Кукліна Оксана Володимирівна

УДК 530.182

ТЕОРІЯ ФРАГМЕНТАЦІЇ ТА УНІВЕРСАЛЬНІ АСИМПТОТИКИ

01.04.02 — теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук

ЯНОВСЬКИЙ Володимир Володимирович,

Інститут монокристалів НАН України,

заступник директора з наукової роботи, завідувач відділу

Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

СЛЬОЗОВ Віталій Валентинович,

Інститут теоретичної фізики ННЦ “Харківський фізико-технічний інститут”, завідувач відділу

доктор фізико-математичних наук, професор

ХОДУСОВ Валерій Дмитрович,

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна

Міністерства освіти і науки України,

професор кафедри теоретичної та ядерної фізики

Провідна установа: Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, відділ теорії та моделювання плазмових процесів та відділ нелінійної фізики конденсованого стану, м. Київ

Захист відбудеться “16” червня 2004 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вче-ної ра-ди Д.64.169.01 при Інституті монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, про-спект Леніна, 60.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, проспект Леніна, 60.

Автореферат розісланий “12” травня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико-математичних наук ________________ Добротворська М.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Процеси фрагментації відіграють важливу роль у багатьох областях фундаментальної та експериментальної фізики, вони поширені у природі та мають широкі технічні застосування. Тому необхідність розробки фундаментальної теорії, що описує ці процеси, є очевидною.

Під фрагментацією у фізиці розуміють процеси, що пов'язані з руйнуванням об'єктів на більш дрібні фрагменти під впливом зовнішніх факторів. В залежності від інтенсивності та способу руйнування об'єкта ці процеси умовно можна поділити на слабку фрагментацію (одноразове руйнування в результаті поодинокого удару або падіння) і сильну фрагментацію (багаторазове руйнування об'єкта, наприклад, під пресом чи в дробильній установці). Фрагментація охоплює широкий спектр процесів: від макропроцесів (дроблення метеоритів та астероїдів, руйнування гірської породи) до процесів руйнування, що відбуваються на середніх масштабах (дроблення твердих тіл у результаті зовнішнього навантаження, падіння або їх зіткнення, дроблення рідких крапель і волокон), і мікропроцесів (руйнування полімерів, розрізування білкових молекул високоенергетичними іонами або частками, отримання дрібнодисперсних порошків, в яких відсутня коагуляція дрібних часток у кластери або їхнє спікання).

Звичайно, при описі фрагментації досліджують статистичні властивості фрагментів, що описуються функцією розподілу фрагментів за розмірами (або масами). Більшість експериментальних досліджень цих процесів виявляють степеневі функції розподілу фрагментів за розмірами у великомасштабній області з показниками степеня від -3 до -5. Проте, внаслідок значної нерівноважності процесів фрагментації та їх складності, теорії, що існують, не дають фізично обґрунтованих принципів для їхнього опису. Ці теорії також не пояснюють появи в природі таких степеневих розподілів. Велика кількість різних методів опису руйнування вимагає виділення загальних принципів формування типових розподілів фрагментів за розмірами, які спостерігаються в природі. Цього можна досягти або узагальнюючи всі розглянуті раніше методи опису, або ґрунтуючись на фундаментальних законах і найбільш загальних фізично обґрунтованих принципах. Саме останній підхід був застосований в даній дисертаційній роботі.

Слід зазначити, що більшість відомих закономірностей і характеристик процесу фрагментації є наслідком накопиченого емпіричного досвіду. Ці закономірності використовуються, наприклад, при створенні багатьох спеціальних установок (дробильних машин) для дроблення різних матеріалів. Використання адекватної теорії дало б можливість оптимізувати процеси дроблення. Зокрема, передбачити появу певних фракцій при заданих умовах і витрати енергії для досягнення потрібного результату.

Тому побудова фізичної теорії фрагментації є актуальною задачею і важлива не тільки для науки в цілому, але і для використання її результатів на виробництві та в техніці, а також для розвитку інших теорій сильно нерівноважних систем в теоретичній та експериментальній фізиці.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, які проведено в дисертаційній роботі, пов’язані з наступними держбюджетними темами Інституту Монокристалів НАН України: “Дослідження ефектів нелінійності та хаотичності в конденсованих середовищах” № 0101U003489 (2001-2003 р.), “Дослідження фрактальних властивостей неорганічних кристалів” № 0101U003718 (2001-2003 р.), “Дослідження нерівноважних фазових перетворень у конденсованих середовищах” № 0198U004257 (1998-2000 р.), а також узгоджуються з науковою тематикою кафедри фізики кристалів Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова теорії фрагментації, що описує еволюцію функції розподілу фрагментів за розмірами в процесі дроблення, і встановлення універсальних залежностей для статистичних характеристик системи фрагментів, їхнє обґрунтування аналітичним шляхом і шляхом чисельного аналізу, моделювання та проведення експериментів. Основними задачами дослідження є:

ѕ Побудова теорії сильної фрагментації багатовимірних об'єктів з фрактальною границею. Знаходження точних розв’язків для функції розподілу фрагментів за розмірами. Пошук універсальних асимптотик функції розподілу у великомасштабній області розмірів. Вивчення релаксації отриманих розв’язків в асимптотичні режими.

ѕ Обробка й аналіз експериментальних даних з експериментів по дробленню скла і граніту при різних руйнівних навантаженнях.

ѕ Побудова теорії фрагментації одновимірних об'єктів. Проведення чисельного моделювання процесу розрізування. Пошук функцій розподілу фрагментів за розмірами для хаотичних і регулярних режимів розрізування.

Об'єктом дослідження є процес фрагментації, його фундаментальні та загальні властивості.

Предметом дослідження в дисертаційній роботі є функція розподілу фрагментів за розмірами в вимірній () сильній фрагментації і одновимірній динамічній фрагментації.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі для побудови теорії сильної фрагментації було використано головні закони збереження, методи статистичної фізики і теорія фракталів. В цій теорії застосовувались методи розв’язання лінійних і нелінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних. В проведеному експерименті з сильної фрагментації використовувалася методика просіювання і зважування фракцій фрагментів, а також стандартні методи обробки експериментальних даних. При побудові теорії одновимірної динамічної фрагментації застосовувалися методи статистичної фізики, теорії імовірностей і теорії детермінованого хаосу.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступних вперше запропонованих та встановлених положеннях:

· Розвинуто теорію сильної фрагментації вимірних () об'єктів із фрактальною границею, у рамках якої побудовано лінійну, мінімальну і нелінійну теорії фрагментації.

· В лінійній теорії та нелінійній теорії фрагментації знайдено розв’язки для функції розподілу фрагментів за розмірами, що виходять на універсальні степеневі асимптотики у великомасштабній області розмірів фрагментів.

· Виявлено, що область реалізації асимптотик функції розподілу в просторі розмірів фрагментів розширюється зі збільшенням вкладеної енергії, і релаксація функції розподілу в асимптотичний режим уповільнюється зі збільшенням фрактальної вимірності границі розколу.

· В мінімальній теорії у великомасштабній області отримано весь спектр показників універсальних степеневих асимптотик функції розподілу, що реалізується в природі для сильної і слабкої фрагментації. Показники узгоджені з введеним принципом зменшення потоку об’єму фрагментів з ростом енергії.

· Отримано степеневі асимптотичні закони для функцій розподілу, виявлено характер зменшення потоку з енергією згідно аналізу експериментальних даних з експериментів дроблення скла і граніту при різних прикладених руйнівних навантаженнях. Результати теорії сильної фрагментації добре узгоджуються з експериментальними результатами.

· Побудовано теорію динамічної фрагментації одновимірних об'єктів. У великомасштабній області отримано дві універсальні асимптотики функції розподілу фрагментів за розмірами в залежності від режиму закону розрізування: у хаотичних режимах – експоненційний вигляд, для регулярних режимів – степеневий вигляд.

Прак-тич-не зна-чен-ня одер-жа-них ре-зуль-татів. Результати, що отримано в дисертаційній роботі, мають фундаментальне значення і можуть бути використані для поглиблення розуміння фізики процесів фрагментації та інших сильно нерівноважних процесів. Теорію сильної фрагментації можна використовувати для опису процесів руйнування на більш дрібні фрагменти, наприклад, в астрофізиці (руйнування астероїдів, метеоритів та інших космічних тіл, розподіл галактик). Викликає інтерес її використання в гідродинаміці (дроблення та розподіл вихорів у рідинах) та у фізиці рідин (дроблення крапель таких рідин, як ртуть і бензин). Найбільш ефективно теорія може бути використана в порошковій металургії (виготовлення порошків), в гірничорудній промисловості (при переробці корисних копалин), у виробництві щебеню, в процесі збагачення корисних копалин (перша стадія якого полягає в роздрібненні гірської породи), в текстильній промисловості (виробництво паперу), в хімічній промисловості (виробництво мінеральних добрив, барвників і багатьох інших типів продукції), в промисловості будівельних матеріалів (виробництво таких матеріалів як цемент, вапно, гіпс), у виготовленні керамічних, силікатних, бетонних і залізобетонних виробів і конструкцій, в сільськогосподарському виробництві і харчовій промисловості (наприклад, при виготовленні борошна, крупи, комбікормів). Теорія динамічної фрагментації одновимірних об'єктів може бути використана для опису процесів дроблення в біофізиці, таких як фрагментація довгих полімерних молекул.

Осо-би-стий вне-сок здо-бу-ва-ча. В чотирьох статтях [1-4] і тезах доповідей наукових конференцій [5, 6], виконаних зі співавторами, міститься виклад основних результатів дисертації. Особистий внесок здобувача полягає в безпосередній участі в постановці задач, проведенні теоретичних розрахунків і чисельного аналізу, обробці й статистичному аналізі отриманих експериментальних даних. В роботах [1, 2, 5] здобувачем були вирішені лінійні та нелінійні диференціальні кінетичні рівняння в частинних похідних для функції розподілу фрагментів за розмірами. З отриманих рішень були виявлені універсальні степеневі асимптотики для функції розподілу. Здобувачем був проведений чисельний аналіз виходу рішень в асимптотичні режими, досліджена залежність функції розподілу від вкладеної енергії і фрактальної вимірності границі розколу. А також здобувачем було вивчено узгодженість отриманих теоретичних результатів з відомими експериментальними фактами. В роботах [3, 6] здобувачу належить обробка та статистичний аналіз експериментальних даних з експериментів по фрагментації зразків скла та граніту, а також вивчення узгодженості отриманих експериментальних результатів із передбаченнями теорії сильної фрагментації. В роботі [4] здобувачем були виконані та проаналізовані дані комп'ютерного моделювання з хаотичної і регулярної фрагментації одновимірних об'єктів, проведені аналітичні оцінки функції розподілу та встановлено їх зв'язок з результатами моделювання.

Ап-ро-бація ре-зуль-татів ди-сер-тації. Матеріали дисертації доповідалися й обговорювалися на наступних міжнародних і вітчизняних конференціях: Міжнародна конференція “Плазмова електроніка та нові методи прискорення” у розділі “Нелінійна фізика” (9-11 липня 2000 р., ХНУ ім. В.Н. Каразіна, Харків, Україна), П’ята міжнародна конференція “Фізичні явища в твердих тілах” (25-26 жовтня 2001 р., ХНУ ім. В.Н. Каразіна, Харків, Україна), Перша регіональна конференція молодих вчених та науковців “Сучасні питання матеріалознавства” (27-29 травня 2002 р., Інститут монокристалів НАН України, Харків, Україна), Workshop and seminar on “Microscopic chaos and transport in many-particle systems” (August 12-25, 2002, Max-Planck-Institut fuer Physik komplexer Systeme, Dresden, Germany).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 6 робіт, у тому числі 4 статті в наукових журналах, які задовольняють вимогам ВАК, і 2 тези в доповідях міжнародних конференцій.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних літературних джерел із 104 найменувань. Повний обсяг складає 134 сторінки. Дисертація містить 19 рисунків та 5 таблиць.

ОС-НОВ-НИЙ ЗМІСТ РО-БО-ТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, вказана мета і позначено основні задачі дослідження. Також виявлена наукова і практична новизна отриманих результатів.

В першому розділі представлено огляд літератури, що відповідає проблемам фрагментації. Проаналізовано стан проблеми, теоретичні підходи до процесів фрагментації та відомі експериментальні факти. Обґрунтовано необхідність подальших досліджень у цій області.

У дру-го-му розділі запропоновано теорію сильної фрагментації D-вимірних (D 2) об'єктів з фрактальною границею розколу. Ця теорія заснована на простих фізичних принципах, які виконуються для багатьох процесів руйнування. Побудовано послідовно лінійну, мінімальну і нелінійну теорію. Головна мета при цьому полягала в пошуку універсальних законів для функції розподілу фрагментів f(R,E) за розмірами, які виникають в процесі руйнування фрагментів під зовнішніми впливами.

Головними характеристиками фрагмента є об'єм фрагмента та міра його границі (у тривимірному випадку – площа поверхні), які визначаються характерним розміром фрагмента R. Добре відомо, що найбільш часто у природі зустрічаються фрагменти з фрактальною границею. Фрактальна міра границі фрагмента залежить від його радіуса R відповідно з співвідношенням (де DF фрактальна вимірність границі). Об'єм (тобто D-вимірний об'єм) фрагмента з фрактальною границею це V ~ RD (де D топологічна вимірність).

Представлена в дисертаційній роботі теорія грунтується на двох загальних фізичних принципах, які повинні виконуватись для багатьох процесів фрагментації. Це закон збереження сумарного об’єму усіх фрагментів в процесі руйнування. В термінах функції розподілу він має вигляд

, (1)

де f0(R) початкова функція розподілу фрагментів за розмірами. Другим принципом є баланс енергії, який полягає в тому, що енергія, яка йде на руйнування фрагментів, витрачається на утворення нових границь фрагментів,

, (2)

де A постійний параметр, що характеризує форму фрагментів; E енергія, що йде на руйнування фрагментів, яка вкладена ззовні; ES енергія одиниці міри границі фрагментів; S0 величина початкової міри границі фрагментів. Наявність закону збереження сумарного об’єму означає, що функція розподілу задовольняє загальному кінетичному рівнянню

, (3)

де PV потік об'єму фрагментів у просторі розмірів.

В лінійній теорії фрагментації розглянуто простий випадок лінійної залежності потоку від функції розподілу PV=(R,E) f(R,E), де (R,E)=(R,E) RD+1/D і (R,E) швидкість дроблення фрагментів, нормована на об'єм. Невідома функція (R,E) не залежить від f(R,E). Вигляд функції (R,E) визначається додатковим принципом балансу енергії (2). У дисертації з наведених вище фізичних принципів знайдено обмеження на функцію (R,E), при якому розв’язок лінійного кінетичного рівняння (3) задовольняє необхідним фізичним принципам, тобто співвідношенням (1) і (2). Розв'язок лінійного кінетичного рівняння в неявному вигляді у лагранжевих змінних R0 та для функції розподілу фрагментів за розмірами, яке задовольняє цим принципам, має вигляд

, (4)

де початкова швидкість дроблення, f0(R0) початкова функція розподілу, R0 початковий розмір фрагмента, а відома функція R0 та E. Проаналізовано поведінку рішення (4) у великомасштабній області розмірів фрагментів та отримано дві асимптотики функції розподілу

при , (5)

при . (6)

Рис. 1. Приклад релаксації теоретичної функції розподілу в асимптотичний режим, який відповідає умовам (5). У подвійному логарифмічному масштабі показано наближення функції розподілу (4) (кривої лінії) до асимптотичного закону (5), що відповідає прямій лінії з нахилом –(D+1). Графіки отримані при D= 3, = 2.2 і різних значеннях енергії E (у безрозмірних величинах ): (a) E=0.01; (б) E=0.1; (в) E=0.4; (д) E=1.

Перша асимптотика (5) відповідає умовам фрагментації, коли деяка кількість фрагментів залишається нероздрібненими в середовищі дрібних фрагментів. Другий асимптотичний закон (6) відповідає фрагментації всіх фрагментів системи. Аналіз поведінки розв'язку (4) для функції розподілу у великомасштабній області дав наступні результати. У разі реалізації першої умови на 0(R0), функція розподілу (4) виходить на асимптотику (5) незалежно від початкової функції розподілу (див. рис.1). Зростання області реалізації асимптотичного закону (5) зі збільшенням енергії E можна спостерігати на рис. 1. Так само чисельний аналіз дав факт “уповільнення” еволюції функції розподілу f(R,E) зі збільшенням . У випадку реалізації другої умови на 0(R0) вихід в асимптотичний режим (6) відсутній, оскільки зберігається чутливість до початкового розподілу фрагментів. Аналіз фізичних причин цього явища потребує введення мінімальної теорії фрагментації.

У мінімальній теорії розглядається універсальна межа великих енергій в теорії фрагментації, яка доповнена додатковим фізичним принципом зменшення потоку об’єму фрагментів зі збільшенням енергії руйнування. В дисертації доведено, що загальна швидкість дроблення фрагментів у межі E має універсальний вигляд

,

і не залежить від багатьох характеристик способу руйнування і властивостей матеріалу. У цьому випадку лінійне кінетичне рівняння має простий асимптотичний вигляд у межі E

. (7)

Для відбору асимптотичних рішень рівняння (7) у цій теорії використовується додатковий фізичний принцип зменшення потоку об’єму фрагментів PV з енергією E у великомасштабній області розмірів фрагментів. Фізичний зміст цього принципу полягає в тому, що в процесі фрагментації фрагменти тільки руйнуються, тобто тільки зменшують свої розміри. Згідно цього принципу потік розкладається в ряд по степеням E-1, як PV=P0+P0E-1+P0E-2+… при E. Тобто можуть реалізуватися різні режими фрагментації в залежності від першого, не нульового, коефіцієнту ряду. Для цих режимів з точного розв’язку рівняння (7) отримані наступні асимптотичні закони для функції розподілу фрагментів за розмірами у великомасштабній області

1. , коли та , тоді ,

2. , коли , тоді ,

3. , коли , тоді .

Таким чином, мінімальна теорія дає весь спектр значень показників степеневих асимптотичних законів, що реалізуються в природі відповідно до відомих експериментальних фактів, щодо сильної та слабкої фрагментації. Слід відзначити, що показники ступеня в отриманих асимптотичних законах, у перших двох випадках, співпадають з отриманими раніше в лінійній теорії фрагментації.

Причина відсутності механізму виходу функції розподілу на асимптотику (6) в лінійній теорії фрагментації полягає у спрощеному урахуванні нелінійних ефектів. Тому в дисертаційній роботі сформульована нелінійна теорія, що задовольняє всім основним принципам теорії фрагментації. В ній передбачається, що загальна швидкість дроблення фрагментів (R,E,f) залежить від функції розподілу фрагментів за розмірами . Нелінійне кінетичне рівняння (3), як і раніше, гарантує збереження об’єму фрагментів. Принцип балансу енергії знову веде до отриманих в дисертації обмежень на характер залежності (R,E,f) від відповідних аргументів. При виконанні цих умов кінетичне рівняння має розв’язки, які за умови PVE const (де PV0, E) у межі великих енергій виходять в асимптотичний режим (6) незалежно від початкової функції розподілу. Таким чином, головний висновок з нелінійних теорій – це типовість реалізації асимптотичного режиму, що приводить до зменшення потоку об’єму фрагментів обернено пропорційно енергії і як наслідок, до найбільш розповсюдженої в природі асимптотики .

У третьому розділі з метою перевірки узгодженості теорії з експериментом було проведено експерименти по фрагментації об’єктів зі скла та граніту, запропоновано метод обробки отриманих експериментальних даних та проведено їх статистичний аналіз.

Експеримент проводився в такий спосіб: у сталеву склянку поміщали 20 кульок скла (або граніту) діаметром 20.5 мм. Кульки руйнувалися при навантаженні, яке поступово збільшувалося до 2.4 тонн (в інших серіях до 9.5 тонн). Дані про отримані фрагменти скла одержували методом просіювання через сита із сіткою різних радіусів. Усього використовувалося 22 сита. Оброблені та проаналізовані експериментальні дані представлені нижче на рис. 2 і рис. 3.

Рис. 2. Представлено в подвійному логарифмічному масштабі експериментальну залежність функції розподілу від розмірів фрагментів скла, отриману при різних навантаженнях: (а) E=2.4 тонни (дані усереднені по 20 реалізаціям експерименту); (б) E=9.5 тонн (дані усереднені по 3 реалізаціям). На графіках експериментальні дані представлені крапками, а пряма відповідає асимптотичному закону .

Аналіз експериментальних даних підтвердив асимптотичний закон для функції розподілу фрагментів скла та граніту , який найбільш поширено в природі (див. рис. 2 і рис. 3). Область реалізації цього асимптотичного закону, який спостерігається для скла, роздробленого при навантаженні в 2.4 тонни (див. рис. 2а), зростає при подальшому дробленні зі збільшенням навантаження до 9.5 тонн (див. рис. 2б). В розділі 2, що описує теорію сильної фрагментації, саме такий характер еволюції функції розподілу передбачено асимптотичним рішенням в нелінійній теорії при D=3. Асимптотичний закон є універсальним і реалізується для різних по своїй структурі і характеру поверхні розколу матеріалів (див. рис. 2, 3).

Рис. 3. Експериментальна залежність функції розподілу від розміру фрагментів граніту (дані усереднені по 5 реалізаціям експерименту) при навантаженні в E=9.5 тонн. Експериментальні дані представлені крапками. Пряма відповідає асимптотичному закону .

Рис. 4. На графіку представлено відношення значень функцій розподілу, отриманих при навантаженні в E=2.4 тонни, до значень при E=9.5 тонн у залежності від розміру фрагмента . Експериментальні дані - крапки.

З експериментальних даних по дробленню скла проаналізовано відношення значень функцій розподілу , які взяті при різних навантаженнях E, у широкій області розмірів фрагментів . При зменшенні потоку пропорційно 1/ E, це відношення, згідно теорії, має дорівнювати 1. На рис. 4 це відношення в асимптотичній області близько до 1. Отже, отримані експериментальні дані не тільки дають передбачений показник степеня, але і підтверджують повну узгодженість характеру зменшення потоку об’єму з енергією з цим показником. У певному сенсі це дає експериментальне підтвердження реалізації принципу зменшення потоку енергії у природних процесах фрагментації.

У четвертому розділі запропонована нова теорія динамічної фрагментації одновимірних об’єктів. Основним принципом цієї теорії є закон збереження сумарної довжини фрагментів. Баланс енергії, у тому вигляді, в якому він використовувався в теорії сильної фрагментації, для одновимірної фрагментації втрачає зміст, тому що міра границі одновимірних об’єктів нульова, тобто відсутня “поверхня розколу” фрагментів. Тому теорія динамічної фрагментації побудована іншим способом. В ній процес дроблення визначається законом розрізуванням початкового відрізка на більш дрібні відрізки в дискретному часі n, за заданим динамічним законом F: [0,1][0,1], роль якого виконує відображення відрізка у відрізок,

xn+1=F(xn, r), xn [0,1], n=0, 1, 2, 3, … , (8)

де r параметр відображення, xn місце розрізу відрізка [0,1] в момент дискретного часу n. В залежності від вибору параметра r реалізується або хаотичний режим, або регулярний режим розрізування (8). Розміром (або довжиною) фрагмента l є відстань між двома найближчими місцями розрізу відрізка. Задача полягає в пошуку функції розподілу фрагментів за розмірами f(l,n), що визначає число фрагментів у середовищі dN(n)=f(l,n) dl з характерними розмірами в інтервалі (l,l+dl) в момент часу n. Були виконанні аналітичні оцінки та чисельні дослідження залежності функції розподілу фрагментів від розмірів при великих n. Чисельне моделювання процесу розрізування було проведено для трикутного відображення і логістичного відображення .

Згідно з аналітичними оцінками, для будь-якого закону розрізування (8), в якому параметр r відповідає області реалізації хаотичних режимів відображень (де показник Ляпунова L>0), функція розподілу має характерний асимптотичний вигляд у великомасштабній області при великих n

, (9)

де (r) коефіцієнт, який залежить від параметра відображення r. Аналітична залежність (9) узгоджена з даними чисельного моделювання для трикутного (в області 0.5<r1) і логістичного (в області r<r4, де r=3.5699456…, окрім “вікон періодичності”) відображень, що зображено на рис. 5.

Коефіцієнт (r) в експоненціальній залежності (9) згідно з даними чисельного моделювання має універсальний вигляд для трикутного (див. рис. 6) та логістичного (див. рис. 7) відображень

, (10)

де C, - константи, rc- критичні параметри відображення, при яких реалізується перехід “порядок - хаос” або “хаос - порядок”.

Рис. 5. Логарифмічні залежності функції розподілу від розміру фрагмента (а) для трикутного відображення, коли r=1, та (б) для логістичного відображення, коли r=4, відповідають хаотичному режиму розрізування. Дані чисельного моделювання позначені кружками, аналітична залежність (9) – прямою лінією. Параметри: n=100000, x0=0.2.

Рис. 6. Залежність коефіцієнта від параметра в області , що відповідає хаотичному режиму трикутного відображення. Кружки – чисельні дані. Крива лінія відповідає залежності (10) з C=3.375050.09129, rc =1/2 і =0.401750.00569.

Рис. 7. Графіки демонструють зв’язок експоненціальної залежності коефіцієнта від параметра логістичного відображення (а) з біфуркаціонною діаграмою логістичного відображення (в) в областях параметрів r, що відповідають хаотичним режимам відображення з великою кількістю критичних параметрів rc. На графіках (б, г) у збільшеному масштабі показана область параметрів r в околиці одного з вікон періодичності. Темні області на діаграмах (в, г) відповідають хаотичним режимам розрізування. На (б) видно узгодженість даних чисельного моделювання (трикутників) з функцією (10), що відповідає кривій лінії.

У випадку періодичних (регулярних) режимів (де показник Ляпунова L<0), у фазовому просторі динамічної системи (8) присутні стійкі цикли високої кратності. Для таких режимів аналітично доведено, що функція розподілу фрагментів за розмірами має степеневий характер у великомасштабній області. Це добре узгоджується з результатами чисельного моделювання для трикутного і логістичного відображень (див. рис. 8), і має вигляд

. (11)

Показник степеневої залежності співпадає з показником, отриманим шляхом аналітичних оцінок.

Рис. 8. На графіках представлено залежності функції розподілу від розмірів фрагментів у подвійному логарифмічному масштабі (а) для параметра трикутного відображення r=0.4999 та (б) для r=3.8560188, що належить одному з вікон періодичності логістичного відображення. Чисельні дані – кружки, пряма з кутом нахилу рівним -1 відповідає степеневій функції (11). Параметри: n=200000, x0=0.2.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі приведено теоретичне узагальнення і нове вирішення проблеми фрагментації, яке ґрунтується на новому описі процесу фрагментації і знаходженні його статистичних характеристик. Це було досягнуто шляхом побудови та розвитку теорій фрагментації тривимірних, двовимірних та одновимірних об'єктів, знаходженні аналітичних розв’язків для функції розподілу фрагментів за розмірами і виявлення їх узгодженності з результатами проведених чисельних моделювань і експериментів. Результати, отримані в дисертаційній роботі, значною мірою мають фундаментальне значення і можуть бути використані для поглиблення розуміння фізики нерівноважних процесів, для подальшого розвитку теорій фрагментації, а так само для використання їх на практиці та у різних областях теоретичної й експериментальної фізики. Отримані результати дозволяють зробити наступні висновки:

1. В розвинутій лінійній теорії сильної фрагментації -вимірних () об'єктів із фрактальною границею, яка заснована на принципах збереження сумарного об'єму фрагментів і витратах енергії при руйнуванні на утворення нової границі фрагментів, знайдені розв’язки для функції розподілу фрагментів за розмірами. Одержано універсальні асимптотики функції розподілу у великомасштабній області розмірів фрагментів. Доведено, що має місце вихід функції розподілу на асимптотику . Досліджена еволюція асимптотики зі збільшенням вкладеної енергії і залежність її від фрактальної вимірності границі розколу фрагментів .

2. Побудовано мінімальну теорію фрагментації в універсальній межі, що не залежить від окремих деталей процесу, з використанням додаткового принципу зменшення потоку об'єму фрагментів із збільшенням енергії. Ця теорія приводить до формування універсальних степеневих асимптотик функції розподілу у великомасштабній області фрагментів у межі великих енергій, витрачених на руйнування, які узгоджуються з основними типами розподілів, що реалізуються в природі.

3. Побудовано нелінійну теорію сильної фрагментації з фізичних інваріантних принципів. Сформульовано загальну класифікацію теорій фрагментації, засновану на принципі зменшення потоку об'єму фрагментів. Отримано розв’язки для функції розподілу фрагментів за розмірами і вивчено їх релаксацію в універсальний режим .

4. Встановлено, що отримані експериментальні дані з експериментів по дробленню скла і граніту при різних прикладених руйнівних навантаженнях добре погоджуються з результатами побудованої теорії сильної фрагментації. Підтверджено даними експериментів не тільки близькість показників степеневих функцій розподілу, але і характер зменшення потоку об'єму фрагментів з ростом витраченої на руйнування енергії.

5. Побудовано теорію динамічної фрагментації одновимірних об'єктів, яку засновано на введенні довільних детермінованих нелінійних законів розрізування (відображень). Отримано, що функція розподілу фрагментів за розмірами визначається типом режиму реалізованого законом розрізування. При хаотичних режимах функція розподілу експоненціально спадає у великомасштабній області, для стійких циклів ? змінюється степеневим чином.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Куклина О.В., Тур А.В., Яновский В.В. Коллективная теория фрагментации // Вісник ХНУ, сер. Фізика. – 2000. – № 476. – С.64-71.

2. Kuklina O.V., Tur A.V., Yanovsky V.V. Fragmentation theory of objects with fractal surface // Functional Materials. – 2000. – V.7, № 4(2). – P.753-761.

3. Kuklina O.V., Mozgin V.V., Tur A.V., Yanovsky V.V. Experimental distributions of fragments in strong fragmentation // Functional Materials. – 2001. – V.8, № 2. – P. 233-239.

4. Kuklina O.V., Tur A.V., Yanovsky A.V., Yanovsky V.V. Dynamic fragmentation theory // Functional Materials. – 2002. – V.9, № 3. – P.370-379.

5. Куклина О.В., Тур А.В., Яновский В.В. Теория дробления объектов с фрактальной поверхностью // Вопросы атомной науки и техники. – 2000. – №1. – С.238-242.

6. Куклина О.В., Мозгин В.В., Тур А.В., Яновский В.В. Экспериментальные исследования распределения фрагментов при дроблении аморфных и кристаллических тел // Материалы 5-й Международной конференции “Физические явления в твердых телах”. – Харьков (Украина). – 2001. – С.89.

Кукліна О. В. Теорія фрагментації та універсальні асимптотики. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 – теоретична фізика. – Інститут монокристалів НАН України, Харків, 2004.

Дисертація присвячена розв’язанню проблеми теоретичного опису процесів фрагментації. З цією метою розвинута теорія сильної фрагментації двовимірних і тривимірних об'єктів із фрактальною границею і побудована теорія динамічної фрагментації одновимірних об'єктів. В рамках теорії сильної фрагментації знайдено весь спектр показників універсальних степеневих асимптотик для функції розподілу фрагментів за розмірами, що реалізуються в природі, у великомасштабній області в межі великих енергій. Показано узгодженість асимптотик з характером поведінки потоку об'єму фрагментів з енергією, що йде на руйнування. Проведений у роботі аналіз отриманих експериментальних даних з експериментів по дробленню скла і граніту при різних прикладених руйнівних навантаженнях підтвердив узгодженість результатів теорії сильної фрагментації з експериментальними спостереженнями. В теорії одновимірної динамічної фрагментації процес дроблення визначається розрізуванням відрізка на більш дрібні частини в дискретному часі за нелінійним детермінованим законом (відображення відрізка у відрізок). У великомасштабній області отримано дві універсальні асимптотики функції розподілу фрагментів за розмірами в залежності від типу режиму реалізованого законом розрізування.

Ключові слова: сильна (динамічна) фрагментація, фрактальна границя, функція розподілу фрагментів за розмірами, універсальні асимптотики, потік об'єму фрагментів, відображення.

Куклина О. В. Теория фрагментации и универсальные асимптотики. – Рукопись. Дис-сер-та-ция на со-ис-ка-ние на-уч-ной сте-пе-ни кан-ди-да-та фи-зи-ко-ма-те-ма-ти-че-ских на-ук по спе-ци-аль-но-сти 01.04.02 – тео-ре-ти-че-ская фи-зи-ка. – Ин-сти-тут мо-но-кри-стал-лов НАН Ук-раи-ны, Харь-ков, 2004.

Дис-сер-та-ция по-свя-ще-на решению проблемы теоретического описания процессов фрагментации. С этой целью развита теория сильной фрагментации двумерных и трехмерных объектов с фрактальной границей и построена теория динамической фрагментации одномерных объектов. В рамках теории сильной фрагментации найден весь спектр реализующихся в природе показателей универсальных степенных асимптотик для функции распределения фрагментов по размерам, в крупномасштабной области в пределе больших энергий. Выявлена согласованность асимптотик с характером поведения потока объема фрагментов с энергией, идущей на разрушение. Проведенный в работе анализ полученных экспериментальных данных по дроблению стекла и гранита при разных приложенных разрушающих нагрузках подтвердил согласие результатов теории сильной фрагментации с экспериментальными наблюдениями. В теории одномерной динамической фрагментации, в которой процесс дробления определяется разрезанием отрезка на более мелкие части в дискретном времени по нелинейному детерминированному закону (отображение отрезка в отрезок), в крупномасштабной области получено два вида универсальных асимптотик функции распределения фрагментов по размерам в зависимости от типа режима реализуемого законом разрезания.

Ключевые слова: сильная (динамическая) фрагментация, фрактальная граница, функция распределения фрагментов по размерам, универсальные асимптотики, поток объема фрагментов, отображение.

Kuklina O. V. Fragmentation theory and universal asymptotics. – Manuscript. Thesis for a degree of Doctor of Philosophy (Ph.D.) in physical and mathematical sciences by speciality 01.04.02 – theoretical physics. – Institute for Single Crystals, NAS of Ukraine, Kharkiv, 2004.

The thesis has the objective of solving the problem of theoretical description of the fragmentation processes. The strong fragmentation theory of -dimensional () objects with the fractal margins was developed and the dynamic fragmentation theory of one-dimensional objects was constructed.

The strong fragmentation theory is based on the physical principles which are valid for the destruction processes in the systems of different nature. These are the conservation law of matter and the energy balance. The balance means that the energy spent on object destruction goes into formation of the new margins of fragments. The strong fragmentation theory uses three level of description in accordance with the type of the kinetic equations for a size distribution function of fragments: a linear theory of fragmentation, a minimal theory (or the universal limit in fragmentation theory) and a nonlinear theory.

In the linear theory the solutions of the linear kinetic equation formally give two asymptotic laws and in the large-scale region. The analytical and numerical analysis of the solutions obtained shows the outcome in the asymptotic mode for a sufficiently wide range of the initial conditions. However relaxation of the distribution function into the asymptotic mode is missing and a memory loss of the initial fragment distribution doesn’t occur in the fragment system as in the first mode.

To find the reason of lack of the distribution function outcome into the second mode, the minimal fragmentation theory in the high energy limit is defined. This theory possesses of the universal features and is insensitive to many properties of the destruction processes. The additional physical principle is embed into this theory. This principle lies in natural diminution of a fragment volume flow in the large-scale region with embed energy increase. As a matter of fact this principle substitutes the initial stage of the nonlinear relaxation of the distribution function into the asymptotic modes. Depending on the character of the flow diminution with energy, we succeed in picking out three universal asymptotic solutions for the size distribution function of fragments in the high energy limit. Two of three are the asymptotics formally obtained in linear theory ( and ) and the third one corresponds to the weak fragmentation case (). Thus the minimal theory gives us the whole spectrum of the exponents of the power-law distributions in nature.

The reason of non-outcome mechanism of distribution function into asymptotic was determined to lie in simplified calculation of the nonlinear effects. Therefore the nonlinear theory is formulated to satisfy the whole range of basic principles of the fragmentation theory. In this theory the solution of the proper nonlinear equation comes out at the sought asymptotic law . The exponent in this law is universal since it doesn’t depend on a fractal dimension of the fragment margins.

The experimental research of the strong fragmentation was carried out with two different materials such as glass (amorphous solid) and granite (polycrystalline solid) under applied destructive loads. Statistical analyses of the experimental data confirmed accordance between the experimental observations and the strong fragmentation theory results. The universal asymptotic law for fragment size distribution function , which is in accord with the character of the fragment volume flow change with energy, was obtained. Furthermore a universality of this law was confirmed.

In the dynamic fragmentation theory of the one-dimensional objects the fragmentation process is determined by the cutting a unit interval into the smaller fragments in discrete time by a specified dynamic law. This law is taken here to be a map. The conservation law of total fragment length is satisfied in this theory. Theoretical estimations for the large-scale asymptotics of the fragment size distribution function for any one-dimensional map gave a universal exponential law in the chaotic regimes of cutting and a universal power law in the regular regimes. These theoretical results are in a good accordance with the numerical simulations of the cutting process for the tent and logistic maps. The asymptotic dependence on the map parameter is also determined and influence of the bifurcation structure of the map rearrangement on the asymptotic law type is examined for the tent and logistic maps.

Key words: strong (dynamic) fragmentation, fractal margin, fractal dimension, size distribution function of fragments, universal asymptotics, fragment volume flow, tent (logistic) map, chaotic (regular) regime.