігатись у довгостроковому періоді,