"КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ"

Горик Олексій Володимирович

УДК 539.3

МОДЕЛІ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ Деформування

КОМПОЗИТНИХ БРУСІВ ДИСКРЕТНО-НЕОДНОРІДНОЇ СТРУКТУРИ

Спеціальність 01.02.04 –

Механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Полтавському національному технічному університеті імені Юрія Кондратюка Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор

Піскунов Вадим Георгійович,

Національний транспортний університет, м. Київ

завідувач кафедри опору матеріалів і машинознавства

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Василенко Анатолій Тихонович,

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, виконуючий обов’язки завідувача відділом обчислювальних методів

доктор технічних наук, професор

Cахаров Олександр Сергійович,

Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут",

професор кафедри хімічного, полімерного та силікатного машинобудування

доктор технічних наук, професор

Шваб’юк Василь Іванович,

Луцький державний технічний університет,

проректор з наукової роботи

Провідна установа: Інститут проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України, м.Київ

Захист відбудеться 3 червня 2003 р., о 1500 годині, на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .002.01 при Національному технічному університеті України "Київський політехнічний інститут" за адресою: 03056, м.Київ-56, пр.Перемоги, 37, корп.№1, ауд.№166.

Із дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут" за адресою: 03056, м.Київ-56, пр.Перемоги, 37.

Автореферат розісланий 24 квітня 2003 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наук, доцент О.О.Боронко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСЕРТАЦІЇ

Актуальність теми. У сучасній техніці набули розповсюдження конструкції композитної структури, в яких сполучаються традиційні матеріали (метал, бетон, деревина) із штучними матеріалами різної будови і фізичної природи – композиційними матеріалами. Конструктивні системи композитної структури, в цілому – композитні конструкції, задовольняють різноманітні властивості: міцність та жорсткість, стійкість та вібропоглинання, тощо.

Сполучення в композитних системах жорстких і маложорстких матеріалів призводить до непридатності покладеної в основу розрахункових положень класичної (технічної) теорії гіпотези плоских перерізів для брусів або прямих нормалей для плит й оболонок. Відмова від цієї гіпотези з метою врахування згинної депланації поперечних перерізів брусів, викривлення нормалі у плитах і оболонках потребує уточнення теорії деформування цих систем на основі гіпотез, які враховують ці ефекти. Основна причина депланації перерізів при згині бруса – податливість поперечним деформаціям зсуву та обтиснення.

Слід зауважити, що у композитних плитах і оболонках здебільшого переважає шарувата структура, тобто неоднорідність виявляється в напряму однієї з осей координат – уздовж нормалі до поверхні. Більш складними з точки зору моделювання є композитні бруси, неоднорідність яких виявляється як у формі поперечних перерізів, так і у структурі по перерізу, тобто залежно від двох осей координат, що належать перерізу. Це положення ускладнює розроблення моделей напружено-деформованого стану (НДС) підвищеної точності для розв’язання задач механіки (згину, коливань, стійкості) брусів із довільним за формою перерізом, структура яких утворена дискретно – фазами різного матеріалу, традиційного і композитного, з суттєво відмінними фізико-механічними властивостями – брусів з дискретно-неоднорідною структурою.

У зв’язку з викладеним розробка уточнених (некласичних) моделей НДС для задач механіки деформування твердих тіл типу композитних брусів дискретно-неоднорідної структури є актуальною проблемою в механіці деформівного твердого тіла.

Одним із сучасних напрямів розвитку моделей задач механіки деформівних композитних систем є застосування ітераційного принципу моделювання, який має аналітичну основу побудови гіпотез. Сформульовані на цій основі моделі дозволяють підвищувати точність та достовірність оцінки НДС і тим самим сприяють створенню надійних методів розрахунку конструкцій. Отже, побудову на ітераційній основі моделей розрахунку конструкцій композитної структури слід визнати актуальним напрямом у сучасній механіці їх деформування. Реалізація ітераційних моделей ефективними математичними методами дозволяє створити методики розв’язання вказаних задач механіки композитних брусів суттєво неоднорідної структури, що знаходять застосування у машинобудуванні, будівництві та інших галузях техніки. Вказаній проблемі та її вирішенню присвячена дана дисертація.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати роботи одержані та реалізовані здобувачем як керівником і безпосереднім виконавцем комплексних держбюджетних наукових тем досліджень у галузі механіки деформівного твердого тіла:–

"Розробка і дослідження математичних моделей напружено-деформованого стану просторових тіл з ускладненими властивостями" (держ. регістр. №0196U000996);–

Розробка рішень задач механіки деформування структурно-неоднорідних тіл та їх реалізація методами комп’ютерної алгебри" (держ. регістр. №0198U002688);–

"Розробка теорій та методів дослідження міцнісних властивостей елементів конструкцій у вигляді брусів кусково-однорідної структури" (держ. регістр. №0100U001318).–

"Ітераційне моделювання задач міцності, стійкості та коливань призматичних композитних тіл з урахуванням депланації перерізів" (держ. регістр. №0103U001407).

Ці теми виконувалися й виконуються у Полтавському національному технічному університеті імені Юрія Кондратюка за планом фундаментальних досліджень Міністерства освіти і науки України.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є вирішення проблеми розробки та реалізації уточнених моделей напружено-деформованого стану для розв’язування задач механіки (згину, коливань, стійкості) твердих деформівних тіл типу призматичних композитних брусів дискретно-неоднорідної структури на основі ітераційного принципу побудови цих моделей, дослідження впливу згинної депланації перерізів брусів на розв’язки вказаних задач та отримання результатів прикладного значення для різних галузей техніки.

Сформульована мета потребує постановки і розв’язання таких загальних задач дослідження:– 

розробка на основі ітераційного принципу моделей НДС призматичних композит-них брусів дискретно-неоднорідної структури для розв’язування задач їх дефор-му--ван-ня при згині, коливаннях і стійкості з урахуванням згинної депланації перерізів внаслідок піддатливості поперечним деформаціям зсуву та обтиснення;– 

дослідження властивостей ітераційних моделей – формування їх гіпотез, функцій розподілення компонентів НДС по перерізу бруса, параметрів його жорсткості, крайових умов, а також установлення границь застосування моделей та їх достовірності залежно від узагальнених фізико-механічних і геометрич-них параметрів бруса та кількості кроків ітераційного процесу;– 

моделювання повних дотичних напружень для брусів із різною формою та структурою поперечного перерізу, аналіз і уточнення цих напружень, які є першопричиною згинної депланації поперечних перерізів;– 

побудова методики аналітичної реалізації ітераційних моделей для брусів із різними крайовими умовами при дії різноманітних навантажень, порівняння результатів розв’язання задач при послідовних кроках ітерації (установлен-ня збіжності ітераційного процесу);– 

дослідження особливостей НДС брусів у зонах закріплень, локальних навантажень залежно від композитної структури, зміни жорсткості за довжиною та ступеня обмежень депланації перерізів;– 

постановка та розв'язання прикладних задач механіки деформування композитних брусів для різних галузей машинобудування, будівництва й матеріалознавства.

Об’єктом дослідження є деформівні тіла типу призматичних композитних брусів дискретно-неоднорідної структури.

Предметом дослідження є задачі механіки деформування композитних брусів вказаної структури, дослідження згинної депланації перерізів цих брусів внаслідок деформацій поперечного зсуву й обтиснення та її вплив на параметри деформування в задачах згину, коливань та стійкості залежно від фізико-механічних властивостей матеріалу фаз, характеру неоднорідності та геометрії перерізу, умов закріплення бруса і виду його навантаження.

Методом дослідження є побудовані на ітераційному принципі моделі НДС композитних брусів дискретно-неоднорідної структури, аналітичне інтегрування систем визначальних диференціальних рівнянь високого порядку, до яких зводяться розглядувані задачі механіки залежно від ступеня ітераційного процесу, в поєднанні з числовими розв’язками систем алгебраїчних рівнянь та застосуванням методів комп’ютерної алгебри.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримано такі основні нові результати:– 

створена із застосуванням узагальнених функцій методика описання дискретної неоднорідності поперечного перерізу композитного бруса, яка забезпечує неперервність переміщень і жорсткий контакт матеріалу окремих фаз ортотропного матеріалу;– 

на основі аналітичного ітераційного принципу розроблено нові уточнені моделі НДС призматичних брусів композитної дискретно-неоднорідної структури для розв’язування задач механіки їх деформування з урахуванням згинної депланації перерізів, викликаної поперечними деформаціями зсуву та обтиснення;– 

змодельовані горизонтальні та відповідно повні дотичні напруження у перерізах брусів різної форми та структури з метою визначення міри впливу контуру фаз і перерізу загалом на параметри деформованого стану;– 

побудовано нову аналітичну методику, яка реалізує розроблені моделі залежно від кроку ітераційного процесу шляхом прямого інтегрування системи визначальних диференціальних рівнянь при довільних крайових умовах для різних типів навантажень;– 

розроблено новий числово-аналітичний метод, так званий "метод кінцевих параметрів", який реалізує модель сполученням інтегрування системи визначальних рівнянь методами комп’ютерної алгебри із розв’язанням системи алгебраїчних рівнянь відносно крайових значень шуканих функцій – кінцевих параметрів для різних умов по кінцях бруса;– 

виявлено нові, стабілізовані у процесі ітерацій, особливості НДС композитних брусів різної структури по перерізу та вздовж осі внаслідок урахування депланацій перерізів; – 

отримано нові експериментальні дані та розвинені теоретико-експериментальні дослідження на основі відомих експериментів, що в цілому встановлє достовірність побудованих моделей;– 

одержано нові розв’язки задач вільних та вимушених коливань композитних брусів та їх загальної стійкості, встановлено параметри критичних сил при втраті стійкості окремих фаз у композитній матриці;– 

отримано розв’язки нових прикладних задач механіки композитних брусів, зокрема, розв’язано обернену фізично-нелінійну задачу, яка на основі експериментальних даних щодо деформування шаруватої керамічної системи дозволила дати оцінку її механічних характеристик, тощо.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблені ітераційні моделі деформування композитних брусів і запропоновані мето-ди їх реалізації дають змогу отримати розв’язки актуальних прикладних задач у різних галу-зях техніки, приймати більш економічні та надійні проектно-конструкторські рішення, що створює передумови вдосконалення та впровадження нових конструкційних систем (металополімерних, залізобетонних, дерев’яних, керамічних, тощо) й ефективних нетрадиційних технологій їх виготовлення.

Одержані результати знайшли застосування у деяких науково-дослідних та проектно-виробничих організаціях, до яких належать:– 

Інститут проблем матеріалознавства ім. І.М.Францевича НАН України – використано методику розв’язання оберненої задачі визначення механічних характеристик шаруватого керамічного композита, залежності якої дозволили оптимізувати властивості нових типів конструкційних матеріалів;– 

ТОВ "СИМО" (м. Полтава) – впроваджено систему контролю якості конструктивних тришарових панелей типу "Sandwich";– 

Облавтодор (м. Полтава) – реалізовано методику розрахунку шаруватих шляхових та мостових конструкцій і визначення технічного стану транспортних споруд.

Результати дисертаційної роботи впроваджено у навчальний процес відповідними розділами авторського навчального посібника з розрахунку інженерних конструкцій та підручника з теорії залізобетону.

Особистий внесок здобувача. Постановка проблеми дисертації, форму-лю-ван-ня її теми, мети та основних задач виконано здобувачем спільно з науковим кон-сультантом – доктором технічних наук, професором В.Г.Піскуновим. Виз-на-чальна частина теоретичних та практичних результатів дисертації стосовно роз-роблення ітераційних моделей та їх реалізації належать здобувачу особисто, що знайш-ло відображення у його шістнадцяти одноосібних працях [1-3, 6-8, 10-12, 18, 25, 27, 29, 33, 35, 40].

Автор висловлює щиру подяку науковому консультантові дисертації –доктору технічних наук, професору В.Г.Піскунову.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень обго-во-рю-вались й отримали схвалення на таких конференціях, конгресах, сим-по-зі-у-мах та семінарах: Міжнародній конференції "Проблеми теорії і практики залізо-бе-тону" (Полтава, 1997); VI Міжнародній конференції імені академіка М.Крав-чу-ка (Київ, 1997); ІІ та ІІІ Міжнародних конференціях ICCST/2, ICCST/3 "Ком-по-зитні матеріали і технології" (Південна Африка, Дурбан, 1998, 2000); конфе-рен-ції "Сталебетонні конструкції. Дослідження, проектування, бу-дів-ництво, екс-плу-а-тація" (Кривій Ріг, 1998); Міжнародній конференції "Чисельні й ана-лі-тич-ні методи розрахунку конструкцій" (Росія, Самара, 1998); І Міжнародній нау-ко-во-практич-ній конференції з програмуван-ня УкрПРОГ’98 (Київ, 1998); 4_ій Міжнародній конференції по застосуванню комп’ютерної алгебри “IMACS ACA’98” (Чехія, 1998); 12-й Міжнародній конференції з композитних матеріа-лів ICCM_(Франція, Па-риж, 1999); Міжнародній конференції "Моделювання ди-на-міки і стійкості ме-ха-нічних систем" (Київ, 1999); IV та V Міжнародних сим-позіумах україн-ських інженерів-механіків у Львові (Львів, 1999, 2001); ІІ Між-народній конфе-рен-ції "Механіка руйнування матеріалів і міцність кон-струк-цій" (Львів, 1999); ІІ Білоруському конгресі з теоретичної та прикладної ме-ха-ніки – "Механіка-99" (Білорусь, Мінськ, 1999); ІІІ й ІV Всеросійських се-мі-нарах "Проблеми опти-маль-ного проектування споруд" (Новосибірськ, 2000, 2002); ХІ та ХІІ Між-на-род-них конференціях МСМ-2000, МСМ-2002 "Механіка ком-позитних мате-ріа-лів" (Латвія, Рига, 2000, 2002); Міжнародному семінарі з ком-позитних споруд – МОК-39 (Одеса, 2000); ІІ та ІІІ Міжнародних кон-фе-рен-ціях "Прогресивна техніка і технологія" (Київ-Севастополь, 2001, 2002); Між-на-род-ній конференції CERAM-2001 "Передова кераміка – третьому тисячо-літ-тю" (Київ, 2001).

У повному обсязі дисертація доповідалася на семінарі “Статична міцність” Інституту проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України під керівництвом академіка А.О.Лебедєва, на семінарі з опору матеріалів Національного транспортно-го уні-верситету під керівництвом д.т.н., проф. В.Г.Піскунова, на семіна-рі з тех-ніч-ної механіки Луцького державного технічного університету під ке-рів-ництвом д.т.н, проф. В.І.Шваб’юка, на науковому семінарі Пол-тав-ського на-ціо-нального технічного університету імені Юрія Кондратюка під ке-рівництвом д.т.н., проф. С.Ф.Пічугіна.

Публікації. Матеріали дисертації загалом викладено у 75 наукових публі-ка-ціях (50 у фа-хових виданнях). Із них у авторефераті по--дано список, що містить 40 основних робіт, серед яких 22 публікації [3-9, 18-28, 33-35, 37] у провідних фахових наукових вітчизняних та зарубіжних журналах і 14 – у фа-хо-вих науко-вих збірниках [1, 2, 10-17, 29-32] та 4 доповіді у матеріалах конференцій [36, 38-40].

Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, семи розділів, висновків. Загальний зміст викладено на 403 сторінках, у тому числі 72 рисунках, 34 таблицях, списку літературних джерел із 340 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

Вступ до дисертації визначає актуальність теми, мету і задачі дослідження та подає її загальну характеристику.

Пе-р-ший роз-діл при-свя-че-но огля-ду те-о-рії мо-де-лю-ван-ня за-дач ме-ха-ні-ки конс-тру-к-цій ком-по-зи-т-ної стру-к-ту-ри – бру-сів, плит, обо-ло-нок з ура-ху-ван-ням впли-ву де-пла-на-цій пе-ре-рі-зів, ви-кри-в-лен-ня но-р-ма-лей уна-слі-док де-фо-р-ма-цій зсу-ву та по-пе-реч-но-го обтиснення. Від-мі-че-но, що вра-ху-ван-ня по-пе-ре-чних зсу-вів для бру-сів (ба-лок) бу-ло за-про-по-но-ва-но С.П.Ти-мо-ше-н-ком у за-да-чі їх по-пе-ре-ч-них ко-ли-вань, С.Г.Ле-х-ни-ць-ким – у за-да-чі зги-ну бі-ма-те-рі-а-ль-них ба-лок, а зго-дом для за-да-чі зги-ну плит, од-но-ша-ро-вих і три-ша-ро-вих – Е.-Рей-с-с-не-ром (E.Reissner). Цим по-кла-де-но початок роз-ви-тку уто-ч-не-них, тобто не-кла-си-ч-них мо-де-лей.

Сто-со-в-но не-од-но-рі-д-них конс-тру-к-цій по-пе-ре-дньо була роз-винена те-о-рія три-ша-ро-вих си-с-тем – ро-бо-ти О.-П-П-ру-са-ко-ва, Е.-І-Г-ри-го-лю-ка, П.П.Чу-л-ко-ва, а та-кож А.-Я-А-ле-к-са-н-д-ро-ва, Л.Е-Б-рю-к-ке-ра, В.І-Ко-ро-льо-ва, Л.М.Ку-р-ши-на і ба-гатьох уче-них, у працях яких цей на-пря-м на-був су-час-но-го роз-ви-т-ку. Йо-го уза-галь-нен-ням ста-ла дис-кре-т-но--ст-ру-к-ту-р-на те-о-рія ша-ру-ва-тих ком-по-зи-т-них сис-тем, ос-но-ву котрої за-кла-ли В.В.Бо-ло-тін та Ю.-М-Но-ві-ч-ков, Е.І.Григолюк та П.П.Чулков, а далі роз-ви-ну-ли В.В.Ва-си-ль-єв, Г.А-Ва-нін, Ю.В.Немировський, В.М.Паймушин, Б.Ю-По-бе-д-ря, а та-кож Р.Крі-с-те-н-сен (R.Kristensen), Я.-Ре-д-ді (J.Reddy) та інші вчені. Особливістю цієї теорії є залежність порядку визначальних рівнянь від кількості шарів.

По-ча-ток не-пе-ре-рвно--ст-ру-к-ту-р-ної те-о-рії ані-зо-т-ро-п-них ша-ру-ва-тих конструкцій, у якій порядок визначальних рівнянь не залежить від кількості шарів, по-кла-де-но С.О-А-м-ба-р-цу-мя-ном. Зго-дом вклад у роз-ви-ток цього напряму вне-с-ли Я.М.Григоренко і А.Т.Василенко, О.-П-П-ру-са-ков і А.-В-П-ле-ха-нов,
О.-Ф-Ря-бов, О.О.Расска-зов і А.-С-Де-х-тяр, В.Г.Пі-с-ку-нов, В.Є.Верижен-ко, В.С.Сі-пе-тов і В.К.Прися-ж-нюк, Б.Л.Пе-лех і В.І-Ш-ва-б’юк, Л.Лі-б-ре-с-ку (L.Librescu).

То-ч-ні роз-в’я-з-ки за-дач на-пру-же-но--де-фо-р-мо-ва-но-го ста-ну ша-ру-ва-тих ком-по-зи-т-них си-с-тем, їх стій-ко-с-ті, термодеформування роз-ви-ну-ли О.-М-Гузь, Я.М.Григоре-н-ко, Ю.М.Шевче-н-ко, Ю.-М-Не-міш, М.О-Шу-ль-га, Л.П.Хо-ро-шун, І.Ю-Ба-біч, А.-Т-Ва-си-ле-н-ко, Н.Д.Па-н-к-ра-то-ва, В.Г.Са-в-че-н-ко, І.А.Цурпал, І.С.Чернишенко. Відмітимо також роботи з цієї проблеми, що виконали А.Нур (A.Noor), Н.Пейгано (N.Pagano), М.Савойя (M.Savoia).

Уза-галь-нен-ню то-ч-них та на-бли-же-них мо-де-лей ша-ру-ва-тих си-с-тем, число-вих методів при-свя-че-но ро-бо-ти В.А.Баже-но-ва, Є.О.Гоцуляка, В.І.Гуляєва, О.С.Саха-ро-ва, О.-В-Го-н-д-ля-ха, П.П.Лі-зу-но-ва, О.І.-О-г-ло-б-лі, В.К.Чибі-ря-ко-ва.

Дослідження О.-К-Ма-л-мей-с-те-ра, В.П.Тамужа, Ю.-М-Та-р-но-поль-сь-ко-го, А.В.Ро-зе, А.-Е-Бо-г-да-но-вича, Г.А-Те-те-р-са, Р.Б.Рі-ка-р-д-са зробили внесок у те-о-рію жо-р-с-т-ких ша-ру-ва-тих ком-по-зи-тів, їх ди-на-мі-ки та стій-ко-с-ті.

Роз-в’я-зок ко-н-тактних за-дач, у то-му чи-с-лі для ша-ру-ва-тих си-с-тем в уто-ч-не-ній по-ста-но-в-ці, роз-ви-ну-ли В.С.Гу-д-ра-мо-вич, Б.Я.Ка-н-тор, С.Н.Кан, Е.-М-К-ва-ша, І.А.Колесник, Г.І-Ль-вов, О.М.-Шу-пі-ков та ін-ші вчені.

Роз-в’я-зу-ван-ня про-блем мі-ц-но-с-ті, руй-ну-ван-ня, динаміки матеріалів та конст-рукцій різної структури, а також їх випробовувань та технології роз-ви-ну-ли Г.С.Пи-са-ре-н-ко, В.Т.Трощенко, А.-О-Ле-бе-дєв, М.В.Но-ви-ков, В.В.Панасюк, В.В.Матвєєв, М.С.Можаровський, М.І-Бо-бир, А.Є.Бабенко, М.В.Василен-ко, О.П.Ващенко, П.П.Ворошко, В.Г.Дубенець, Б.І.-Ко-ва-ль-чук, Г.О.Кривов, Б.А.Ляшенко, В.О.С-т-ри-жа-ло, В.О.Тітов та інші відомі дослідники.

Ідея теорії іте-ра-цій-но-го мо-де-лю-ван-ня в механіці деформівних тіл ви-сло-в-ле-на С.О.А-м-ба-р-цу-мя-ном, яким для ані-зо-т-ро-п-них пла-с-тин і обо-ло-нок бу-ла ство-ре-на те-о-рія пер-шої іте-ра-ці-ї. Зго-дом більш то-ч-ні мо-де-лі – для теорії другої ітерації бу-ли роз-ро-б-ле-ні О.-О-Ра-с-с-ка-зо-вим і В.Г.Пі-с-ку-но-вим. На-да-лі ни-ми сфор-му-льо-ва-но уза-галь-не-ний ітераційний прин-цип по-бу-до-ви уточнених мо-де-лей фі-зи-ко-ме-ха-ні-ч-них по-лів у конс-тру-к-ти-в-них си-с-те-мах, на ос-но-ві яко-го по-бу-до-ва-но деякі мо-де-лі ви-щих іте-ра-цій ша-ру-ва-тих ані-зо-т-ро-п-них пла-с-тин і обо-ло-нок.

За-га-лом від-мі-че-но, що зна-ч-но-го роз-ви-т-ку до-ся-г-ли уточне-ні, певною мірою іте-ра-цій-ні, мо-де-лі ша-ру-ва-тих пла-с-тин і обо-ло-нок, які підвищують точність та достовірність оцінки НДС. Уточнені моделі для задач механіки деформування бру-сів ком-по-зи-т-ної стру-к-ту-ри роз-ви-нуто зна-ч-но ме-н-шою мі-рою, а іте-ра-цій-ні мо-де-лі для цих де-фо-р-мі-в-них тіл по-вні-с-тю від-су-т-ні. Цим висновком першого розділу дисертації об-ґру-н-то-ва-но ак-ту-а-ль-ність її те-ми, постановку ме-ти і побудови моделей на ітераційній основі.

У дру-го-му роз-ді-лі для реалізації мети дисертації побудовано із засто-су-ван-ням ітераційного принципу її теоретичну основу – уточнені моделі дефо-р-му-вання ком-по-зи-т-них бру-сів дис-кретно-неоднорідної структури з ура-ху-ван-ням згинної де-пла-на-ції пе-ре-рі-зів уна-слі-док податливості по-пе-ре-чним де-фо-р-ма-ціям зсу-ву та обти-с-нен-ня. Брус роз-гля-даєть-ся як не-кру-го-ве ци-лі-н-д-ри-ч-не ті-ло ста-ло-го за до-в-жи-ною пе-ре-рі-зу – при-зма-ти-ч-ний брус (рис.1), у якого центри жорсткості та згину збігаються в точці . Стру-к-ту-ру бру-са скла-да-ють n рі-з-них фаз (), влас-ти-во-с-ті яких по-да-но ха-ра-к-те-ри-с-ти-ка-ми ор-то-т-ро-п-ного ма-те-рі-а-лу: , , , , , , . Брус збе-рі-гає рі-в-но-ва-гу під ді-єю зо-в-ні-ш-ніх но-р-ма-ль-них , і тан-ген-ці-а-ль-них , на-ва-н-та-жень, зве-дених до го-ло-вних пло-щи-н жо-р-с-т-ко-с-ті , (або роз-кла-дених по них).

По-бу-до-ву мо-де-лей напружено-деформованого стану ви-ко-на-но на ос-но-ві зазначеного іте-ра-цій-но-го принци-пу, згідно якого за-ко-ни роз-по-ді-лен-ня по-пе-реч-них де-фо-р-ма-цій на де-яко-му пе-в-но-му кро-ці () іте-ра-ції приймаються-з-а гіпо-тезу для наступного кроку .

Для по-ча-т-ку іте-ра-цій-но-го про-це-су побудови моделей прий-н-я-то гі-по-те-зи кла-си-ч-ної те-о-рії зги-ну бру-са – гі-по-те-зи пло-с-ких не-де-фо-р-мо-ва-них пе-ре-рі-зів і від-по-ві-д-ні до них співвідношення НДС – пе-ре-мі-щен-ня, де-фор-ма-ції та по-здо-в-ж-ні но-р-ма-ль-ні на-пру-жен-ня, окре-мо для ко-ж-ної з го-ло-вних пло-щин.

Да-лі роз-гля-ну-то по-пе-ре-чний згин і ви-зна-че-но по-пе-ре-чні нормальні та дотичні на-пру-жен-ня. Во-ни знаходяться з си-с-те-ми рі-в-нянь рі-в-но-ва-ги три-ви-мі-р-но-го ті-ла, від-не-се-ної до еле-ме-н-та-р-но-го об’єму матеріалу фа-зи k. Не-за-ле-ж-ним но-р-ма-ль-ним по-здо-в-ж-нім на-пру-жен-ням -і-, щ-о в-и-никають у г-ол-ов-них площи-нах жорстк-ос-т-і, по-ста-вле--ні у відповід-ність п-опереч-ні-д-отичн-і-напруж-е-ння -та . Отже, загал-ьн-у -систему рів-нян-ь -рівноваги, за -в-ід-сутно-с-ті зсуві-в-і від-по-відни-х н-ап-ружень-у площ-ин-і перерізу (, ),-розкла-де-но на -д-ві підсисте-ми рів-нянь плоскої за-д-ач-і, які моделюють поперечний згин в головних площинах жорсткості.-

При зг-ині в пло-щ-ин-і -XC інт-егруван-н-ям-згад-аної підсистеми-рівня-нь за змінними та одержано як результат класичної теорії (умовної нульової ітерації) поперечні дотичні напруження в брусі, як просторовому тілі –

.

Далі здійснено підстановку у напружень , виражених через танген-ціальні u(x) і нормальні w(x) переміщення довільно вибраної поверхні та виконання умови для верхньої границі поверхні бруса z=zв (рис.1). Це дає можливість знайти наступний остаточний вираз для поперечних дотичних напружень:

.

Тут мають місце такі інтегральні функції розподілення складових цих напружень по перерізу вздовж осі залежно від форми і структури бруса:

а також константи – жорсткість поперечного перерізу бруса та – “матеріалізований” статичний момент, за умови рів-ності якого нулю визначається положення центра жорсткості . У формулах , – матеріальна ширина поперечного перерізу на рівні координа-ти z; А(z) – площа, відсіченої лінією з координатою , нижньої частини поперечного перерізу; – обу-мов-ле-на на рівні нижньої границі поверхні бруса ширина смуги, з якої зводиться навантаження .

Відмічено, що зведення загальної задачі до розв’язання плоских задач у головних площинах жорсткості надає цим площинам узагальнені (інтегральні) властивості бруса. Тому дотичні напруження в кожній із цих площин, зокрема , визначені згідно з , мають усереднене для всіх фаз матеріалу по ширині перерізу b(z) значення, чим забезпечено умови “жорсткого” міжфазового контакту. Вплив властивостей різних фаз ураховується при цьому “інтегрально” внаслідок того, що під знаком інтегралів у міститься інформація щодо всіх фаз у межах відсіченої частини перерізу A(z).

Аналогічною за послідовністю процедурою інтегрування диференціальних рівнянь рівноваги при врахуванні виразу отримано поперечні нормальні напруження (тут і далі по повторних індексах виконується сумування) –

.

Розподілення складових цих напружень уздовж координатної осі узагальнено відповідними функціями, які мають вигляд

де – інтегральні константи (узагальнені жорсткості).

Отримані співвідношення, зокрема вираз , покладено в основу побудови ітераційної моделі першого кроку, а відповідні його резуль-тати далі вико-риста-но як вихідні гіпотези наступного кроку – другого і т.д. Використавши алго-ритм побудови моделі для перших трьох ітерацій, індуктивним методом отри-мано деформації зсуву в окремих фазах – гіпотезу для довільної ітерації

.

Сюди входить складова, що враховує тангенціальні навантаження –

, .

У прийняті співвідношення ; , які на кожному і-ому кроці т_крокового ітераційного процесу в незворотній відповідності вводять шукані функції – так звані "функції зсуву". Похідні від них характеризують розподілення узагальнених деформацій зсуву уздовж осі бруса, а їх розподіл по перерізу залежно від структури бруса визначають функції:

Дотичні напруження, що відповідають вихідній гіпотезі та є результатом попереднього до ітерації кроку , знайдено згідно із законом Гука з урахуванням у такому вигляді:

.

Функції розподілення дотичних напружень за висотою перерізу, які входять у і , визначаються наступними інтегральними виразами:

З урахуванням гіпотези для поперечних зсувів інтегруванням відповідного співвідношення Коші відносно вибраної при постановці задачі площини з координатою отримано вираз поздовжніх переміщень , а далі – деформацій та напружень у довільній фазі для моделі ітерації –

.

Тут уведено функції розподілення складових поздовжніх деформацій (перемі-щень), що забезпечують їх неперервність по перерізу – функції депланації –

Функції і визначаються за формулами із заміною в них індексів на та на .

Отже, попередньо отримані співвідношення НДС моделі наближення m, які враховують деформації поперечного зсуву, включаючи безпосередній вплив тангенціального навантаження. Всі наведені співвідношення відносяться до елементарного об’єму матеріалу фази k призматичного композитного бруса дискретно-неоднорідної структури, навантаженого в головній площині XCZ.

Наступний етап – урахування депланації перерізів внаслідок деформацій поперечного обтиснення та поперечних нормальних напружень. Ці напруження отримано відповідно до в двох варіантах, залежно від застосування таких виразів дотичних напружень: виразу , що відповідає гіпотезі для деформацій зсуву моделі наближення m; виразу , що є результатом побудови моделі наближення m.

Реалізація першого варіанта поєднана з гіпотезою про залежність поперечних нормальних напружень тільки від першої (значущої) функції зсуву . У другому варіанті для перетворень виразу нормальних напружень на кожному кроці використано результати попередньої ітерації послідовним виключен-ням похідних від шуканих функцій зсуву. Остаточний вираз, прийнятий для подальшої побудови моделі, має вигляд

.

Тут маємо функції , які визначаються за формулами , та функції

.

Отримані з врахуванням (15) за законом Гука поперечні деформації разом із поздовжніми деформаціями дозволили знайти уточне-ні поздовжні та поперечні нормальні напруження. Вираз для поперечних напружень відрізняється при цьому від , отриманого із застосуванням рівнянь рівноваги, тільки загальним множником .

Далі інтегруванням співвідношення Коші з урахуванням деформацій поперечного обтиснення визначено нормальні до осі переміщення як функцію двох змінних і –

де функції координати z забезпечують неперервність переміщень по перерізу.

Вираз використано для наступного уточнення спів-відно-шень НДС – їх узагальнення з урахуванням змінних за висотою перерізу бруса нормальних переміщень. У результаті знайдено узагальнені поздовжні переміщення , деформації , напруження , поперечні нормальні деформації та напруження , а також дотичні напруження . Тобто зроблено своєрідний ітераційний крок стосовно врахування у компонентах НДС впливу поперечного обтиснення.

Загалом, отримано у замкнутому вигляді співвідношення НДС моделі до-вільної ітерації , що враховують як поперечний зсув, так і обтиснення, при згині бруса у головній площи-ні XCZ. У площин XCY їх одержано аналогічно.

Таким чином, тривимірна задача визначення НДС бруса як просторового призматичного тіла зведена до розв’язання двох двовимірних задач, що моде-люють НДС бруса в головних площинах жорсткості. Фактично кожній із цих площин надаються інтегральні (узагальнені) властивості бруса, котрі, в свою чергу, є змінними вздовж поперечної осі або . Функції, що встанов-люють ці зміни, відповідають шуканим для кожної з головних площин функціям переміщень , та зсуву , які залежать тільки від поздовжньої коорди-нати, зводячи математично задачу до одновимірної стосовно цих функцій.

Подальше розв’язання задачі полягає у визначенні шуканих функцій. Співвідношення НДС дають змогу знайти його компоненти у довільній точці, тобто повернутися до бруса як до просторового тіла. Для визначення шуканих функцій виведено систему рівнянь рівноваги у зусиллях та неоднорідні гра-нич-ні умови. Застосовано варіаційний принцип Рейсснера та співвідношення НДС ітераційних моделей. Підстановка зусиль, виражених через шукані функції та функції навантажень, у рівняння рівноваги приводить до системи визна-чаль-них диференціальних рівнянь відносно функцій та –

.

У індекс розгортає систему рівнянь по вертикалі й установлює кількість її рівнянь, яка дорівнює ; розгортає рівняння системи по горизонталі; – узагальнені функції зовнішнього навантаження; – сим-вол Кронекера; , , – інтеграль-ні характеристики жорсткості при згині, зсуві та їх взаємовпливі. Загальний порядок системи становить .

Шукана функція поздовжніх переміщень знаходиться інтегруван-ням попередньо відокрем-леного диференціального рівняння рівноваги з урахуванням уже визначених з рівняння функцій та .

У цілому отримані співвідношення НДС композитних бру-сів дискретно-неод-норідної структури, відповідні диференціальні рівняння й граничні умови, котрі формулюють крайову задачу відносно шуканих функцій, через які визна-ча-ються компоненти вектора перемі-щень та тензорів напружень і деформацій, скла-дають уточнену модель деформування -го кроку ітерації при згині розгля-дуваних об’єктів, що врахо-вує депланації перерізів внаслідок впливу деформацій зсуву й обтиснення.

У третьому розділі з метою дослідження впливу форми поперечного перерізу на параметри деформування бруса проведено аналіз розподілення та уточнення моделю-вання дотичних напружень, які спри-чи-няють депланацію перерізів. При відомих вер-ти-кальних до-тичних напружен-нях , які наведе-но у розділі 2, розв’язано задачу визна-чення го-ри-зонтальних напру-жень та від-повідних повних напру-жень у до-вільній точці симет-рич-ного перерізу. У точ-ках контуру перерізу повні напруження діють по дотичній до нього (рис.2). Вважа-ється, що опукла кон-турна (по-верхнева) лінія поперечного пе-ре-різу бруса відповідає рівня-нню . Виходячи із гранич-них умов на поверхні бруса, отримано наступну залежність:

,

де – узагальнена функція розподілення дотичних напружень .

Для спрощення дослідження горизон-тальних напружень залежно від координати введено допоміжну функ-цію повних на-пру-жень , яка мо-дифі-кує їх складові такими залежностя-ми:

; .

Для визначення функції вико-ристано диференціальне рівняння рівноваги відносно осі , у яке підставлено вира-зи  та нормальні напруження , де – узагальнена функція їх розподілення. У результаті отримано рівняння

.

Один із можливих розв’язків цього рівняння – – придатний, коли значення нормальних напружень не залежить від координати , що відповідає прийнятим гіпотезам. У результаті одержано лінійну відносно координати залежність для визначення горизонтальної складової дотичних напружень

,

що дозволило зробити такий висновок: у випадку, коли напруження залишаються постійними на лінії , напруження на цій лінії змінюються за лінійним законом відносно координа-ти . Якщо напруження на контурній поверхні відомі з , то для точок перерізу вони визначаються з умови їх рівності нулю у точках :

.

Тут уведено функцію , яка враховує вплив форми контуру перерізу на розподілення дотичних напружень і визначає їх горизонтальну складову, що спрямована перпендикулярно до площини дії навантаження. Епюра горизонтальних напружень є кососиметричною з най-більшими значеннями на контурі. Складова вертикальних дотичних нап-ру-жень визначається за певною теоретичною моделлю залежно від умов пос-та-новки задачі, а повних – відповідно як векторна сума.

Ці вихідні умови поширено на дискретно-неоднорідні бруси, коли кусково-постійним значенням нормальних напружень відповідає лінійно-ламаний характер розподілу горизонтальних дотичних напружень вздовж горизонтальної осі, тобто сталих нормальних і лінійних дотичних у межах окремої фази.

За принципом Лагранжа отримано додаткові співвідношення горизонтальних дотичних напружень , що враховуються в системі диференціальних рівнянь та приводять до зміни жорсткісних зсувних характеристик у , які набувають такого уточненого виразу:

.

За одержаними спів-від-ношеннями вико-нано ана-ліз розпо-ді-лення верти-кальних і горизонтальних до-тич-них напру-жень у пе-ре-різах із харак-терною не-пря-мокутною формою (круг, еліпс, кільце, трикутник, тощо) та концентричних компо-зит-них брусів. Для них виз-начено значення інтеграль-них жорсткісних характеристик , які є узагальненою мірою впливу форми перерізу і окремих фаз на параметри деформування бруса.

Установлено, що в еліптичному і круглому перерізах розподілення напру-жень ідентичні між собою. Екстремальні зна-чення горизон-таль-ної скла-дової в еліптичному перерізі становлять , де  – характеристика внут-ріш-нього зусилля. Показник залежить від співвідношення півосей – , в той час як для круга він сталий і дорівнює .

Якщо еліптичний пе-ре-різ має горизонтальну піввісь більшу, ніж вер-ти-каль-ну , то скла-дова може досягти значення і бути навіть більшою. Наприк-лад, якщо , то , а якщо , то . Жорсткісна характеристика завжди залишається більшою від , визначеною без урахування , і залежить від співвідношення півосей та . Так, при – , а при – і т.д. Установлено зворотний вплив горизонтальних дотичних напружень на депланаційні ефекти. Так, якщо вертикальні напруження ці ефекти спричиняють, то горизонтальні стримують. Ці обставини враховуються при вибо-рі форм перерізу брусів за умови опору матеріалу дотичним напруженням.

На рис.3 представлена картина розподілу дотичних напружень у круговому двошаровому концентричному перерізі. При побудові відповідних епюр застосовано розроблену модель і гіпотезу про ламано-лінійний закон розподілення горизонтальних дотичних напружень при кусково-постійних нормальних напруженнях , що випливає з .

За аналогією отримано відповідні співвідношення для визначення дотичних напружень у брусах з іншими формами поперечного перерізу, для яких функція впливу контуру та жорсткісні характеристики протабульовані.

Рис.3. Розподіл дотичних напружень

Розбіжність між отриманими результатами щодо дотичних напружень і отриманими А.П.Філіним точними методами розв’язування задач теорії пружності під-тверджують прийняті гіпотези, зокрема лінійне розподілення горизон-тальних напружень відносно координати та усереднене стале вертикальних по ширині перерізу.

Четвертий розділ присвячено дослідженню побудованих ітераційних моделей – аналізу формування їх гіпотез та співвідношень, крайових умов, результатів числового експерименту – розв’язку тестових задач.

Підкреслено, що попередні вихідні гіпотези, які формують класичну модель, залишаються незмінними на кожному черговому кроці ітераційного процесу. Тому приділено увагу особливостям формування аналогічних співвідношень гіпотез для зсувних деформацій, що змінюються на кожному кроці, й для довільного наближення мають вигляд , .

Основною особливістю формування гіпотези є принцип уведення похідних від шуканих функцій зсуву , який подано у таблиці 1.

Загальна кількість шуканих функцій , на кроці становить . Кількість депланаційних функцій, відповідних шуканим та функціям навантажень, становить .

Таблиця 1. Принцип уведення похідних від функцій зсуву

Вплив властивостей матеріалів різних фаз перерізу, його геометрії вра-ховується "інтегрально" – через жорсткісні характеристики вищого порядку, які фор-мують матрицю коефіцієнтів системи визначальних рівнянь  –

.

Їх знайдено інтегруванням за всією площею поперечного перерізу –

, ,

де ; – символи Кронекера; , – підінтегральні функції депланації, що визначають розподіл по перерізу складових тангенціальних переміщень (деформацій). Після переходу до прийнятих раніше індексів функції визначаються за , а жорсткісні характеристики вищого порядку при із – за допомогою заміни на .

У випадку бруса ускладненої структури функції депланації та коефіцієнти жорсткості формуються комп’ютерними методами на довільній ітерації в процесі розв’язування задачі при конкретних крайових умовах.

Крайові умови в загальному виг-ляді отримані варіаційним методом у розділі 2 разом із системою диференціальних рівнянь. Оскільки кількість ітерацій не впливає на фізичну сутність крайових умов, то їх аналіз виконано на прикладі моделі пер-шої ітерації у формі однорідних умов, розділених на "згинальні" та "зсувні", які узагальнено для довільного кроку ітераційного про-це-су (табл.2). Цим умовам надано певну сутність, яка висвітлює можли-вість моделювання наявності чи відсутності тих чи інших в’язей на кінцях бруса.

Для тестування моделей проведено низку числових експериментів. З метою їх виконання побудовано аналітичний розв’язок задачі згину бруса, шарнірно закріпленого по кінцях, під дією навантажень, змодельованих функціями синуса та косинуса. Розв’язання зведено до системи алгебраїчних рівнянь відносно амплітуд шуканих функцій прогину і зсуву .

З урахуванням депланації перерізів від зсуву попередньо виконано порівняння результатів розрахунку ізотропного однорідного бруса () під нормальним синусоїдальним навантаженням із точним розв’язком тривимірної задачі теорії пружності. Дані, наведені в таблиці 3, свідчать про збіг результатів з точним розв’язком за депланаційною моделлю і неадекватність за класичною.

Для теоретичного аналізу впливу зсувних депланацій на ком-поненти напружено-деформованого стану та збіжності ітераційного процесу розв’язано серії задач, де цей вплив виявляються у “чистому” вигляді. Для цього деформації поперечного обтиснення виключалися () при розу-мінні умовності отриманих результатів. Перша серія стосується згину транс-версально-ізотропних однорідних брусів прямокутного перерізу () під синусоїдальним наванта-женням. Варіювалися співвідношення модуля пружності та модуля зсуву , відносна довжина та кількість ітерацій .

Визначалися найбільші нормальні напруження (крайні волокна серед-нього перерізу), дотичні напруження (серединні волокна крайових пере-різів) і найбільші прогини , а та-кож відношення , , цих ве-ли-чин до отриманих за класичною мо-дел--лю, що характеризує міру впли-ву зсув-них депланацій. У скороченому обсязі вказані ве-ли-чи-ни наведено у табли-ці . Із цих ре-зуль-татів вип-ли-вають висновки щодо не-об-хід-ності при певних пара-мет-рах бруса застосу-ван-ня ітерацій для отримання збіжних результатів, коли модель вищої ітерації підтверджує з бажаною точністю результати попередньої.

Для виявлення характеру розпо-ділення пе-ре-міщень уздовж осі бруса та нап-ружень і по висоті перерізу, а також відповідності їх точним розв’язкам, наве-дено їх епюри (рис.4) з позначенням кроку ітера-ційного процесу для випад-ку значного впливу зсувних деп-ла-на-цій: (вуглецево-епоксид-ний композит), . Не-об-хід-но при-наймні три ітерації для отримання стабільних результатів. Спостерігається наближення розрахункових значень до отриманих точним, а також числовим розв’язками, з якими практично збігається третя ітерація. Аналогічний аналіз виконано для бруса під танген-ціаль-ним косинусої-дальним навантаженням.

Рис.4. Графіки переміщень та напружень: 0 – кл. модель; 1-3 – кроки ітерацій; МСЕ – метод скінчених елементів

Для поглиблення аналізу депла-наційного деформування і збіжності при цьому результатів розрахунку виконано другу серію числових досліджень – для три-ша-рових брусів під нормальним сину-соїдальним навантаженням. Варію-валися фізико-механічні та струк-турно-геометричні параметри.

При розрахунках ізотропних бру-сів тришарової структури для до-вільних відношень (табл.5) можна обме-жи-ти-ся одні-єю ітерацією, яка є виз-на-чальною при , ос-кільки відбу-ва-ється незначне уточ-нення на рів-ні другої ітера-ції. Порівняно з "класични-ми" значеннями напру-жен-ня мак-симально збільшують-ся при , а про-ги-ни – при . Перші у і , а другі – у і разу для брусів з віднос-ною довжи-ною і 5 відповідно.

Анізотропія зовнішніх шарів мало впливає на результати роз-рахунку, в той час як анізо-тро-пія внутрішнього шару виявляє значний вплив на парамет-ри де-формування. Вплив зсуву в ані-зотропних шарах може збіль-шу-вати напруження на порядок, а про-ги-ни – навіть на два і вище. Найбільший вплив спо-сте-рігається у брусах із відношенням .

На рис.5 подано характер розподілення вертикальних пе-ре-міщень за довжиною () та нап-ру-жень за висотою перерізу бру-сів з ізотроп-ними шарами за класичною “0” та ітераційними “1-2” моделями. Спів-від-но-шен-ня тов-щи-ни шарів прийма-лися та-ки-ми: і . З огляду на епюри можна зробити висно-вок про роздільну “роботу” зовнішніх шарів, що не може врахувати класична теорія, котра, як для нормальних напружень, так і для прогинів, дає суттєво занижені результати. В той же час поступове збільшення податливості зсувам (зменшення модуля пружності) тонкого внутрішнього шару дозволяє змоделювати процес розшарування композитної системи за рахунок втрати опору зсувним деформаціям.

Рис.5. Графіки вертикальних переміщень та напружень

Як альтернатива цим висновкам звернуто увагу на тришаровий брус із жорстким проміжним шаром, у якому відбувається локалізація напружень при значеннях, близьких до “класичних”, що може викликати втрату ним міцності.

Для підтвердження результатів, отримуваних за розробленими моделями, виконано зіставлення з експериментальними даними, наведеними А.Я.Александровим щодо згину тришарових брусів (балок-полос) при модулях зсуву ізотропних шарів: зовнішніх "твердих" алюмінієвих – , "м’якого" пінопластового заповнювача . Амплітуда синусої-даль-ного навантаження . Для прикладу геометричні параметри балок та результати розрахунку подано у таблиці 6. З порівняння розрахункових і експериментальних даних випливає висновок про непридатність класичної моделі та адекватність запропонованої для розрахунку досліджуваних брусів.

Розглянуто НДС бруса з урахуванням депланацій перерізів, зумовлених поперечним обтисненням. Для виявлення впливу цих ефектів у “чистому” вигляді взято короткий брус (), податливий у поперечному до осі бруса напряму (, , коефіцієнти Пуассона , ). Для деталізації аналізу результатів (рис.6) їх отримано при синусоїдальному навантаженні з амплітудою на поверхні (суцільні лінії епюр). Результати зіставлені з відповідними точними (пунктирні лінії), отриманими безпосередньо з рівнянь теорії пружності.

Рис.6. Розподілення компонентів НДС бруса з урахуванням обтиснення

Порівняння показує їх якісну й кількісну відповідність. Із збільшенням відносної довжини особливість розрахунків зберігається, а при використанні вищих ітерацій підтверджуються наведені дані, що відповідають першій ітерації.

У п’ятому розділі подано методи реалізації ітераційних моделей деформування бруса – аналітичне інтегрування системи визначальних диференціальних рівнянь, порядок яких залежить від ступеня ітераційного процесу (кількості кроків ), і числово-аналітичний метод, який застосовує процедури комп’ютерної алгебри. Наведено приклади розв’язування окремих задач, що виявляють ефекти напружено-деформованого стану брусів.

Спочатку побудована пряма аналітична методика розв'язування системи , у якій для подальших перетворень виділено перше рівняння

де ; .

Складність розв’язування системи полягає у тому, що вона є "зачепленою" відносно невідомих функцій і , тобто всі невідомі функції входять у кожне із рівнянь даної системи.

Досягнуто розчеплення системи на рівняння відомої класичної задачі відносно функції (тут не розглядається) та