ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ

ІМ. А.М. ПІДГОРНОГО

Уваров Роман Олександрович

УДК 517.518 + 517.95

ІНТЕРЛОКАЦІЙНІ ФОРМУЛИ RFM

ТА ЇХ РЕАЛІЗАЦІЯ В СИСТЕМАХ POLYE

01.05.02 – Математичне моделювання

та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2002

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України

Науковий керівник – доктор технічних наук, професор

Шейко Тетяна Іванівна,

Інститут проблем машинобудування

ім. А.М. Підгорного НАН України,

провідний науковий співробітник відділу

прикладної математики та обчислювальних методів

Офіційні опоненти – доктор фізико-математичних наук, професор

Руткас Анатолій Георгійович,

Харківський національний університет

ім. В.Н. Каразіна,

завідувач кафедри математичного моделювання та

забезпечення електронно-обчислювальних машин

кандидат фізико-математичних наук

Тоніца Олег Володимирович,

Національний технічний університет "ХПІ ",

старший викладач кафедри прикладної математики

Провідна установа – Інститут прикладної математики і механіки

НАН України, м. Донецьк,

відділ теорії керуючих систем

Захист відбудеться “27” березня 2003 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою:

61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою:

61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий “22” лютого 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради, к.т.н. Б.П. Зайцев

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В наш час для прискорення науково-технічного прогресу широко застосовуються методи математичного моделювання та обчислювальні методи, що є концептуальною базою для розв'язання широкого кола прикладних задач.

Актуальним є розв'язання проблеми конструювання функцій з заданими властивостями на заданих локусах, які можуть мати довільну форму. Добре відомі інтерполяційні формули Лагранжа і Ерміта, що дозволяють відновлювати значення функцій в 1D за заданими їх значеннями в точках (формула Лагранжа) та значеннями в цих точках як функцій, так і їх похідних (формула Ерміта).

Відомі численні узагальнення інтерполяційних формул в теорії сплайнів (Зав’ялов Ю.С., Квасов Б.І., Стренг Г., Фікс Дж.) і атомарних функцій (Рвачов В.О.), у вигляді багатоточкових формул Тейлора (Литвин О.М., Рвачов В.Л.), інтерлінаційних формул, де в ролі вузлів інтерполяції виступають прямі лінії (Литвин О.М.). Особливої уваги заслуговують роботи французької школи математиків 20-30-их років минулого століття (Giraud G., Gevrey M.), присвячені розкладенню функцій в околі локусів загального вигляду. Метод Rфункцій (RFM) дозволяє подавати геометричну інформацію у вигляді нормалізованих рівнянь, що створює унікальні умови для спільної переробки аналітичної і геометричної інформації та автоматизації на цій основі обчислювальних робіт. Подальшим узагальненням формул Лагранжа і Ерміта є розроблений В.Л. Рвачовим, А.П. Слесаренком оператор ЕС, який частіше називався формулою “склеювання” і широко застосовувався при розв’язанні крайових задач (Рвачов В.Л., Слесаренко А.П., Шейко Т.І., Манько Г.П., Курпа Л.В., Литвин О.М., Синєкоп М.С. та ін.). Завдяки теорії R-функцій з’явилась можливість будувати узагальнення формул Лагранжа і Ерміта, використовуючи як вузли локуси загального вигляду (Рвачов В.Л., Шейко Т.І., Шапіро В.). В подальшому ці формули академік Рвачов В.Л. назвав інтерлокаційними.

При побудові операторів інтерлокації використовуються функції заданої гладкості і нормалізованості, нулями котрих є локуси. Замість точок тепер використовуються довільні локуси, а в ролі значень функцій в точках виступають задані на цих локусах функції (інтерлокаційна формула Лагранжа) та їх похідні за заданими напрямками (інтерлокаційна формула Ерміта), а замість інтервалів, на яких будувалися інтерполяційні формули, в інтерлокаційних формулах будуть розглядатися області.

Вміння конструювати функції з заданими властивостями на заданих локусах дозволяє розв’язувати задачі з неповною інформацією про об'єкт. Задачі, в яких відомі значення функції в деяких регіонах та необхідно відновити функцію в усій області, в роботі розглядаються на прикладах прогнозування екологічних процесів.

Застосування інтерлокаційних формул виявилося ефективним і при розв'язанні задач геометричного проектування, в тому числі і на основі ідей блендінгу. Метод R-функцій застосовувався для розрахунку фізико-механічних полів на площині, а в просторі – лише для тіл обертання та циліндричних тіл скінченної довжини з напрямною складної геометрії. Цим питанням присвячені роботи Слесаренка А.П., Рвачова В.Л., Сізової Н.Д. Практичний досвід побудови рівнянь тривимірних локусів, а особливо тіл, які мають дуже складну геометрію, наприклад лопаток турбін, поки що малий, тому актуальною є розробка відповідних методів.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відділі прикладної математики та обчислювальних методів Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного Національної академії наук України з 1998 по 2002 рік у рамках науково-дослідних робіт за темами:

-

-

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка та обгрунтування інтерлокаційних формул та їх застосувань при створенні методів побудови нормалізованих рівнянь тривимірних об'єктів, блендінгу та блендінгу на каркасі, розрахунків фізикомеханічних полів, побудові математичної та комп’ютерної моделей для прогнозування екологічного стану.

Задачами роботи, зумовленими метою, є:

1)

2)

-

-

3)

-

-

4)

-

-

-

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є інтерлокаційні формули RFM та їх застосування при моделюванні фізикомеханічних полів, екологічних процесів та при побудові нормалізованих рівнянь тривимірних тіл в задачах геометричного проектування.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є інтерлокаційні формули RFM при побудові математичних моделей у вигляді структур розв'язання задач розрахунку фізикомеханічних полів, математичних моделей атмосферного забруднення, методів побудови нормалізованих рівнянь тривимірних тіл на основі ідей блендінгу та блендінгу на каркасі.

Методи дослідження. В роботі використано метод R-функцій і інтерлокаційні формули; методи геометричного проектування (формули блендінгу та блендінгу на каркасі); чисельні методи.

Наукова новизна отриманих результатів полягає у такому:

–

–

–

–

–

–

–

–

Вірогідність результатів, отриманих в роботі. За реальними даними було проведено моделювання екологічного стану як на основі інтерлокаційних формул, так і на основі рівняння переносу, запропоноване академіком Марчуком Г. І. Результати отриманих картин ліній рівня функції забруднення збігаються. Перерізи лопатки турбіни і поверхня тривимірної лопатки турбіни, які визначені нормалізованими рівняннями, співпадають з робочою лопаткою останнього ступеня циліндра низького тиску парової турбіни на 300 МВт, за реальними параметрами якої вони були побудовані. При розв’язанні тестових задач Плато та Софі Жермен забезпечувалось добре узгодження з відповідними результатами в літературі.

Практичне значення отриманих результатів. На підставі розроблених і обгрунтованих інтерлокаційних формул, які забезпечили розв'язання поставлених задач, створено спеціалізовану програмну систему, що може бути застосована при моделюванні задач з неповною інформацією про об’єкт (екологічний стан регіону) службами, які зацікавлені в прогнозуванні, наприклад, забруднення атмосфери. Отримане нормалізоване рівняння лопатки турбіни дозволяє не тільки подавати в більш зручному вигляді цю інформацію станкам з програмним керуванням для виготовлення форм для лиття, але і для проведення розрахунків характеристик та оптимізації решіток профілів лопатки.

Особистий внесок автора. Усі результати дисертаційної роботи отримані особисто автором. У працях, опублікованих у співавторстві, дисертанту належать такі результати: у роботі [1] дослідження проблеми побудови профілів лопаток турбін, розробка та програмна реалізація методу побудови нормалізованого рівняння лопатки турбіни; у роботі [3] дослідження проблеми побудови профілів лопаток турбін, розробка та програмна реалізація методу побудови нормалізованих рівнянь перерізів лопатки турбіни, програмна реалізація нових підходів до побудови тривимірних локусів; у роботі [5] розробка та програмна реалізація методу побудови нормалізованих рівнянь перерізів лопатки турбіни та самої лопатки турбіни, у роботі [6] дослідження задач геометричного проектування, пов’язаних з блендінгом та блендінгом на каркасі на основі існуючих методів, розробка нової формули блендінгу за допомогою R-функцій, а також модифікація інтерлокаційної формули для ідеї блендінгу на каркасі, програмна реалізація розробленого підходу, у роботі [8] – розробка та обгрунтування інтерлокаційних формул, доведення теореми про повноту, моделювання натягу мильної плівки та вигину пластини.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати роботи доповідались та обговорювались на:

-

-

-

-

-

Публікації. Основні наукові положення дисертації опубліковані в 10 роботах, серед яких вісім статті в наукових журналах, одна доповідь на конференції, одна тези доповіді на конференції.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається із вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Повний обсяг дисертації становить 167 сторінок, серед них 131 сторінка основного тексту, 59 рисунків, 6 таблиць та 100 найменувань використаних джерел (на 10 стор.)

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, формулюється мета та завдання досліджень, вказуються об’єкт, предмет та методи досліджень, відзначається наукова новизна та практичне значення отриманих результатів, а також особистий внесок автора в роботах, виконаних у співавторстві, апробація результатів дисертації та кількість публікацій, виконаних за темою дисертаційної роботи.

У першому розділі наведено огляд літератури за темою дисертаційної роботи та обрано напрям досліджень. За працями, що присвячені узагальненню інтерполяційних формул Лагранжа і Ерміта, яким займались відомі вчені Рвачов В.Л., Шейко Т.І., Рвачов В.О., Литвин О.М., Зав’ялов Ю.С., Квасов Б.І., Стренг Г., Фікс Дж., Giraud G., Gevrey M., було зроблено висновок про необхідність розробки інтерлокаційних формул, що є, в окремому випадку, структурами розв’язання крайових задач для фізико-механічних полів різної природи. Оскільки існуючі узагальнення не дозволяють в деяких випадках в повній мірі урахувати геометричну та відповідну їй аналітичну інформацію з урахуванням заданих властивостей, то за допомогою методу R-функцій цей недолік можна виправити, базуючись на розроблених в роботі інтерлокаційних формулах Лагранжа та Ерміта.

Розглядаються публікації, присвячені математичному моделюванню екологічних процесів, зокрема атмосферному забрудненню. Способам математичного моделювання екологічного стану та переносу забруднення в атмосфері присвячені роботи відомих вчених: Марчука Г.І., Кондрать’єва К.Я., Берлянда М.Є., Самарської Є.О. Оскільки існуючі методи грунтуються на рівнянні переносу, було неможливе урахування геометричної інформації, такої, як ділянки і ціла границя регіону, форма джерел забруднення. Тому обгрунтовується застосування кардинально іншого підходу на основі інтерлокаційної формули Лагранжа.

Розглядаються публікації, присвячені задачам геометричного проектування, зокрема методам блендінгу і блендінгу на каркасі. Методам блендінгу функцій, що задані неявно, присвячені роботи відомих вчених: Ricci A., Hoffman C., Hopcroft J., Holmstrцm L., Middleditch A., Sears K., Rockwood A., Bloomenthal J., Рвачова В.Л., Шейко Т.І., Pasko A., Savchenko V., Adzhiev V.D. Відома R-операція давала заокруглення при куті розтину, відмінному від , за еліпсом, тому виникла необхідність розробки нової R-операції блендінгу. Також літературні джерела вказали на актуальність розвитку методів блендінгу на каркасі, тому для цієї цілі слід було модифікувати інтерлокаційну формулу. Роботи Рвачова В.Л., Слесаренка А.П., Сізової Н.Д., Шевченка О.М., ШубенкаШубіна Л.А., Познахірєва В.Ф., Тареліна А.О., Антіпцева Ю.П., Воробйова Ю.С. та ін., які присвячені побудові аналітичного рівняння профілю лопатки, давали профіль, який при розрахунках в деяких випадках міг зумовити невиправдані фізичні явища через розривні значення функції кривизни, що є наслідком недостатньо точних конструктивних спряжень. Тому актуальним залишалось питання побудови гладкого профілю.

У другому розділі наведено необхідні для теоретичних розробок основні положення теорії та методу R-функцій (RFM). Розглянуто основні R-операції для конструювання рівнянь границь складних локусів, окремо обгрунтовано умову нормалізованості рівнянь та подано формулу для отримання нормалізованого рівняння виділеної ділянки границі. Це дало можливість при побудові операторів інтерлокації використовувати функції заданої гладкості та нормалізованості, нулями яких є локуси.

Розглянуто вирішення проблеми отримання єдиного розв’язку оберненої задачі аналітичної геометрії, що є нормальною функцією локусу. На основі умови того, що значення нормальної функції дорівнює найкоротшій відстані від будь-якої точки до геометричного об’єкта, було наведено нормальні рівняння прямої, кола, точки, еліпса, відрізка прямої та дуги кола. Окремо розглянуто асоціативну операцію R-рівнозначності та її використання при побудові границь локусів із дуг окружностей та відрізків прямих, визначених нормальними рівняннями. При цьому в області, визначеній локусом, можна застосовувати аналітичні дії, а з використанням операції R-рівнозначності – і поза нею.

У третьому розділі наведено теореми про узагальнення інтерполяційних формул Лагранжа та Ерміта, де в ролі вузлів інтерполяції виступають локуси загального вигляду. Обгрунтовано повноту інтерлокаційних в’язок, отриманих за допомогою зображених інтерлокаційних формул. Проведено застосування інтерлокаційних формул для локусів-точок. Як приклади застосування за допомогою інтерлокаційних формул проведено моделювання фізико-механічних полів.

Узагальненням інтерполяційної формули Лагранжа є така теорема:

Теорема. Нехай в області визначені безперервно диференційовані функції , з котрими інтерлокаційна функція повинна збігатися на локусах , що належать (). Тоді інтерлокаційна формула може бути зображена у вигляді

, (1)

де – функція, нульовий рівень котрої визначає локус,

– функція, нульовий рівень котрої визначає границю локусу,

.

Тут використовується асоціативна операція Rрівнозначності

, якщо , або

для довільних ,

де – додатнє ціле число.

Другий доданок у правій частині формули (1) грає роль залишкового члена, тому задача інтерлокації, як і задача інтерполяції, має незліченну безліч розв’язків. Коефіцієнти полінома, що апроксимує невизначену компоненту , можна знайти, мінімізуючи деякий функціонал. Наведено приклад розв’язання задачі Плато, де мінімізується функціонал

, (2)

на множині функцій, що приймають задані значення на локусах .

Узагальненням інтерполяційної формули Ерміта є така теорема:

Теорема. Нехай в області , крім безперервно диференційованих функцій , з котрими збігаються значення інтерлокаційної функції , задані і безперервно диференційовані функції , з котрими повинні збігатися на локусах похідні інтерлокаційної функції за заданими напрямками . Тоді інтерлокаційна формула може бути зображена у вигляді

, (3)

де

, “0” – на тих , де не задані , а “1” – де задані;

, .

Процедурою згладжування в наведеному в роботі прикладі прийнято закон вигину тонкої пластини, що чинить опір вигину, котрий моделюється класичною задачею Софі Жермен, яку можна звести до мінімізації функціонала

(4)

на множині функцій, що задовольняють на локусах умовам теореми.

У випадку, якщо напрямками є нормалі до границь локусів інтерлокаційна формула Ерміта (3) набуває такого вигляду:

. (5)

Задачі Плато та Софі Жермен, що зводились до мінімізації функціоналів відповідно (2) і (4), з використанням інтерлокаційних формул відповідно (1) та (3), (5) було чисельно реалізовано в системі сім’ї “POLYE”.

Проблема повноти структур розв'язання крайових задач розглядалася в роботах Канторовича Л.В., Крилова В.І., Харрік І.Ю., Рвачова В.Л., Шейко Т.І., Колодяжного В.М., Міхаль Є.О. Це ж питання вирішувалось в дисертаційній роботі і для побудованих інтерлокаційних в’язок. Припустимо, що границя замкнутої області задовольняє “умову конуса”: для кожної точки границі існує розташований в цій області конус з ненульовим кутом розтину і вершиною в цій точці. В цьому випадку побудовані за допомогою методу R-функцій (RFM) нормалізовані рівняння границі області задовольняють умовам:

усередині на .

Для інтерлокаційних в’язок теорема про повноту формулюється таким чином.

Теорема. Нехай – обмежена замкнута область і – множина раз ( – достатньо велике число) безперервно диференційованих функцій, визначених в відкритій області , котрі разом з їх частинними похідними до порядку приймають відомі значення на заданих локусах . Тоді для будь-якої функції та як завгодно малого існує такий поліном , котрий забезпечує виконання такої нерівності

,

де , – початкове наближення, ( – замкнута область), а .

Розглянуто також поняття структури розв'язання крайових задач, котрі дозволяють переборювати ускладнення побудови функцій з заданими властивостями на заданих локусах, що пов’язана зі спільною переробкою геометричної та аналітичної інформації. Оскільки в постановці крайових задач можуть бути задані на границі не тільки значення функцій або їх частинних похідних, а деякі вирази, що їх містять, то безпосередньо скористатися інтерлокаційними формулами не можна, і існує проблема їх узагальнення. Таке узагальнення в RFM здійснюється при побудові структур розв'язання (GSS). В роботі показано, що інтерлокаційна формула Ерміта може бути використана при побудові GSS крайових задач змішаного типу, коли на одній частині границі задані граничні умови одного типу, а на другому іншого.

У четвертому розділі як приклад застосування інтерлокаційної формули Лагранжа розглянуто декілька підходів до побудови математичної моделі екологічного стану в регіоні зі складною формою границі, котрою була вибрана границя України. На основі математичної моделі було розроблено спеціальний пакет програм, який здійснював комп’ютерне моделювання екологічного стану. Реальні дані забруднення визначених регіонів для побудови інтерлокаційної функції взяті з літератури Національна доповідь про стан навколишнього середовища в Україні 1996. – К.: Видавництво Раєвського, 1998. – 96 с..

Розглядалися забруднення різними речовинами (двоокис азоту, двоокис сірки, окис вуглецю, пил) та було побудовано в формі замкнутої ламаної нормальне рівняння границі України, котре записується у вигляді

, (6)

де нормальне рівняння відрізка:

, (7)

де , ,

, .

Функціональне зображення границі України єдиним аналітичним виразом (6) дозволяє в подальшому включати і його (або функції, що описують ділянки границі (7)) в алгоритм розв’язання, якщо буде відомо інформацію на границі. Джерела забруднення побудовані таким же чином, як і будувалася границя.

Для урахування характеру загасання функції забруднення регіону інтерлокаційну формулу Лагранжа (1) було модифіковано

, (8)

де – функція, що визначає закон згасання функції забруднення від джерела, границя котрого визначена функцією .

Далі на рис. 1 зображено картини ліній рівня функції забруднення, побудованої за допомогою як звичайної (1), так і модифікованої формули Лагранжа (8).

Застосування модифікованої формули Лагранжа (8), на відміну від звичайної (1), дозволило враховувати вплив забруднення, яке поширюється від джерела, на інші джерела забруднення, що більш реально описувало процес, ніж звичайна інтерполяція.

Для оцінки вірогідності результату в роботі також було побудовано математичну модель екологічного стану на основі рівняння переносу (що відбито в роботах академіка Г.І. Марчука), котра дозволяє враховувати вплив вітру на розподіл забруднення.

Рівняння переносу забруднення:

Функція хмари забруднення:

де функція Макдональда.

Порівняння картин ліній рівня функції забруднення, побудованих двома різними способами, підтверджує вірогідність результатів.

У п’ятому розділі дається застосування інтерлокаційних формул, що знайшло свій відбиток в задачах геометричного проектування. Питання про побудову плавних сполучень, заокруглення кутів та ребер з заданими радіусами плоских і просторових локусів стояли давно, а в RFM ставилася задача побудови нормалізованих рівнянь з гладким сполученням градієнтів. В роботі проведено порівняння методів блендінгу функцій, заданих неявно, як класичних (Ricci A., Rockwood A.), так і з використанням теорії Rфункцій (Рвачов В.Л., Шейко Т.І., Pasko A., Savchenko V.). В попередніх роботах використовувалася операція ,

котра давала заокруглення за окружністю, тільки якщо кут розтину прямий, тому було запропоновано таку R-операцію:

,

де – функція границі окружності, що перетинає прямі в точках, котрі буде з’єднувати бленд,

– функція границі окружності, що є блендом.

, ,

, ,

, .

Оскільки деякі методи блендінгу грунтуються на алгебраїчній відстані і на побудові функції зсуву, то подальшим розвитком в геометричному проектуванні є методи блендінгу на каркасі, при побудові якого ефективно використовувалися інтерлокаційні формули.

Використовуючи нормальні рівняння відрізків і дуг окружностей для заданого каркаса по модифікованій інтерлокаційній формулі з функціональними ваговими коефіцієнтами

,

в роботі було побудовано різні блендінгові криві.

Саме цю ідею блендінгу на каркасі було застосовано до побудови достатньо гладкого профілю (утворюючої або перетину) пера лопатки турбіни.

Раніше розрахунки для лопаток турбін проводилися в деяких перетинах, тобто в двовимірному випадку, де профіль лопатки, складений з дуг окружностей, еліпсів, парабол, ділянок прямих, будувався за допомогою R-функцій. Але такий підхід в деяких випадках міг дати невиправдані фізичні явища через розривні значення функції кривизни уздовж контуру, а іноді і кромок, унаслідок недостатньо точних конструктивних спряжень.

Тому було розглянуто каркас у вигляді дуги окружності або відрізка прямої, рівняння котрого нормалізовано в узагальненому сенсі

. (9)

Тоді, за допомогою рівняння

,

де – параметр, що регулює товщину лопатки,

було одержано натягнутий на каркас (9) у вигляді дуги або відрізка симетричний профіль лопатки з гострими крайками.

За допомогою рівняння

, (10)

де і – параметри, які визначають ступінь заокруглення кромок,

було одержано натягнутий на каркас (9) у вигляді дуги або відрізка несиметричний профіль лопатки з затупленими кромками, що зображений на рис. 2.

Необхідно зауважити, що візуально ці профілі нагадують профіль і руль Жуковського, хоча способи їх побудови значно відрізняються.

Також розглянуто деякі підходи до побудови рівнянь поверхні локусів у просторі на основі інтерлокаційних формул.

Якщо в загальному випадку відомо, що в площині границя нижньої основи описується рівнянням , а верхньої , то, застосовуючи інтерлокаційну формулу Лагранжа (1), отримаємо

. (11)

Формула (11) дозволяє з'єднувати різнопланові, з точки зору числа параметрів, області, зокрема окружність і прямокутник, що і було доведено в роботі на прикладі.

Коли здійснюється інтерлокація більше двох локусів і немає ніякої додаткової інформації про порядок гладкості бічної поверхні, можна також скористатися інтерлокацією вигляду

,

де – фінітний лінійний сплайн.

На прикладі було показано поверхню, побудовану за законом гвинтового закручування циліндричної поверхні з основою . Шукане рівняння запишеться як

,

де функція являє собою трапецієвидний закон закручування.

Усі описані підходи використовувалися при побудові робочої лопатки останнього ступеня циліндра низького тиску парової турбіни на 300 МВт. За основу вихідного профілю було взято профіль, побудований за методом блендінгу на каркасі, де параметри для формули (10) розраховано у відповідності до даних для реальної лопатки. Застосовувався трапецієвидний закон закручування, параметри змінювалися за z. Розроблений метод було реалізовано в системі “РАНОК” для візуалізації поверхні тривимірної лопатки, загальний вигляд котрої з затупленими кромками (а,б) та каналами, що відводять тепло (в), наочно відображено на рис. 3.

Застосування R-функцій в задачах геометричного проектування дало можливість побудувати блендінг-рівняння, що мають задані диференціальні властивості, наприклад властивість нормалізованості. Це дозволяє згодом використовувати ці рівняння не тільки для завдання інформації станкам з програмним керуванням при створенні складних поверхонь або форм для лиття, але і для розв'язання крайових задач.

ОСНОВНІ ВИСНОВКИ ПО РОБОТІ

У дисертації наведене нове вирішення наукової задачі моделювання фізико-механічних полів з неповною інформацію про об’єкт, що полягає в розробці та обгрунтуванні інтерлокаційних (узагальнених інтерполяційних) формул Лагранжа та Ерміта, та задачі геометричного проектування, що полягає в розробці на основі інтерлокаційних формул та ідеї блендінгу нових підходів до побудови нормалізованих рівнянь тривимірних локусів. Отримані в роботі результати можуть бути використані природоохоронними службами, що зацікавлені в прогнозуванні стану навколишнього середовища, та в різних галузях машинобудівної промисловості.

Основні наукові і практичні результати:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Опубліковані праці за темою дисертації:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

АНОТАЦІЯ

Уваров Р.О. Інтерлокаційні формули RFM та їх реалізація в системах POLYE. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи. Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 2002.

Розроблені та у вигляді теорем обгрунтовані інтерлокаційні формули Лагранжа та Ерміта. Доведена теорема про повноту побудованих інтерлокаційних в’язок. Проведено застосування інтерлокаційних формул для локусів-точок. Одним з прикладів застосування інтерлокаційних формул було моделювання фізико-механічних полів. Розв’язано задачу Плато, задачу Софі Жермен з локальними комбінованими навантаженнями пластини, що показало збіг результатів з аналогічними задачами в літературі.

Крім того, побудовано математичну модель атмосферного забруднення різними речовинами (двоокис сірки, двоокис азоту, окис вуглецю, пил) в регіоні (Україна) зі складною формою границі, котру зображено у вигляді єдиного аналітичного виразу та побудовано з застосуванням асоціативної операції R-рівнозначності та нормальних рівнянь відрізків прямих. При моделюванні використані експериментальні дані спостережень. Модифіковано інтерлокаційну формулу Лагранжа для урахування характеру згасання функції забруднення. Для реалізації алгоритмів розроблено достатньо ефективну, з точки зору швидкодії та візуалізації, спеціалізовану програмну систему. Отримано картини розповсюдження забруднення різними речовинами. Розглянуто також математичну модель переносу забруднення, котра враховує вплив вітрів та їх напрямків, та отримано відповідні картини ліній рівня функції забруднення, що показують збіг результатів, отриманих двома різними методами.

Створено методи побудови рівнянь тривимірних локусів за інформацією з площини за допомогою теорії R-функцій та інтерлокаційних формул, розглянуто питання плавного сполучення поверхонь (блендінгу та блендінгу на каркасі) та запропоновано нову R-операцію блендінгу. Отримані результати дозволили побудувати нормалізоване рівняння пера лопатки турбіни з заданим законом закручування, в тому числі з каналами, що відводять тепло.

Ключові слова: математичне моделювання; інтерполяція; локус; аналітичне зображення; обробка даних, що мають розкид; геометричне проектування; блендінг; моделювання на каркасі; комп’ютерне моделювання.

АННОТАЦИЯ

Уваров Р.А. Интерлокационные формулы RFM и их реализация в системах POLYE. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 математическое моделирование и вычислительные методы. Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2002.

Диссертация является научным исследованием в области решения проблемы аналитического представления функций с заданными свойствами на заданных локусах, которые могут иметь произвольную форму. Несмотря на то, что существуют многочисленные обобщения интерполяционных формул, эта проблема остаётся актуальной, поэтому были разработаны и обоснованы интерлокационные формулы, которые являются обобщением интерполяционных формул Лагранжа и Эрмита для локусов произвольной формы, которые обладают заданными дифференциальными свойствами.

При решении многих задач при обработке данных, которые имеют разброс, необходимо восстанавливать функцию в регионе по заданным её значениям или по значениям её частных производных до некоторых порядков на локусах, которые имеют определенную геометрическую форму. В методе R-функций решить эту проблему позволяет использование интерлокационных формул, которые обеспечивают совместную переработку геометрической и аналитической информации, при построении структур решений краевых задач.

Разработаны и в виде теорем обоснованы интерлокационные формулы Лагранжа и Эрмита. Доказана теорема о полноте построенных интерлокационных пучков. Проведено применение интерлокационных формул для локусов-точек. В качестве примеров приложения, с помощью интерлокационных формул проведено моделирование физико-механических полей. Решены задача Плато, задача Софи Жермен с локальными комбинированными нагрузками пластины, что показало совпадение результатов с аналогичными задачами в литературе.

Кроме того, построена математическая модель атмосферного загрязнения различными веществами (двуокись серы, двуокись азота, окись углерода, пыль) в регионе (Украина) со сложной формой границы. Граница Украины представлена в виде единого аналитического выражения и построена с использованием ассоциативной операции R-равнозначности из нормальных уравнений отрезков прямых. При моделировании использованы экспериментальные данные наблюдений. Модифицирована интерлокационная формула Лагранжа для учёта характера затухания функции загрязнения. Для реализации алгоритмов разработана достаточно эффективная, с точки зрения быстродействия и визуализации, специализированная программная система. Получены картины распространения загрязнения различными веществами. Рассмотрена также математическая модель переноса загрязнения, которая учитывает влияние ветров и их направлений, и получены соответствующие картины линий уровня функции загрязнения, которые показывают сходность результатов, полученных двумя различными методами.

Созданы методы построения уравнений трехмерных локусов по информации с плоскости с помощью теории R-функций и интерлокационных формул, рассмотрены вопросы гладкого сопряжения (блендинга) поверхностей, Разработана новая R-операция блендинга, которая обеспечивает скругление по окружности при угле раствора, отличном от прямого. Модифицирована интерлокационная формула для моделирования с помощью блендинга на каркасе. Полученные результаты позволили построить нормализованное уравнение пера лопатки турбины с заданным законом закручивания, в том числе с теплоотводящими каналами.

Ключевые слова: математическое моделирование; интерполяция; локус; аналитическое представление; обработка данных, имеющих разброс; геометрическое проектирование; блендинг; моделирование на каркасе; компьютерное моделирование.

SUMMARY

Uvarov R.A. Interlocation formulas of RFM and their applications in POLYE systems. Manuscript.

The thesis for a PhysicalMathematical Sciences Candidate’s degree, speciality 01.05.02 mathematical modelling and computational methods. A.N. Podgorny Institute for problems in machinery of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2002.

Lagrange interlocation formula and Hermite interlocation formula are developed and based by theorems. The theorem on completeness of constructed interlocation sheaves is proved. An application of interlocation formulas for the points as the loci are presented. As application examples, the modelling of physical-mechanical fields using interlocation formulas are provided. Plateau problem and Sophie Germain problem with local combined plate loading are solved, and the results are similar to analogous problems in literature.

Furthermore, mathematical model of atmospheric pollution by different contaminants (sulphuric dioxide, nitric dioxide, carbon oxide, dust) in the region (Ukraine) with complex form of the boundary is built. The boundary of Ukraine is presented by sole analytical expression and built with associative operation R equivalence using normal equations of line segments. In modelling the experimental observed data was used. Lagrange interlocation formula is modified for taking into account the pattern of pollution function attenuation. For a realisation of algorithms, the special-purpose program system, which is sufficiently effective (concerning the processing speed and visualisation), is developed. The patterns of pollution extension for different contaminants are taken. Also the mathematical model of pollution transport, which takes into account the influence of winds and their directions, is considered. Corresponding level line patterns of pollution function, which show similarity of results obtained by absolutely different methods, are taken.

Methods for constructing the equations of 3D loci by 2D information with the theory of Rfunctions and interlocation formulas are created. The problems of smooth union of surfaces (blending and blending on skeleton) are considered and new Roperation for blending is proposed. The results taken allowed to construct normalised equation of the turbine blade with a given twisting law including heat-eliminating canals.

Keywords: mathematical modelling; interpolation; locus; analytical representation; scattered data; geometrical design; blending; skeleton modelling; computer modelling.