КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Тегза Антоніна Мигалівна

УДК 519.21

ОБҐРУНТУВАННЯ ОЦІНОК ТОЧНОСТІ І НАДIЙНОСТІ

МОДЕЛЮВАННЯ ГАУССОВИХ СТАЦІОНАРНИХ

ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ

01.01.05 – теорія ймовірностей та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного анал_зу

математичного факультету Ужгородського національного

університету.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

професор

КОЗАЧЕНКО Юрій Васильович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри теорії ймовірностей та

математичної статистики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук

ІВАНОВ Олександр Володимирович,

Міжнародний Християнський університет - Київ,

завідувач кафедри загальноекономічних дисциплін.

кандидат фізико-математичних наук,

cтарший науковий співробітник

ПАШКО Анатолій Олексійович,

Європейський університет (м. Київ),

доцент кафедри інформаційних систем і технологій

Провідна установа:

Національний технічний університет України “КПІ”

Захист відбудеться 22 грудня 2003 року о 14 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д26.001.37 у Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03022, м.Київ - 22, просп.Академіка Глушкова, 6,

корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка

(01033, м.Київ, вул.Володимирська, 58).

Автореферат розісланий 14 листопада 2003 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Останнім часом теорія випадкових процесів знаходить все нові галузі застосування, і зараз, мабуть, ні одна з природничих наук не уникла хоча б в невеликій степені її впливу. Однією з актуальних задач цієї теорії є побудова математичної моделі, а також дослідження її загальних властивостей. На сьогоднішній день активно розроблюються загальні методи чисельного моделювання випадкових процесів, а також швидко зростає область застосування стохастичних моделей, зокрема в радіотехніці, електроніці, в оптиці атмосфери і океану, у фінансовій математиці і т.д. Ряд нових напрямків у галузі моделювання випадкових процесів та полів розроблено Г.О.Михайловим та його учнями: спектральні моделі гауссових полів, моделі випадкових полів по точкових потоках, теорія збіжності числових моделей випадкових функцій, метод подвійної рандомізації тощо.

Оскільки більшість фізичних явищ залежить від багатьох факторів, то при їх моделюванні намагаються відтворити процеси, що є сумою великого числа випадкових факторів, тобто, згідно з центральною граничною теоремою, гауссові або близькі до них процеси. Тому найбільш поширеними і найбільш розробленими є методи моделювання гауссових випадкових процесів і полів. Традиційними є методи лінійного перетворення, ковзаючого підсумовування, авторегресії та ковзаючого середнього, метод неканонічного розкладу та метод рандомізації спектру. Актуальною постала нова проблема: знаходження точності і надійності побудованих моделей. Для певних методів моделювання випадкових гауссових процесів точність та надійність моделей досліджувалась у роботах Козаченка Ю.В., Козаченко Л.Ф., Пашка А.О. та інших авторів. Але для одного з найбільш відомих методів моделювання стаціонарних гауссових випадкових процесів, який належить Михайлову Г.О., такі задачі раніше не досліджувались. У роботі розглядається гауссовий стаціонарний сепарабельний дійсний неперервний в середньому квадратичному випадковий процес та

За модель береться сума виду

де , , – незалежні випадкові величини для всіх , та , , – гауссові випадкові величини, – обмежені випадкові величини.

Зауважимо, що модель не є гауссовим процесом, це субгауссовий процес.

Основним завданням дисертаційної роботи є дослідження надійності та точності моделі гауссового процесу в різних функціональних просторах, зокрема в та деяких просторах Орлича.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках наукової тематики кафедри математичного аналізу УжНУ ”Аналіз і статистика випадкових процесів і полів“ та пов’язана з держбюджетними темами, що виконуються на кафедрі матаналізу УжНУ (номер державної реєстрації № 0193V019658).

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії просторів випадкових величин та її застосування при знаходженні точності та надійності моделей гауссових стаціонарних випадкових процесів. У роботі розглянуті такі задачі:

задача розвитку теорії випадкових процесів з просторів випадкових величин;

задача дослідження точності і надійності моделі стаціонарних гауссових випадкових процесів у просторі ;

задача дослідження точності і надійності моделі стаціонарних гауссових випадкових процесів у просторі ;

задача дослідження точності і надійності моделі стаціонарних гауссових випадкових процесів у деяких просторах Орлича;

вивчення точності і надійності запропонованої узагальненої моделі гауссових випадкових процесів.

Методика дослідження. В роботі використовуються методи теорії моделювання випадкових процесів, теорій субгауссових випадкових процесів та просторів Орлича.

Наукова новизна одержаних результатів.

Отримано нові нерівності для норм випадкових величин з просторів та просторів Орлича.

Знайдено модель гауссового стаціонарного випадкового процесу, яка наближає його з заданою надійністю та точністю в просторі , .

Знайдено модель гауссового стаціонарного випадкового процесу, яка наближає його з заданою надійністю та точністю в просторі .

Знайдено модель гауссового стаціонарного випадкового процесу, яка наближає його з заданою надійністю та точністю в деяких просторах Орлича.

Запропоновано узагальнену модель гауссового стаціонарного випадкового процесу, що наближає його із заданими точністю та надійністю в просторі

Практичне значення отриманих результатів. Усі отримані в дисертації результати можуть бути використаними в різних галузях природничих та соціальних наук, таких як фінансова математика, соціологія, метеорологія, радіотехніка та ін.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікувала пять робіт, з них три у співавторстві. Одна разом з науковим керівником професором Козаченком Ю.В., в якій Козаченку Ю.В. належить постановка задач та загальне керівництво роботою. Дві роботи разом з професором Козаченком Ю.В. і Р.Джіуліано Антоніні. В цих роботах автор використовує лише ті результати, які отримані нею самостійно. Дві роботи є авторськими.

Апробація результатів. Результати дисертації доповідались та обговорювались на:

п’ятій міжнародній школі “Математичні та статистичні методи в економіці, фінансах та страхуванні” (м.Гурзуф (Крим), 2001 р.);

наукових семінарах в університетах м.Піза та м.Рим (Італія, 2002 р.);

шостій міжнародній школі “Математичні та статистичні методи в економіці, фінансах та страхуванні” (м.Ласпі (Крим), 2002 р.);

засіданнях наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі математичного аналізу Ужгородського національного університету (м. Ужгород, 2000, 2003 рр.);

засіданні наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичного аналізу Національного технічного університету КПІ (м.Київ, 2002 р.),;

засіданні наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м.Київ, 2003 р.).

сьомій міжнародній школі “Математичні та статистичні методи в економіці, фінансах та страхуванні” (м.Ласпі (Крим), 2003 р.);

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано чотири статті в фахових виданнях, одна стаття в науковому журналі “Вісник Ужгородського університету” та три тези доповідей на конференціях .

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, восьми розділів, розбитих на підрозділи, висновків, списку використаних джерел та додатків, в яких для певних спектральних функцій та для окремих просторів комп’ютерно змодельований даний гауссів процес. Повний обсяг роботи становить 170 сторінок. Список використаних джерел займає 15 сторінок та включає 122 найменувань. Додатки займають 20 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значимість отриманих результатів. Перший розділ містить огляд літератури за тематикою даної роботи та спорідненими питаннями, висвітлені деякі результати щодо схожих проблем, отримані іншими авторами.

Другий розділ присвячений дослідженню властивостей просторів випадкових величин та просторів Орлича. Оскільки тематика дисертації грунтується на теорії субгауссових випадкових процесів, то в першому підрозділі розділу 2 спочатку наводяться необхідні для подальшої роботи означення та твердження простору випадкових величин та процесів.

Означення 2.1.1. Випадкову величину називають субгауссовою, якщо знайдеться таке , що для всіх виконується нерівність

Клас всіх субгауссових величин позначають

Нехай – деяка параметрична множина.

Означення 2.1.2. Випадковий процес називається субгауссовим процесом, якщо для всіх – є субгауссова випадкова величина та .

Основними результатами першого підрозділу є теореми, які містять оцінки норм субгауссових випадкових величин і векторів.

Наведемо декілька з них, які в подальшому використані при дослідженні точності і надійності моделі гауссового процесу в просторі .

Лема 2.1.9. Нехай субгауссові випадкові величини,

. Тоді для всіх , має місце наступна нерівність

Наслідок 2.1.2. Нехай – субгауссовий випадковий процес, де – вимірний простір, . Якщо для деякого (з ймовірністю одиниця або в середньому квадратичному) існує інтеграл

та існує

то для всіх

або для всіх

У другому підрозділі розділу 2 наведені основні означення та досліджені деякі властивості простору Орлича. Отримані теореми про співвідношення норм Люксембурга і моментних норм випадкових величин у просторі Орлича.

Означення 2.2.2. Неперервна парна опукла функція називається C-функцією, якщо i монотонно зростає при .

Означення 2.2.5.Нехай -довільна С-функція. Простором Орлича випадкових величин називається така сім’я випадкових величин, що для кожного існує така константа , що

На просторі Орлича визначимо функціонал

який назвемо нормою Люксембурга.

В роботі розглянуто простори Орлича випадкових величин, що породжуються функцією , де , . Ці простори позначимо .

Для випадкової величини введемо норму , яку назвемо моментною.

Має місце така теорема.

Теорема 2.2.3. Нехай та – незалежні випадкові величини, такі що , , – моментна норма в , – моментна норма в . Тоді , де таке число, що (тобто ) та

У третьому підрозділі розділу 2 наведені всі необхідні для подальшої роботи означення та твердження теорії -простору.

Означення 2.3.1. Нехай, , така С-функція, що , , для деяких i . Будемо говорити, що центрована випадкова величина належить простору -субгауссових випадкових величин, якщо знайдеться така константа , що для всіх має місце нерівність

Простір всіх -субгауссових величин, визначених на ймовірнісному просторі , позначають

Четвертий підрозділ присвячений ентропійним характеристикам випадкових процесів, зокрема -процесів.

Нехай – псевдометричний простір. – метрична масивність множини (найменша кількість замкнутих куль радіуса , що покривають ).

Означення 2.4.6. Нехай

Функцію , , будемо називати метричною ентропією відносно псевдометрики .

Наведено теореми про розподіл супремума випадкових процесів з просторів та .

У розділі 3 описана і обґрунтована побудова моделі гауссового стаціонарного випадкового процесу. Нехай – спектральна функція гауссового випадкового процесу, модель якого ми хочемо побудувати. Доведено, що за певних умов для моделі

де , , — незалежнi при всiх та випадковi величини, – таке розбиття множини , що , , , , – гауссовi випадковi величини, такi що , , — випадковi величини, що приймають значення на вiдрiзках , та якщо , то

існує центрований гауссів процес з спектральною функцією , до якого модель наближається із заданою точністю і надійністю.

Різницю між гауссовим випадковим процесом та його моделлю позначено через . Випадковий процес має вигляд:

Теорема 3.2. Випадковий процес є субгауссовим.

Отримані оцінки моментів -го порядку субгауссових випадкових величин.

Лема 3.1. Мають місце співвідношення:

де

Моменти непарного порядку рівні нулю.

Ці оцінки в подальшому використовуються при дослідженні умов вибору розбиття множини , при якому модель наближає гауссів процес з заданою точністю і надійністю в деяких функціональних просторах.

Оцінено норму субгауссового процесу .

Теорема 3.3. Для субгауссового процесу має місце така нерівність

де , – випадкові величини, що не залежать від і мають такі ж розподіли, що і .

У четвертому розділі при доведенні нових тверджень використовуються оцінки з попередніх розділів. В першому підрозділі отримані теореми про наближення моделі до гауссового процесу в просторах , з заданими точністю та надійністю.

Означення 4.1.1. Випадковий процес наближує процес з надійністю , та точністю в , якщо розбиття таке, що має місце наступна нерівність

Теорема 4.1.2. Модель наближається до гауссового випадкового процесу з надійністю , та точністю в , , якщо розбиття таке, що

та

де – корінь рівняння

У другому підрозділі розділу 4 сформульовані і доведені теореми про оцінки "‘хвостів"’ розподілів норм випадкових процесів при різних умовах в просторі , де – деяка параметрична множина, .

Наведемо основні з них.

Твердження 4.2.1. Нехай . Тоді для всіх справедлива наступна нерівність

Твердження 4.2.2. Нехай , , – міра Лебега і для деяких , . Тоді для справедливе співвідношення

Основними результатами цієї частини є теореми про умови вибору розбиття множини (на якій визначена спектральна функція) так, щоб модель наближалася до гауссового процесу із заданою точністю і надійністю в просторі , .

Теорема 4.2.1. Нехай в моделі розбиття таке, що мають місце наступні нерівності

тоді ця модель наближатиметься до гауссового процесу з надійністю , та точністю в , .

Теорема 4.2.2. Нехай в моделі розбиття таке, що мають місце нерівності:

де є корінь рівняння .

Тоді ця модель наближатиметься до гауссового процесу з надійністю і точністю в просторі , .

У третьому підрозділі розділу 4 сформульовано теорему про оцінку розподілу "‘хвоста"’ норми випадкового процесу в просторі Орлича. Отримано теорему про наближення моделі випадкового процесу до гауссового із заданою точністю в просторі Орлича .

Теорема 4.3.2. Нехай в моделі розбиття таке, що справедливі нерівності

де

де є корінь рівняння

Тоді ця модель наближатиметься до гауссового процесу з надійністю , та точністю в просторі Орлича .

В першому підрозділі розділу 5 для субгауссового процесу проведені оцінки величин та .

Отримано

де – таке розбиття множини , що , ; – спектральна функція процесу .

На основі попередніх оцінок отримано теорему про наближення моделі до гауссового стаціонарного випадкового процесу з заданою точністю та надійністю в просторі .

Теорема 5.1.1. Нехай в моделі розбиття таке, що при виконується співвідношення :

де,

Тоді модель наближатиметься до гауссового процесу з надійністю , та точністю в просторі

В другому підрозділі розділу 5 оцінені норми субгауссових процесів в просторі , тобто Лема 5.2.2. Якщо , , то для субгауссового випадкового процесу справедлива нерівність

Лема 5.2.3. Якщо , то справедливе співвідношення .

Користуючись теорією -процесів і попередніми оцінками отримано теорему про наближення моделі випадкового процесу до гауссового з заданими точністю і надійністю в рівномірній метриці.

Теорема 5.2.1. Якщо в моделі розбиття таке, що виконуються нерівності:

тоді дана модель буде наближатись до гауссового випадкового процесу в рівномірній метриці з надійністю , та точністю .

В розділі 6 для простору , де

отримано теорему про умови належності випадкової величини цьому простору, а також про оцінку норми в ньому.

Теорема 6.1. Нехай – випадкова величина, така, що при та виконується умова

тоді та має місце нерівність

Отримано теореми про норми випадкових процесів, які належать простору . Результати цих теорем сформульовані у вигляді такого твердження.

Наслідок 6.2. Нехай для деякого виконується умова

тоді для сепарабельного процесу виконуються нерівності

де , – норма Люксембурга випадкової величини в просторі Орлича ,

де , , – норма Люксембурга випадкової величини

в просторі Орлича , , , – незалежні однаково розподілені випадкові величини з функцією розподілу .

На основі попередніх оцінок отримано теорему про оцінку експоненційного моменту супремума випадкового процесу на . Далі з теореми отримано наслідок про оцінку “хвоста” супремума випадкового процесу на .

Основним результатом цього розділу є визначення умов вибору розбиття множини так, щоб модель наближалася до гауссового випадкового процесу з заданими точністю та надійністю в рівномірній метриці.

Наслідок 6.4. Для побудови моделі , яка наближатиметься до гауссового процесу з заданою точністю в рівномірній метриці та надійністю , треба підібрати таке розбиття , щоб виконувалась нерівність

де

В розділі 7 пропонується модель гауссового стаціонарного випадкового процесу, кореляційна функція якої не співпадає з кореляційною функцією процесу, що моделюється.

При високій точності моделювання оцінки надійності гірші ніж у попередніх випадках. Але застосування цього методу не потребує додаткових обмежень на спектральну функцію процесу. Оцінки мають місце тільки при обмеженнях, що забезпечують вибіркову неперервність з ймовірністю одиниця процесу, що моделюється.

Результатом розділу є визначення умов вибору розбиття множини так, щоб модель наближала гауссів випадковий процес в просторі із заданими точністю та надійністю.

Теорема 7.4. Якщо випадковий процес має розбиття таке, що виконується ряд нерівностей:

тоді ця модель наближатиметься до гауссового випадкового процесу в просторі з надійністю , та точністю

У розділі 8 отримано оцінки наближення стаціонарного гауссового процесу його моделлю, які гірші за попередні при високій точності моделювання. Але вони не вимагають додаткових обмежень на спектральну функцію і тому можуть ефективно застосовуватись при невеликій точності (тобто забезпечують високу надійність).

У додатках для певних спектральних функцій комп’ютерно змодельований гауссів стаціонарний випадковий процес в просторах та , .

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії субгауссових випадкових величин та можливому застосуванню цієї теорії до задач моделювання випадкових процесів із заданою надійністю та точністю. В першому розділі наведено огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи. В другому розділі досліджено властивості просторів випадкових величин та просторів Орлича. Отримано ряд нових нерівностей для норм субгауссових величин і векторів. Знайдено оцінку норми випадкової величини в просторі Орлича, отримано співвідношення між моментною нормою і нормою Люксембурга. В третьому розділі побудована модель гауссового стаціонарного процесу з заданою коваріаційною функцією і обгрунтована справедливість існування такого гауссового процесу, до якого модель наближається із заданими надійністю та точністю. В четвертому розділі для гауссового стаціонарного процесу побудована модель , до якого вона наближається з заданою точністю і надійністю в просторах , при та в загальному при та в просторі Орлича. В п’ятому розділі, накладаючи обмеження на спектральну функцію, для гауссового стаціонарного процесу побудована модель, до якого вона наближається з заданими надійністю та точністю в просторі . Оцінки, отримані в цьому розділі, по порядку спадання надійності значно покращують оцінки з попередніх розділів. В цьому ж розділі, користуючись теорією -процесів, досліджено точність і надійність моделі гауссового процесу в рівномірній метриці. В шостому розділі отримано нові нерівності для норм випадкових величин з просторів . На основі теорії просторів для гауссового стаціонарного процесу побудовано модель , до якого вона наближається з певними точністю і надійністю в рівномірній метриці. В сьомому розділі запропоновано модель гауссового стаціонарного випадкового процесу, кореляційна функція якої не співпадає з кореляційною функцією процесу, що моделюється. У восьмому розділі отримано оцінки наближення стаціонарного гауссового процесу його моделлю з заданою точністю і надійністю в прoсторі , які є гіршими за попередні при високій точності моделювання. Проте вони не вимагають додаткових обмежень на спектральну функцію і можуть ефективно застосовуватись при невеликій точності, тобто забезпечують високу надійність при малій точності. При роботі над дисертацією використовуються методи теорії субгауссових випадкових процесів, просторів Орлича та методи теорії моделювання випадкових процесів. Отримані автором результати є новими та мають теоретичне і практичне значення. Результати можуть застосовуватись у галузях, які використовують у своїх дослідженнях теорію випадкових процесів.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Тегза А.М. Про точність та надійність деяких моделей гауссових процесів з обмеженим спектром // Науковий вісник Ужгородського університету. - Bип.6. - 2001. - C.125-131.

2. Джуліано Антоніні Р., Козаченко Ю.В., Тегза А.М. Нерівності для норм субгауссових векторів та точність моделювання випадкових процесів // Теор. ймовірност. та матем.статист. - Вип.66. - 2002. - C.58-66.

3. Козаченко Ю.В., Тегза А.М. Застосування теорії просторів випадкових величин до знаходження точності моделювання стаціонарних гауссових процесів // Теор. ймовірност. та матем.статист. - Вип.67. - 2002. - C.71-87.

4. Тегза А.М. Знаходження точності та надійності моделі гауссових процесів з неперервним спектром // Вісник Київського університету, Сер. Фіз.-мат. науки. - Bип.4. - 2002. - C.38-43.

5. Джуліано Антоніні Р., Козаченко Ю.В., Тегза А.М. Точність моделювання в гауссових випадкових процесів // Вісник Київського університету, Сер. Фіз.-мат. науки. - Bип.5. - 2002. - С.7-14.

6. Kozachenko Yu.V., Tegza A.M. Accuracy and reliability of some methods of simulation of random processes // Thesis of Fifth Intern.School on Statist. and Mathem. Applications in Economics, Finance and Insurance. - 23-30 June 2001, Gurzuf, Ukraine. - P.17.

7. Antonini R.G., Kozachenko Yu.V., Tegza A. Accuracy of simulation of some random processes // Thesis of Sixth International School on Mathem. and Statist. Methods in Economics, Finance and Insurance. - 19-14 September 2002, Laspi, Ukraine. - P.3.

АНОТАЦІЯ

Тегза А.М. Обгрунтування оцінок точності і надійності моделювання гауссових стаціонарних випадкових процесів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05. - теорія ймовірностей і математична статистика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003.

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії просторів випадкових величин та застосуванню цієї теорії при дослідженні точності і надійності моделей гауссових стаціонарних випадкових процесів у різних функціональних просторах. Розглядається модель гауссового випадкового процесу , що була введена і досліджувалась у роботах Михайлова Г.O. та його учнів. Для цієї моделі обгрунтована справедливість існування даного гауссового процесу, до якого би вона наближалася з заданими точністю та надійністю. Досліджено точність і надійність даної моделі гауссового процесу в просторах , , при та в загальному при та в деяких просторах Орлича. Для гауссового стаціонарного процесу з обмеженим спектром побудовано модель, до якого вона наближається з заданими надійністю та точністю в просторі . Отримано нові нерівності для норм випадкових величин з просторів . На основі теорії просторів отримано умови наближення моделі до гауссового стаціонарного процесу з певними точністю і надійністю в рівномірній метриці. Запропоновано узагальнену модель гауссового випадкового процесу та вивчено її точність і надійність.

Ключові слова: теорія просторів випадкових величин, простори Орлича, процес з обмеженим спектром.

АННОТАЦИЯ

Тегза А.М. Обоснование оценок точности и надежности моделирования гауссовских стационарных случайных процессов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 – теория вероятностей и математическая статистика.- Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко, Киев, 2003.

В последнее время активно разрабатываются общие методы численного моделирования случайных процессов, а также стремительно расширяется область применения стохастических моделей. Ряд новых направлений в области численного моделирования случайных процессов и полей разработал Г.А.Михайлов и далее развивают его ученики.

Наиболее полно разработаны методы моделирования гауссовских случайных процессов и полей. Традиционными являются методы линейного преобразования, авторегрессии, скользящего суммирования, канонических представлений и др. В большинстве этих методов не определяется точность и надежность моделирования. В работах Зелепугиной И.Н., Козаченко Ю.В., Козаченко Л.Ф., Пашко А.О. рассмотрены некоторые методы, которые позволяют строить модели,приближающие случайные процессы с заданными надежностью и точностью. Но для одного из наиболее известных методов моделирования гауссовских стационарных процессов – метода Михайлова – такие задачи прежде не исследовались.

В работе рассматривается гауссовый стационарный сепарабельный действительный непрерывный в среднем квадратическом случайный процесс с и

За модель берется сумма вида

где – независимые случайные величины при всех и , – гауссовые случайные величины, – ограниченные случайные величины. Следует отметить, что модель не является гауссовым процессом, это субгауссовый процес.

Главным заданием диссертационной работы является исследование надежности и точности модели гауссового процесса в разных функциональных пространствах. При решении поставленных задач использовались методы теории субгауссовых случайных процессов и теории пространств Орлича случайных величин.

В диссертации теория пространств дополнена новыми теоремами об оценках норм случайных величин и векторов из этих пространств. Исследована точность и надежность построенной модели гауссового стационарного процесса в пространствах , при и в общем случае при , а также в некоторых прoстранствах Орлича. Для гауссового стационарного процесса с ограниченным спектром построена модель, к которому она приближается с заданными надежностью и точностью в прстранстве . В этом же пространстве исследовано точность и надежность модели гауссового процесса, используя теорию -процессов.

На основании теории пространств построена модель гауссового стационарного процесса, к которому она приближается с некоторыми точностью и надежностью в равномерной метрике.

Предложена модель гауссового стационарного случайного процесса, корреляционная функция которой не совпадает с корреляционной функцией прoцесса, который моделируется.

Получены оценки приближения стационарного гауссового процесса его моделью с заданными точностью и надежностью в прстранстве , которые хуже предыдущих при высокой точности моделирования. Но, поскольку они не требуют дополнительных ограничений на спектральную функцию, они могут эффективно использоваться при небольших точностях.

Ключевые слова: теория пространств случайных величин, пространства Орлича, процесс с ограниченным спектром.

ANNOTATION

Tegza A.M. The substantiation of estimations of accuracy and reliability of simulations of Gaussian stationary random processes. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.05 – Probability Theory and Mathematical Statistics. – Taras Shevchenko Kyiv National University, Kyiv, 2003.

The thesis is dedicated to nextly development of theory of spaces of random variables and application this theory in investigation of accuracy and rliability of models of Gaussian stationary random processes in different functional spaces.

The model of Gaussian random process, which was introduced by Michajlov G.O. and him disciples, is consider. For this model is given proof of existence such Gaussian process, to wich this model approachs with given accuracy and rliability. The accuracy and rliability of such model in , spaces under and in general under and so in some Orlich spaces are investigated. For Gaussian stationary process with limited spectrum the model, wich approachs this process with given accuracy and reliability in space is constructed. Obtained new inequality for norm of random values from spaces. On basis of theory the model of Gaussian stationary process, wich approachs this process with given accuracy and reliability in even metric is constructed. Generaliezed model of Gaussian random process is proposed and there are investigated its accuracy and reliability.