ЛУЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БАТИШКІНА ЮЛІЯ ВАЛЕРІЇВНА

УДК 539.3

КОНТАКТНА ВЗАЄМОДІЯ ПЛАСТИН З КРИВОЛІНІЙНИМИ ОТВОРАМИ І РОЗІМКНЕНИХ ПІДСИЛЮВАЛЬНИХ ЕЛЕМЕНТІВ ЗМІННОЇ ЖОРСТКОСТІ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Луцьк – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Рівненському державному гуманітарному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник – доктор технічних наук, професор

Сяський Андрій Олексійович,

Рівненський державний гуманітарний університет МОН України,

проректор з наукової роботи.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор

Стадник Мирон Михайлович,

Український державний лісотехнічний університет МОН України,

завідувач кафедри вищої математики, м. Львів;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Шелестовський Борис Григорович

Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя

МОН України, завідувач кафедри вищої математики.

Провідна установа – Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, відділ фізичних основ руйнування і міцності матеріалів, м. Львів.

Захист відбудеться „18” березня 2005 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 32.075.01 при Луцькому державному технічному університеті Міністерства освіти і науки України за адресою: 43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Луцького державного технічного університету за адресою: 43018, м. Луцьк. вул. Львівська, 75.

Автореферат розіслано „16” лютого 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої ради

кандидат технічних наук Бондарський О.Г.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Пластинки, послаблені отворами, знаходять широке застосування в машинобудуванні, судно-авіабудуванні та інших галузях інженерної практики. Часткове підсилення контурів отворів тонкими пружними елементами змінної жорсткості дозволяє знайти оптимальний розв’язок двох суперечливих проблем сучасного машинобудування і будівництва – підвищення надійності і зниження металомісткості машин і споруд.

Сучасні успіхи в галузі розрахунку пластин з отворами, контури яких підсилені замкненими (кільцеподібними) пружними ребрами, а також взаємодії пластин з жорсткими включеннями, стали можливими завдяки дослідженням, пов’язаним з іменами Божидарніка В.В., Мартиновича Т.Л., Панасюка В.В., Підстригача Я.С., Пелеха Б.Л., Савіна Г.М., Саврука М.П., Стадника М.М, Стащука М.Г., Сулима Г.Т., Тульчія В.І., Флейшмана Н.П., Шваб’юка В.І., Шереметьєва М.П., Юринця В.Є.

Проблема контактної взаємодії розімкнених пружних ребер, які частково підсилюють контури криволінійних отворів в ізотропних та ортотропних пластинках, вивчена недостатньо. Наявні в цьому напрямку дослідження стосуються, в основному, кругових отворів або симетричного підсилення контурів криволінійних отворів. В роботах Александрова В.М., Арутюняна Н.Х., Зоненашвілі Й.А., Корнієнко В.П., Мартиновича Т.Л., Мхітаряна С.М., Опанасовича В.К., Руденко А.Г., Сяського А.О, Сяського В.О., Торосяна Ф.С., Тульчія В.І., Туманяна Р.С., Юрченкова О.М., Якимовича Т.І., Ярошенко В.О. та інших наближеними і експериментальними методами досліджено вплив на напружений стан пластинки форми отвору, матеріалу пластинки, геометрії та жорсткості симетричного підсилення.

Що стосується несиметричного підсилення контура отвору в пластинці, то багато аспектів цієї проблеми не знайшли свого вирішення або зовсім не розглядалися. Зокрема, не розглядалися задачі про часткове підсилення пластинок з отворами пружними ребрами змінної жорсткості довільного розміщення на контурі отвору. Актуальною залишається проблема зменшення концентрації напружень в околі торців підсилювальних елементів.

Не менш важливою є проблема передачі силового і моментного навантаження до пластинок з отворами від тонкостінних пружних розімкнених елементів змінної жорсткості. Такі задачі складають теоретичну основу розрахунку зубчастих коліс та профільних шліцьових з’єднань в передачах обертального руху. Успішному вирішенню цієї проблеми для ізотропних пластин з круговими отворами сприяли дослідження Александрова В.М., Комбель С.М., Мхітаряна С.М., Сяського А.О., ТуманянаР.С., Шагіняна С.С.

Задачі про передачу сил або пар сил до пластинок з криволінійними отворами через розімкнені пружні елементи змінної жорсткості практично не розглядалися.

Мета роботи – розвинення числово-аналітичних методів визначення напруженого стану, керування ним і оптимізація в пластинках з криволінійними отворами, контури яких частково підсилені тонкими пружними елементами змінної жорсткості.

Реалізація мети передбачає вирішення таких завдань:

· формулювання інтегральних і диференціальних граничних умов для задач про часткове підсилення контурів криволінійних отворів в пластинках тонкими пружними ребрами змінної жорсткості на розтяг (стиск) і згин та їх часткових випадків;

· побудова систем сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь з ядрами Гільберта, які визначають напружений стан в зоні сполучення пластинки і підсилення, та розробку наближених числових методів їх розв’язку;

· дослідження залежності напруженого стану пластинки від форми отвору, анізотропії матеріалу, геометричних і фізичних параметрів підсилень, зовнішнього навантаження.

Об’єкт дослідження – контактні задачі для пластин з криволінійними отворами, контури яких частково підсилені тонкими пружними елементами, при передачі зовнішнього навантаження від пластинки до підсилення і навпаки.

Предмет дослідження – системи сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь з ядрами Гільберта та числово-аналітичні методи їх наближеного розв’язку; напружений стан в зоні контакту пластинки і підсилення.

Методи досліджень. У роботі використано методи механіки деформівного твердого тіла, теорії функцій комплексної змінної, сингулярних інтегральних рівнянь та числові методи їх наближеного розв’язку.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Робота виконувалася у рамках держбюджетних тем кафедри інформатики та прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету ”Математичне моделювання еко-енергосистем” (2000 –  р.р., номер державної реєстрації №0100U004897), ”Дослідження контактної взаємодії циліндричних тіл з гладкими і ребристими поверхнями” (2002 –  р.р., номер державної реєстрації №0102U005281).

Наукова новизна. У роботі розвинуто ефективний метод побудови і наближеного числового розв’язку систем сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь з ядрами Гільберта в задачах про часткове підсилення контурів криволінійних отворів в пластинках тонкими пружними елементами змінної жорсткості на розтяг або стиск, яким реалізовано на ЕОМ цілий клас конкретних технічних задач.

Розроблено числово-аналітичні алгоритми розв’язування задач про передачу зусиль до пластинок через тонкі пружні елементи (пружні лінії) змінної жорсткості. Вони мають просту структуру і легко піддаються числовій реалізації на ЕОМ.

Аналогічні задачі сформульовано і розв’язано для нескінченних ортотропних пластин з еліптичним отвором.

Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. Проведені в роботі дослідження дають можливість аналізувати напружений стан пластинок з частково підсиленими контурами криволінійних отворів, керувати ним і оптимізувати за допомогою пружних елементів змінної жорсткості.

Розроблено числову методику визначення напруженого стану в задачах про передачу сил від тонкостінних елементів змінної жорсткості до масивних тіл (пластинок з отворами), яка дозволяє зменшувати металомісткість конструкції з одночасним зменшенням напруженого стану на контурі отвору. Ця методика може бути використана при розрахунку напруженого стану в циліндричних тілах (пластинках з отворами), що мають на граничній поверхні прямолінійні виточки малої товщини, зокрема, при проектуванні фрезерних пристроїв.

Результати дослідження (комп’ютерні програми) впроваджені на КТП “Комуненергія” (м. Рівне), науково-дослідному виробничому бізнес-центрі НДС Національного університету водного господарства та природокористування (м. Рівне) і в навчальному процесі Рівненського державного гуманітарного університету.

Обґрунтованість і вірогідність результатів забезпечується строгістю математичних постановок задач з використанням основних положень теорії пружності та застосуванням надійних математичних методів наближеного числового розв’язку; дослідженням різних моделей підсилення, узгодженням одержаних результатів в окремих випадках з відомими в науковій літературі.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на звітних наукових конференціях викладачів, співробітників, аспірантів і докторантів Рівненського державного гуманітарного університету протягом 2001-2004 р.р.; Міжнародній науковій конференції „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів 2003); науковій конференції молодих вчених з сучасних проблем механіки і математики імені Я.С. Підстригача (Львів 2004).

Дисертація в повному обсязі доповідалася на об’єднаному науковому семінарі кафедри інформатики та прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету і кафедри прикладної математики Національного університету водного господарства і природокористування (керівник – д.т.н., Власюк А.П.), розширеному науковому семінарі кафедри технічної механіки Луцького державного технічного університету (керівник – д.т.н., Шваб’юк В.І.), науковому семінарі відділу фізичних основ руйнування і міцності матеріалів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України, м. Львів (керівник – акад. Панасюк В.В.), науковому семінарі кафедри вищої математики Українського державного лісотехнічного університету (керівник – д.т.н. Стадник М.М.)

Публікації та особистий внесок здобувача. За матеріалами дисертації опубліковано 9 робіт, з них 5 статей у рецензованих фахових виданнях, 2 тез доповідей на наукових конференціях.

Основні результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно. В роботах, написаних у співавторстві, науковому керівнику належить загальна постановка задач і спільне обговорення результатів дослідження та висновків.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг роботи становить 150 сторінок машинописного тексту. Робота містить 20 таблиць і 59 рисунків. Список літератури складається з 120 джерел.

основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність проблеми часткового підсилення контурів криволінійних отворів в пластинках тонкими пружними елементами змінної жорсткості, сформульовано мету дисертації, відзначено новизну одержаних результатів, їх теоретичну і практичну цінність, особистий внесок автора у публікаціях та рівень апробації результатів.

У першому розділі проведено огляд літературних джерел, присвячених проблемам підсилення нескінченних пластин з отворами тонкостінними елементами змінної жорсткості. Визначено основні напрямки дослідження.

У другому розділі наведено основні рівняння плоскої задачі теорії пружності для нескінченних пластин з криволінійними отворами. Інтегральні співвідношення з ядрами Гільберта для визначення компонентів деформації на контурі криволінійного отвору у формі правильного -кутника із закругленими кутами нескінченної ізотропної пластинки мають вигляд

; , (1)

де

; ;

; ; ;

; ; – нормальні та дотичні зусилля на контурі ; – функція, яка здійснює конформне відображення зовнішності одиничного кола в площині на область, яку займає пластинка в комплексній площині ; – характерний розмір отвору (не порушуючи загальності, вважаємо ); – параметр, який визначає відхилення форми многокутника від кола; - образ при відображенні ; – товщина пластинки; , – модуль Юнга і коефіцієнт матеріалу пластинки; , – величини, що залежать від зовнішнього навантаження; , – нормальна і тангенціальна складові вектора зміщення контурних точок; – кут, який утворює нормаль до з віссю абсцис.

Кільцеві зусилля на контурі отвору визначаються за формулою

, . (2)

У випадку ортоторопної пластинки з еліптичним отвором співвідношення, аналогічні до (1), записуються так

; . (3)

Тут позначено

; ;

; ; (4)

, – модуль Юнга і коефіцієнт Пуассона матеріалу пластини в напрямку осі ; , – корені характеристичного рівняння.

Компоненти напружено-деформованого стану на контурі отвору пластинки через величини , , , визначаються за формулами

; ; ; , (5)

де , , .

Сформульовано інтегральний варіант граничних умов задачі про часткове підсилення контура криволінійного отвору в пластинці тонким пружним елементом змінної жорсткості. У випадку, коли підсилювальний елемент моделюється криволінійним брусом, лінія сполучення якого з пластинкою не співпадає з його геометричною віссю, граничні умови мають вигляд

; (6)

; .

Тут , – змінна жорсткість бруса на розтяг (стиск) і згин, , – поздовжня сила і згинаючий момент в перерізі бруса; – відстань від центра ваги перерізу до відповідної точки контура; – ширина підсилення в розглядуваному перерізі; – дуга на контурі ; – радіус кривини контура отвору; – відстань від центральної осі бруса до нульової для чистого згину лінії; – образ ділянки підсилення при конформному відображенні .

Розглянуто часткові випадки граничних умов (6), коли підсилення моделюється тонкою пружною лінією із скінченою або нульовою жорсткістю на згин. Для останнього випадку, крім того, записано диференціальний варіант граничних умов, які формулюються відносно контактних зусиль

; ; , (7)

де .

Крім граничних умов (7) повинні виконуватися умови рівноваги стрижня

, (8)

в яких , – значення на контурі , що відповідають полярним кутам , торців підсилення; , – компоненти головного вектора зовнішніх зусиль.

Після інтегрування (8) з врахуванням першої умови (7) одержимо співвідношення, які визначають структуру нормальних контактних зусиль на торцях підсилення

; . (9)

Третій розділ присвячений задачам про часткове підсилення контурів криволінійних отворів в ізотропних пластинках одним або двома пружними елементами змінної жорсткості на розтяг (стиск), які довільно розміщені на контурі отвору, в умовах узагальненого плоского напруженого стану, викликаного зусиллями і , що прикладені на нескінченності та діють в напрямках координатних осей і відповідно.

Рис. 1. Розрахункова схема задачі

Якщо контур отвору підсилений на ділянці одним пружним елементом (пружною лінією) змінної жорсткості на розтяг (стиск) загального положення (рис. 1), то підстановка співвідношень (1) в граничні умови (7) приводить до системи сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь з ядрами Гільберта для визначення контактних зусиль ,

;

, . (10)

Тут ; ;

; .

Заміною змінних

; , (11)
де ; ,

проміжок інтегрування зводиться до проміжку . Тоді інтеграли, які входять в (10), запишуться у вигляді

;

; , . (12)

Підстановка (12) в (10) приводить до системи двох сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь відносно функцій , з проміжком інтегрування . Точний розв’язок такої системи знайти не вдається. Враховуючи (9), при її наближений розв’язок вибирається у вигляді

; , (13)

де , – обмежені і неперервні на функції, які вибираються у вигляді інтерполяційних поліномів Лагранжа, побудованих по вузлах Чебишева першого роду, і визначаються методом колокації.

Для пластинки з еліптичним і трикутним отвором запропонованим методом досліджено вплив на напружений стан системи „пластинка-підсилення” форми отвору, положення зони підсилення, геометрії і жорсткості підсилювального елемента, зовнішнього навантаження.

На рис. 2., 3. наведено результати розрахунку компонентів напруженого стану при підсиленні контура трикутного отвору пластинки ( , ), яка розтягується зусиллями вздовж осі , стрижнем змінного поперечного перерізу з параметрами ; ; при ; і , якщо функція ширини підсилення змінюється за законом

(14)

Рис. 2. Розподіл кільцевих та дотичних

зусиль на контурі | Рис. 3. Розподіл нормальних та поздовжніх зусиль на контурі

Розглянуто також задачі про часткове підсилення контура криволінійного отвору двома стрижнями з нульовою жорсткістю на згин, які симетричні відносно осі , симетричні відносно центра отвору та довільно розміщені на контурі . У перших двох випадках розв’язок задачі зведено до системи двох сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь з ядрами Гільберта, яка має таку ж структуру, як і система (10). При довільному розміщенні підсилювальних елементів на задача зведена до системи чотирьох сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь. Наближений числовий розв’язок цих задач реалізовано методом колокації.

На рис. 4 наведено результати розрахунку зусиль , на контурі трикутного ( , ) отвору, підсиленого двома симетричними відносно осі отвору стрижнями сталої жорсткості з параметрами ; ; , при ; .

Аналогічні результати при підсиленні еліптичного отвору ( , ) двома центрально симетричними стрижнями з параметрами ; ; ; при ; і законом зміни ширини підсилення (14) подано на рис. .

Рис. 4. Розподіл кільцевих та поздовжніх зусиль на контурі | Рис. 5. Розподіл кільцевих

та поздовжніх зусиль на контурі |

У випадку підсилення контура кругового отвору пластинки двома однаковими стрижнями сталої жорсткості в умовах подвійної симетрії при побудовано точний розв’язок задачі, який порівнюється з наближеним. Найбільша похибка для контактних зусиль не перевищує 0.001%.

З метою визначення меж використання моделі підсилення як пружної лінії з нульовою жорсткістю на згин в задачах розглянутого класу досліджено інші моделі підсилення контура отвору у вигляді криволінійного бруса і пружної лінії із скінченною жорсткістю на згин. Внаслідок числового експерименту для кругового отвору встановлено, що для тонких підсилювальних елементів з відносною жорсткістю використання моделі пружної лінії з нульовою жорсткістю на згин приводить до результатів, які з достатньою точністю можуть використовуватися в інженерній практиці.

Результати визначення кільцевих зусиль в найбільш небезпечній точці () трикутного отвору, частково підсиленого двома неоднаковими розімкненими ребрами, співставлені з експериментальними даними. Відмінність теоретичних і експериментальних даних не перевищує 8.2 %.

Для оцінки збіжності методу колокації всі розрахунки проводилися для різної кількості точок колокації до . Шукані величини практично не змінюються, починаючи з , що свідчить про задовільну його збіжність.

Задачі про передачу сил або пар сил до контура криволінійного отвору нескінченної пластинки через тонкі пружні ребра (систему ребер) змінної жорсткості на розтяг (стиск) розглянуто у четвертому розділі.

Якщо до центру торця підсилення, який визначається полярним кутом , прикладено перпендикулярну силу (рис. ), то система сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь для визначення контактних напружень в зоні підсилення при відсутності зовнішнього навантаження на пластинку має вигляд (10) при

Рис. 6. Розрахункова схема задачі

(15)

,

.

Враховуючи, що при заданому навантаженні на ребро ; , співвідношення (9) запишуться так

; . (16)

Якщо в системі (10) провести заміну (11), то її наближений розв’язок на підставі (16) можна подати у вигляді

; , . (17)

Методом колокації досліджено вплив на напружений стан пластинки і підсилення форми отвору, фізико-геометричних параметрів підсилення.

Результати розрахунку зусиль на контурі трикутного ( , ) отвору, підсиленого одним стрижнем сталої жорсткості з параметрами ; ; , при , ілюструються на рис. 7.

Рис. 7. Розподіл кільцевих зусиль на контурі | Рис. 8. Розподіл зусиль на контурі |

При передачі пари сил до контура криволінійного отвору пластинки через систему однакових пружних підсилень, рівномірно розміщених по , система сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь і її наближений розв’язок мають таку ж структуру, як і у випадку одного підсилення.

Графіки розподілу величин , , на контурі трикутного ( , ) отвору, підсиленого стрижнями сталої жорсткості з параметрами ; ; , при ; зображено на рис. 8.

Розглянуто також задачу про передачу до пластинки зосереджених і розподілених сил через пружний елемент, який підсилює частину контура криволінійного отвору. Побудовано систему двох сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь для визначення контактних зусиль і встановлено структуру наближеного її розв’язку. Розроблена числова методика визначення напруженого стану на контурі отвору в пластинці та підсиленні.

У випадку кругового отвору досліджено вплив моделі підсилення на напружений стан пластинки.

У п’ятому розділі задачі про часткове підсилення контурів криволінійних отворів в нескінчених пластинках тонкими пружними елементами та задачі про передачу сил (пари сил) від розімкнених стрижнів до пластинчастих тіл узагальнені на ортотропні пластинки з еліптичними отворами.

У випадку часткового підсилення контура еліптичного отвору в нескінченній ортотропній пластинці одним або двома тонкими пружними стрижнями система сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь має вигляд

; (18)

; ,

де ; ;

;

.

Система (18) має таку ж саму структуру, як і відповідна система (10) для ізотропної пластинки, тому метод колокації її наближеного розв’язку переноситься без змін. Цим методом досліджено вплив на напружений стан пластинки анізотропії матеріалу, фізико-геометричних параметрів підсилення та способів його розміщення на контурі отвору.

На рис. 9 наведено епюри компонентів напруженого стану на контурі еліптичного (, ) отвору, підсиленого двома однаковими центральносиметричними стрижнями змінної жорсткості при ; ; ; ; ; , якщо ширина стрижня змінюється за законом (14), а на рис. 10 – епюри тих же величин на контурі еліптичного ( , ) отвору для стрижнів з тими ж параметрами при ;

.

При передачі до контура еліптичного отвору нескінченної ортотропної пластинки сили через один або пари сил через два однакові розімкнені стрижні змінної жорсткості система сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь має вигляд (18) при . Її наближений розв’язок реалізовано методом колокації.

На рис. 11 наведено залежності величин , від анізотропії матеріалу на контурі кругового отвору при передачі сили одним стрижнем сталого перерізу з параметрами

; ; при , , а на рис. 12 – пари сил двома центрально симетричними стрижнями сталого перерізу із такими ж параметрами.

Рис. 9. Розподіл зусиль на контурі | Рис. 10. Розподіл зусиль на контурі

Рис. 11. Розподіл кільцевих зусиль

на контурі | Рис. 12. Розподіл кільцевих і

дотичних зусиль на контурі

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

В дисертації запропоновано постановку і розвинуто ефективні методи розрахунку напруженого стану для широкого класу важливих технічних задач про контактну взаємодію нескінченних пластин з криволінійними отворами, що перебувають в умовах розтягу (стиску) на нескінченності, і тонких пружних розімкнених стрижнів змінного поперечного перерізу, які моделюються пружними лініями з нульовою жорсткістю на згин, та про передачу сил від розімкнених криволінійних елементів до пластинок з отворами з урахуванням анізотропії матеріалу, форми отвору, геометрії та жорсткості підсилювальних елементів, а також способу їх розміщення на контурі отвору. З цією метою:

1. Сформульовано інтегральний і диференціальний варіанти граничних умов задач, на підставі яких побудовано системи двох сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь з ядрами Гільберта для визначення контактних зусиль в зоні взаємодії пластини та підсилювальних елементів. Встановлено структуру наближеного розв’язку цих систем.

2. Розвинуто числово-аналітичний метод колокації визначення напруженого стану на контурі криволінійного отвору нескінченної ізотропної пластинки та в підсилювальних стрижнях, яким досліджено вплив на розподіл напружень в пластинці форми отвору, способу розміщення та жорсткості підсилювальних елементів, зовнішнього навантаження.

3. Досліджено різні моделі підсилення контура криволінійного отвору в пластинці тонкими пружними елементами сталої і змінної жорсткості (тонка пружна лінія із жорсткістю на розтяг (стиск), тонка пружна лінія із жорсткістю на розтяг (стиск) і згин, тонкий пружний стрижень). Встановлено, що для невеликих відносних жорсткостей підсилення використання в якості моделі пружної лінії з нульовою жорсткістю на згин приводить до спрощення основних рівнянь задач і при цьому результати розрахунку напруженого стану мають достатню інженерну точність.

4. Методи розв’язування контактних задач для ізотропних пластинок з частково підсиленими контурами криволінійних отворів перенесено на ортотропні пластинки з еліптичним отвором. При цьому у співвідношеннях для визначення компонентів напружено-деформованого стану, здійснено граничний перехід до ізотропного матеріалу.

В результаті числового експерименту встановлено:

· положення підсилювального елемента на контурі суттєво впливає на напружено-деформований стан пластинки. При цьому найбільший ефект спостерігається у випадку, коли зона підсилення має найбільшу кривину і паралельна напрямку дії зовнішніх зусиль. Так для трикутного отвору ( ) концентрація зусиль при в порівнянні з непідкріпленим отвором зменшується в 1.33 рази при , в 2.04 рази при , в 2.53 рази при . Якщо зона підсилення має найменшу кривину і перпендикулярна зовнішнім зусиллям, то ефект підсилення незначний. На ділянках криволінійного отвору (крім зон, які складають 10-15% довжини підсилення і прилягають до торців) розрахункові величини практично співпадають з відповідними величинами для замкненого підсилення, на вільних ділянках такі ж самі, як для непідсиленого отвору, а в околі торців – необмежені. Підсилення контура отвору в пластинці розімкненими ребрами змінного перерізу із закругленими торцями, для яких , є більш ефективним, оскільки дозволяє добитися обмеженості зусиль в торцях підсилення і зменшення ваги підсилювальних елементів, не знижуючи при цьому міцності конструкції. При підсиленні контура отвору двома стрижнями спостерігається відсутність їх взаємовпливу, якщо вони розміщені один від одного на відстані, яка становить не менше 20% довжини більшої зони підсилення.

· ортотропія матеріалу суттєво впливає на напружений стан пластинок в усіх задачах. Вибором матеріалів, для яких модуль Юнга в напрямку великої осі еліпса менший, ніж в напрямку малої осі, можна значно зменшити кільцеві зусилля, що виникають на контурі отвору. Вибором геометрії підсилення, способу його розміщення на контурі отвору та матеріалу пластинки можна добитися суттєвого зменшення напруженого стану пластинки, особливо для сильно ортотропних матеріалів (графіт-епоксид, епоксид-графіт).

· при передачі зовнішніх сил (пар сил) до контура криволінійного отвору нескінченної пластинки за допомогою пружних елементів змінної жорсткості найбільш ефективним є розміщення таких елементів в зонах з найбільшою кривиною.

5. Усі запропоновані методи розв’язку задач про контактну взаємодію нескінченних пластин з криволінійними отворами і тонких розімкнених підсилювальних елементів змінної жорсткості при передачі сил від пластинки до підсилення і навпаки ілюструються конкретними прикладами. Числові розв’язки задач подані у вигляді простих формул, зручних таблиць та графіків. Розроблено програмні комплекси для визначення компонент напруженого стану та їх графічної ілюстрації на контурі отвору в пластинці і підсиленні.

Результати роботи можуть бути використані проектно-конструкторськими організаціями, які займаються розробкою передач обертального руху (шліцьових з’єднань великої потужності), а також при проектуванні пластинчастих конструкцій з отворами, які армовані тонкими розімкненими пружними ребрами, в будівництві.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Батишкіна Ю.В. Часткове підкріплення еліптичного отвору в ортотропній пластині // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача. Тези доповідей. – Львів –26 травня 2004. – С. 18 – 19.

2. Батишкіна Ю.В. Часткове підкріплення криволінійних отворів в пластинках тонкими пружними стержнями змінної жорсткості // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. – Львів.– 2003. – С. 316-318.

3. Батишкіна Ю.В. Часткове підсилення криволінійного отвору в нескінченній пластині двома тонкими пружними стрижнями // Волинський математичний вісник. Серія прикладна математика. – 2003. – Випуск 1. – С. 16 – 26.

4. Батишкіна Ю.В., Сяський А.О. Часткове підкріплення криволінійного отвору в нескінченній пластинці тонким пружним стержнем // Волинський математичний вісник. – 2002. – Випуск 9. – С. 4 – 11.

5. Сяський А.О., Батишкіна Ю.В. Контактна взаємодія розімкнених стрижнів змінної жорсткості з еліптичним отвором нескінченної ортотропної пластинкиВісник ТДТУ. – Т. 9, № 3. – 2004. – С. 17 – 24.

6. Сяський А.О., Батишкіна Ю.В. Передача обертального моменту до криволінійного отвору нескінченної пластинки через систему стрижнів змінної жорсткості // Наукові нотатки. – Луцьк: ЛТДУ. – 2004. – Випуск 12. –С. 331 – 339.

7. Сяський А.О., Батишкіна Ю.В. Передача сил до криволінійного отвору нескінченної ортотропної пластинки стрижнями змінної жорсткості // Вісник ТДТУ. – Т. 9, № 4. – 2004. – С. 5 – 11.

8. Сяський А.О., Батишкіна Ю.В. Передача сил до криволінійного отвору нескінченної пластинки стрижнями змінної жорсткості // Машинознавство. – 2004. – № 6 (84). – С. 21 – 26.

9. Сяський А.О., Батишкіна Ю.В. Часткове симетричне підсилення криволінійного отвору в нескінченній пластинці // Вісник ТДТУ. – Т. 9, № . – 2004. – С. 5-12.

Анотація

Батишкіна Ю.В. Контактна взаємодія пластин з криволінійними отворами і розімкнених підсилювальних елементів змінної жорсткості. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Луцький державний технічний університет, Луцьк, 2004.

Дисертацію присвячено дослідженню напружено-деформованого стану нескінченних ізотропних та ортотропних пластин з криволінійними отворами, контури яких частково підсилені тонкими пружними елементами змінної жорсткості на розтяг (стиск), при передачі зовнішнього навантаження від пластинки до підсилення і навпаки.

Для підсилення у вигляді тонкого стрижня змінної жорсткості сформульовано інтегральний варіант граничних умов задачі і розглянуто його часткові випадки, коли підсилення моделюється пружною лінією із скінченою та нульовою жорсткістю на згин. Для останнього випадку записано диференціальний варіант граничних умов.

Побудовано системи сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь з ядрами Гільберта для визначення контактних напружень в зоні підсилення пластинки. Встановлена структура наближеного їх розв’язку. Числово-аналітичним методом колокації досліджено вплив на напружений стан пластинки і підсилення форми отвору, матеріалу пластинки, зовнішнього навантаження, фізико-геометричних параметрів підсилення, його моделі та способу розміщення на контурі.

Ключові слова: контактна взаємодія, підсилення, нескінченна пластинка, ребро змінної жорсткості, криволінійний отвір, ортотропні матеріали, сингулярні інтегральні рівняння.

Аннотация

Батышкина Ю.В. Контактное взаимодействие пластин с криволинейными отверстиями и разомкнутых усиливающих элементов переменной жесткости. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технически наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Луцкий государственный технический университет, Луцк, 2004.

В диссертационной работе исследуется напряженное состояние бесконечных изотропных и ортотропных пластин с криволинейными отверстиями, контуры которых частично подкреплены тонкими упругими ребрами переменной жесткости на растяжение (сжатие), при передаче внешней нагрузки от пластинки к подкреплению и наоборот.

Сформулирован интегральный вариант граничных условий задачи о частичном подкреплении контура криволинейного отверстия тонким стержнем переменной жесткости и его частные случаи, когда подкрепление моделируется упругой линией с переменной конечной и нулевой жесткостью на изгиб. Для последнего случая записан дифференциальный вариант граничных условий.

Используя выражения для компонентов тензора деформаций в виде интегральных соотношений с ядрами Гильберта, построены системы сингулярных интегрально-дифференциальных уравнений для определения контактных усилий в зоне подкрепления. Для каждой из таких систем определена структура приближенного решения.

Развит численно-аналитический метод коллокации, которым исследовано влияние на напряженное состояние пластинки и усиления формы отверстия, физико-геометрических параметров усиления и способа их размещения по контуру, внешней нагрузки, материала пластинки.

Рассмотрены разные модели усиливающего элемента: упругий стержень, упругая линия с конечной жесткостью на изгиб, упругая линия с нулевой жесткостью на изгиб. Установлено, что для тонких упругих элементов при использование модели упругой линии с нулевой жесткостью на изгиб приводит к упрощению исходных уравнений и результатам, которые с достаточной точностью применимы в инженерной практике.

Ключевые слова: контактное взаимодействие, усиление, бесконечная пластинка, ребро переменной жесткости, криволинейное отверстие, ортотpопные материалы, сингулярные интегральные уравнения.

Summary

Batyshkina Y.V. Contact interaction of plates with curvilinear holes and the detached strengthening elements of a varying stiffness. - the Manuscript.

Dissertation for Candidate's Degree of Sciences specialized in 01.02.04 - Mechanics of the deformable solids. - Lutsk State Technical University, Lutsk, 2004.

The dissertation is devoted to the research of tense - deformable condition of the infinite isotropic and orthotropic plates with curvilinear holes which contours are in part strengthened with thin elastic elements of the varying stiffness for stretching (compression), by transmission of exterior loading from the plate to the strengthening and vice versa.

The author has stated the integrated variant of limiting conditions of the problem for strengthening in the form of a thin rod of a varying stiffness and its special cases when the strengthening is modelled by an elastic line with a varying finite and zero stiffness. For the last case the differential variant of limiting conditions has been noted too.

The systems of singular integral - differential equations with nucleus of Hilbert for the definition of contact voltages in the zone of strengthening of the plate have been constructed. The structure of their approached solution has been also defined. The numerically - analytical collocation method analyses the effect on the intense condition of the plate and strengthening of the shape of the hole, the material of the plate, physical and geometrical parameters of strengthening, its model and the way of the arrangement on the contour.

Key words: contact interaction, strengthening, an infinite plate, a rib of the varying stiffness, a curvilinear hole, ortotropic materials, singular integral equations.