МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛУЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ДЕНИСЮК

Іван Тимофійович

УДК 539.3

МОДЕЛІ ТА МЕТОДИ РОЗРАХУНКУ НАПРУЖЕНОГО СТАНУ СТРУКТУРНО-НЕОДНОРІДНИХ КОНСТРУКЦІЙНИХ ЕЛЕМЕНТІВ З НЕГЛАДКИМИ МЕЖАМИ ПОДІЛУ МАТЕРІАЛІВ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Луцьк – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Луцькому державному технічному університеті.

Науковий консультант: доктор фізико – математичних наук,

професор Сулим Георгій Теодорович,

Львівський національний університет ім.

І.Франка,Львів, кафедра механіки, завідувач

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Рассказов Олександр Олегович, Київський

Національний транспортний університет,

Київ, кафедра теоретичної і прикладної

Механіки, завідувач

доктор технічних наук, професор Стадник

Мирон Михайлович, Український державний

лісотехнічний університет, Львів, кафедра

вищої математики, завідувач

доктор технічних наук, професор, Ясній

Петро Володимирович, Тернопільський

державний технічний університет ім. І.

Пулюя, Тернопіль, проректор з наукової

роботи

Провідна установа: Одеський національний політехнічний

університет,кафедра динаміки, міцності і

опору матеріалів, Міністерства

освіти та науки України.

Захист відбудеться “ 8 грудня 2005 р. о 10 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.32.075. 01 при Луцькому державному технічному університеті за адресою:

43017, м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці ЛДТУ (м. Луцьк, вул. Львівська, 75). Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75, вченому секретарю спеціалізованої вченої ради.

Автореферат розісланий “_7__”листопада 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої ради

кандидат технічних наук О.Г. Бондарський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Матеріали, що використовуються для виготовлення деталей машин і елементів конструкцій, містять численні включення, прошарки і різного роду дефекти, обумовлені технологічними, конструкційними й експлуатаційними факторами. Наявність їх породжує зони підвищеної концентрації напружень поблизу негладких ділянок поєднання (кутових і конічних точок, особливих ліній і т.п.), що істотно впливає на міцність виробів. Інженерна практика вимагає методів оцінки міцності таких композитів при різноманітних зовнішніх впливах (силових, теплових, електромагнітних та ін.). Зерниста структура полікристалічних матеріалів також сприяє тому, що процеси руйнування інтенсивно розвиваються на міжкристалічних межах у місцях підвищеної концентрації напружень та виникнення сприятливих умов для дії зсувних механізмів руйнування.

Первинною та основною складовою частиною такої задачі є проблема вивчення напружено-деформованого стану тіл, що містять включення з негладкими границями, тобто з граничними поверхнями, які мають негладкості у вигляді кутових і конічних точок, особливих ліній, зламів. Хоча ця проблема здавна привертає увагу дослідників і у її вирішенні отримані важливі результати, на даний час відсутній комплексний підхід до побудови повного і математично строгого розв’язку задач про напружений стан тіл з негладкими включеннями.

Вирішення такої проблеми передбачає створення математичних моделей і методів, що дають можливість досить повно й адекватно описати напружено-деформований стан поблизу негладких ділянок границь гетерогенних складових.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є вирішення важливої науково–технічної проблеми, яка полягає у розробці методів розрахунку концентрації напружень і термонапруженого стану кусково-неоднорідних ізотропних та анізотропних дво- й тривимірних тіл з негладкими поверхнями розмежування матеріалів за статичних і динамічних силових, температурних та електричних впливів.

Для досягнення цієї мети у роботі поставлені та вирішені такі наукові завдання:

- опрацьовано методи вивчення напруженого стану ізотропних та анізотропних тіл з кутовими включеннями в умовах плоскої і антиплоскої задач;

- розроблено методи дослідження термонапруженого стану в ізотропній та анізотропній пластині (плоска задача) з кутовим включенням;

- ророблено математичний апарат для вивчення статичного і динамічного напруженого стану та дослідження температурних полів і термонапружень у тривимірних тілах з негладкими включеннями;

- запропоновані методи дослідження локальних динамічних термоелектропружних полів поблизу місць зламу поверхонь поділу середовищ.

Об’єкт дослідження – ізотропне та анізотропне двовимірне термоелектропружне тіло з кутовим включенням та ізотропне деформівне тривимірне тіло з негладким включенням.

Предмет дослідження – методи розрахунку напружено-деформованого стану тіла з негладким включенням, яке перебуває під дією статичних та динамічних силових, теплових і електричних навантажень.

Наукова новизна. В роботі отримано такі нові результати:

1. Розроблено методи розв’язування плоскої та антиплоскої

задач теорії пружності для ізотропних та анізотропних тіл з кутовим включенням.

2. Запропоновано підхід до аналізу термонапруженого стану

ізотропних та анізотропних пластин з кутовими включеннями.

3. Розроблено метод дослідження напруженого і термонапруженого стану тривимірних тіл з негладкими включеннями.

4. Розроблено метод дослідження термоелектронапруженого стану поблизу особливих ліній рухомих меж поділу електропровідних середовищ.

5. Виявлено ефекти зв’язності механічних, температурних та полів електричного потенціалу поблизу рухомих границь поділу середовищ.

6. Запропоновано нові математичні методи побудови розв’язків:

- задачі спряження аналітичних функцій у двовимірних та афінно перетворених двовимірних областях з кусково-гладкими межами поділу;

- задачі спряження гармонічних функцій та розв’язків рівняння Ламе у тривимірних областях з негладкими межами поділу;

- задачі спряження розв’язків хвильового рівняння Ламе у тривимірних областях з негладкими межами поділу.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблені методи розрахунку напруженого стану структурно – неоднорідних конструкційних елементів з негладкими межами поділу матеріалів застосовні в інженерних розрахунках напруженого стану за граничного навантаження конструкційного елементу типу тіло – негладке включення.

Одержані результати використано в деяких організаціях, зокрема:

- ЗАТ “Луцький домобудівельний комбінат” – використано метод розрахунку напруженого стану пластинки з системою пружних стрингерів до створення методики оптимального проектування виробів, армованих тонкими металічними елементами;

- ВАТ “Луцький підшипниковий завод” – використано метод розрахунку напруженого стану двовимірних і тривимірних тіл з включеннями до створення методики тензометрування конструкційних елементів;

- побудована у роботі загальна теорія застосована для визначення залишкової міцності і довговічності деталей машин та елементів конструкцій із анізотропних матеріалів і увійшла у програми спеціальних курсів для студентів Львівського національного університету імені Івана Франка, Луцького державного технічного університету.

Методи дослідження – дослідження здійснювалися з використанням загальних методів механіки деформівного твердого тіла, теорії функцій комплексної змінної (інтеграли типу Коші), інтегральних рівнянь (фредгольмові, сингулярні, інтегро–диференціальні), математичної фізики (потенціали простого, подвійного шару та об’єму; узагальнені пружні потенціали простого, подвійного шару та об’єму).

Достовірність отриманих результатів забезпечується тим, що в основу досліджень покладено апробовані строгі математичні методи і побудовано точні розв’язки визначальних інтегральних рівнянь, які задовольняють вихідним співвідношенням. Отримані результати в часткових випадках узгоджуються з відомими в літературі даними, повністю корелюють між собою та не протирічать сучасним уявленням механіки деформівного твердого тіла.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана здобувачем як виконавцем комплексної теми досліджень в галузі механіки деформівного твердого тіла: “Моделювання напруженого стану двовимірних тіл з кутовими пружними включеннями” (номер державної реєстрації 0193U017849), учасником теми "Визначення фізико-механічних характеристик композитних матеріалів і кристалів, та створення методів і засобів їх досліджень" (номер державної реєстрації 0197U004149) та теми “Дослідження контактної взаємодії в матеріалах та конструкціях” (номер державної реєстрації 0199U0010470), які виконувалася в Луцькому державному технічному університеті (колишньому Луцькому індустріальному інституті) за планом досліджень Міністерства освіти та науки України.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися на 3-ій Всесоюзній науковій конференції “Механика неоднородніх структур” (Львів, 1991); міжнародному симпозіумі “Фізико-хімічна механіка композитних матеріалів” (Івано-Франківськ, 1993); 8-ій Міжнародній конференції з руйнування ICF-8 (Київ, 1993); Всеукраїнській науковій конференції “Нові підходи до розв’язання диференціальних рівнянь” (Київ, 1994); 4-ій міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур (Львів, 1995); Всеукраїнській науковій конференції “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях” (Львів, 1995); Науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998); Першій, 7-ій, 8-ій, 9-ій науково-технічній конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 1992, 1998, 2000, 2002); Науковому симпозіумі “Сучасні проблеми інженерної механіки” (Луцьк, 2000); 5-ій Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів–Луцьк, 2000); 5-му Міжнародному симпозіумі “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та

конструкцій” (Луцьк, 2002); 5-му українсько - польському науковому симпозіумі “Актуальні задачі механіки неоднорідних структур” (Львів – Луцьк, 2003),Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки” (Київ, 2003).

В повному обсязі дисертація доповідалася на науковому семінарі кафедри технічної механіки і вищої математики Луцького державного технічного університету під керівництвом д.ф.-м.н., проф. Максимовича В.В., науковому семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. І. Франка під керівництвом д.ф.-м. н., проф. Сулима Г. Т., науковому семінарі Фізико–механічного інституту ім. Г. В. Карпенка НАН України під керівництвом д. ф.-м. н, проф. Саврука М.П., науковому семінарі кафедри теоретичної механіки Дніпропетровського національного університету під керівництвом д. ф.–м. н., проф. Лободи В.В., науковому семінарі кафедри методів математичної фізики Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова під керівництвом д. ф.-м. н., проф. Попова Г.Я., науковому семінарі Інституту прикладних проблем механіки і математики НАН України ім. Я.С. Підстригача під керівництвом чл.-кор. НАН України д. ф.–м. н., проф. Кіта Г.С.

Публікації. Матеріали дисертації викладені в 47 наукових публікаціях, зокрема, у одній монографії та 24 статтях у фахових наукових журналах.

Особистий внесок здобувача. Монографія та 23 публікацій у фахових наукових виданнях написані автором одноосібно, в інших публікаціях [5, 7, 33, 35, 37-40, 43, 44, 46] дисертанту належить математична постановка задач і метод їх розв’язання та участь в обговоренні результатів.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі вказано на актуальність розглядуваної проблеми, відзначено зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами, сформульована мета і задачі дослідження, детально описана наукова новизна роботи, достовірність і практичне значення отриманих результатів, наведено відомості про апробацію результатів дисертації, публікації і особистий внесок здобувача. Детально описана структура та обсяг дисертації та основні положення, що виносяться на захист.

Перший розділ містить огляд літератури з питань пружної рівноваги тіл з включеннями, який обґрунтовує вибір теми дисертаційного дослідження та її актуальність.

Двовимірні статичні задачі для тіл з внутрішніми концентраторами у вигляді тріщин та кутових вирізів, абсолютно жорстких стрингерів і пружних включень з гладкими границями вивчали Александров В.М., Амбарцумян С.А., Андрейків О.Є., Бережницький Л.Т., Гриліцький Д.В., Грінченко В.Т., Гузь О.М., Дацишин О.П., Кіт Г.С., Космодаміанський О.С., Кубенко В.Д., Кушнір Р.М., Лобода В.В., Магнарадзе Л.Г., Молчанов І.Н., Морозов М.Ф., Мхитарян С.М., Онищук О.В., Панасюк В.В., Попов Г.Я., Прусов І.О., Рвачов В.Л., Саврук М.П., Силованюк В.П., Слесаренко А.П., Стадник М.М., Стащук М.Г., Сулим Г.Т., Улітко А.Ф., Уфлянд Я.С., Черепанов Г.П., Чобанян К.С., Хай М.В, Хачикян А.С. й інші. Динамічні задачі для тіл з негладкими границями вивчали Поручиков В.Б., Костров Б.В., Черепанов Г.П., Морозов Є.М. і інші.

Великий внесок у вивчення особливостей напружень у вершині клина або пакету клинів в умовах плоскої задачі зробили Аветисян А.Г., Бабенко В.А., Глушков Є.В., Глушкова Н.В., Чобанян К.С., Геворкян С.Х., Каландія А.І., Сулим Г.Т., Фільштинський А.А. і Матвієнко Т.С., Bogy D.B., Wang K.S., Theocaris P.S., Gdoutos E.E. та деякі інші.

На даний час детально і практично повно досліджено напружений та термонапружений стан ізотропної та анізотропної пластини з пружним включенням з гладкою границею (еліптичною і іншими) – Космодеміанський О.С., Лехніцький С.Г., Прусов І.О., Уздальов А.І., Hardiman N.J., Sendeckyj G.P., Yang H.C., Chau Y.T. і інші.

Плоска задача та задача поздовжнього зсуву ізотропного та анізотропного тіла з розширеними пружним і жорстким включеннями з точками звороту на контурі розв’язані методом малого параметра з наступним граничним переходом (Бережницький Л.Т., Качур П.С., Мазурак Л.П., Панасюк В.В., Садівський В.М., Труш І.І.); аналогічним підходом з застосуванням теорії поліномів Фабера розв’язано цикл задач теорії пружності та термопружності анізотропного тіла з анізотропним пружним включенням, обмеженим контуром з точками звороту (Бережницький Л.Т. та інші).

Доволі повно досліджено напружений стан півплощини з двома прямокутними включеннями, біметалічної пластинки з впаяними прямокутними включеннями, термонапруження пластинки з прмокутним включенням (Балан В.Г., Коляно Ю.М., Лавренюк В.І., Ломакін В.А., Підстригач Я.С., Тамуров Н.Г., Тамуров Ю.Н., Goodier G.H.), однак запропоновані підходи або використовують згладжування прямих кутів або істотно використовували прямі числові методи.

Напружений стан в необмеженому тривимірному тілі з еліпсоїдальною порожниною, еліпсоїдальним включенням та включеннями з поверхнями, близькими до канонічних та обмежених гладкими поверхнями, і відповідними включеннями вивчало дуже багато вчених (Александров А.Я., Башелейшвілі М.О., Бурчуладзе Т.В., Гегеліа Т.Г., Гузь О.С., Купрадзе В.Д., Лур’є А.І., Неміш Ю.М., Панасюк В.В., Подільчук Ю.М., Стадник М.М., Силованюк В.П., Chen W.T., Cheng, Mindlin, Sternberg E., Sadowsky M.A.). У граничному випадку, коли один із геометричних параметрів прямує до нуля, звідси можна отримати окремі результати для тонких елементів.

Значну увагу було приділено дослідженню напружениого та термонапруженого стану тривимірних тіл з плоскими еліптичними тріщинами та жорсткими включеннями, з довільно розміщеними дископодібними тріщинами, з скінченною кпькістю паралелепіпедних термопружних включень, в околі пікоподібного включення та вершини кругової конічної поверхні, з порожниною у формі поверхні, утвореної при обертанні квадрата з одиничною стороною навколо його діагоналі, з двома кубічними порожнинами, біля особливої лінії (відрізок, дуга кола) поверхні поділу середовищ (Аксентян О.К., Андрейків О.Є., Бережницький Л.Т., Зак А.Р., Коляно Ю.М., Ломакін В.А., Мовчан О.Б., Назаров С.А., Партон В.З., Перлін П.І., Підстригач Я.С., Улітко А.Ф., Шафаренко Є.М., Kassir M.K., Keer L.M., Parihar K.S., Sih G.C. й інші). Використані цими авторами числово-аналітичні та асимптотичні підходи дали можливість отримати наближені розв’язки задачі або на певній відстані від реальної особливої точки, або лише у безпосередній близькості від неї.

Другий розділ є математичною основою дисертації. У ньому запропоновано математичні методи розв’язування задач, які

відповідають математичним моделям, досліджених у наступних розділах явищ. Тут побудований розв’язок задачі спряження двох аналітичних функцій в областях з негладкими межами. Нехай задана скінченна однозв’язна область і ( - комплексна площина) (рис. 2). Необхідно побудувати функції, аналітичні у відповідних областях та , за таких умов на негладкій межі поділу областей:

у точках гладкості кусково-гладкої лінії поділу областей (1)

у кутових точках (2) де, граничні значення функцій при підході до контуру з боку області (знак “+”) і області (знак “-“ ).

Теорема. Якщо в кожній кутовій точці величина де, належить інтервалові то задача спряження (1), (2) має єдиний сингулярний розв’язок.

При доведенні теореми комплексні потенціали подані сумою сингулярних та регулярних складових (3) де сингулярні складові записані у явному вигляді (4)

Другі доданки подань (3) представлені інтегралами Коші (5)

Невідомі густини інтегралів знаходяться із співвідношення (6)

та інтегрального рівняння (7), що має єдиний розв’язок.

Аналогічно побудований розв’язок задачі спряження системи аналітичних функцій в областях вказаного типу. Аналітичні функції також подані як суми сингулярних та регулярних доданків. Сингулярні доданки подаються в явному вигляді на основі встановленої асимптотики аналітичних функцій поблизу кутових точок а регулярні - інтегралами типу Коші з невідомими густинами. Густини визначаються з системи сингулярних інтегральних рівнянь, яка має єдиний розв’язок [28]. Наведено також розв’язок задач спряження системи та двох аналітичних функцій в афінно перетворених областях з негладкими межами [29]. Аналітичні функції також подано сумою сингулярних і регулярних частин, де перші побудовано в явному вигляді на основі встановленого сингулярного характеру в околі кутових точок, а другі – інтегралами типу Коші з невідомими густинами, що визначаються розв’язною системою сингулярних інтегральних рівнянь.

У третьому розділі досліджується поздовжній зсув ізотропного

Рис. 1. Тіло з негладким включенням Рис. 2. Поперечний переріз

негладкого включення

тіла з негладким включенням (рис. 1) - модулі зсуву матриці і включення), обмеженим поверхнею, поперечний переріз якої визначається лінією .

Запропоновано метод розв’язання задачі поздовжнього зсуву ізотропного тіла з негладким включенням за допомогою конструктивно побудованого розв’язку задачі спряження двох аналітичних функцій в областях з негладкими границями.

Знайдено розподіл локальних напружень і зміщень в матриці в околі кутової точки в локальних полярних координатах і в площині, яка нормальна до ребра клина, з полюсом в точці і полярною віссю, колінеарною до осі (8)

Запропоновано формули обчислення коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН) на основі значень комплексних потенціалів в кутовій точці (9)

Застосування методу ілюструє приклад необмеженого середовища з включенням, яке має у поперечному перерізі форму, зображену на рис. 3. Залежність безрозмірних КІН - сталі, що залежать від геометрії кривої у кутовій точці та зовнішнього навантаження) для включення з одною кутовою точкою від відносної жорсткості включення показано на

Рис.3. Поперечний переріз Рис. 4. Залежність безрозмірних КІН

включення від відносної жорсткості включення

Досліджений також напружений стан ізотропного тіла з тонким пружним стрічковим включенням якщо уся композиція знаходиться під дією зусиль на нескінченності (рис. 5).

Модель тонкого пружного стрічкового включення є такою:

1. Тонке пружне стрічкове включення має довжину товщину і займає відрізок площини ; воно спрямоване вздовж осі.

2. Включення в результаті зовнішніх силових впливів в цілому не змінює своєї форми, отже переміщення включення можливе як переміщення жорсткого цілого в тілі (паралельне перенесення і поворот).

В результаті отримана задача спряження, що є частинним випадком задачі спряження, для якої у розд. 2 побудовано строгий математичний розв’язок.

Рис. 5. Схема тіла з тонким Рис. 6. Залежність КІН від

стрічковим включенням жорсткості тонкого включення

Для повного розв’язування задачі долучено умову, що реалізує енергетичну властивість включення, а саме, рівність нулю повної енергії деформації абсолютно жорсткого включення і набуття відомого значення у випадку включення з матеріалу матриці.

Отримано вирази коефіцієнтів інтенсивності напружень (10) справедливі для обох кінців пружного включення.

Для однорідного тіла з формул (10) випливають, при здійсненні відповідного граничного переходу, очікувані значення; для абсолютно гнучкого (тріщини) маємо і для жорсткого стрингера - що збігається з відомими результатами Сі Г., Бережницького Л.Т. та інших авторів.

Зміна коефіцієнтів інтенсивності напружень залежно від відносної жорсткості міститься на рис. 6. Для включень, що мало відрізняються від пустотілих (відповідно жорстких) напружений стан характеризується практично одним коефіцієнтом інтенсивності .

З виразу коефіцієнта інтенсивності згідно з формулою (10) при заміні відповідно випливає подання для коефіцієнта інтенсивності і навпаки. Аналогічна властивість виявлена іншим способом для композитів з волокнами інших обрисів для випадку плоскої задачі (Бережницький Л.Т., Мазурак Л.П.).

Переміщення при цьому задовольняють припущенню 2.

Запропонована механічна модель дає можливість узагальнень з побудовою крайових умов контакту включення з точністю до величин і вищих порядків з використанням при цьому задачі спряження, розробленої для тіл з кутовими включеннями.

Таке моделювання пластинчатого включення за допомогою граничних значень комплексних потенціалів аналогічне визначенню крайових умов на берегах щілин або жорстких стрічок Мусхелішвілі М.І.

Досліджено також напружений стан тіла з системою пружних пластинчатих включень на прикладі двох тонких стрічкових включень,

слідами яких у площині є відрізки дійсної осі. Як свідчать побудовані формули відповідних коефіцієнтів інтенсивності, взаємодія включень проявляється у зміні локальних полів напружень і напружених станів самих включень.

Зміна напружень у композиті ізотропне тіло–тонке пружне включення вздовж осі абсцис при зображена на рис. 7. На інтервалі маємо симетричні відносно осі ординат криві. Крива 1 відповідає величині, а крива 2 – величині

На основі енергетичної гіпотези міцності наведена оцінка переходу елемента матриці у граничний стан в околі особливої лінії негладкого включення з допомогою встановленого розподілу локальних напружень (11).

Наведені формули граничної рівноваги тіла з пластинчатим включенням за поздовжнього зсуву на основі критерію Новожилова де - міжатомна відстань матеріалу, - критичне значення.

Четвертий розділ стосується плоскої задачі для ізотропного тіла з кутовим включенням. Сторони клина в декартовій системі з початком у вершині клина утворюють

з віссю кути.

Рис. 7. Зміна напружень у тілі з тонким стрічковим включенням вздовж осі абсцис.

Подібно до того, як це зроблено в розд. 3, з’ясовано характер сингулярного напруженого стану поблизу вершини впаяного в ізотропну матрицю клина в умовах плоскої задачі теорії пружності (рис. 8.).

Поле локальних напружень і зміщень має вигляд (12), (13), а характеристичні рівняння, що визначають порядок сингулярності локальних напружень, –

Рис. 8. Пластинка з кутовим включенням, (14)

У табл. 1 містяться числові значення величин для матеріалів компонент з коефіцієнтами Пуассона і залежно від величини кута розхилу і двох значень відносної жорсткості.

Вивчено напружений стан пластинки з кутовим включенням. Розглянуто необмежену ізотропну пластину, в яку впаяне негладке включення (рис. 2).

Таблиця 1. Залежність порядку сингулярності від кута розхилу включення

Розглядувана задача з умовами на лініях поділу зводиться до задачі спряження системи аналітичних функцій в областях з кусково-гладкими границями і на основі розв'язку, наведеного в розділі 2, здійснено її строгий математичний розв'язок. З'ясована особливість поля напружень біля вістря клину і побудована формула для визначення коефіцієнтів інтенсивності напружень за допомогою комплексних потенціалів.

Для прикладу досліджено напружений стан пластинки з тонким пружним включенням, що займає відрізок дійсної осі у випадку дії на нескінченності зовнішніх зусиль/ Модель тонкого пружного включення є такою: 1. Тонке пружне включення має довжину, товщину і займає відрізок площини. 2. Включення в результаті зовнішніх силових впливів в цілому не змінює своєї форми.

Рис. 9. Пластинка з тонким пружним включенням

Виявлено, що розподіл локальних напружень і зміщень поблизу вершин включення співпадає з відомим розподілом для тонкостінних включень і вирази КІН такі: (15).

Так само, як і у випадку антиплоскої деформації (розд. 3) виявлено, що інтенсивність напружень для включень, близьких до пустотілих або жорстких, характеризується практично одним коефіцієнтом інтенсивності. Напруження у самому включенні сталі і переміщення задовольняють припущенню 2 моделі включення.

Обчислено також напруження в пластині з тонким пружним включенням на продовженні її осі. Зміна напружень вздовж осі абсцис зображено на рис. 10.

Рис. 10. Зміна напружень на продовженні осі тонкого пружного включення.

Наведено критеріальні співвідношення граничної рівноваги пластинки з кутовим включенням згідно енергетичного критерію Сі, а на основі критерію Новожилова виписано критеріальне співвідношення для визначення граничної рівноваги пластинки з тонким включенням.

П’ятий розділ стосується дослідження напруженого стану кусково-однорідного анізотропного тіла з негладкою межею поділу матеріалів за поздовжнього зсуву з використанням розв’язку задачі спряження двох аналітичних функцій в афінно перетворених областях з негладкими границями, наведеного в другому розділі.

Побудовані формули для визначення напруженого стану в довільній точці середовища.

Таким чином, запропоновано метод розв’язування задачі поздовжнього зсуву анізотропного тіла з негладким включенням

шляхом її зведенням до задачі спряження двох аналітичних функцій в афінно перетворених областях з негладкими границями.

Наведена формула знаходження коефіцієнтів інтенсивності напружень на основі значень комплексного потенціалу в кутовій точці (16), де - корені характеристичного рівняння для визначення сингулярності; - афінний образ точки при афінному перетворенні.

Встановлено поле напружень та зміщень поблизу особливої лінії негладкого включення за поздовжнього зсуву - корені характеристичного рівняння, що визначає поядок сингулярності, (18).

Де значення індексу відповідає випадку.

В табл. 2 наведена залежність показника сингулярності локальних напружень від кута розхилу включення для ортотропної композиції при згідно з рівнянням (18).

Таблиця 2. Зміна порядків сингулярності в зв’язку з зміною величини кута розхилу включення

Як ще один приклад застосування методу досліджено напружений стан анізотропного тіла з тонким пружним стрічковим включенням (смугою), яке моделюється відрізком дійсної осі площини та орієнтованої колінеарно до осі за дії напружень на нескінченності. Механічна модель тонкого пружного анізотропного пластинчатого включення в анізотропному тілі така сама, як описано в розд. 3 для випадку ізотропнго тіла.

Обчислені коефіцієнти інтенсивності, справедливі для обох країв смуги: (19)

З’ясовано, що взаємодія і взаємовплив включень проявляється у зміні напружень у самих смугах і локальних полів при близькому розташуванні вершин, що зумовлює також і потребу враховувати сталі компоненти в розподілах локальних напружень.

Виявлено також характер зміни напружень в анізотропному тілі з включенням.

На основі енергетичного критерію записані критеріальні співвідношення, що визначають граничну рівновагу анізотропного тіла з кутовим включенням.

У шостому розділі досліджено характер локального плоского напруженого стану анізотропної пластинки з кутовим вирізом зі сторонами, які описуються в прямокутній системі координат з початком в вершині кута рівняннями, у якому жорстко закріплені та вільні від напружень краї. На основі розв’язку задачі спряження системи аналітичних функцій в афінно перетворених областях з негладкими границями (розд. 2) побудований загальний метод аналізу напружено деформованого стану у такому тілі. Зокрема, побудовано характеристичні рівняння, що визначають порядок сингулярності локальних напружень.

Досліджено залежність порядку сингулярності напружень від механічних властивостей анізотропного композиту з різним ступенем анізотропії. Розглянуто матеріали зі слабою анізотропією – композиція скло – епоксид, графіт – епоксид

У табл. 3 подано залежність величин від величини кута розхилу вирізу з вільним від напружень сторонами. Вплив орієнтації вирізу з величиною кута розхилу в відносно головного напрямку вздовж осі ординат на порядок особливості локальних напружень відображено у табл. 4, де кут, що утворений стороною з віссю Відзначається слабка залежність особливості напружень від орієнтації вирізу.

Таблиця 3. Залежність порядків сингулярності вирізу від величини кута розхилу вирізу

Таблиця 4. Залежність порядків сингулярності від орієнтації вирізу з кутом розхилу в відносно осі ординат.

Аналогічні значення для абсолютно жорсткого кутового включення містяться у табл. 5 і 6.

Таблиця 5. Залежність порядків сингулярності напружень поблизу вершини абсолютно жорсткого кутового включення від величини кута його розхилу.

Таблиця 6. Залежність порядків сингулярності від орієнтації абсолютно жорсткого кутового включення з кутом розхилу в відносно осі ординат.

Досліджено локальний напружений стан анізотропної пластини з чужорідним кутовим включенням, зайдено характеристичне рівняння, що визначає порядок сингулярності локальних напружень.

Запропоновано метод розв’язування плоскої задачі для анізотропного тіла з кутовим пружним включенням зведенням її до задачі спряження системи аналітичних функцій в афінно перетворених областях з негладкими границями.

Розглянуто також анізотропну пластинку з тонким пружним включенням, що займає відрізок дійсної осі, за дії на нескінченності зовнішніх зусиль. Модель тонкого пружного анізотропного включення в анізотропній пластині визначається тими ж особливостями, що й у випадку ізотропної пластинки з тонким ізотропним включенням. На основі розробленого методу побудовано точний розв’язок задачі про напружений стан анізотропної пластини з декількома такими тонкими пружними включеннями. В результаті виявлено, що взаємодія і взаємовплив включень проявляється у зміні напружень всередині самих включень і поза ними. В локальних полях поблизу вершин взаємодія проявляється тільки при достатньо близькому розміщенні їх.

Обчислені напруження у пластині з тонким пружним включенням та наведені згідно енергетичного критерію критеріальні співвідношення для визначення граничної рівноваги анізотропного тіла з кутовим включенням за умов плоскої деформації.

Сьомий розділ стосується плоских задач термопружності для ізотропної чи анізотропної пластинки з кутовими включеннями. Запропоновано методи розв’язування задачі теплопровідності й термопружності ізотропної пластинки з кутовим теплопровідним та термопружним включенням на основі задач спряження двох та системи аналітичних функцій в областях з негладкими границями. В результаті отримано, зокрема, що розподіл локальних переміщень та термонапружень ідентичний по формі розподілу поблизу кутових точок силової плоскої задачі, побудованому в четвертому розділі. Для обчислення коефіцієнтів інтенсивності справедливий алгоритм і відповідні формули, запропоновані для силової задачі. Метод проілюстрований на прикладі дослідження термонапруженого стану пластинки з термопружним тонким включенням, що займає відрізок дійсної осі, якщо композит рівномірно нагрітий на величину. Залежність величин від пружних властивостей компонент, а саме від відносної жорсткості матеріалу включення, якщо коефіцієнти Пуасона, ілюструє рис.11. Помітно, що для жорсткого включення переважаючий вплив має.

Під час розв’язування задачі теплопровідності й термопружності анізотропної пластинки з кутовим теплопровідним й термопружним включенням на основі задач спряження двох або системи аналітичних функцій в афінно перетворених областях з негладкими границями

Рис. 11. Залежність КІН нагрітої пластинки з тонким включенням від відносної жорсткості включення.

з’ясовано, що аналогічно до випадку силової ізотропії розподіл локальних переміщень та термонапружень ідентичний за формою розподілу поблизу кутових точок силової плоскої анізотропної задачі, отриманому в шостому розділі. Метод застосований до визначення термонапруженого стану анізотропної пластини з одним із різновидів кутових включень – термопружним тонким включенням, що займає відрізок дійсної осі під час рівномірного нагрівання композиції до температури. Вплив ортотропії теплопровідності та коефіцієнтів лінійного розширення композиції досліджено для таких значень пружних сталих.

При напрямок найбільшого термоопору колінеарний (нормальний) до осі, значення відповідає ізотропії теплопровідності. Зміну відношень - коефіцієнти інтенсивності при ізотропії ілюструє рисунок 12.

Включення, нормальні до напрямку найбільшого термоопору матриці, зумовлюють значно більшу інтенсивність напружень порівняно з колінеарною орієнтацією.

Залежність коефіцієнтів інтенсивності напружень відповідають від коефіцієнта лінійного розширення в напрямку осі (рис. 13) свідчить, що зі зменшенням істотно зростає концентрація напружень.

Рис. 12. Залежність відносних КІН пластинки з тонким вкюченням від відношення коефіцієнтів теплопровідності матеріалів.

Рис. 13. Залежність відносних КІН пластинки з тонким включенням від коефіцієнтів лінійного розширення композита.

Зусилля на контурі включення такі: (20). У включенні при додаванні їх отримуємо сталі по довжині значення.

У восьмому розділі вивчається напружений стан тривимірного тіла

з негладким включенням у випадку ізотропії матеріалів. Запропонований спосіб знаходження напруженого стану поблизу конічної точки поверхні поділу середовищ. Він проілюстрований на прикладі аналізу впливу чужорідного кругового конічного включення (21).

Виявлений розподіл локальних напружень та зміщень. Побудоване характеристичне рівняння, що визначає порядок сингулярності локальних напружень

Рис. 14. Зміна порядків сингулярності напружень поблизу вершин кругового конічного включення.

Рис. 15. Зміна безрозмірних КІН поблизу особливої лінії кругового конічного включення.

Зміну порядку сингулярності зображено для прикладу матеріалів з коефіцієнтами Пуасона та відносною жорсткістю включення у залежності від кута при вершині конуса в його осьовому перерізі на рис. 14.

Детально вивчено також напружений стан поблизу особливої лінії поверхні поділу середовищ. Встановлено розподіл локальних напружень і зміщень поблизу особливої лінії поверхні поділу середовищ. Характеристичні рівняння для показників, оскільки кути залежать від координати є функціями змінної (22).

Запропоновані формули для обчислення КІН.

Поле напружень в напрямі нормальної до особливої лінії площини має просту структуру, а саме є об'єднанням полів, аналогічних полям плоскої і антиплоскої деформації. В напрямі, що не лежить у нормальній площині, напруження визначаються одночасно за допомогою усіх коефіцієнтів інтенсивності.

Дана обставина використана для обгрунтування правомірності заміни задачі пружної рівноваги середовища з абсолютно жорсткою нескінченною смугою завширшки за дії зовнішніх зусиль незмінюваних уздовж цієї смуги плоскою деформацією.

Відмінність проявлється у відповідних коефіцієнтах інтенсивності (23), (24)

Моделювання такого напруженого стану плоскою деформацією дає такі коефіцієнти інтенсивності (26).

Відмінність величин, поданих згідно з (24) і (26), може служити мірою похибки при моделювані просторової задачі її двовимірним аналогом. У табл. 7 відображена зміна величини у зв’язку зі зміною коефіцієнта Пуасона. Найбільша відмінність в 3,54% досягається при значенні, що вказує на допустимість моделювання в інженерних розрахунках просторового напруженого стану двовимірним станом плоскої деформації.

Таблиця 7.Відмінність величин за різних значень параметра.

Побудовано розв'язок задачі спряження гармонічних функцій [29], а також розв'язків рівняння рівноваги Ламе в областях з негладкими границями [30] і на його основі запропоновано метод визначення напруженого стану тривимірного тіла з негладким включенням.

Для прикладу досліджено напружений стан тіла з круговим конічним включенням. за дії на нескінченності сталих напружень.

Залежність відносних величин - КІН за кута нахилу твірної конуса до його основи рівного , від величини кута нахилу твірної до основи зображено на рис. 15.

В цьому прикладі для одного і того порядку сингулярності КІН залишаються незмінними у коловому напрямі особливої лінії; така ж ситуація має місце поблизу конічної точки, що обумовлено як геометричною симетрією, так і симетрією силового навантаження.

Таким чином, інтенсивність напружень поблизу особливостей поверхонь поділу середовищ характеризується як порядком сингулярності, так і коефіцієнтами інтенсивності напружень: для однієї і тієї ж сингулярності істотною характеристикою виступають коефіцієнти інтенсивності напружень. Виписані згідно критерію Сі формули для визначення граничної рівноваги ізотропного тіла з кутовим включенням та розглянуто частинні випадки матеріалу і форми включення.

???’???? ?????? ????????? ?????????????? ???????????? ???? ? ????????? ??????????. ???????? ???????? ?????????????? ????, ??????? ????????? ?????? ? ?????????????? ??????? ???????????? ???????? ?????????? ?????????. ????????, ?? ???????? ????????????? ????????? ??????? ???????????? ???????? ?????? ????????? ?????????? ????????? ????????? ??????? ??????. Запропоновано ?????? ????’???????? ????? ???????????????? ?? ?????????????? ???????????? ???? ? ????????? ?????????? ????????? ?? ?? ?????? ????????? ??????????? ??????? ? ????’????? ???????? ???? ? ???????? ? ?????????? ?????????.

????? ??????????????? ?? ???????? тіла, що містить кругове конічне включення, обмежене поверхнею (27), тобто містить особливу лінію, утворену основою конуса - поверхнею, що задається рівнянням, та бічною поверхнею конуса, яка визначається рівнянням і конічну точку при рівномірному нагріванні на величину. Матеріали матриці і включення відповідають композиту типу сталь–латунь.

Залежність відносних величин, де - коефіцієнти інтенсивності густини теплового потоку за кута нахилу твірної конуса до основи рівного, від величини кута нахилу твірної до основи зображено на рис. 16. Сингулярність густини теплового потоку послаблюється зі зростанням величини кута нахилу твірної до основи.

Рис. 16. Зміна коефіцієнтів інтенсивності густини теплового теплового потоку залежно від кута нахилу твірної до основи.

Рис. 17. Залежність КІН від кута нахилу твірної до основи.

Інтенсивність густини теплового потоку поблизу особливостей поверхонь поділу середовищ характеризується як порядком сингулярності так і коефіцієнтами інтенсивності густини теплового потоку, причому визначальну роль відіграє порядок сингулярності, а для одного і того порядку сингулярності істотною характеристикою виступають КІН.

Досліджено термонапружений стан середовища з круговим конічним включенням, обмеженим поверхнею (27) якщо композит рівномірно нагрітий на величину.

Залежність відносних величин - КІН за кута нахилу твірної конуса до його основи від величини кута нахилу твірної до основи зображено на рис. 17.

У десятому розділі наведено розв’язок задачі спряження для конструювання розв’язків хвильового рівняння Ламе в областях з негладкими границями [32] і на його основі вивчається вплив динамічних навантажень на локальний напружений стан неоднорідного тіла з негладкими межами поділу складових.

Досліджено динамічні напруження поблизу особливої лінії поділу середовищ у загальному випадку дії довільних зовнішніх динамічних навантажень та отримано, що у випадку нерухомої поверхні поділу середовищ з особливою лінією розподіл локальних напружень і переміщень поблизу цієї лінії однаковий як за динамічних, так і за статичних навантажень.

Виявлено ефект зв’язності теплових і пружних полів поблизу особливої лінії поверхні порожнини, що переміщується. В результаті отримано, що сингулярні складові густини теплового потоку складаються з двох частин: однієї, що має порядок сингулярності викликається лише теплофізичними характеристиками середовища, та другої, що має порядки сингулярності, які визначаються термопружними властивостями тіла разом з коефіцієнтами інтенсивності термонапружень. У цьому й полягає ефект зв’язності теплових і пружних полів на рухомій негладкості поверхні порожнини, тобто локальні деформації поблизу особливої лінії приводять до збурення температурного поля. У випадку нерухомої поверхні поділу, зокрема й нерухомої тріщини такий ефект зникає.

Досліджені й динамічні термоелектропружні поля поблизу негладких меж поділу неоднорідного тіла складовими якого є пружні і електропровідні тіла, які не мають властивості довільної поляризації і намагніченості й піддані дії механічного навантаження, температурних полів, а також перебувають у змінному електромагнітному полі. Вважається, що на поверхні контакту відсутні зовнішні електричні заряди і струми, а матеріали складових мають постійні характеристики. З’ясовано, що локальні напруження, компоненти густини теплового потоку і компоненти густини струму провідності в околі особливої лінії набувають сингулярності степеневого характеру. Порядки сингулярності для температурного поля і електричного потенціалу не залежать від фізико-механічної природи включення, а визначаються лише його геометрією.

У випадку нерухомої поверхні поділу чужорідних середовищ з особливою лінією розподіли локальних напружень і зміщень, температурного поля і густини теплового потоку, електричного потенціалу і густини струму провідності, напруженостей електромагнітного поля однакові як за динамічних, так і за статичних навантажень та стаціонарних теплових й електромагнітних впливів. Сингулярні складові густини теплового потоку і струму провідності складаються з двох частин: перша, що має порядок , викликана теплофізичними і електричними властивостями композиції; друга, що має порядки, обумовлена пружними влостивостями композита так і коефіцієнтами інтенсивності напружень. Так проявляється ефект зв’язності теплових, електричних і механічних полів на негладкостях рухомої ділянки межі поділу, тобто локальні деформації поблизу особливої лінії збурюють теплове і електричне поля. У випадку нерухомої межі поділу середовищ такий ефект зникає, натомість з’являється сингулярність порядку у компонентах векторів напруженості електромагнітного