МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ

ТАВРІЙСЬКА ДЕРЖАВНА АГРОТЕХНІЧНА АКАДЕМІЯ

ПИХТЄЄВА ІРИНА ВІКТОРІВНА

УДК 514.8

АПРОКСИМАЦІЯ ПЛОСКИХ ДИСКРЕТНО ПРЕДСТАВЛЕНИХ КРИВИХ ЛІНІЙ НА ОСНОВІ ДИСКРЕТНОГО МЕТОДУ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

Спеціальність 05.01.01 -

Прикладна геометрія, інженерна графіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття

наукового ступеня кандидата технічних наук

Мелітополь – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійській державній агротехнічній академії Міністерства аграрної політики України.

Науковий керівник: - кандидат технічних наук,

доцент Малкіна Віра Михайлівна, доцент кафедри прикладної математики і обчислювальної техніки, Таврійська державна агротехнічна академія, (м. Мелітополь).

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук,

професор Куценко Леонід Миколайович, професор кафедри пожежної аварійно-рятувальної техніки, Академія цивільного захисту, (м. Харків);

- кандидат технічних наук,

доцент Гнатушенко Володимир Володимирович, доцент кафедри електронних засобів телекомунікацій, Дніпропетровський національний університет, (м. Дніпропетровськ).

Провідна установа: Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, кафедра нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки, м. Київ.

Захист відбудеться “19” січня 2005 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К18.819.02 у Таврійській державній агротехнічній академії за адресою:

72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б. Хмельницького, 18.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Таврійської державної агротехнічної академії за адресою:

72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б. Хмельницького, 18.

Автореферат розісланий 17 грудня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради _________________ О.Г. Караєв

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Комп'ютерні технології усе більше проникають в усі області людської діяльності. Складовою частиною цих технологій є геометричне моделювання, що завдяки зусиллям вітчизняної школи прикладної геометрії відіграє усе більшу роль у розвитку виробництва й удосконалюванні технологічних процесів. Головними вимогами при створенні геометричних моделей є адекватність моделі описуваним явищам, висока точність і швидкодія, що залежать від простоти обчислювальних алгоритмів і їхніх можливостей.

В умовах різноплановості досліджуваних явищ і процесів, а також проведених при цьому наукових досліджень доцільним є створення універсальних геометричних моделей.

Актуальність теми. Різноманіття моделюємих явищ і процесів у природі і техніці при наявності великої кількості випадкових факторів впливу поєднується одним загальним законом, властивим для кожного з них, якщо вплив кожного з факторів не є переважним. Це нормальний закон розподілу імовірностей появи тієї або іншої події. У силу універсальності цього закону відповідний йому обчислювальний метод, як основа геометричної моделі, теж повинний бути універсальним. Це метод найменших квадратів (МНК).

В даний час МНК є найбільш розповсюдженим обчислювальним методом обробки емпіричної інформації, що володіє властивостями простоти обчислень, передбачуваності і видимості результатів, тісно ув'язаним з теоретико-ймовірнісними питаннями. Розрахункові моделі МНК здійснюють ефективне згладжування вихідних даних, що нівелює дію випадкових факторів. На цій основі побудовані багато моделей прогнозування.

Процес одержання емпіричної інформації в переважній більшості випадків пов'язаний з вимірами, обтяженими похибками. У цьому випадку єдино вірним і доцільним способом обробки даних є побудова моделей апроксимації. Одним з найбільш розповсюджених видів цих моделей є апроксимація за критерієм мінімуму суми квадратів відхилень, тобто побудованих по МНК. На цьому принципі побудовані моделі регресії, виробляється усереднення в економіко-математичному моделюванні, зокрема, при створенні виробничих функцій, а також моделей прогнозування. Усе це говорить про доцільність застосування апроксимаційних моделей на основі МНК і в геометричному моделюванні.

Зв'язок роботи з науковими програмами, темами, планами. Робота виконана в рамках науково-технічної програми “Моделювання явищ і процесів в АПК” Таврійській державній агротехнічній академії (номер держреєстрації 0102U000695) відповідно до планів науково-дослідних робіт кафедр прикладної геометрії й інформаційних технологій проектування і прикладної математики й обчислювальної техніки. У процесі впровадження вирішувалися задачі, орієнтовані на проектування нових виробів і обводоутворюючого оснащення (ВАТ “Мотор Січ”, м. Запоріжжя), на проведення комп’ютерного експерименту з метою оптимізації параметрів різального апарату жниварок (ВАТ “КБ “Бердянськсільмаш”, м. Бердянськ), а також на побудову моделей прогнозування по програмі перспективного планування розвитку сільськогосподарського виробництва (фінансово-господарський відділ Мелітопольської райдержадміністрації).

Мета роботи полягає в теоретичному обґрунтуванні дискретного методу найменших квадратів (ДМНК) і створенні його алгоритмів для апроксимації плоских дискретно представлених кривих (ДПК) із дотриманням вимог дискретного геометричного моделювання (ДГМ).

Для досягнення поставленої мети в роботі необхідно вирішити наступні задачі:

- дати теоретичне обґрунтування ДМНК і розробити його загальний алгоритм;

- продовжити дослідження з дискретного представлення функцій на основі їхніх диференціальних характеристик з метою одержання представлення, незалежного від виду функції;

- дослідити питання кускової і кусково-гладкої апроксимації згідно з ДМНК на основі отриманих дискретних представлень апроксимуючої функції;

- дослідити вплив дискретних диференціальних характеристик на точність наближення ДМНК і запропонувати алгоритми апроксимації на цій основі;

- вирішити двоїсту задачу ДМНК;

- дослідити ДМНК із ваговими коефіцієнтами, як основи для побудови наближення за критерієм методу найменших модулів;

- дослідити розв’язання задачі ДМНК на основі квадратичного програмування, як основи запобігання осциляції розв’язку;

- запропонувати розв’язання задачі ДМНК без урахування виду апроксимуючої функції з метою одержання екстремального розв’язку;

- розробити програмне забезпечення і здійснити впровадження методу ДМНК у практику обробки емпіричних даних і економіко-математичного моделювання.

Об'єкт дослідження – дискретно представлені плоскі криві в декартовій системі координат.

Предмет дослідження – алгоритми дискретного МНК, засновані на дискретних представленнях функцій.

Методи досліджень. У процесі розв’язання поставлених задач використовувалися методи нарисної, аналітичної, диференціальної геометрії, теорії апроксимації, обчислювальних методів.

Теоретичною основою для проведення досліджень послужили роботи провідних учених:

- в області геометричного моделювання обводів і поверхонь: Ю.І. Бадаєва, І.Г. Балюби, В.Д. Борисенка, В.В. Ваніна, С.М. Грибова, Г.С. Іванова, С.М. Ковальова, І.І. Котова, Л.М. Куценка, В.Є. Михайленка, А.В.Найдиша, В.М. Найдиша, В.О. Надолинного, В.С. Обухової, В.А. Осипова, С.Ф. Пилипаки, О.Л. Підгорного, А.М. Підкоритова, М.М. Рижова, І.А. Скидана і їхніх учнів, а також закордонних учених Р. Безье, В. Гилоя, С. Кунса, У. Ньюмена, Д. Роджерса, Р. Ризенфельда, А. Сазерленда, И. Фергюссона, А. Форреста, Д. Швейкерта й ін.;

- в області статистичного моделювання й обробки експериментальних даних: Н.І. Ідельсона, Л.В. Канторовича, А.М. Колмогорова, К. Ланцоша, Ю.В. Линника, Є.Н. Львівського, А.А. Маркова, В.І. Мудрова, В.І. Перегудова, Л.З. Румшиського, А.С. Чоботарьова.

Наукову новизну роботи складає дискретний метод найменших квадратів (ДМНК) у процесі розробки якого отримані наступні нові результати:

- складено загальний алгоритм ДМНК;

- отримано дискретні представлення функцій, що не залежать від їхніх неперервних аналогів;

- запропоновано розв’язання задачі кускової і кусково-гладкої локальної і глобальної апроксимацій;

- одержало подальший розвиток застосування квадратичного програмування до моделювання неосцилюючих плоских ДПК на основі ДМНК;

- отримано екстремальний розв’язок задачі ДМНК, не орієнтований на визначений клас функцій і враховуючий диференціальні характеристики вихідних даних.

Практична значимість результатів досліджень складається в підвищенні точності моделювання, скороченні його термінів; одержанні моделей і оптимальних розв’язків, що задовольняють заданим вимогам.

На захист виносяться положення, відбиті в науковій новизні роботи.

Реалізація роботи здійснена у вигляді ППП апроксимації плоских ДПК на основі дискретного МНК в ВГК ВАТ “Мотор Січ” при проектуванні нових виробів і обводоутворюючого оснащення, в ВАТ “КБ “Бердянськсільмаш” при проведенні комп’ютерного експерименту з метою оптимізації параметрів різального апарату жниварок, у фінансово-господарському відділі Мелітопольської райдержадміністрації при складанні моделей прогнозування врожайності сільгоспкультур, а також в навчальному процесі ТДАТА, що підтверджується довідками про впровадження пропонованого методу.

Особистий внесок здобувача. Особисто автор виконав дослідження з теоретичного обґрунтування методу, розробки загального алгоритму ДМНК, складання обчислювальних алгоритмів і програм, розрахунку тестових прикладів і впровадження методу. У спільних публікаціях авторові належить виклад суті проведених ним досліджень і аналіз результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертації доповідалися й обговорювалися на: Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Харків, 1998 р.); Міжнародних науково-практичних конференціях ''Сучасні проблеми геометричного моделювання'' (м. Мелітополь, 1997, 1998, 1999, 2000, 2004 р.); науково-методичному семінарі кафедри нарисної геометрії й інженерної графіки Донецького національного технічного університету під керівництвом проф. Скидана І.А. (м. Донецьк, 2002 р.).

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 10 друкованих праць (5 – одноосібно та 4 – у співавторстві у виданнях, рекомендованих ВАК України, 1– тези).

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновку, списку використаних джерел з 173 найменувань і доповнень. Робота містить 152 сторінки друкованого тексту, 17 малюнків і 10 таблиць.

ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить загальну характеристику роботи. У ньому розкривається зміст і стан розв’язання науково-прикладних задач геометричного моделювання явищ і процесів на основі розв’язання задач апроксимації статистичними методами. Обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовані мета і задачі дослідження, показана наукова новизна, практична цінність і впровадження отриманих у роботі результатів.

У розділі 1 виконаний критичний аналіз відомих методів апроксимації на основі обчислювальних реалізацій статистичних методів. Метод найменших квадратів відноситься до статистичних методів моделювання і припускає розв’язання лінійної системи відхилень, що складаються з n рівнянь з k параметрами (k << n). Така система в алгебраїчному змісті шляхом додавання нових рівнянь відхилень ніколи не може бути розв’язання. Єдиним шляхом одержання розв’язку є введення деякого співвідношення між відхиленнями. Мінімум суми квадратів відхилень (критерій МНК) і є одним з таких співвідношень, що одночасно і є критерієм оптимізації розв'язуваної задачі. При введенні інших співвідношень виходять інші методи апроксимації: найменших сумарних (за модулем) відхилень (НСВ), найменших граничних відхилень (НГВ), метод середніх, метод Коші, метод найменших модулів, що відповідає критерію НСВ і реалізується алгоритмами зваженого МНК.

Особливістю зазначених методів є неперервний характер моделі, орієнтація на визначений вид функцій. Найбільш розробленим серед них є МНК, що володіє наступними перевагами:

- глибоко розроблена теорія;

- диференціюємість функції-критерію;

- ефективні розрахункові алгоритми;

- відповідність переважній більшості випадкових явищ і процесів, для яких характерна велика кількість незалежних факторів, серед яких жоден не є переважним.

Однак, усі ці методи не можуть повною мірою задовольнити вимоги ДГМ:

- простота розрахунків і висока точність;

- запобігання осциляції;

- локальність розрахунків;

- можливість корекції окремих ділянок.

У напрямку ДГМ важливі наукові результати отримані С.М.Грибовим і його учнями по моделюванню кривих скінчених сум; С.М.Ковальовим і його учнями по моделюванню дискретно представлених кривих (ДПК) і поверхонь (ДПП) статико-геометричним методом; Є.В.Пугачовим по дослідженню осциляції ДПК і ДПП у багатовимірному просторі.

Найбільш повно теоретичні основи ДГМ, основні його моделі і напрямки їхнього удосконалювання досліджені в роботах В.М.Найдиша і його учнів. При цьому основна увага приділена дискретній інтерполяції (згущенню) ДПК як у лінійних, так і в кутових параметрах, питанням локальної корекції розв’язку і запобігання осциляції.

Найбільш близькі до даної роботи дослідження С.О.Боєва по конструюванню дискретних сплайнів на основі згладжування різниць заданого порядку для заданих точок за критерієм МНК.

Формується задача дослідження, що полягає в розробці дискретного методу найменших квадратів, його алгоритмічної, обчислювальної і програмної реалізації й у розв’язанні задач апроксимації експериментальних даних, задач економіко-математичного моделювання і задач прогнозування деяких процесів в АПК.

Розділ 2 присвячений розробці й обґрунтуванню теоретичних основ дискретного методу найменших квадратів (ДМНК).

Суть його полягає в наступному:

Алгоритм 1.

1.

; (1)

2.

; (2)

3.

; (3)

4.

(4)

5.

;

6.

7.

У такий спосіб його відмінність від класичного МНК полягає в тім, що в класичному МНК задається вид апроксимуючої функції, що лінійно залежить від своїх коефіцієнтів, і в процесі розв’язання нормальної системи рівнянь визначаються значення коефіцієнтів цієї функції, що наближає шукану функцію за критерієм мінімуму суми квадратів відхилень. У ДМНК задається не вид апроксимуючої функції, а співвідношення між ординатами її точок з урахуванням деяких параметрів (наприклад, різниць) у залежності від деяких базових керуючих ординат (пункт 1 і 2 алгоритму), а потім у процесі розв’язання системи нормальних рівнянь (не тієї, що в МНК) визначаються шукані значення керуючих ординат і (або) параметрів.

Таким чином, алгоритм ДМНК відрізняється від аналогічного алгоритму МНК першими двома пунктами і формою представлення апроксимуючої функції. У МНК – це неперервне (континуальне) представлення, у ДМНК – дискретне представлення.

Розглядаються дискретні представлення деяких функцій. Найбільш розповсюдженими є алгебраїчні поліноми у формі Лагранжа, Ньютона й ін. Необхідно в пункті 1 і 2 алгоритму одержати залежність довільної і-ї ординати від керуючих ординат. Наприклад для 3 – поліному нехай керуючими ординатами будуть yo, у1, у2, y3. Найбільш зручною формою представлення є запис у вигляді визначника (5).

, (5)

Якщо сюди підставити задане значення абсциси хі, то, розкриваючи визначник по елементах першого стовпця одержимо шукану залежність уі від керуючих ординат yo, у1, у2, y3 при заданих їхніх абсцисах.

Аналогічні представлення можна скласти для інших поліномів,(синусного, косинусного, показникового).

Значно бі?льшими можливостями володіють дискретні представлення на основі скінчених або розділених різниць. Для перших розділених різниць маємо

, ; (6)

для других

; (7)

для третіх розділених різниць

, . (8)

Тут - значення відповідних (індекс угорі) різниць апроксимуючого ряду.

При цьому можна істотно розширити клас функцій апроксимації й одержати невідомі нам функції (а не тільки поліноми).

Подальші дослідження присвячені особливостям застосування ДМНК при різних дискретних представленнях апроксимуючих функцій. На рис. 1 представлений результат дискретної апроксимації деякої ДПК алгебраїчним поліномом на рівномірній сітці. Зокрема, для параболи 2 – го порядку дискретне представлення має вигляд (9).

(9)

Призначаючи в якості керуючих параметрів значення , , , визначаємо залежності інших ординат від зазначених параметрів.

(10)

Потім, підставляючи їх в умову (3) і розв’язуючи систему нормальних рівнянь (4) визначаємо шукані значення , , , розраховуємо інші ординати , , , відхилення і значення F відповідно до алгоритму .

Дискретні представлення поліномів дають можливість, на відміну від класичного МНК, здійснити кускову апроксимацію. Наприклад, на рис. 2 вихідний точковий ряд апроксимується ламаною лінією, що складається з трьох ділянок .

Локальні ділянки призначаються за величиною розкиду відповідних різниць (у даному випадку при кусково-лінійному наближенні беруться до уваги перші різниці).

При цьому можна оптимізувати значення критерію F на кожній з ділянок (локальна оптимізація) або на всіх трьох ділянках одночасно (сумарно), так звана глобальна оптимізація. У роботі показується, що сума локальних значень критерію завжди більше глобального значення, тобто глобальна кускова апроксимація за значенням критерію завжди дає кращий результат.

Перевага кускової дискретної апроксимації полягає в тім, що вона дозволяє розглядати апроксимуючу криву, що складається з відрізків різних кривих, тобто обводи. Особливістю дискретного представлення апроксимуючого обводу в цьому випадку є те, що число точок на локальних ділянках повинне перевищувати число параметрів, що визначають локальну дугу; вузлова точка здійснює зв'язок між керуючими точками попередньої і наступної дуг обводу. Наприклад, при глобальній оптимізації на рис. 2 керуючими точками можна призначити 0,1,4,6. По кількості параметрів це рівносильно застосуванню 3-полінома як апроксимуючої функції, але кусково-лінійна апроксимація простіше в розрахунках і точніше.

Логічним розвитком цього підходу є кусково-гладкі наближення, коли сусідні дуги мають, на відміну від попереднього випадку, по 2 і більше спільних точок.

На рис. 3 показана апроксимація деякого точкового ряду кривою лінією, що складається з дуг двох парабол, що мають дві спільні точки 3 і 4. Результати локальної і глобальної апроксимації, підтверджують зроблений раніше висновок про переваги глобальної апроксимації перед локальною, а також у порівнянні з тим, якби апроксимація проводилася не складеною кривою, а єдиною параболою.

Найкраще значення F має при глобальній кусково-гладкій апроксимації. Керуючими точками тут є 0,1,2,5.

Ще кращих результатів можна домогтися, скориставшись дискретними представленнями функцій за допомогою різниць (6),(7),(8). Якщо в представленні (11)

(11)

у якості перших скінчених різниць вибрати їхні значення для заданого ряду, то, розв’язуючи за алгоритмом, одержимо дискретну функцію, що інтерполює. Значення критерію F=0.

Суть пропонованого способу складається в згладжуванні наявних значень якою-небудь функцією за методом ДМНК, оскільки ці значення обтяжені похибками. Одержимо згладжені значення різниць (рис.4), що визначають апроксимуючу функцію з точністю до паралельного переносу (параметр ).

Значення знову визначається за ДМНК на основі дискретного представлення (11). У порівнянні з кусково-параболічним наближенням (рис. 3) де F = 86,1569, тут F = 55,7527, що значно краще.

Дискретне представлення функції на основі других скінчених різниць , аналогічне (7), має вигляд:

(12)

На рис. 5 представлене згладжування дискретним методом найменших квадратів других скінчених різниць для ДПК тестового приклада поліномом 4-го ступеня. Згладжені значення підставляються в (12) замість і проводиться ДМНК – наближення ординат , де визначаються шукані значення і . Описане розв’язання дає значення критерію F=1,5432, у багато разів краще попередніх.

Відзначимо ще одну особливість пропонованого способу. Згладжування 2-х різниць 4–поліномом з наступною апроксимацією точкового ряду зі згладженими їхніми значеннями в деякому змісті рівносильно апроксимації вихідної ДПК відразу 6–поліномом. Таким чином, викладений підхід дозволяє розкласти досить складну задачу апроксимації 6-поліномом послідовно на дві прості: спочатку апроксимації 4-поліномом 2-х різниць, а потім двопараметрична апроксимація самого точкового ряду.

Великий практичний інтерес представляє двоїста задача лінійної апроксимації, а саме: визначити точку В, сума квадратів відхилень якої від заданих прямих ліній є мінімальною. Ця задача в роботі розв’язується в 2 етапи:

1.Перенесення до простору параметрів за методом проф. Найдиша А.В. При цьому заданим прямим лініям у просторі параметрів відповідають точки;

2.Розв’язання прямої задачі в просторі параметрів, що дає там МНК-пряму щодо перенесених точок. Цій прямій лінії при зворотному переносі відповідає шукана точка.

Важливим важелем корекції розв’язку є застосування вагових коефіцієнтів при ДМНК – апроксимації. Введення коефіцієнтів дозволяє наблизити розв’язок до заданого вузла або віддалити від нього. Значення критерію F розраховується за формулою . Чим більше значення коефіцієнта , тим ближче розв’язок до заданої точки. При цьому значення F у порівнянні з випадком, коли = 1, буде більше.

Введення вагових коефіцієнтів в алгоритм ДМНК дозволяє, застосовуючи методику Мудрова В.І., реалізувати варіаційно-зважені наближення (метод найменших модулів, що відповідає критерієві НСВ). Процес носить ітераційний характер. На кожнім кроці ітерацій ваговий коефіцієнт для даної точки є величина, зворотна відхиленню на попередньому кроці.

Особливістю дискретного методу найменших квадратів є те, що в процесі розв’язання отримується апроксимуючий точковий ряд на тій же сітці. При конструюванні динамічних обводів треба здійснювати згущення побудованої ДПК, що виходить за рамки задачі дискретної апроксимації. Згущення можна зробити одним з методів дискретної інтерполяції, розроблених ученими Мелітопольської школи. У роботі пропонується здійснити згущення на основі базисних функцій інтерполяції, як найпростішому в програмній реалізації. У роботі отримані формули розрахунку точок згущення на основі алгебраїчних поліномів.

Продемонстровані в другому розділі способи розв’язання задач дискретним МНК не гарантують запобігання осциляції, тому що умови опуклості розв’язку не включені в алгоритм 2. Додавання цих умов приводить до задачі квадратичного програмування, що у роботі вирішується методом множників Лагранжа.

Алгоритм 2.

1. Записується функція Лагранжа

(13)

2. Вводиться система обмежень:

- на опуклість апроксимуючої ДПК

(14)

- на функцію L

(15)

3. Розв’язується задача лінійного програмування для (13) і (14) і визначаються шукані .

4. Розраховуються відхилення і значення критерію F.

При цьому можливі 2 випадки:

- з урахуванням апроксимуючої функції, коли в систему обмежень (п.2 алгоритму 2) вводиться дискретне представлення апроксимуючої функції. Найкраще ввести його через згладжені розділені різниці (6) або (7). Це включення не додає ніяких складностей при комп'ютерній реалізації.

- без урахування апроксимуючої функції, коли розв’язання здійснюється цілком за алгоритмом 2. Досвід моделювання показав, що включення будь-якої функції в процесі апроксимації приводить до того, що властивості функції так чи інакше виявляються в розв’язку, як правило, погіршуючи його. Завдання полягає в побудові розв’язку, вільного від якої б то не було функції. Такий розв’язок проілюстровано на рис.6. Воно є екстремальним, тобто його неможливо поліпшити.

Наш досвід показав, що в екстремальному розв’язку, як правило, з'являються прямолінійні ділянки. При формуванні динамічних обводів, де потрібна неперервна зміна кривини у вузлах ДПК, це не припустимо. Щоб цього уникнути, у роботі запропонований спосіб корекції прямолінійних ділянок, що спирається на ідеї дискретного геометричного моделювання. Суть способу проілюстрована на рис. 7.

Він полягає в послідовному “скривленні” ділянки розв’язку ,,…, точками половинного поділу відрізків вибору точок корекції (трикутники на рис. 7). З точки 4 проводиться нижній промінь обмеження через задану т.8 (або точку, обрану замість неї нижче точки розв’язку (кінець ділянки корекції)). Точка корекції поділяє відрізок вибору навпіл. Отримана т. з'єднується з кінцевою точкою і з попередньою точкою . Перший промінь при дає т. , другий – т. . Посередині відрізка знаходиться т. і т.д. Аналогічно виконується корекція спадаючої ділянки . Така корекція поліпшує “динамічність” розв’язку, але погіршує значення критерію F. Вибором точки , як і точки корекції усередині свого відрізка виборів можна здійснювати локальну корекцію розв’язку.

Програмна реалізація методу здійснена в середовищі Maple 4. Розрахункова оболонка PR (програми) складається з окремих програм, що мають однакову модульну структуру. Для прискорення обчислень передбачено розв’язання системи рівнянь наближеними методами.

Розроблений у дисертації метод і його програмне забезпечення може бути з успіхом застосоване у розв’язанні задач економіко-математичного моделювання, зокрема при складанні виробничих функцій (ВФ). У найпростішому варіанті ВФ – це лінія регресії, що є графіком апроксимуючої функції за методом ДМНК. Так наприклад, на рис.8 приведено відомий з літератури розв’язок, коли лінія регресії – пряма лінія і запропонований в роботі кусково-лінійний розв’язок, що має кращий показник критерію.

Розрахунок базової ВФ із метою визначення ефективності використання ресурсів здійснюється за прийнятою в АПК методикою Василенка Ю.В. У роботі це виконано на основі ДМНК.

У економіко-математичному моделюванні велике значення мають моделі прогнозування. При цьому застосовуються 2 види моделей: - модель тренда з помилкою; - модель процесу.

Багато сільськогосподарських процесів характеризуються статистичними даними, що мають зиґзаґоподібний характер (рис. 9). Для них єдиною моделлю є модель тренда з помилкою, описуваною гармонійною складовою. В роботі прийнята наступна схема: - ламана лінія тренда є сукупністю середніх ліній послідовних трикутників ламаної лінії графіка. У цьому випадку коливання відхилень поточних значень від тренда мінімальні. Значення відхилень дорівнюють половині значень

відповідних других різниць вихідного точкового ряду. Для того, щоб уникнути моделювання коливальної складової процесу, якою є графік других різниць, перетворимо їх у додатну напівплощину так, що додатні значення залишаються такими, а від’ємні стають додатними. Отриманий графік після перетворення піддається (у даному випадку кусково-лінійній) ДМНК - апроксимації, щоб згладити вплив випадкової складової (рис.10).

Після згладжування проводиться зворотне перетворення так, щоб від’ємні до перетворення значення стали знову від’ємними. Одержуємо зиґзаґоподібне наближення коливальної складової за критерієм МНК. Прогноз здійснюється за поводженням апроксимуючої ДПК. У нашому випадку він дорівнює 22,99 при фактичному значенні 24,10 на 2002 рік. У зв'язку з цим у роботі пропонується відповідна методика побудови моделі прогнозування і її програмна реалізація.

Тестові приклади, а також приклади моделювання виробничих задач показали наступні переваги ДМНК:

1. У результаті дискретного представлення функцій в апроксимації беруть участь не їхні коефіцієнти, а ординати точок і параметри, що дає можливість варіювання значеннями елементів матриці нормальних рівнянь і тим самим, уникаючи занадто великих значень, підвищувати точність.

2. При розрахунках, особливо на основі алгебраїчних поліномів, не беруть участь значення у високому ступені.

3. ДМНК має властивість екстремальності, тобто можна одержати рішення, що неможливо поліпшити.

4. Дискретне представлення на основі різниць (6), (7), (8) дозволяє моделювати без орієнтації на визначений клас функцій.

5. ДМНК дає можливість побудови кусково-лінійних (кусково-гладких) наближень.

Висновки

На основі проведених у дисертаційній роботі досліджень розв’язана важлива науково-прикладна задача підвищення точності апроксимації дискретно представлених плоских кривих на основі запропонованого в роботі дискретного методу найменших квадратів за рахунок дискретних представлень апроксимуючої функції, реалізації кускових (кусково-гладких) наближень і запобігання осциляції.

Метод дозволяє враховувати дискретні диференціально-геометричні характеристики вихідного точкового ряду, задовольняти множині додаткових вимог, що включаються в систему обмежень при розв’язанні задачі квадратичного програмування, забезпечити одержання екстремальних ( що не поліпшуються) розв’язків.

Значення для науки пропонованого методу в тім, що він розвиває основні положення класичного методу найменших квадратів, розширює його можливості в підвищенні точності апроксимації й одержанні екстремальних оцінок.

Використання отриманих результатів у наукових дослідженнях доцільно при математичній обробці експериментальних досліджень, в економіко-математичному моделюванні при складанні виробничих функцій і розробці моделей прогнозування розвитку виробничих процесів.

Значення для практики складається в підвищенні точності моделювання, скороченні термінів проектування, одержанні моделей, що задовольняють множині заданих вимог і прискорюють одержання бажаного результату.

Загальні висновки по роботі:

1.Подальший розвиток теорії апроксимації плоских кривих ліній і удосконалювання алгоритмів її практичних реалізацій вимагає розробки методів, здатних:

- підвищити точність апроксимації;

- задовольнити множині заданих вимог диференціально-геометричного характеру;

- запобігти осциляції розв’язку.

Проведений у роботі аналіз можливостей відомих методів апроксимації показав, що жоден з них не в змозі одночасно виконати зазначені вимоги.

2.Запропоновано новий метод – дискретний метод найменших квадратів, відмінною рисою якого є дискретне представлення апроксимуючих функцій і призначення в якості керуючих параметрів апроксимації точок формованої дискретно представленої кривої. У відомому МНК фігурують рівняння апроксимуючої функції і визначаються їхні коефіцієнти за критерієм МНК. Запропонований метод у змозі розв’язати всі задачі, що під силу відомому МНК, але на відміну від його він дозволяє:

- проводити апроксимацію функціями, не відшукуючи їхніх рівнянь, а спираючи на сукупність заданих або згладжених дискретних диференціально-геометричних характеристик;

- виконувати кусково-лінійні (кусково-гладкі) наближення;

- одержувати екстремальні (що не поліпшуються) розв’язки без регламентації апроксимуючої функції;

- гарантувати відсутність осциляції розв’язку.

3.Як доповнення до розробленого методу з метою застосування його при проектуванні динамічних обводів запропоновані способи:

- корекції прямолінійних ділянок з регулюванням мінімального відхилення від оптимального значення критерію;

- розв’язання двоїстої задачі МНК для множини вихідних прямих ліній;

- застосування вагових коефіцієнтів для корекції розв’язку і виконання позиційних умов.

4.Розроблено програмне забезпечення методу на основі алгебраїчних поліномів.

5. Результати досліджень впроваджені в ВГК ВАТ ''Мотор Січ'', при проектуванні нових виробів і обводоутворюючого оснащення, в ВАТ “КБ “Бердянськсільмаш” при проведенні комп’ютерного експерименту з метою оптимізації параметрів різального апарату жниварок, у фінансово-господарському відділі Мелітопольської райдержадміністрації при складанні моделей прогнозування врожайності сільгоспкультур, а також в навчальному процесі ТДАТА, що підтверджується довідками про впровадження пропонованого методу.

Вірогідність отриманих результатів підтверджується розрахунками тестових прикладів, їхньою візуалізацією, збігом отриманих рішень з відомими, а також рішенням задачі прогнозування і порівняння його з фактичними даними.

Список основних опублікованих робіт за темою дисертації

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Додаткові публікації за темою дисертації

1. Найдыш А.В., Мацулевич А.Е., Пыхтеева И.В. Решение двойственной задачи метода наименьших квадратов (МНК). //Зб.праць міжн.наук-практ.конф., присвяченої 200 – річчю створення нарисної геометрії ”Сучасні проблеми геометричного моделювання”, Харків, – 1998.- ч.1, С.108.

АНОТАЦІЇ

Пихтєєва І.В. Апроксимація плоских дискретно представлених кривих ліній на основі дискретного методу найменших квадратів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 – Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Таврійська державна агротехнічна академія. Україна, Мелітополь, 2004.

Захищається дисертація і 10 наукових праць, у яких пропонується новий метод дискретної апроксимації дискретно представлених кривих (ДПК) – дискретний метод найменших квадратів (ДМНК).

Пропонується алгоритм апроксимації плоских ДПК запропонованим методом. Розглядаються реалізації методу на основі алгебраїчних поліномів і довільної функції, дискретне представлення якої сформовано на основі розділених різниць певного порядку. Це дає змогу ввести кускові та кусково – гладкі наближення.

Розв’язується двоїста задача ДМНК шляхом перенесення до простору параметрів. Розглядається зважений ДМНК, як основа для дискретного розв’язання задачі методу найменших модулів. На основі квадратичного програмування методом множників Лагранжа розв’язується задача запобігання осцилляції. При цьому отримано екстремальний розв’язок без урахування апроксимуючої функції. Для надання можливості апроксимації динамічних обводів пропонується спосіб корекції прямолінійних ділянок розв’язку. Розглядається застосування методу для математичного опрацювання результатів експерименту, та розв’язання задач економіко – математичного моделювання.

Результати досліджень впроваджені в ВГК ВАТ ''Мотор Січ'', при проектуванні нових виробів і обводоутворюючого оснащення, в ВАТ “КБ “Бердянськсільмаш” при проведенні комп’ютерного експерименту з метою оптимізації параметрів різального апарату жниварок, у фінансово-господарському відділі Мелітопольської райдержадміністрації при складанні моделей прогнозування врожайності сільгоспкультур, а також в навчальному процесі ТДАТА, що підтверджується довідками про впровадження пропонованого методу.

Ключові слова: апроксимація, дискретно представлена крива (ДПК), дискретний метод найменших квадратів (ДМНК).

Пыхтеева И.В. Аппроксимация плоских дискретно представленных кривых линий на основе дискретного метода наименьших квадратов. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 – Прикладная геометрия, инженерная графика. – Таврическая государственная агротехническая академия. Украина, Мелитополь, 2004.

Защищается диссертация и 10 научных работ, в которых предлагается новый метод дискретной аппроксимации дискретно представленных кривых (ДПК) по критерию минимума суммы квадратов отклонений заданных точек от расчетных – дискретный метод наименьших квадратов (ДМНК).

Предлагается алгоритм аппроксимации плоских ДПК предлагаемым методом, отличительной чертой которого является дискретное представление аппроксимирующей функции, которую определяют некоторые управляющие ординаты, от которых зависят ординаты остальных точек. Выбор управляющих ординат влияет на элементы матрицы нормальных уравнений и на точность приближения.

Рассматриваются реализации метода на основе алгебраических полиномов и произвольной функции, дискретное представление которой сформировано на основе разделенных разностей определенного порядка. Это дает возможность ввести кусочные и кусочно – гладкие приближения и таким образом в качестве аппроксимирующего точечного ряда выбирать дискретно представленные обводы, состоящие из участков различных ДПК.

Вид каждого участка определяется по поведению разделенных разностей определенной степени. Рассматривается локальная и глобальная дискретные кусочные аппроксимации.

Решается двойственная задача ДМНК путем перенесения в пространство параметров. Рассматривается взвешенный ДМНК, как основа для дискретного решения задачи метода наименьших модулей. На основе квадратичного программирования методом множителей Лагранжа с использованием дискретных представлений функций решается задача предотвращения осцилляции при дискретной аппроксимации предлагаемым методом. При этом получено экстремальное решение без учета аппроксимирующей функции. Для предоставления возможности аппроксимации динамических обводов предлагается способ коррекции прямолинейных участков решения. Рассматривается применение метода для математической обработки результатов эксперимента, а также для решения задач экономико – математического моделирования, в частности, при моделировании производственных функций и при разработке моделей прогнозирования производственных процессов в АПК.

Результаты исследований приняты к внедрению в ОГК ОАО ''Мотор-Сич'', при проектировании новых изделий и обводообразующей оснастки, в ОАО “КБ “Бердянсксельмаш” при проведении компьютерного эксперимента с целью оптимизации параметров режущего аппарата жаток, в финансово-хозяйственном отделе Мелитопольской райгосадминистрации при проектировании моделей прогнозирования урожайности сельхозкультур, а также в учебном процессе ТГАТА, что подтверждается справками о внедрение предлагаемого метода.

Ключевые слова: аппроксимация, дискретно представленная кривая (ДПК), дискретный метод наименьших квадратов (ДМНК).

Pyhteeva I.V. Approximation of flat discretely presented curve lines on the basis of the least squares discrete method. – Manuscript.

Candidate of Technical Science on speciality 05.01.01 dissertation – Applied geometry, engineering graphics – Tavria State Agrotechnical academy. Ukraine, Melitipol, 2004.

The dissertation and 10 scientific works, in which a new method of discrete approximation of discretely presented curves (DPC) – the least squares discrete method (LSDM).

Flat DPC approximation algorithm is represented by proposed method, the distinguishing feature of which is discrete presentation of the approximating function, determined by some control ordinates that influence the ordinates of the points.

The dual task LSDM is solved by transferring to the sphere of parameters. Suspended LSDM is considered as the basis for discrete solution of the least modulus method task. The problem of oscillation preventing under discrete approximation is solved by the proposed method on the basis of square programming by Langrage factor method with the usage of discrete function presentation. Thus, extreme solution without regard for approximating function is got. The way of straightline segments of solution correction is proposed to enable the approximation of dynamic outlines. Application of method for mathematical treatment of the experiment outcomes, and also for solution of economic-mathematical stimulation tasks, in particular, in stimulation of producing functions and development of producing processes prediction models in agroindustrial complex are considered.

The results of researches are introduced into production at the open-end company “Motor-Sich” in the chief designer department, at the open-end company “KB Berdyanskselmash” at the chief designer department on the mathematical treatment of experiment outcomes, at Melitopol regional administration when constucting prediction models of agricultural crops productivity, the results of researches are included into educational process.

Key words: approximation, discretely presented curve (DPC), the least squares discrete method (LSDM).