Національна академія наук України

Інститут математики

СТЕЛЬМАЩУК Людмила Володимирівна

УДК 517.9

Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь

із запізненням

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник:

академік НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Самойленко Анатолій Михайлович,

Інститут математики НАН України, директор.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ПЕТРИШИН Роман Іванович,

Чернівецький національний університет

імені Ю. Федьковича,

декан математичного факультету;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ЧУЙКО Сергій Михайлович,

Слав’янський педагогічний університет,

проректор.

Провідна установа:

Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, кафедра диференціальних рівнянь.

Захист відбудеться „8” _червня____ 2004 р. о 15_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою:

01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України, 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий „_4__” __травня__ 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Диференціальні рівняння із запізненням є тим математичним апаратом, за допомогою якого вдалося описати нові ефекти і явища в багатьох прикладних задачах. У сучасній фізиці, механіці, космічній техніці для визначення сили, що діє на тіло (матеріальну точку), потрібно враховувати не тільки точне розміщення та поведінку його в даний момент часу, але і стан об’єкта в деякі попередні моменти часу. Еволюція біологічних систем залежить від всієї передісторії, що приводить до появи запізнення в математичних моделях цих систем, яке дозволяє врахувати неоднорідність біологічних популяцій, сезонність розвитку та інші фактори. Аналогічні задачі виникають при довгостроковому прогнозуванні в економіці, задачах медицини, екології, імунології, хімії та інших науках. Системи диференціальних рівнянь із запізненням, у зв’язку з численними прикладними застосуваннями, є важливим і актуальним об’єктом дослідження.

Систематичному дослідженню диференціальних рівнянь із запізненням присвячені праці А.Д. Мишкіса, Л.Е. Ельсгольца, М.М. Красовського, А. Халаная, Р. Белмана та К. Кука, Дж. Хейла. Важливий внесок у розвиток різних напрямків теорії диференціальних рівнянь із запізненням зробили Ю.О. Митропольський, А.М. Самойленко, В.П. Рубаник, Д.І. Мартинюк, В.І. Фодчук, В.М. Азбелєв, Г.П. Пелюх, В.Ю.Слюсарчук та інші.

Відзначимо великий інтерес до дослідження коливних процесів у системах із запізненням. Серед різноманітних методів дослідження періодичних розв’язків таких рівнянь та алгоритмів їх побудови значний розвиток отримали асимптотичні методи Крилова-Боголюбова- Митропольського, метод малого параметра та метод усереднення, які були вже розвинені для звичайних диференціальних рівнянь. Основні результати цих досліджень для квазілінійних диференціальних рівнянь із запізненням одержані в працях Ю.О. Митропольського, С.М. Шиманова, В.П. Рубаника, В.І. Фодчука, Ю.О. Рябова, А. Халаная, В.І. Рожкова, С.Ф. Фещенка, М.І. Шкіля, Дж. Хейла, К. Перелло, С. Інвернізі, Ф. Заноліна та інших.

Для дослідження умов існування періодичних розв’язків сильно нелінійних рівнянь із запізненням у роботах М.А. Красносельського, Ю.Г. Борисовича, Р. Графтона, Дж. Хейла, А. Стокса використовуються топологічні методи. Відзначимо метод дослідження періодичних розв’язків для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, запропонований Л. Чезарі, поширений пізніше на рівняння із запізненням А.М. Родіоновим, а також метод тригонометричної колокації, розвинутий в роботах А.М. Самойленка і М.Й. Ронто, А. Белена.

Для дослідження періодичних розв’язків систем нелінійних диференціальних рівнянь в працях А.М. Самойленка розвинутий чисельно- аналітичний метод, який дозволяє поряд із знаходженням періодичного розв’язку у вигляді рівномірно збіжної послідовності періодичних функцій встановити умови існування таких розв’язків. У працях А.М. Самойленка, Д.І. Мартинюка, Б.П. Ткача, Ю.В. Теплінського, М. Квапіша, К.В. Цідило, М.В. Ронто, С.І. Трофимчука, С.В. Янчука, Я.Й. Бігуна, М.П. Філіпчука та інших чисельно-аналітичний метод поширений на різні класи диференціальних рівнянь із запізненням.

Дослідженню періодичних розв’язків різних класів інтегро- диференціальних рівнянь присвячені праці Ю.О. Митропольського, Г.П. Хоми, М.І. Гром’яка, В.З. Чорного, Г. Вахабова, О.Д. Нуржанова, А.Т. Алимбаєва та інших.

У роботах А.М. Самойленка, М.Й. Ронто та Ле Лионг Тая чисельно- аналітичний метод узагальнений для знаходження періодичних розв’язків автономних звичайних диференціальних рівнянь. В той же час у випадку автономних диференціальних рівнянь із запізненням даний метод не достатньо добре досліджений. Зокрема, в праці Д.І. Мартинюка, В.А. Данканича наведена без обгрунтування схема чисельно-аналітичного методу для автономних диференціальних рівнянь із запізненням, що містить неточну додаткову умову.

У даній дисертаційній роботі досліджується побудова та обгрунтування схеми чисельно-аналітичного методу знаходження періодичних розв’язків для автономних диференціальних рівнянь із запізненням. Крім того, цей метод поширюється для дослідження інтегро- диференціальних рівнянь із запізненням різних типів: із 2  періодичною правою частиною; правою частиною довільного періоду T, розглянуто також випадок, коли інтегральний член є типу Вольтерра.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами

Дослідження проводились у відділі диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України згідно з загальним планом науково-дослідних робіт “Методи аналізу диференціальних, імпульсних та еволюційних рівнянь”, номер держреєстрації 198U001998, та “Теорія диференціальних рівнянь і нелінійних коливань”, номер держреєстрації 0101U000526.

Мета і задачі дослідження. Об’єктом дослідження є автономні диференціальні рівняння із запізненням та інтегро-диференціальні рівняння другого порядку із запізненням.

Метою дослідження даної роботи є побудова та обгрунтування схеми чисельно-аналітичного методу знаходження періодичних розв’язків автономних диференціальних рівнянь із запізненням, а також уточнення умов застосування цієї схеми для інтегро-диференціальних рівнянь другого порядку із запізненням.

Методи дослідження. В роботі використовуються ідеї чисельно- аналітичного методу А.М. Самойленка, ідеї методу Гальоркіна та топологічні методи, а також результати теорії диференціально- функціональних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі отримано такі нові наукові результати:

- запропоновано і обгрунтовано схему чисельно-аналітичного методу знаходження періодичних розв’язків автономних диференціальних рівнянь із запізненням;

- встановлено достатні умови існування періодичних розв’язків автономних диференціальних рівнянь із запізненням;

- досліджено умови існування та наближеної побудови періодичних розв’язків автономного диференціального рівняння типу Ван дер Поля із запізненням;

- одержано достатні умови збіжності чисельно-аналітичного методу дослідження періодичних розв’язків інтегро-диференціальних рівнянь із запізненням з інтегральним членом типу Вольтерра, в які величина запізненння входить у явному вигляді;

- розвинено чисельно-аналітичний метод дослідження періодичних розв’язків інтегро-диференціальних рівнянь другого порядку із запізненням у випадку Т-систем першого і другого класу.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Отримані результати можуть бути використані для дослідження та побудови розв’язків конкретних прикладних задач, математичними моделями яких є автономні диференціальні рівняння першого порядку із запізненням та інтегро-диференціальні рівняння другого порядку перерахованих вище типів. Крім того, їх можна застосовувати для подальшого дослідження та наближеної побудови розв’язків диференціальних рівнянь із запізненням.

Особистий внесок здобувача. Загальний план роботи та постановка задач визначені науковим керівником – А.М. Самойленком. Усі наукові результати, включені в дисертацію, отримані автором особисто. Відзначимо внесок автора у спільних публікаціях: у праці [1] А.М. Самойленко поставив задачі та запропонував вибір методики дослідження, а доведення всіх наведених тверджень належить автору; у праці [4] – І.М. Черевку належить ідея загальної схеми дослідження, а розробка ітераційної схеми та її обгрунтування належить автору.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались на науковому семінарі відділу звичайних диференціальних рівнянь (2002 р. та 2004 р.) (керівник – академік НАН України, професор Самойленко А.М.) та на П’ятій Кримській Міжнародній Математичній школі “Метод функций Ляпунова и его приложения” (м. Алушта, 5 – 13 вересня 2000р.), а також обговорювались на Міжнародних конференціях: Міжнародній конференції “Dynamical systems modelling and stability investigation” (м.Київ, 25 – 29 травня 1999р.); VIII Міжнародній Науковій Конференції імені академіка М. Кравчука (м.Київ, 11 –14 травня 2000р.); Міжнародній конференції “Dynamical systems modelling and stability investigation” (м.Київ, 22 – 25 травня 2001р.); Міжнародній конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (м.Чернівці, 27 –29 серпня 2001р. ); Міжнародній конференції “Теорія еволюційних рівнянь” (П’яті Боголюбовські читання) (м. Кам’янець-Подільський, 22 – 24 травня 2002р.); Міжнародній конференції “Dynamical systems modelling and stability investigation”, (м.Київ, 27 – 30 травня 2003р.); Міжнародній науковій конференції “Шості Боголюбовські читання) (м. Чернівці, 26 – 30 серпня 2003р.).

Публікації. Основні результати роботи опубліковано в 11 працях. Серед них – 4 статті [1 - 4] в наукових фахових виданнях, що входять в перелік №1 ВАК України від 9.06.1999 р., та 7 тез [5 - 11] у збірниках матеріалів наукових конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота скаладається зі вступу, трьох розділів, що містять 17 параграфів, висновків та списку використаних джерел, що цитуються (137 найменування). Загальний обсяг роботи – 128 сторінок, основний зміст роботи становить 111 стор.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику академіку НАН України А.М.Самойленку за постановку задач і постійну увагу до роботи.

Основний Зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан проблеми, виділено мету і задачі дослідження, наведено основні результати, відзначено їх новизну та практичне значення і зазначено особистий внесок здобувача, апробацію роботи та публікації.

У першому розділі зроблено огляд праць, які стосуються чисельно- аналітичного методу А.М.Самойленка для дослідження періодичних розв’язків нелінійних диференціальних рівнянь. Розглянуто загальну схему чисельно-аналітичного методу, введено необхідні позначення та наведено допоміжні твердження, необхідні в подальшому. Проаналізовано результати застосування цього методу для дослідження періодичних розв’язків диференціально-функціональних рівнянь, автономних диференціальних рівнянь та інтегро-диференціальних рівнянь.

У розділі 2 розглянута задача про відшукання періодичних розв’язків автономних систем із запізненням, доведено теореми про необхідні умови існування цих розв’язків, встановлено оцінки похибки методу та відхилення наближеного розв’язку від точного, розглянуто деякі часткові випадки, доведено теореми, що дають достатні умови існування періодичних розв’язків таких систем.

У підрозділі 2.2 розглядається автономна система диференціальних рівнянь із запізненням

, (1)

з крайовими умовами вигляду

, (2)

Задача (1) - (2) за допомогою замін зводиться до задачі про відшукання періодичного розв’язку з періодом для системи диференціальних рівнянь

, . (3)

Встановлено, що крайова задача (3) може мати розв’язок тільки при додатковій умові: його значення повинно знаходитись на поверхні

. (4)

де — деяка фіксована координата розв’язку з екстремальним значенням в точці . Заміною змінних задача (3) зводиться до задачі знаходження 2- періодичних розв’язків неавтономної системи вигляду

, (5)

з додатковою умовою існування періодичного розв’язку

. (6)

Позначатимемо через розв’язок рівняння (6) відносно , а через — розв’язок рівняння . Припустимо, що для значень із деякого відрізка, виконуються такі умови

1) обмеженості;

2) Ліпшица:

3) власні значення матриці лежать в одиничному крузі;

4) множина точок , що знаходяться в області разом із своїм околом, не порожня.

При виконанні цих припущень періодичний розв’язок системи (5) будемо шукати як границю рівномірно збіжної послідовності періодичних функцій, що визначаються рекурентними співвідношеннями

,

,

-

- , (7)

, .

Теорема 2.2.1. Нехай система (5) має періодичний розв’язок , який лежить на поверхні (6) і виконуються умови 1)  ), тоді має місце співвідношення

,

визначений рівностями (7).

У цьому ж підрозділі розглянуто автономну систему диференціальних рівнянь із запізненням, одне з рівнянь якої є лінійним, та знайдено для неї у явному вигляді умову, аналогічну (6).

Для знаходження наближених розв’язків автономних рівнянь без запізнення розвинено метод тригонометричної колокації, описаний в роботах А. Белена, А.М. Самойленка, М.Й. Ронто, чисельно-аналітичний метод А.М. Самойленка для встановлення і наближеної побудови періодичних розв’язків автономних систем звичайних диференціальних рівнянь та топологічні методи, які досліджувались М.А. Красносельським, Дж. Хейлом, Р. Графтоном та іншими.

У підрозділі 2.3 встановлено залежність між існуванням розв’язків задачі (5) – (6) та існуванням нулів визначальної функції, розглянуто властивості цієї функції (лема 2.3.1). Основним результатом підрозділу є таке твердження.

Теорема 2.3.1. Якщо система (5) при виконанні умов 1) - 4) має періодичний розв’язок для якого справджується рівність , то, .

Доведено також достатні умови існування періодичних розв’язків системи (1) та розглянуто схему знаходження періодичних розв’язків автономних диференціальних рівнянь із запізненням в скалярному випадку (теореми 2.3.2 та 2.3.3).

Зауважимо, що умови існування періодичних розв’язків диференціальних рівнянь із запізненням досліджувались в працях К. Перелло, С. Інвернізі, Ф. Заноліна, Ю.О. Митропольського, Д.І. Мартинюка та інших авторів.

У підрозділі 2.4 встановлено оцінку похибки чисельно-аналітичного методу. У підрозділі 2.5 розглядається питання зведення автономної системи із запізненням до неавтономної та встановлюються оцінки належності отриманої неавтономної системи до класу Т-систем через параметри вихідної системи. При цьому вивчаються особливості лінійної заміни змінних при зведені автономної системи із запізненням з виділеною лінійною частиною до неавтономної та встановлено оцінки.

У підрозділі 2.6 чисельно-аналітична схема застосована для дослідження періодичних розв’язків диференціального рівняння із запізненням типу Ван дер Поля

Отримано оцінки, які забезпечують можливість застосування ітераційного процесу (7) та побудовано нульове наближення періодичного розвязку.

У третьому розділі розглянуто поширення чисельно-аналітичного методу для знаходження періодичних розв’язків інтегро-диференціальних рівнянь із запізненням.

У підрозділі 3.2 розглядається інтегро-диференціальне рівняння другого порядку

, (9)

де x – скалярна функція і функції визначені відповідно в області

, (10)

неперервні за сукупністю змінних, -періодичні і задовольняють в області D умови обмеженості функцій та Ліпшица .

Для знаходження періодичних розв’язків рівняння (9) запропоновано метод, що поєднує ідеї методу Гальоркіна та чисельно-аналітичного методу. За виконання ряду умов, справедливе таке твердження.

Теорема 3.2.1. Нехай функції та визначені в області (10), неперервні за сукупністю змінних, - періодичні по і задовольняють вище вказані умови. Тоді послідовність - періодичних функцій

при збігається рівномірно до періодичної функції, що задовольняє рівняння

Встановлено залежність між існуванням періодичних розв’язків рівняння (9) та існуванням нулів визначальної функції .

У підрозділі 3.3 розглянуто інтегро-диференціальне рівняння із запізненням та Вольтерровим інтегральним членом

(11)

Припустимо, що функції в правій частині рівняння (16) визначені в області , , , неперервні за сукупністю змінних, Т-періодичні по t, s і задовольняють в області визначення умови обмеженості та Ліпшица.

Встановлено умови, при яких система (16) є Т-системою і доведено наступне твердження

Теорема 3.3.1. Нехай система (16) є -системою. Припустимо, що -періодичний з періодом розв’язок цієї системи, який при проходить через точку х0. Тоді

,

де — періодичні функції, що визначаються співвідношеннями

,

, .

Досліджено також питання про існування періодичних розв’язків, яке пов’язане з існуванням нулів функції

та виконанням рівності , тотожно для всіх t.

Випадок системи інтегро-диференціальних рівнянь без запізнення розглядався в працях А.Т. Алимбаєва і Г.О. Вахабова, а диференціальне рівняння другого порядку із запізненням досліджено в роботах Д.І. Мартинюка. У даному пункті уточнено результати, що встановлені в працях Д.І.Мартинюка, за рахунок явного введення запізнення в умови існування періодичного розв’язку.

У підрозділі 3.4 схема знаходження періодичних розв’язків інтегро- диференціальних рівнянь 1-го та 2-го класу, введених в роботах Ю.А. Митропольського, Г.П.Хоми, узагальнюється на нелінійні інтегро-диференціальні рівняння вигляду

, (12)

де функції неперервні за сукупністю своїх змінних, періодичні по t з періодом T, визначені в деякій області (13) обмежені сталими М і М1 відповідно та задовольняють умови Ліпшица, функція визначена і неперервна, періодична по t з періодом T і обмежена сталою N.

Теорема 3.4.1. Нехай функції визначені в області (13), неперервні за сукупністю своїх змінних, Т- періодичні і задовольняють наведені вище припущення.

Тоді для кожної неперервної періодичної функції такої, що

, ,

послідовність періодичних функцій

;

,

збігається при рівномірно відносно t до неперервної періодичної функції, що задовольняє інтегрально-диференціальне рівняння (17).

Аналогічна теорема доведена і для випадку, коли рівняння (17) є Т-системою другого класу.

Висновки

Дисертаційна робота присвячена розвитку чисельно-аналітичного методу побудови періодичних розв’язків для нових класів диференціальних та інтегродиференціальних рівнянь із запізненням. Безпосереднім завданням досліджень є побудова та обгрунтування схем апроксимацій періодичних розв’язків для таких рівнянь.

У дисертаційній роботі отримано такі нові наукові результати:

- запропоновано і обгрунтовано схему чисельно-аналітичного методу знаходження періодичних розв’язків автономних диференціальних рівнянь із запізненням;

- встановлено достатні умови існування періодичних розв’язків автономних диференціальних рівнянь із запізненням;

- досліджено умови існування та наближеної побудови періодичних розв’язків автономного диференціального рівняння типу Ван дер Поля із запізненням;

- одержано достатні умови збіжності чисельно-аналітичного методу дослідження інтегро-диференціальних рівнянь із запізненням з інтегральним членом типу Вольтерра, в які величина запізненння входить в явному вигляді;

- розвинено чисельно-аналітичний метод дослідження періодичних розв’язків інтегро-диференціальних рівнянь другого порядку із запізненням у випадку Т-систем першого і другого класу.

Одержані результати і методика доведення мають, в основному, теоретичний характер. Строге математичне обгрунтування цих результатів визначає їх достовірність. Вони можуть бути використані при дослідженні практичних задач, моделями яких є розглянуті в дисертації задачі, та подальшому дослідженні теорії диференціальних рівнянь із запізненням.

Основні результати дисертації опубліковані в працях:

1. Самойленко А.М., Стельмащук Л.В. Періодичні розв’язки автономних диференціальних рівнянь із запізненням // Нелінійні коливання. – 2000. – 3, №4. – С. 526 – 534.

2. Стельмащук Л.В. Дослідження періодичних розв’язків автономних диференціальних рівнянь із запізненням // Вісник Київського ун-ту. Сер. фіз.-мат. науки – 2001. – №4. – С. 157 – 163.

3. Стельмащук Л.В. Періодичні розв’язки інтегро-диференціальних рівнянь другого порядку із запізненням // Вісник Київського ун-ту. Сер. фіз.-мат. науки – 1999. – №1. – С. 82 – 86.

4. Стельмащук Л.В., Черевко І.М. Періодичні розв’язки інтегро- диференціальних рівнянь другого порядку із запізненням // Вісник Київського ун-ту. Сер. фіз.-мат. науки – 2000. – 1. – С. 145 – 154.

5. Стельмащук Л.В. Періодичні розв’язки інтегро-диференціальних рівнянь із запізненням // Intern. conf. “Dynamical systems modelling and stability investigation”, “System investigation” (May 25 – 29, 1999, Kyiv): Thes. of conf. rep. – Київ, 2001. – P.58.

6. Стельмащук Л.В. Періодичні розв’язки нелінійних автономних систем із запізненням // VIII міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука (11 –14 травня 2000р., Київ): Матеріали конф. – Київ, 2000. – С.192.

7. Стельмащук Л.В. Чисельно-аналітичний метод дослідження періодичних розв’язків автономних систем із запізненням // Intern. conf. “Dynamical systems modelling and stability investigation” (May 22 – 25, 2001, Kyiv): Thes. of conf. rep. – Київ, 2001. – P.98.

8. Стельмащук Л.В. Періодичні розв’язки автономного рівняння Ван дер Поля із запізненням // Міжнар. наук. конф. “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (27 – 29 серпня 2001р., Чернівці): Тез. доп. міжн. конф. – Київ, 2001. – С.155.

9. Стельмащук Л.В. Про періодичні розв’язки автономних систем із запізненням // Міжнар. конф. “Теорія еволюційних рівнянь” (П’яті Боголюбовські читання) (22 – 24 травня 2002р., м. Кам’янець-Подільський): Тез. доп. – Кам’янець-Подільський, 2002. – С.160.

10. Стельмащук Л.В. Періодичні розв’язки інтегро-диференціальних рівнянь із запізненням // Intern. conf. “Dynamical systems modelling and stability investigation” (May 27 – 30, 2003, Kyiv): Thes. of conf. rep. – Київ, 2003. P.109.

11. Стельмащук Л.В. Чисельно-аналітичний метод для автономних диференціальних рівнянь із запізненням // Міжнар. наук. конф. “Шості Боголюбовські читання” (26 – 30 серпня 2003р., м. Чернівці): Тез. доп. – Київ, 2003. – С.217.

АНОТАЦІЯ

Стельмащук Л.В. Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь із запізненням. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико- математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут математики Національної академії наук України, Київ, 2004.

Дисертація присвячена дослідженню задачі про побудову періодичних розв’язків автономних диференціальних рівнянь із запізненням та нових класів нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь із запізненням. На основі чисельно-аналітичного методу запропоновано та обгрунтовано алгоритм побудови періодичних розв’язків автономних диференціальних рівнянь із запізненням. Встановлено оцінки похибки методу та досліджено достатні умови існування періодичних розв’язків таких рівнянь. Розглянуто особливості лінійної заміни змінних для зведення автономної системи із запізненням до неавтономної. Отримано оцінки належності неавтономної системи до класу Т-систем через параметри вихідної системи. За допомогою розробленого алгоритму досліджено умови існування та наближеної побудови періодичних розв’язків автономного диференціального рівняння із запізненням типу Ван дер Поля.

Досліджено достатні умови збіжності чисельно-аналітичного методу для знаходження періодичних розв’язків інтегро-диференціальних рівнянь другого порядку із запізненням. Для інтегро-диференціальних рівнянь із запізненням з інтегральним членом Вольтеррівського типу одержано достані умови збіжності, в які величина запізнення входить у явному вигляді. Вивчено схему дослідження періодичних розв’язків інтегро- диференціальних рівнянь із запізненням для випадку Т-систем першого та другого класу.

Ключові слова: автономні дифереціальні рівняння із запізненням, інтегро-диференціальні рівняння, чисельно-аналітичний метод, періодичні розв’язки, визначальна функція та визначальне рівняння, інтегральний член Вольтеррівського типу, Т-системи першого та другого класу.

АННОТАЦИЯ

Стельмащук Л.В. Периодические решения дифференциальных уравнений с запаздыванием. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Институт математики Национальной академии наук Украины, Киев, 2004.

Диссертация посвящена обоснованию численно-аналитического метода А.М. Самойленка для исследования периодических решений автономных дифференциальных уравнений с запаздыванием и новых классов нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с запаздыванием. Для исследования периодической краевой задачи для автономной системы с запаздыванием осуществлен переход к эквивалентной периодической краевой задаче периода для неавтономной системы с запаздыванием. При этом установлено вспомогательное условие, при котором эта краевая задача может иметь решение. Рассмотрен пример автономной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием, для которой найдено в явном виде вспомогательное условие существования периодического решения.

Для отыскания периодического решения краевой задачи применяется схема численно-аналитического метода. Изучены условия её сходимости, получены оценки погрешности. Установлены достаточные условия разрешимости периодической краевой задачи автономной дифференциальной системы с запаздыванием, исследована их связь со свойствами определяющей функции. Рассмотрены особенности схемы нахождения периодических решений автономных дифференциальных уравнений с запаздыванием в скалярном случае.

Исследованы особенности линейной замены переменных при сведении автономной системы с запаздыванием к неавтономной. Получены оценки, позволяющие установить применимость разработанной численно- аналитической схемы к преобразованной системе непосредственно по параметрам исходной системы. В качестве приложения рассмотренной схемы аппроксимации получены условия существования и приближенного построения периодических решений автономного дифференциального уравнения типа Ван дер Поля с запаздыванием. Построено нулевое приближение периодического решения и получены оценки его погрешности.

Исследовано распространение и обобщение численно-аналитического метода последовательных периодических приближений на изучение интегро – дифференциальных уравнений второго порядка с запаздыванием. Исследована комбинированная схема на основании метода Галёркина и численно-аналитического метода. Получены достаточные условия сходимости численно-аналитического метода при исследовании интегро- дифференциальных уравнений с запаздыванием с интегральным членом Вольтеррового типа, в которые величина запаздывания входит в явном виде. Изучены вопросы существования Т-периодических решений таких уравнений, которые связаны с условиями существования нулей определяющего уравнения и выполнением некоторых вспомогательных равенств.

Выделены нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с запаздыванием, принадлежащие к Т-системам первого или второго класса. Построены и обоснованы численно-аналитические схемы для исследования периодических решений таких уравнений.

Ключевые слова: автономные дифференциальные уравнения с запаздыванием, интегро-дифференциальные уравнения, численно- аналитический метод, периодические решения, определяющая функция и определяющее уравнение, интегральный член Вольтерровского типа, Т- системы первого и второго класса.

ABSTRACT

Stelmaschuk L.V. The periodic solutions for differential equations with delay. – Manuscript.

The thesis Candidate degree by speciality 01.01.02 – differential equations. – Institute of mathematics National academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2004.

The thesis deals with investigation of the problem of construction of periodic solutions for autonomous differential equations with delay and new classes of nonlinear integral-differential equations with delay. Algorythm of construction of periodic solutions for autonomous differential equations with delay based on numerical-analytic method is proposed and proved here. Evaluations for fault of method are found and sufficient conditions for existence of periodic solutions for these equations are investigated. Specialities of linear replacement of variables to transform autonomous system with delay into nonautonomous system are studied. Special evaluations for belonging of nonautonomous system to T-system’s class based on parameters of initial system are received. Conditions for existance and approximate building of periodical solutions of autonomous differential equations with delay based on Van der Pole’s system are researched by means of constructed algorythm.

Sufficient conditions for coinsidence of numerical-analysis method for finding of periodic solutions for integral-differential equations by second order with delay are considered. For integral-differential equations with delay with integral member by Voltera’s type sufficient conditions for coinsidence which contain value of delay in obvious form are received. The scheme of investigation of periodic solutions for integral-differential equations with delay for T-systems of first and second classes is studied.

Key words: autonomous differential equations with delay, integral-differential equations, numerical-analysis method, periodic solutions, determining function and determining equation, integral member by Volterra’s type, T-system of first and second classes.