К и ї в с ь к и й н а ц і о н а л ь н и й у н і в е р с и т е т

і м е н і Т а р а с а Ш е в ч е н к а

Бондаренко Андрій В'ячеславович

УДК 512.6

ЗОБРАЖЕННЯ *-АЛГЕБР, ПОВ'ЯЗАНИХ ІЗ КУСКОВО

ДРОБОВО-ЛІНІЙНИМИ ВІДОБРАЖЕННЯМИ

01.01.06 - алгебра та теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2004

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано у Київському національному університеті

імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович,

Інститут математики НАН України, м. Київ,

завідувач відділу функціонального аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

ПРОТАСОВ Ігор Володимирович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ;

професор кафедри дослідження операцій факультету кібернетики;

кандидат фізико-математичних наук,

ФЕДОРЕНКО Володимир Васильович,

Інститут математики НАН України, м. Київ,

старший науковий співробітник відділу теорії динамічних систем.

Провідна установа: Ужгородський державний університет, кафедра алгебри, м.~Ужгород.

Захист відбудеться 8 червня 2004 року о 14 год. на засіданні вченої ради

Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

за адресою 03127, Київ-127, проспект акад. Глушкова 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського національного ніверситету імені Тараса Шевченка за адресою 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 5 травня 2004 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота належить до одного з сучасних напрямків алгебри та теорії операторів, що виникає на стику теорії зображень інволютивних алгебр, з одного боку, i теорії динамічних систем, з іншого.

Теорія зображень алгебр з інволюцією ( * -алгебр) має різноманітні сучасні застосування в аналізі, математичній фізиці, топології та інше, зокрема, при побудові моделей теоретичної фізики, в теорії квантових груп та квантових однорідних просторів і їх застосуваннях у теорії точних розв’язків диференціальних рівнянь в частинних похідних, при вивченні окремих класів несамоспряжених операторів, при побудові символів оборотності сингулярних інтегральних операторів, при побудові топологічних інваріантів вузлів тощо.

Перші результати з теорії зображень, зокрема зображень інволютивних алгебр, були одержані в кінці XІX на початку XX сторіччя Фробеніусом Г., Бернсайдом В., Шуром І., Моліним Ф. та іншими. Подальший розвиток теорії зображень * -алгебр (30-60 рр. XX сторіччя) пов’язаний з вивченням самоспряжених операторних алгебр, зокрема, C* -алгебр та W* -алгебр (Фон Нейман Дж., Диксм’є Дж., Наймарк М.А., Гельфанд І.М., Райков Д.А., Кирилов А.А., Сігал І. та інші). Сучасний розвиток теорії зображень інволютивних алгебр в значній мірі пов’язаний з виникненням понять квантової групи, квантового однорідного простору (Дринфельд В.Г., Джимбо М., Воронович С., Фадєєв Л.Д., Клімек С., Лісневський А. та інші) та їх застосуваннями в моделях математичної фізики, теорії спеціальних функцій, теорії вузлів, моделях q -квантової механіки та квантової теорії поля (Зуміно Б., Весс Дж., Віттен Е., Кен К., Клімик А.У. та інші). Деякі з операторних алгебр, що виникають в застосуваннях до квантової фізики, є обгортуючими C* -алгебрами чи W* -алгебрами до скіченно-породжених * -алгебр, заданих твірними та визначальними співвідношеннями спеціального вигляду, які називають "динамічними співвідношеннями":

Ak B = B Fk(A1,...,An),k=1..n,

де Ai - набір комутуючих самоспряжених елементів, B - взагалі кажучи несамоспряжений елемент, Fk - борелівські функції. Зокрема, до таких співвідношень зводиться співвідношення

XX* = f(X*X),де елементи X , X* є твірними * -алгебри. Теорія зображень таких алгебр тісно пов’язана з динамікою відображення F = (F1,..., Fn) . Цей напрямок розроблявся, зокрема, київськими математиками Березанським Ю.М., Самойленко Ю.С., Островським В.Л., Беспаловим Ю.Н., Вайслебом Е.Є., Туровською Л.Б., Проскуріним Д.П., Поповичем С.В., Майстренко Т.Ю. та іншими. Тісний зв’язок теорії зображень таких * -алгебр з теорією динамічних систем вивчається також в цілому ряді фізичних робіт (Макфарлейн А., Біeденхарн Л., Клімек С., Ліснєвський А. та інші).

Сучасне вивчення C* -алгебр, пов’язаних з невзаєм-но-однозначними динамічними системами має два основні напрямки. Перший напрямок узагальнює добре розвинуту теорію схрещених добутків C* -алгебр з групами на випадок дій напівгруп і C* -алгебр, пов’язаних з ендоморфізмами топологічних просторів (Дьякону В., Рено Д., Арзуманян В., Вершик А., Педерсен Г. та інші). Другий напрямок пов’язаний з вивченням зображень * -алгебр, заданих "динамічними співвідношеннями"; з невзаємно-однозначною функцією F . Цей шлях безпосередньо пов’язує теорію операторних алгебр з теорією динамічних систем. Більше того, під час вивчення зображень відповідних * -алгебр виникають нові та незвичні динамічні задачі. Одними з останніх досліджень у цьому напрямку є роботи Самойленко Ю.С., Островського В.Л., Поповича С.В. та Майстренко Т.Ю. та інших. Зокрема, для C* -алгебр, пов’язаних з простими динамічними системами, заданими U -відображеннями, було наведено класифікацію незвідних зображень обмеженими операторами та отримана кількісна характеризація множини антифоківських зображень для деяких квадратичних відображень. У дисертаційному дослідженні вивчається, як аналогічна задача для унімодальних кусково дробово-лінійних відображень, так і ускладнена, без обмежень простоти динамічної системи. Зняття цього обмеження значно ускладнює поведінку орбіт динамічної системи. Тому остання задача потребує якісно інших методів розв’язання, які і розроблялись у дисертаційному досліджені та були застосовані до унімодальних кусково дробово-лінійних відображень за умови існування стійкого циклу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з дослідженнями відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України за темою ``Спектральна теорія операторів та їх застосування до задач математичної фізики'' (номер державної реєстрації 0101U000321) і з наково-дослідницькими роботами кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка ``Комбінаторно-геометричні, кате горні та комп'ютерні методи вивчення алгебраїчних структур та їх зображень'' (номер державної реєстрації 0101U002484).

Мета дисертаційної роботи:

Мета і задачі дослідження. Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка методів дослідження множини зображень * -алгебр та C* -алгебр, що пов’язані з дискретними динамічними системами; дослідження зв’язку між властивостями відповідних динамічних систем та структурою множини зображень; одержання класифікації незвідних зображень C* -алгебр, що пов’язані з простими динамічними системами, які породжені унімодальними кусково дробово-лінійними відображеннями; одержання опису множин антифоківськіх зображень * -алгебр, пов’язаних з унімодальними кусково дробово-лінійними відображеннями, за умови існування стійкого циклу відповідної динамічної системи; отримання умов існування стійких циклів та дослідженя відповідних областей у просторі параметрів, від яких залежить відображення.

Об’єкт дослідження - * -алгебри та C* -алгебри, що пов’язані з динамічними системами.

Предмет дослідження - * -алгебри та C* -алгебри які породжені співвідношенням XX* = f(X*X) , та відповідні дискретні динамічні системи (R,f) у випадках неперервного, унімодального, та кусково дробово-лінійного відображення f .

Методи дослідження - у дисертаційній роботі використовуються методи теорії зображень * -алгебр та методи теорії динамічних систем, зокрема, методи символічної динаміки.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі отримані такі нові результати:*

Одержано умови існування стійких циклів динамічних систем, породжених унімодальними кусково дробово-лінійними відображеннями інтервалу. Описані відповідні області параметрів та доведені деякі асимптотичні властивості розташування цих областей. *

Для C* -алгебр, пов’язаних з простими динамічними системами, що породжені унімодальними кусково дробово-лінійними відображеннями, наведено класифікацію незвідних зображень обмеженими операторами. *

Розроблено метод опису множини антифоківських зображень * -алгебр, породжених співвідношенням XX*=f(X*X) . Зокрема для цього введені певні розбиття ( P -розбиття) динамічних систем, за допомогою яких для кожної точки xОX отримано опис множини двобічних орбіт динамічної системи (X,f) , що проходять через цю точку. Досліджено мінімальні P -розбиття динамічних систем, породжених унімодальними відображеннями f . *

Отримано опис множини антифоківських зображень C* -алгебр для певного класу унімодальних кусково дробово-лінійних відображень за умови існування стійкого циклу.

Практичне значення одержаних результатів. . Результати мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані для вивчення структури операторних алгебр, пов’язаних з динамічними системами, та їх застосувань, зокрема, у моделях теоретичної фізики.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертації доповідалися і обговорювалися на засіданні семінару "Алгебраїчні питання функціонального аналізу" в Інституті математики НАН України (Київ, 2001-2003 рр.); на алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2003 р.); на міжнародних конференціях "Симетрія в нелінійній математичній фізиці", м.Київ (2001, 2003).

Публікації. За темою дисертації у виданнях, затверджених ВАК України, опубліковано 5 статей, з них 4 без співавторів. З сумісної статті з Поповичем С.В. до дисертації включені лише ті результати, що належать безпосередньо автору.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану дослідження та постановка задачі належать науковому керівнику. Всі результати, включені до дисертації, отримані автором особисто і самостійно.

Структура та об'єм роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку літератури (60 назв), основний зміст викладений на 112 стор., повний зміст дисертації складає 119 стор.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі до роботи обгрунтовано актуальність проблематики дисертації, сформульовано мету роботи, розглянуто її зміст за розділами з висвітленням найважливіших результатів. Перший розділ присвячений вивченню властивостей динамічних систем, породжених кусково дробово-лінійними відображеннями, зокрема тих властивостей, що будуть використовуватися при дослідженні відповідних $*$-алгебр у другому та третьому розділі. У другому розділі наводяться необхідні результати з теорії $*$-алгебр, та досліджуються $C^*$-алгебри, пов'язані з простими динамічними системами. Третій розділ присвячений розробці методу опису множини антифоківських зображень та застосуванню цього методу у випадку кусково дробово-лінійних відображень.

У підрозділі 1.1 вводиться клас відображень, що буде досліджуватися, та наводяться означення з теорії динамічних систем, які використовуються у дисертаційному дослідженні. Багато важливих прикладів $*$-алгебр, $C^*$-алгебр та їх зображень пов'язані з динамічними системами. Зокрема, алгебра двопараметричного квантового диску (Клімек С., Ліснєвський А. 1993р.) \begin{gather*} \mathbb{C}\langle z, z^*\,|\; qzz^*-z^*z = q-1 +\mu(1-zz^*)(1-z^*z)\rangle,\nonumber\\ 0\le \mu\le 1, \qquad 0\le q\le 1, \qquad (\mu,q)\not=(0,1),\nonumber \end{gather*} яка породжена співвідношенням, що може бути переписане у

формі

\begin{equation*} XX^* = f(X^*X), \eqno{(\ref{relation})} \end{equation*} де \vspace{-0.2cm} \[ f(\lambda)=\frac{(q+\mu)\lambda+1-q-\mu}{\mu\lambda+1-\mu}.\]

У дисертаційному дослідженні ми будемо розглядати "унімодальну деформацію" \; цього співвідношення. Тобто розглядаються неперервні кусково дробово-лінійні відображення $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, що мають рівно два інтервали монотонності. Як з'ясувалося, при дослідженні зображень відповідних $C^*$-алгебр, важливо дослідити властивості динамічної системи $(f,\mathbb{R})$ на певному інтервалі. Тому у першому розділі вивчаються динамічні системи, що породжені відображеннями $f:[0,1]\to [0,1]$

\begin{equation*}f(x)=\left\{\begin{array}{l} f_1(x)={{}}\frac{\alpha x + \beta}{\gamma x+\delta},\;\;\; x \in [0,b],\\ f_2(x)={{}}\frac{\alpha_1 x + \beta_1}{\gamma_1 x+\delta_1},\; x \in (b,1], \end{array}\right. \eqno{(\ref{giperbol})}\end{equation*} де $f_1$ та $f_2$ неперервні на $[0,b]$ та $[b,1]$ відповідно.

Будемо позначати $f^n=f\circ f^{n-1},\; n=0,1,2,\dots,$, де $f^0$ - тотожне відображення. Під орбітою динамічної системи $(X,f)$ в роботі розуміється послідовність $\delta =\{x_k\}, {k\in \mathbb{Z}}$ або $ k\in \mathbb{N}$ така, що $f(x_k)=x_{k+1}$. Означимо клас додатних орбіт, за якими далі будуються зображення відповідних $C^*$-алгебр. Додатними орбітами будемо називати наступні послідовності: 1) $\delta =\{x_k\}_{k\in \mathbb{Z}} $, $x_k>0$, $k\in \mathbb{Z}$ -- двобічна додатна орбіта; 2) $\delta =\{x_k\}_{k\in \mathbb{N}}$, $x_1=0,~x_k> 0$ при $k>1$ -- фоківська орбіта; 3) $\delta =\{x_{-k}\}_{k\in \mathbb{N}}$, $x_{-1}=0,~x_{-k}>0$ при $k>1$ -- антифоківська орбіта. Позначимо через ${\rm Orb}_+(f)$ множину всіх додатних нециклічних двобічних орбіт. Для кожної орбіти $\delta$ визначимо $\omega $-граничну множину $\omega (\delta)$, як множину граничних точок правої напіворбіти (тобто, для кожного $x\in \omega(\delta)$ існує послідовність $\{k_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ така, що $x_{k_n}\to x$ при $n\to \infty$) і $\alpha$-граничну множину $\alpha (\delta)$, як множину граничних точок лівої напіворбіти. Зауважимо, що $\omega (\delta )=\emptyset$ для кожної анти-фоківської орбіти $\delta$ і $\alpha (\delta')=\emptyset$ для фоківської орбіти $\delta'$.

У підрозділі 1.2 розглядаються прості динамічні системи, породжені відображеннями (\ref{giperbol}) наступних двох типів.

\\

Відображення типу 1:\hspace{3.1cm} Відображення типу 2:\\ $f_2(1)=1$, $f_1( b )=f_2( b )=0$. \hspace{2cm} $f_2(1)=0$, $f_1( b )=f_2( b )=1$. \begin{equation*} f(x)=\left\{\begin{array}{ll} f_1(x)={{}}\frac{\alpha x -\alpha b}{\gamma x+\delta} ,\, x \in [0, b],\vspace{1mm}\\ f_2(x)={{}}\frac{x- b}{1- b} ,\quad \; x \in ( b,1]. \end{array}\right. f(x)=\left\{\begin{array}{ll} f_1(x)= {{}}\frac{\alpha(x- b) + \delta+\gamma b}{\gamma x+\delta} ,\, x \in [0, b],\vspace{1mm}\\ f_2(x)={{}}\frac{x-1}{ b-1} ,\quad \quad \quad \quad \,\, x \in ( b,1]. \end{array}\right.\end{equation*}

Динамічна система називається простою, якщо кожна її траєкторія є періодичною або асимптотично періодичною. Необхідною умовою простоти динамічної системи є відсутність

періодичних траєкторій періоду відмінного від степені двійки. Відомо, що для простої динамічної системи \omega-гранична множина кожної орбіти є циклом.

Нехай \mathcal{F}_{2^m}=\{f\in C(I,I)~|~Per ~f=Fix~f^{2^m}\}, де I -- деякий інтервал з \mathbb{R}. Для гладких та кусково-монотонних відображень поняття \mathcal{F}_{2^k}-динамічної системи та простої динамічної системи еквівалентні.

Для отримання опису зображень динамічного співвідношення (\ref{relation}) (див. теор. \ref{bondarenko:genf}) та структури C*-алгебр, породжених операторами незвідних зображень цього співвідношення (теореми \ref{bondarenko:des}, \ref{slavter}), необхідно описати не тільки \omega-граничні, але і \alpha-граничні множини додатних орбіт. Наступна теорема дає відповідний опис множини {\rm Orb}_+(f).

Теорема 1.2.4 Нехай (f,I) є динамічною системою типу 1 чи 2. Нехай s є відштовхуючою нерухомою точкою та \beta_j є відштовхуючим циклом періоду 2^j (якщо він існує). Тоді для відображення типу 1 j=0 причому \beta_0\not =s. Для відображення типу 2 j=1. Визначимо P_s=\{\delta | \delta \in {\rm Orb}_+(f),\ \alpha(\delta) =s \} та P_{\beta_j}=\{\delta | \delta \in {\rm Orb}_+(f),\ \alpha(\delta) =\beta_j \}. i\in\{0,1,2\}. Та\\ I для динамічної системи типу 1 та i=0 чи для динамічної системи типу 2 та i=1: 1. {\rm Orb}_+(f)=P_s 2. існує інтервал I_s=[t_1,t_2) та взаємно однозначне відображення \phi: I_s \to P_s таке, що t\in\phi(t) для кожного t\in I_s. 3. I_s може бути вибраним у довільному околі точки s. \\ II для динамічної системи типу 1 та i=1 чи для динамічної системи типу 2 та i=2: 1. {\rm Orb}_+(f)=P_s \overset{\cdot}{\cup} P_{\beta_j} 2. існує інтервал I_{\beta_j}=[t_1,t_2) та взаємно однозначне відображення \phi: I_{\beta_j} \to P_{\beta_j} таке, що t\in\phi(t) для кожного t\in I_{\beta_j}. Існує I_s=[t_1,t_2) та взаємно однозначне відображення \phi: I_s \to P_s таке, що t\in\phi(t) для кожного t\in I_s. 3. I_s\cap I_{\beta_j}=\varnothing. I_{\beta_j} може бути вибраним у довільному околі \beta_j.

У підрозділі 1.3 розглядаються стійкі цикли динамічних систем породжених відображенням (\ref{giperbol}), що задовольняє умовам: f_1 -- зростає, f_2 -- спадає та f_2(1)=0. Існування стійких циклів суттєво використовується при описі антифоківських зображень у третьому розділі. Вище згадані умови на відображення не впливають на загальність дослідження структури антифоківських зображень, про що зауважується у третьому розділі.

Будемо говорити, що динамічна система (f,I) має цикл \{x_1,...,x_n\} типу \gamma_n, n=2,3,..., якщо виконується наступна умова x_i<x_{i+1},\ \ f(x_i)=x_{i+1},\ \ i=1,...,n-1,\ \ f(x_n)=x_1.

Наступна теорема дає повний опис типів притягуючих циклів для унімодальних кусково-лінійних відображень.

Теорема 1.3.2 Нехай f:I\to I, I=[c,d] неперервне кусково-лінійне унімодальне відображення, таке що f(b)=\max_{x\in I}f(x)=d, f(d)=c, f(c)\geqslant c. Тоді якщо відповідна динамічна система (f,I) має стійкий цикл то він є типу \gamma_n.

Хоча у третьому розділі будуть розглядатися тільки неперервні відображення, ми розглядаємо задачу опису стійких циклів для більш широкого класу. А саме ми розглянемо такі відображення (\ref{giperbol}), що мають розрив у точці b. Також ми будемо вважати, що виконується умова (\alpha-\delta)^{2}+4\gamma \beta \geqslant 0 та розглянемо відображення з точністю до топологічної спряженості. Відображення при цьому може мати два суттєво різні вигляди. {\bf I} Розглянемо перший з них: f_{1}(b)=1-\varepsilon, f_{2}(b)=1, \varepsilon \geqslant 0. За цих умов відображення перепишеться у наступному вигляді

\begin{array}{l} f_{l,s,t}(x)=\left\{\begin{array}{lr} f_1(x)=l x+a,& x \in [0,b],\\ f_2(x)= {{}}\frac{x-1}{sx+t},& x \in (b,1], \end{array}\right. \\ \mbox{причому} l\geqslant 0, a=1-\varepsilon-l{{}}\frac{t+1}{s-1},\ \ b={{}}\frac{t+1}{s-1}. \end{array} \eqno{(\ref{case1})} Також повинні виконуватись умови f_{2}^{'}(x)<0,b\in(0,1) , a\in[0,1) та 1-\varepsilon>b. Ці умови рівносильні тому, що параметри l,s,t належать області: \begin{eqnarray*} П=\left\{(l,s,t): l>0, s<1, t\in \left(-1,{{}}\min\left\{-s+\varepsilon(s-1),\right. \right. \right. -1+\frac{(1-\varepsilon)(1-s)}{l} \})\}.\end{eqnarray*}

Хоча для цього класу відображень немає твердження подібного до теореми \ref{kuslin} ми, врахувавши те, що ці відображення теж мають нульовий шварціан (у точках де він визначений) будемо шукати стійки цикли серед циклів типу \gamma_n. Наступні лема та теорема дають умови існування циклу \gamma_n.

Лема 1.3.1 Динамічна система (f,I), що породжена відображенням (\ref{case1}) має цикл \gamma_n тоді і тільки тоді коли виконуються умови: 1) Існує точка m\geqslant 0 така, що f_{1}^{n-2}(m)=b, 2) f_{2}(1-\varepsilon)\leqslant m.

Введемо позначення

L_n=1+l+l^2+...+l^n=\frac{1-l^{n+1}}{1-l}.

Теорема 1.3.3 Динамічна система (f,I), що породжена відображенням (\ref{case1}) має стійкий цикл \gamma_n тоді і тільки тоді коли виконуються умови: \left\{ \begin{array}{l} s<\frac{1}{L_{n-1}} \\ t<{{}}\frac{l^{n-1}+s(1-2l^{n-1}-\varepsilon L_{n-2})+s^2 L_{n-2}(\varepsilon-1)}{sL_{n-1}-1} \\ \hspace{-0.3cm} \begin{array}{l} t^{2}L_{n-2}+t(l^{n-2}+s(L_{n-2}+L_{n-3})+\varepsilon(L_{n-3}-s(L_{n-2}+L_{n-3}))+sl^{n-2}+ \\ s^{2}L_{n-3}+ \varepsilon(l^{n-2}-2s^{2}L_{n-3}-2sl^{n-2}+sL_{n-3})+\varepsilon^{2}s(s-1)L_{n-3}<0. \end{array} \end{array} \right. end{RTheorem}

{\bf II} Тепер розглянемо другий випадок: f_{1}(b)=1, f_{2}(b)=1-\varepsilon.

\begin{array}{l} f_{l,s,t}(x)=\left\{\begin{array}{lr} f_1(x)=l x+a,& x \in [0,b],\\ f_2(x)= \frac{x-1}{sx+t},& x \in (b,1], \end{array}\right. \\ \mbox{причому} l>0, a=1-l\frac{t(1-\varepsilon)+1}{1-s(1-\varepsilon)},\ \ b=\frac{t(1-\varepsilon)+1}{1-s(1-\varepsilon)}. \end{array} \eqno{(\ref{rcase2})} З умов f_{2}^{'}(x)<0, b\in(0,1) та a\in[0,1) випливає, що параметри l,s,t слід вважати такими, що належать області: \begin{eqnarray*} {{}} П=\left\{(l,s,t): l>0, s<\frac{1}{1-\varepsilon}, t\in \left(-\frac{1}{1-\varepsilon},\right. \right. \left. \left. \min\left\{-s,\frac{1-l-s(1-\varepsilon)}{l(1-\varepsilon)} \right\} \right) \right\}.\end{eqnarray*}

Була отримана наступна теорема, що дає умови у просторі параметрів для існування стійкого циклу \gamma_n.

Теорема 1.3.4 Динамічна система (f,I), що породжена відображенням (\ref{rcase2}) {\em має стійкий цикл} \gamma_n {\em тоді і тільки тоді коли виконуються умови:} \left\{\begin{array}{l} {{}} L_{n-1}<\frac{1}{s(1-\varepsilon)} \\ {{}} s<1 \\ {{}} -\frac{l^{n-2}+sL_{n-3}(1-\varepsilon)}{(1-\varepsilon)L_{n-2}} < t<\min\left\{\frac{-l^{n-1}\varepsilon-s(1-\varepsilon)(L_{n-1}-l^{n-1}\varepsilon)}{(1-\varepsilon)L_{n-1}},\right. \\ {{}} \left. \frac{l^{n-1}+s(1+l^{n-1}(\varepsilon-2))+s^2 L_{n-2}(\varepsilon-1)}{s(1-\varepsilon)L_{n-1}-1} \right\} , \end{array}\right. або \left\{\begin{array}{l} {{}} L_{n-1}<\frac{1}{s(1-\varepsilon)} \\ {{}} 1<s<\frac{1}{1-\varepsilon} \\ {{}} -\frac{l^{n-2}+sL_{n-3}(1-\varepsilon)}{(1-\varepsilon)L_{n-2}} < t<\frac{-l^{n-1}\varepsilon-s(1-\varepsilon)(L_{n-1}-l^{n-1}\varepsilon)}{(1-\varepsilon)L_{n-1}} , \end{array}\right. або \left\{\begin{array}{l} {{}} L_{n-1}>\frac{1}{s(1-\varepsilon)} \\ {{}} 1<s<\frac{1}{1-\varepsilon} \\ {{}} \max\left\{\frac{l^{n-1}+s(1+l^{n-1}(\varepsilon-2))+s^2 L_{n-2}(\varepsilon-1)}{s(1-\varepsilon)L_{n-1}-1}, \frac{l^{n-2}+sL_{n-3}(1-\varepsilon)}{(\varepsilon-1)L_{n-2}}\right\} < \\ {{}} < t<\frac{-l^{n-1}\varepsilon-s(1-\varepsilon)(L_{n-1}-l^{n-1}\varepsilon)}{(1-\varepsilon)L_{n-1}} . \end{array}\right. \end{RTheorem}

Також були отримані наступні асимптотичні властивості:

Твердження 1.3.2 Якщо зафіксувати параметри s<1 та l\in (0,1-s), і змінювати параметр t від -1 до -s, то для відображення (\ref{rcase2}) ми послідовно будемо

спостерігати стійки цикли натуральних періодів. А якщо l\in (0,\frac{1-s(1-\varepsilon)}{2-s+\varepsilon(s-1)}), то коли t\to -s період циклу зростає необмежено.

Твердження 1.3.4 Якщо зафіксувати параметри 1\leqslant s<\frac{1}{1-\varepsilon} та l\in (0,1- \frac{(1-\varepsilon)}{\varepsilon}\cdot (1-s+s\varepsilon)), і змінювати параметр t від -1 до

-s, то для відображення (\ref{rcase2}) ми послідовно будемо спостерігати стійки цикли натуральних періодів. Причому при t\to -s період циклу зростає необмежено.

Твердження 1.3.5 В області параметрів, що задається нерівністю l<\varepsilon існує нескінченно багато областей де існує два стійких цикли, i періоди цих циклів відрізняються на одиницю.

Розділ 2 присвячений вивченню властивостей C*-алгебр, пов'язаних з динамічними системами, та опису їх незвідних зображень обмеженими операторами. У підрозділі 2.1 наводяться необхідні означення та факти з теорії зображень інволютивних алгебр. Нехай \mathcal{A} -- алгебра над полем \mathbb{C} комплексних чисел. Відображення x\rightarrow x^* алгебри \mathcal{A} в себе називається інволюцією, якщо виконуються наступні властивості: \begin{tabular}{ll} (1) (x+y)^*=x^*+y^*, & (3) (xy)^*=y^*x^*, \\ (2) (\lambda x)^*=\overline{\lambda}x^*, & (4) (x^*)^*=x \end{tabular}\\ для довільних x,y\in \mathcal{A} і \lambda \in \mathbb{C}. Алгебри з інволюцією ще називають інволютивними або *-алгебрами. C*-алгеброю називається така інволютивна нормована банахова алгебра \mathcal{A}, що \Vert x^*x\Vert =\Vert x\Vert ^2 для довільного x\in \mathcal{A}. Зображенням *-алгебри \mathcal{A} називається *-гомоморфізм П :\mathcal{A} \rightarrow L(H) в алгебру обмежених операторів у гільбертовому просторі H із звичайною інволюцією --- спряженням.

У підрозділі 2.2 вводиться до розгляду алгебраїчне співвідношення (\ref{relation}): XX^*=f(X^*X), для неперервного і, взагалі кажучи, небієктивного відображення f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}. Якщо f(\cdot)=P_n(\cdot) поліном, то зображення цього співвідношення дає зображення *-алгебри \begin{equation*} \mathcal{A}_f= \mathbb{C}\langle X,X^*~|~XX^*=f(X^*X)\rangle, \eqno{(\ref{alg})} \end{equation*} що задана твірними X,X^* та визначальним співвідношенням (\ref{relation}). У випадку, якщо f не поліном, то *-алгебра не визначена, але визначена C*-алгебра. Далі наводиться конструкція обгортуючої C*-алгебри і визначається C*-алгебра для таких відображень, що розглядаються в даній роботі. У випадку, якщо f -- обмежений зверху поліном з дійсними коефіцієнтами, існує *-алгебра (\ref{alg}), яка є *-обмеженою. Отже, існує обгортуюча C*-алгебра, що позначається C*(\mathcal{A}_f). Якщо f не поліном, під C*(\mathcal{A}_f) ми розуміємо C*-алгебру, що отримується з вільної *-алгебри \mathcal{F}(X,X^*), породженої X, з переднормою \Vert u\Vert=\sup_{П }\Vert П(u)\Vert (u\in \mathcal{F}(X,X^*)), де супремум береться по всіх П\in Rep~(\mathcal{F}(X,X^*)) таких, що П(XX^*)=f(П(X^*X)) за стандартною процедурою

факторизації і поповнення. Зауважимо, що зображення

співвідношення (\ref{relation}) є зображеннями відповідної

C*-алгебри.

У підрозділі 2.3 розглядається зв'язок незвідних зображень співвідношення (\ref{relation}) з орбітами динамічної системи. Зокрема наводиться наступна теорема (Островський В.Л. Самойленко Ю.С.).

Теорема 2.3.4 Нехай f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} неперервне відображення. Тоді існує наступний зв'язок між зображеннями *-алгебр \mathcal{A}_f=\mathbb{C}\langle X,X^* |~XX^*=f(X^*X) \rangle, C*(\mathcal{A}_f) та додатними орбітами динамічної системи (f,\mathbb{R}_+).

1. Кожній додатній не циклічній орбіті \omega=(x_k)_{k\in \mathbb{Z}} відповідає незвідне зображення П _\omega у гільбертовому просторі l_2 (\mathbb{Z}) задане за допомогою наступних формул: Ue_k=e_{k-1}, Ce_k=\sqrt {x_k}e_k для k\in \mathbb{Z} і X=UC полярний розклад.

2. Фоківській орбіті \omega =(x_k)_{k\in \mathbb{N}} відповідає незвідне фоківське зображення П _\omega у гільбертовому просторі l_2(\mathbb{N}), що задається формулами: Ue_0=0, ~Ue_k=e_{k-1} Ce_k=\sqrt {x_k}e_k для k>1 і X=UC

3. Анти-фоківській орбіті \omega=(x_{-k})_{k\in \mathbb{N}} відповідає незвідне антифоківське зображення П_\omega у гільбертовому просторі l_2(\mathbb{N}), що задається формулами: Ue_k=e_{k-1}, Ce_k=\sqrt {x_k}e_k для k>1 і X=UC

4. Циклічній додатній орбіті \omega =(x_k)_{k\in \{1,..,m\}} довжини m відповідає сім'я m-вимірних незвідних зображень П _{\omega,\phi} у гільбертовому просторі l_2(\{1,..,m\}), що задається формулами: Ue_0=e^{i\phi}e_{m-1},~ Ue_k=e_{k-1} Ce_k=\sqrt {x_k}e_k для k=1,..,m;~ 0\leqslant \phi \leqslant 2П і X=UC Причому, для кусково-монотонного неперервного відображення f\in \mathcal{F}_{2^m} цей список вичерпує всі нееквівалентні незвідні зображення.

У підрозділі 2.4 розглядається алгебра C*(\mathcal{A}_f) для простих кусково дробово-лінійних відображень f які вивчались у підрозділі 1.2. Зокрема, доводиться теорема \ref{bondarenko:genf}, що дає опис незвідних зображень. Позначимо через П_{\phi(t)} (незвідне для \phi(t)\in {\rm Orb}_+(f) та звідне коли t\in \overline{T}\setminus T) зображення пов'язане з нециклічною орбітою \phi(t) за формулами теореми~\ref{rep} та через П_{\beta,\psi} скінченовимірне зображення пов'язане з циклом \beta, \psi\in [0,2П].

Теорема 2.4.1 Нехай f є відображенням типу 1, що має притягуючий цикл періоду один, чи відображення типу 2, що має притягуючий цикл періоду два тоді:

1. У першому випадку C*(A_f) має тільки одномірні незвідні скінченовимірні зображення, що параметризуються \phi, \psi \in [0,2П). Ці зображення задаються наступним чином : П_0(X)=\sqrt{x_0}e^{i\phi}, П_1(X)=e^{i\psi}, де x_0 - нерухома точка відображення f. У другому випадку C*(A_f) має тільки одновимірні та двовимірні незвідні скінченовимірні зображення, що параметризуються \phi\in [0,2П), вони мають вигляд П_{s,\phi} та П_{\beta_1,\phi}.

2. C*(A_f) має незвідне фоківське П_f та одне незвідне антифоківське зображення П_{af}. Обидва вони у першому випадку та П_{af} у другому породжують алгебри тьопліцевих операторів. У другому випадку П_f породжує алгебру M_{2}(\mathcal{T}(C(\mathbb{T}))), де \mathcal{T}(C(\mathbb{T})) є алгеброю тьопліцевих операторів.

3. У першому випадку для кожного t\in T=I_1 існує незвідне нескінченновимірне зображення П_{\phi(t)} алгебри C*(A_f). Для всіх t\in T оператори П_t породжують ізоморфні C*-алгебри. Позначимо цю алгебру через \mathcal{A}. Алгебра \mathcal{A} є схрещеним добутком C(X)\times\mathbb{Z} де X є замиканням довільної орбіти \phi(t). Алгебра \mathcal{A} має тільки одне нескінченновимірне зображення та два кола одновимірних зображень. позначимо \gamma_s та \gamma_1 два довільних таких зображення з різних кіл. У другому випадку для кожного t\in T=I_s існує незвідне нескінченновимірне зображення П_{\phi(t)} алгебри C*(A_f). Для всіх t\in I_s оператори П_{\phi(t)} породжують ізоморфні C*-алгебри. Позначимо цю алгебру через \mathcal{B}. Алгебра \mathcal{B} має тільки одне нескінченовимірне зображення, одне коло одновимірних зображень (позначимо \eta_s довільне з них) та одне коло двовимірних зображень (позначимо \eta_{\beta_1} довільне з них).

4. *-алгебра C*(A_f) немає більше незвідних зображень.

5. Для довільного a\in C*(A_f) відображення \Psi(a) є неперервним відображенням з T в B(H) де останнє наділено топологією породженою нормою. Більше того, для всіх a\in C*(A_f) виконується наступна рівність \Psi(a)(t_2)=U^* \Psi(a)(t_1) U, де \overline{T}=[t_1,t_2].

6. C*-алгебри C*(П_{\phi(t_1)}) та C*(П_{\phi(t_2)}) співпадають для довільних t_1, t_2\in T як підалгебри B(H). \end{RTheorem}

Розділ 3 присвячений опису антифоківських зображень *-алгебр \mathcal{A}_f та C*(\mathcal{A}_f).

У підрозділі 3.1 вводиться клас відображень f для яких далі буде детально досліджуватися задача опису множини антифоківських зображень. А саме розглядаються унімодальні відображення f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:

\begin{equation*}f(x)=\left\{\begin{array}{lr} f_1(x),& x\leqslant b ,\\ f_2(x),& x>b, \end{array}\right. \eqno{(\ref{eq111})} \end{equation*} f_1(x), f_2(x) неперервні та монотонні на (-\infty,b], (b, +\infty) відповідно.

Для того щоб відображення f не було взаємно однозначним на додатній напіввісі та для того щоб динамічна система мала додатні орбіти ми будемо вважати, що\vspace{-0.1cm} \begin{equation*} b>0 \mbox{та} f(b)\geqslant b. \eqno{(\ref{za1})} \end{equation*} \vspace{-0.4cm} \vspace{-0.4cm} Також ми будемо вважати, що \vspace{-0.3cm} \begin{equation*} f_1(x) - \mbox{зростає при} x\in (-\infty,b], \ \ f_2(x) - \mbox{спадає при} x\in [b, +\infty). \eqno{(\ref{za2})} \end{equation*}

Твердження 3.1.1 Нехай (\mathbb{R},f) - динамічна система, що породжена відображенням (\ref{eq111}). Тоді за умов (\ref{za1}), (\ref{za2})

можливі тільки наступні випадки.\\ 1.

f^{2}(b)\geqslant b

a) f(0)\geqslant 0 - немає антифоківських орбіт.

b) f(0)< 0 - існує єдина антифоківська орбіта.\\

2. f^{2}(b)<b

a) 0<f^{2}(b), f(0)\geqslant 0 - немає антифоківських орбіт.

b) 0<f^{2}(b), f(0)< 0 - існує єдина антифоківська орбіта.

c) 0\geqslant f^{2}(b), f^{3}(b)\geqslant f^{2}(b) - множини антифоківських орбіт динамічних систем (f,\mathbb{R}) та (f,[f^{2}(b),f(b)]) співпадають.

d) 0\geqslant f^{2}(b), f^{3}(b)< f^{2}(b) - (f,[f^{2}(b),f(b)]) не є динамічною системою. Антифоківські орбіти динамічної системи (f,\mathbb{R}) зосереджені на відрізку [f^{2}(b),f(b)]. \end{RProp}

Таким чином нетрівіальними випадками є випадки 2.c та

2.d.

Далі ми будемо детально розглядати тільки випадок 2.c оскільки випадок 2.d є ідейно простішим, та не включає динамічних систем, що розглядались у розділі 1.

Таким чином ми обмежимося розглядом динамічних систем \\ (f,[c,d]), де \begin{equation*} \begin{array}{l} f(x)=\left\{\begin{array}{lr} f_1(x),& x \in [c,b],\\ f_2(x),& x \in (b,d], \end{array}\right. \\ \text{причому} f_1(b)=f_2(b)=d, c \leqslant f(c)< d, f(d)=c. \end{array}\eqno{(\ref{vidcd})} \end{equation*}

Дослідження структури антифоківських орбіт є частиною більш загальної задачі опису двобічних орбіт динамічної системи (X,\sigma), що проходять через точку x\in X та не мають точок які належать певній множині. Ідея опису множини антифоківських зображень полягає в тому, щоб встановити взаємно однозначну відповідність між антифоківськими орбітами та шляхами на певному графі. Для реалізації цієї ідеї у підрозділі 3.2 вводиться означення П-розбиття динамічної системи (X,f) та відповідного графу переходів \Gamma_{П}. Доводиться теорема \ref{st1} про взаємно однозначну відповідність між множиною орбіт, що проходять через точку x\in X, та множиною певних шляхів на графі \Gamma_{П}. Також вивчаються властивості П-розбиття та доводиться теорема \ref{terr1} про існування мінімального П-розбиття інтервалу.

Означення 3.2.1 Нехай (X,f) динамічна система. Будемо говорити, що розбиття X=\underset{j\in T}{\cup}S_j, S_i\cap S_j=\emptyset, i\not =j, де множина індексів T, взагалі кажучи, не злічена, є {П}-розбиттям, якщо виконуються наступні умови:

1.\forall i\in T, або f^{-1}(S_i)=\emptyset або існує розбиття f^{-1}(S_i)=\bigcup\limits_{j\in Q_i} U_j, U_i\cap U_j=\emptyset, i\not = j таке, що \forall j\in Q_i f(U_j)=S_i та f є взаємно однозначним на U_j;

2. для довільних двох множин U_{j_1}, U_{j_2}, j_1,j_2\in Q_i існують множини S_{i_1} та S_{i_2}, такі що U_{j_1}\subseteq S_{i_1}, U_{j_2}\subseteq S_{i_2},\quad i_1,i_2\in T;

Також будемо говорити, що {П}-розбиття є {П} '

-розбиттям якщо додатково виконується умова:

2'. якщо j_1\not = j_2 то i_1\not =i_2.

\end{Rdef}

У цьому означенні під f^{-1}(S_i) мається на увазі повний

прообраз множини S_i, тобто f^{-1}(S_i)=\{x\in X :

f(x)\in S_i \}.

З П-розбиттям пов'язується наступний граф переходів:

\Gamma_{П }=\{{\Gamma_{П_0 }},{\Gamma_{П_1 }}\}, де

{\Gamma_{П_0 }}=\{v_j: j\in T\} - множина вершин, та

{\Gamma_{П_1 }}=\{s_{ij}^k: i,j\in T, k\in N_{ij},

S_i\subseteq f(S_j), N_{ij}=\{k : k\in Q_i,

U_k\subset S_j \} - множина стрілок.

Під шляхом на графі \Gamma_{П }, що починається у вершині v ми будемо розуміти нескінчену послідовність стрілок \{s_i\}_{i\in \mathbb{N}} таку, що початок s_1 дорівнює v та \forall i\in \mathbb{N} кінець s_i дорівнює початку s_{i+1}. Зауважимо, що шляхи по стрілках на графі \Gamma_{П '}

будуть співпадати зі шляхами по вершинах.

Далі вивчається зв'язок П-розбиття з класичним марковським розбиттям.

Означення 3.2.2 Нехай (X,f) -- динамічна система, X = \bigcup\limits_{i = 1}^n {U_i } , причому int(U_i ) \cap int(U_j ) = \emptyset при i \ne j, кожне U_{i} є замкненим та f(U_i) = \bigcup\limits_{k\in Q_i}{U_{k } } для деякої підмножини Q_i \subseteq {\{}1, 2, \ldots, n{\}}. Тоді множина {\{}U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}{\}} називається марковським розбиттям динамічної системи. \end{Rdef}

Марковське розбиття має дві очевидні відмінності: 1) скінчена кількість елементів, 2) воно не є розбиттям на неперетинаючися множини. Тому для порівняння ми будемо використовувати наступне означення.

Означення 3.2.3 Ми будемо говорити, що розбиття X=\underset{j\in T}{\cup}S_j, S_i\cap S_j=\emptyset, i\not =j динамічної системи (X,f) де множина індексів T, взагалі кажучи, незліченна, {\em задовольняє марковській властивості}, якщо \forall i\in T, f(S_i)=\bigcup\limits_{j\in Q_i} S_j, Q_i\subseteq T. \end{Rdef}

Твердження 3.2.1 Нехай (X,f) -- динамічна система. Тоді довільне її П -розбиття задовольняє марковській властивості. Зворотне, взагалі кажучи, не вірне. \end{RProp}

Твердження 3.2.2 Нехай (X,f) -- динамічна система. Тоді довільне її П ' -розбиття задовольняє марковській властивості та відображення f є взаємно однозначним на його елементах. І навпаки довільне розбиття, що задовольняє марковській властивості та на елементах якого відображення f є взаємно однозначним є П '-розбиттям. \end{RProp} Наступна теорема встановлює зв'язок між двобічними орбітами та шляхами на графі.

Теорема 3.2.1 Нехай (X,f) є динамічною системою, що має П-розбиття. Та нехай \Gamma_{П} відповідний граф переходів. Тоді існує взаємно однозначна відповідність між множиною двобічних орбіт, що проходять через точку x\in X та множиною шляхів на графі \Gamma_{П}, що починаються з вершини відповідний елемент розбиття до якої містить точку x. \end{RTheorem}

Далі переходимо безпосередньо до опису антифоківських зображень.

Означення 3.2.4 Нехай (\mathbb{R},f) - динамічна система. Будемо називати елемент s П-розбиття додатним або відповідно від'ємним, якщо s\subseteq [0, +\infty) або відповідно s\subseteq (-\infty,0). Нехай N множина вершин графа \Gamma_{П} які відповідають від'ємним елементам П-розбиття. \end{Rdef}

Твердження 3.2.3 Нехай (\mathbb{R},f) динамічна система, та існує відповідне П-розбиття кожен елемент якого є або додатним або від'ємним. Тоді, якщо алгебра \mathcal{A}_f або C{*}(\mathcal{A}_f) існує, то існує взаємно однозначна відповідність між множиною її антифоківських зображень та множиною шляхів на графі \Gamma_{П} цього розбиття, що починаються з вершини, яка відповідає елементу який містить точку 0, і не проходять через цю вершину та вершини з множини N. \end{RProp}

Залишаючи опис конструкції П-розбиття у загальному випадку для подальшого вивчення далі переходимо до розгляду розбиттів інтервалу. Будемо позначати через I деякий замкнений інтервал дійсних чисел. Для динамічної системи (f,I) з відображення f вигляду (\ref{eq111}) ми будемо розглядати вужчий клас П-розбиттів. А саме ми будемо вимагати існування фіксованого розбиття прообразу f^{-1}(S_i)=f_1^{-1}(S_i)\cup f_2^{-1}(S_i). Далі ми будемо розглядати тільки П-розбиття, що задовольняють умовам наступного означення.

Означення 3.2.5 Нехай (f,I) динамічна система з унімодальним відображенням f вигляду (\ref{eq111}). Будемо вважати, що f_i^{-1}(x) не визначено для деякого x\in I, якщо не існує x'\in I такого, що f(x')\overset{def}{=}f_i(x')=x, i=1,2.

Будемо говорити, що розбиття інтервалу I=\underset{j}{\cup}S_j, j\in T, S_i\cap S_j=\emptyset, i\not =j, де множина індексів T взагалі кажучи не є зліченою, є П-розбиттям якщо виконуються наступні умови 1, 2.

1. \forall j кожне з відображень f_1^{-1}(x) та f_2^{-1}(x) або не визначене для жодного x\in S_j або визначене для всіх x\in S_j;

2. \forall j, якщо відображення визначені то f_1^{-1}(S_j)\subseteq S_s та f_2^{-1}(S_j)\subseteq S_t для деяких s,t\in T; Також будемо говорити, що {П}-розбиття є {П} ' -розбиттям якщо додатково виконується умова:

3. 2'. s\not =t. \end{Rdef}

Будемо говорити, що розбиття інтервалу [c,d] на неперетинаючися множини {\it задається замкненою множиною точок S}, якщо 1. довільна точка множини S є елементом розбиття, 2. інші елементи розбиття є відкритими інтервалами з кінцями з множини S.

Будемо називати розбиття інтервалу [c,d] на неперетинаючися множини {\it редукованим розбиттям, що задається замкненою множиною точок S}, якщо воно отримане з розбиття, що {\it задане множиною S}, злиттям граничних точок множини S, які є кінцями інтервалів з розбиття, з цими інтервалами в окремі елементи розбиття. Позначимо через \delta_{(x)} однобічну орбіту (x,f(x),f^{2}(x),\dots ) точки x.

Твердження 3.2.5 Нехай (f,I) динамічна система з відображенням (\ref{vidcd}), тоді розбиття (та редуковане розбиття) задане довільною замкненою множиною точок S такою, що \delta_{(d)}\subseteq S та f(S)\subset S є П-розбиттям. Причому, якщо b\in S то це розбиття є П '-розбиттям. \end{RProp}

Означення 3.2.8 П-розбиття(П '-розбиття) динамічної системи (f,I) будемо називати мінімальним на множині M\in I, якщо елементи цього розбиття містять елементи будь-якого іншого П-розбиття(П '-розбиття), що мають спільні точки з множиною M. \end{Rdef}

Теорема 3.2.2 Нехай (f,I) динамічна система з відображенням (\ref{vidcd}), тоді:

1. Існує єдине мінімільне П-розбиття, причому воно є

редукованим розбиттям, що задається множиною точок

\delta_{(d)}\cup\omega(\delta_{(d)}).

2. Якщо b\in \omega(\delta_{(d)}), то існує єдине мінімальне П '-розбиття причому воно є редукованим розбиттям, що задається множиною точок \delta_{(b)}\cup\omega(\delta_{(b)}).

3. Якщо b\not\in \omega(\delta_{(d)}), то розбиття отримане з П '-розбиття, що є редукованим розбиттям заданим множиною точок \delta_{(b)}\cup\omega(\delta_{(b)}), об'єднанням елементу b з одним інтервалів розбиття кінцем якого він є в один елемент, буде мінімальним П '-розбиттям на множині I\backslash [x,y], (x,y це найближчі до b точки з множини \delta_{(d)}\cup\omega(\delta_{(b)}) ), та таким, що має найменшу кількість елементів на інтервалі [x,y]. Таке П '-розбиття будемо називати "мінімальним за кількістю елементів". \end{RTheorem}

Наступне твердження дає реалізацію методу опису

антифоківських зображень.

Твердження 3.2.6 Нехай (f,I) динамічна система з відображенням (\ref{vidcd}) та 0\in I. Розглянемо П-розбиття (або редуковане П-розбиття), що задається множиною S=\{\delta_{(b)}\cup\delta_{(0)}\cup\omega(\delta_{(b)})\cup \omega(\delta_{(0)}) \}. Тоді існує взаємно однозначна відповідність між множиною антифоківських зображень алгебри \mathcal{A}_f або C*(\mathcal{A}_f) та множиною шляхів на графі \Gamma_{П}, що починаються з вершини яка відповідає точці 0, і не проходять через цю вершину та вершини з множини N. \end{RProp}

Наслідок 3.2.1 Нехай (f,I) динамічна система з відображенням (\ref{vidcd}). Розглянемо П-розбиття, що задається множиною S=\{\delta_{(b)}\cup\omega(\delta_{(b)}) \}. Нехай Q є таким елементом П-розбиття, що 0\in Q. Та нехай довільний прообраз нуля не належить Q, або, що еквівалентно, вершина графа \Gamma_{П}, яка відповідає елементу Q не належить замкненому шляху. Тоді існує взаємно однозначна відповідність між множиною антифоківських зображень \mathcal{A}_f або C*(\mathcal{A}_f) та множиною шляхів на графі \Gamma_{П}, що починаються з вершини відповідної до Q та не проходять через вершини з множини N.

Підрозділ 3.3 присвячений конкретній реалізації методу розробленому у підрозділі 3.2 для унімодальних Кусково дробово лінійних відображень інтервалу (\ref{vidcd}), що на

інтервалі [f^{2}(b), f(b)] є топологічно спряженими до відображень наступного вигляду.

Нехай f=f_{l,s,t}:[0,1]\to[0,1]

\begin{equation*} f_{l,s,t}(x)=\left\{\begin{array}{lr} f_1(x)=l x+a,& x

\in [0,b],\\ f_2(x)= \frac{x-1}{sx+t},& x \in (b,1].

\end{array}\right. \eqno{(\ref{finaleq})} \end{equation*}

Причому l>0, f_1(b)=f_2(b)=1.

Також повинні виконуватись умови b\in(0,1), f_{2}^{'}(x)<0 та a\in [0,1). Тобто параметри l,s,t ми будемо вважати такими, що належать області:

П=\left\{(l,s,t):\ \ l>0, s<1,

t\in (-1,\min\{-s,\frac{1-s}{l}-1 \} ) \right\}.

Зауважимо, що коли \omega(\delta_{(b)}) та \omega(\delta_{(0)}) є циклами то ми отримаємо опис антифоківських зображень у вигляді шляхів на графі із зліченою кількістю вершин. Зокрема, ця умова виконується коли існує стійкий цикл. Застосувавши теорему 1.3.4 у випадку \varepsilon =0

отримаємо наступне твердження.

Твердження 3.3.1 Динамічна система (f,[0,1]) породжена відображенням (\ref{finaleq}) має притягуючий цикл \gamma_n тоді і тільки тоді коли \left\{ \begin{array}{l} -\frac{ l^{n-2}+sL_{n-3}}{L_{n-2}}< t<{{}}\frac{l^{n-1}+s(1-2l^{n-1})-s^{2}L_{n-2} }{sL_{n-1}-1}. \end{array}\right. \end{RTheorem}

Зафіксуємо параметр s і розглянемо області існування

і стійкості циклу \gamma_n в просторі параметрів l,t :

П_{n}=\left\{ (l,t): \ \ {{}}\frac{l^{n-1}+s(1-2l^{n-1})-s^{2}L_{n-2} }{sL_{n-1}-1}>t>{{}}\frac{-l^{n-2}-sL_{n-3}}{L_{n-2}} \right\}

Нижня границя кожної з областей П_{n} утворена "кривою існування", позначимо її E_n(l), верхня - "кривою стійкості", позначимо її S_n(l). На малюнку наведені області П_{n} для s=-2. \scalebox{0.65}{\includegraphics{area0b.eps}} Тепер перейдемо безпосередньо до опису антифоківських зображень алгебри C*(\mathcal{A}_{f_{l,s,t}}) коли параметри належать області П_n або її границі.

Твердження 3.3.2 Нехай точка (l,s,t) належить поверхні