ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені В. Н. Каразіна

Воробйов Ігор Володимирович

УДК 517.984

ФУНКЦІОНАЛЬНІ МОДЕЛІ ТА МЕТРИЧНІ ВУЗЛИ

ДЛЯ ОПЕРАТОРІВ, ЩО БЛИЗЬКІ ДО НОРМАЛЬНИХ

01.01.01 – математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2004

Дисертація є рукописом.

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна

Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: | доктор фізико-математичних наук, професор

Золотарьов Володимир Олексійович,

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна,

декан механіко-математичного факультету.

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор

Гришин Анатолій Пилипович,

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна,

завідувач кафедри математичного аналізу;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Маламуд Марк Михайлович,

Донецький національний університет,

доцент кафедри математичного аналізу і теорії функцій.

Провідна установа : | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна

НАН України, математичне відділення (м. Харків).

Захист відбудеться “ 27 ” серпня 2004 р. о 1700 на засіданні спеціалізованої вченої ради К .051.11 Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитися у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.

Автореферат розісланий “ 7 ” липня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради |

Скорик В.О.

Загальна характеристика РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертація присвячена розвитку теорії лінійних обмежених операторів у гільбертовому просторі, що в тому чи іншому розумінні близькі до нормальних. Класична спектральна теорія самоспряжених, унітарних та нормальних операторів є одним із основних досягнень функціонального аналізу в гільбертовому просторі і до теперішнього часу достатньо широко та глибоко вивчена. Серед близьких до нормальних операторів явним чином виділяється клас гіпонормальних операторів, тобто операторів з самокомутатором . Ці оператори вивчаються за допомогою розкладання на дійсну частину і уявну частину , та для них на теперішній час вже побудована відповідна спектральна теорія. А саме: вивчені спектральні властивості (К.Путнам, Д.Кся), побудована сингулярна інтегральна модель, введені визначальна і характеристична функції, за допомогою яких будуються мозаїка та принципальна функція Пінкуса (Д.Пінкус, Р.Кері, Д.Кся). Останні мають безпосередній зв’язок зі спектром оператора та відіграють важливу роль при вивченні гіпонормальних операторів.

Паралельно йшов розвиток теорії семігіпонормальних операторів, тобто операторів, для яких , де, відповідно, та – правий та лівий модулі оператора . Семігіпонормальні оператори вивчаються за допомогою полярного розкладання , де – ізометрія. Ця теорія має багато спільного з теорією гіпонормальних операторів, зокрема, поняття семігіпонормальності узагальнює поняття гіпонормальності (Д.Кся).

Виділяють також клас майже нормальних операторів – операторів з ядерним самокомутатором , при цьому прийнято факторизувати у вигляді , де – відображення Гільберта-Шмідта, що діє з допоміжного гільбертового простору в , а – сигнатура самокомутатора, причому – гіпонормальний випадок. Для випадку до цього часу не побудована належна спектральна теорія така, як для гіпонормальних операторів, а більшість результатів у цьому напрямку одержано Р.Кері і Д.Пінкусом. Ними були введені мозаїка і принципальна функція, та вивчався їх зв’язок зі структурою . Деякі результати також були одержані Р.Кері і Д.Пінкусом для таких операторів , що – ядерний оператор.

Для майже нормальних операторів з та абсолютно неперервною дійсною частиною були побудовані певні сингулярні інтегральні моделі, але в них не була з’ясована структура операторних коефіцієнтів, які входять у сингулярний інтегральний оператор, що було перешкодою для побудови визначальної та характеристичної функцій цих модельних операторів, а, значить, і побудови теорії, що аналогічна гіпонормальному випадку. Крім цього, для операторів, що близькі до нормальних, не були введені відповідні метричні вузли, як для операторів, що близькі до само-спряжених (М.С.Лівшиць, А.А.Янцевич) та до унітарних (М.С.Бродський, В.О.Золотарьов), які слугують достатньо потужним інструментом при вивченні спектральних властивостей операторів.

Тому є необхідність одержання результатів у теорії операторів, що близькі до нормальних.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі вищої математики та інформатики механіко-математичного факультету Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна в межах теми “Спектральний аналіз, модельні зображення лінійних операторів у гільбертових просторах та їх використання в теорії динамічних систем та в теорії диференціальних рівнянь”, яка розробляється згідно з кафедральним планом науково-дослідних робіт (номер державної реєстрації 0100U003349).

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є створення єдиного підходу для вивчення операторів, що близькі до нормальних, що включає до себе введення метричних вузлів, їх визначальних та характеристичних функцій, побудову функціональних моделей операторів, з’ясування зв’язків цих моделей із визначальними та характеристичними функціями, символами, мозаїками та принципальними функціями Пінкуса, а також одержання нових властивостей даних функцій.

Об’єкт дослідження. Лінійні обмежені оператори в комплексних сепарабельних гільбертових просторах, побудова функціональних моделей та вивчення властивостей даних операторів.

Предмет дослідження. Достатні умови для існування функціональних моделей, побудова аналітичних конструкцій, що дозволяють вивчати оператори, що близькі до нормальних.

Методи дослідження. У дослідженнях дисертації використовуються методи функціонального аналізу, теорії операторів, теорії диференціальних рівнянь і теорії функцій комплексної змінної.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі дістала істотний розвиток теорія операторів, що близькі до нормальних, у випадку знаконевизначеного відхилення від нормальності (). Відмітимо основні результати дисертації та відзначимо їх ступінь новизни:

1) одержано явні формули для цілком ненормального і нормального підпросторів оператора в термінах , (доповнено формули Б.Б.Моррела та узагальнено формули М.Мартіна і М.Путінара), в термінах дійсної та уявної частин (для одержано вперше), а також в термінах множників, що входять у полярне розкладання (одержано вперше);

2) уперше введені поняття нормального метричного вузла та його характеристичної функції; доведено, що остання є повним унітарним інваріантом простих нормальних метричних вузлів;

3) уперше введені поняття гіпонормального і семігіпонормального метричних вузлів та їх виз-начальних функцій; доведено, що ці функції є повними унітарними інваріантами належних вузлів;

4) установлено зв’язок теорії розвинень за узагальненими власними векторами самоспряженого оператора (доповнено результати Ю.М.Березанського, Д.Пінкуса і М.М.Маламуда) та унітарного оператора (одержано вперше) з належними прямими інтегралами гільбертових просторів;

5) одержано зображення операторів у вигляді інтегральних операторів (узагальнено результати М.Ш.Бірмана і С.Б.Ентіної);

6) побудовано сингулярні інтегральні моделі операторів за допомогою розкладання на дійсну і уявну частини (узагальнено та уточнено відповідні моделі, що побудовані Д.Пінкусом і Д.Кся) та за допомогою полярного розкладання (для одержано вперше);

7) одержано достатні умови для існування символів (узагальнено результати Д.Кся і теорема Пірсона) та полярних символів (для одержано вперше);

8) одержано задачі Рімана-Гільберта, що зв’язують сильні межові значення визначальних фун-кцій із характеристичними функціями (узагальнено результати Д.Пінкуса, Р.Кері і Д.Кся);

9) з’ясовані зв’язки визначальних і характеристичних функцій із загальними символами, мозаїками та принципальними функціями, одержані нові формули слідів та властивості носіїв полярної мозаїки та принципальних функцій (дістали розвиток результати Д.Кся, Р.Кері і Д.Пінкуса);

10) доведено, що принципальна функція та полярна принципальна функція збігаються, і що вони дорівнюють , якщо (уточнено результати Р.Кері і Д.Пінкуса);

11) діагоналізований самоспряжений абсолютно неперервний сингулярний інтегральний оператор (узагальнена діагоналізація Д.Пінкуса);

12) побудована унітарна дилатація еволюційного оператора, а також введені та вивчені відповідні хвильові оператори і оператор розсіяння (узагальнена схема В.О.Золотарьова);

13) одержано задачі Рімана-Гільберта для резольвент і власних функцій нескалярних сингу-лярних інтегральних операторів, а також описано циклічні підпростори деяких класів операторів (узагальнено результати К.Кленсі та Д.Кся);

14) побудовано функціональні моделі деяких класів операторів у вигляді множення на незалежну змінну (для випадку одновимірного самокомутатора такі моделі побудовані Д.Кся).

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації дають єдиний підхід для вивчення операторів, що близькі до нормальних. Ці результати можуть бути використані для подальшого більш детального вивчення спектральних властивостей даних операторів, а також для побудови відповідних функціональних моделей, і тому мають важливе значення для розвитку спектральної теорії операторів.

Особистий внесок автора. Постановки задач належать науковому керівникові В.О.Золотарьову. Всі основні результати дисертації одержані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на семінарах кафедри вищої математики та інформатики ХНУ (кер. проф. В.О.Золотарьов), семінарах кафедри математичного аналізу та теорії функцій Донецького національного університету (кер. доц. М.М.Маламуд). Автор брав участь у роботі III-ої міської науково-практичної конференції “Акту-альні проблеми сучасної науки в дослідженнях молодих вчених м. Харкова” (25 січня 2000 р., м. Харків), VIII-ої та IX-ої Міжнародної наукової конференції ім. академіка М.Кравчука (11–14 травня 2000 р. та 16–19 травня 2002 р., м. Київ), а також I-ої обласної конференції молодих на-уковців “Тобі, Харківщино, – пошук молодих” (19–20 березня 2002 р., м. Харків).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 5 статтях [1]–[5], які надруковані у фахових виданнях України, що включені в перелік ВАК України, та 3 тезах конференцій [6]–[8].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел, який містить 110 найменувань. Повний обсяг роботи складає 151 сторінку, список використаних джерел – 9 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі зроблено огляд літератури, виділено напрямки дослідження, дано означення основних понять та наведено допоміжні результати.

У другому розділі одержані вирази для нормального та цілком ненормального підпросторів оператора.

Третій розділ присвячений дослідженню операторів , де і .

Одним із основних результатів розділу 3 є наступна

Теорема 3.4.1. а) Якщо , де , , то унітарно еквівалентний операторові , що діє у прямому інтегралі гільбертових просторів , де , , , .

б) Якщо, крім цього, самокомутатор є -обмеженим, то справедливе зображення:

, .

в) У випадку -обмеженості також існують символи.

У четвертому розділі вивчаються оператори за допомогою полярного розкладання.

ВИСНОВКИ

У дисертації вивчаються лінійні обмежені оператори, що близькі до нормальних, за допомогою розкладань на дійсну та уявну частини, а також на модуль та часткову ізометрію. Перше розкладання також дозволяє вивчати гіпонормальні оператори, друге – семігіпонормальні оператори. У роботі розглянуто належні класи операторів із довільними відхиленнями від нормальності (детальніше з ядерними відхиленнями від нормальності).

Обидва виділені класи операторів вивчаються за однією схемою. Для них введені відповідні метричні вузли та їх визначальні функції, досліджені їх властивості. Одержано зображення операторів у вигляді інтегральних операторів у відповідних прямих інтегралах гільбертових просторів. Побудовано сингулярні інтегральні моделі, доведено існування символів для них, одержано на-лежні задачі Рімана-Гільберта, а також введені характеристичні функції, мозаїки та принципальні функції Пінкуса. Вивчений зв’язок принципальних функцій з символами та загальними символами, одержані нові властивості слідів та носіїв цих функцій. Установлено зв’язок принципальних функцій з індексом оператора . Знайдено циклічні підпростори деяких класів операторів. Через перетворення Келі одержано зв’язок полярного розкладання оператора з розкладанням оператора на дійсну та уявну частини.

За допомогою розробленої теорії, а також теорії розвинень за узагальненими власними векторами, проведена явна діагоналізація самоспряженого абсолютно неперервного сингулярного інтег-рального оператора, та побудовано функціональні моделі деяких класів несамоспряжених операторів у вигляді множення на незалежну змінну. Крім цього, введено поняття сингулярного метрич-ного вузла та його характеристичної функції. На основі цього вузла побудована унітарна дилатація еволюційного оператора, що відповідає диференціальному рівнянню зі змінним дисипативним оператором, а також введені та вивчені відповідні хвильові оператори і оператор розсіяння.

Результати дисертації можуть бути використані для подальшого дослідження спектральної теорії операторів, що близькі до нормальних, та побудови відповідних функціональних моделей, а також мають самостійний інтерес у різних галузях алгебри та аналізу.

ПубликацІЇ АВТОРА за темою дисертації

1. Золотарев В.А., Воробьев И.В. Нормальный метрический узел // Вестн. Харьк. ун-та, сер. “Математика, прикладная математика и механика”. – 1999. – № 458. – C. 119–129.

2. Воробьев И.В. Схема рассеяния для сингулярного метрического узла // Вестн. Харьк. нац. ун-та, сер. “Математика, прикладная математика и механика”. – 2001. – № 514. – C. 73–90.

3. Воробьев И.В. Функциональные модели, унитарные инварианты, мозаики и принципальные функции для операторов с ядерным самокоммутатором // Матем. физика, анализ, геометрия. –2002. – Т. 9, № 1. – C. 18–47.

4. Воробьев И.В. Сингулярная интегральная модель и унитарные инварианты, соответствующие полярному разложению оператора // Доп. НАН України. – 2002. – № 3. – С. 19–23.

5. Воробьев И.В. Разложение по обобщенным собственным векторам и диагонализация самосопряженного абсолютно непрерывного сингулярного интегрального оператора // Укр. мат. журн. – 2003. – Т. 55, № 1. – C. 138–145.

6. Воробьев И.В. Свойства нормальных метрических узлов и нормальная дилатация // Вісн. Харк. ун-ту, сер. “Актуальні проблеми сучасної науки в дослідженнях молодих вчених м. Харкова”. –2000. – № 456, ч. 2. – C. 250–253.

7. Воробьев И.В. Унитарная дилатация решения линейной однородной задачи Коши с диссипативным оператором // Матеріали VIII-ої Міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука (11–14 травня 2000 р., Київ). – К.: НТУУ (КПІ). – 2000. – C. 54.

8. Воробьев И.В. Сингулярные интегральные модели и задачи Римана-Гильберта для операторов с компактным самокоммутатором // Матеріали IX-ої Міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука (16–19 травня 2002 р., Київ). – К.: НТУУ (КПІ). – 2002. – C. 241.

Анотація

Воробйов І.В. Функціональні моделі та метричні вузли для операторів, що близькі до нормальних. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2004.

У дисертації розроблено єдиний підхід для вивчення операторів, що близькі до нормальних, за допомогою розкладання оператора на дійсну і уявну частини та за допомогою полярного розкладання. Введені відповідні метричні вузли та їх визначальні функції, які є повними унітарними інваріантами належних вузлів. Побудовано сингулярні інтегральні моделі, доведено існування символів для них, та одержано задачі Рімана-Гільберта, що зв’язують сильні межові значення виз-начальних функцій з характеристичними функціями. За допомогою визначальних та характеристичних функцій побудовані мозаїки та принципальні функції Пінкуса, а також вивчені їх зв’язки з символами і загальними символами. Одержані нові формули слідів, розроблено зв’язок принципальних функцій з індексом оператора , та вивчені носії принципальних функцій. Побудовано функціональні моделі самоспряженого абсолютно неперервного сингулярного інтегрального оператора та деяких класів несамоспряжених операторів у вигляді множення на незалежну змінну. Введено поняття сингулярного метричного вузла та його характеристичної функції. На основі цього вузла побудована унітарна дилатація еволюційного оператора, що відповідає диференціаль-ному рівнянню зі змінним дисипативним оператором, а також вивчені відповідні хвильові оператори та оператор розсіяння.

Ключові слова: оператор, вузол, характеристична функція, мозаїка, принципальна функція, символи, модель, дилатація.

АнНотацИя

Воробьев И.В. Функциональные модели и метрические узлы для операторов, близких к нормальным. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2004.

В диссертации разработан единый подход к изучению линейных ограниченных операторов, которые действуют в комплексных сепарабельных гильбертовых пространствах и которые в том или ином смысле близки к нормальным. Эти операторы изучаются посредством разложения на вещественную и мнимую части и посредством полярного разложения. Получены явные формулы для нормального и вполне ненормального приводящих подпространств оператора в терминах самого оператора и этих разложений, причем показано, что в случае полярного разложения эти формулы могут зависеть от расширения соответствующей частичной изометрии. Введены в рассмотрение понятия нормального метрического узла и его характеристической функции, получен надлежащий энергетический закон сохранения и показано, что характеристическая функция является полным унитарным инвариантом простых узлов. Введены также, соответственно разложению оператора, гипонормальный и семигипонормальный метрические узлы, а также их определяющая функция и полярная определяющая функция. Получены основные свойства этих функций и показано, что они являются полными унитарными инвариантами простых узлов (при определенных условиях в случае полярной определяющей функции). В случае, когда частичная изометрия, участвующая в полярном разложении оператора, не может быть расширена до унитарного оператора, построена ее минимальная унитарная без изменения всего оператора, его спектра и его полярной определяющей функции, причем показано, что полярные символы, вообще говоря, могут измениться. Доказано существование почти всюду слабых граничных значений резольвент самосопряженных или унитарных операторов, получены представления операторов в виде интег-ральных операторов в соответствующих прямых интегралах гильбертовых пространств. Построены сингулярные интегральные модели на вещественной прямой и на единичной окружности, доказано существование (полярных) символов для них, и получены надлежащие задачи Римана-Гильберта, которые связывают сильные граничные значения (полярной) определяющей функции с характеристическими функциями (вещественной, мнимой, полярной). С помощью определяющих и характеристических функций, а также теорем об экспоненциальном представлении явным образом построены мозаики (вещественная, мнимая, полярная) и единственные для данного разложения принципальные функции Пинкуса. Исследованы связи последних с (полярными) символами и общими (полярными) символами, получены новые формулы следов, и изучены носители полярной мозаики и (полярной) принципальной функции. Доказано равенство принципальной функции и полярной принципальной функции, а также разработана связь этих функций с индексом оператора . Отмечено, что вполне ненормальный семигипонормальный оператор не имеет собственных значений, а его сопряженный на компонентах дополнения существенного спектра имеет собственные значения геометрической кратности, равной принципальной функции. С помощью преобразования Кэли получена связь полярного разложения оператора с разложением оператора на вещественную и мнимую части. Посредством разработанной теории для операторов с помощью разложения на вещественную и мнимую части и с использованием теории разложений по обобщенным собственным векторам также проведена явная диагонализация самосопряженного абсолютно непрерывного сингулярного интегрального оператора. Получены задачи Римана-Гильберта для резольвент и собственных функций несамосопряженных сингулярных интегральных операторов. Найдены циклические подпространства определенных классов операторов. Для некоторых классов ненормальных операторов построены функциональные модели в виде умножения на независимую переменную. Кроме того, введено понятие сингулярного метрического узла и его характеристической функции, которая является вещественной характеристической функцией данного оператора. Введены надлежащие открытые системы и получены энергетические законы сохранения, на основе которых построена унитарная дилатация эволюционного оператора, отвечающего дифференциальному уравнению с переменным диссипативным оператором, а также изучены соответствующие волновые операторы и оператор рассеяния.

Ключевые слова: оператор, узел, характеристическая функция, мозаика, принципальная функция, символы, модель, дилатация.

ANNOTATION

Vorobyov I.V. Functional models and metrical colligations for operators, which are near to normal ones. – Manuscript.

The dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, specialty 01.01.01 – Mathematical analysis. – Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, Ukraine, 2004.

In the dissertation a united method for the studying operators, which are near to normal ones, by means of the Cartesian and polar decompositions is developed. The proper metrical colligations and their determining functions are introduced. They are complete unitary invariants of proper colligations. Singular integral models are constructed, existence of symbols for them is proved, and the Riemann-Hilbert problems are obtained. These problems connect strong boundary values of the determining functions with the characteristic functions. With the help of the determining and characteristic functions the mosaics and the Pincus principal functions are constructed, and their connections with symbols and general symbols are studied. New trace formulas are obtained, connection of the principal functions with the index of the operator is developed, and the supports of the principal functions are studied. Functional models of a selfadjoint absolute continuous singular integral operator and some classes of nonselfadjoint operators as multiplication on independent variable are constructed. A singular metrical colligation and its characteristic function are introduced. On the base of that colligation the unitary dilatation of the evolutional operator is constructed, which corresponds to the differential equation with a variable dissipative operator, and corresponding wave operators and scattering operator are studied.

Key words: operator, colligation, characteristic function, mosaic, principal function, symbols, model, dilatation.