Міністерство освіти і науки України
Міністерство освіти і науки України
Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя
ПРИГОРНИЦЬКИЙ Дмитро Олександрович
УДК 519.63.001.57
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЗБУРЕНЬ
ФІЛЬТРАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ У ПОРИСТИХ ПЛАСТАХ
01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Тернопіль – 2006
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Рівненському державному гуманітарному університеті
Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник: доктор технічних наук, доцент
Бомба Андрій Ярославович,
Рівненський державний гуманітарний університет,
професор кафедри інформатики та прикладної математики.
Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор
Булавацький Володимир Михайлович,
Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України,
провідний науковий співробітник;
кандидат технічних наук, старший науковий співробітник, доцент
Петрик Михайло Романович,
Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя,
керівник лабораторії математичного моделювання масопереносу
в неоднорідних і нанопористих середовищах.
Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
факультет кібернетики, кафедра обчислювальної математики.
Захист відбудеться “ 5 жовтня 2006 р. о(об) 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К58.052.01 при Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя за адресою: 46001, м. Тернопіль, вул. Руська, 56.
З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя за адресою: 46001, м.Тернопіль, вул.Руська, 56.
Автореферат розісланий “ 1 ” вересня 2006 р.
Учений секретар
спеціалізованої вченої ради Б.Г. Шелестовський
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Задачі теорії фільтрації, а також аналогічні їм задачі аерогідродинаміки, електростатики тощо та методи їх розв’язування за допомогою конформних і квазіконформних відображень захоплювали багатьох вчених, зокрема, математиків-гідромеханіків. Незважаючи на велику кількість проведених досліджень з цієї тематики, цілі класи задач, зокрема, для багатозв’язних, схильних до деформацій середовищ, залишаються у цілому нерозв'язаними хоча б тому, що, навіть, у випадку тризв’язної модельної фізичної області, обмеженої еквіпотен-ціль-ними лініями, відповідна область комплексного (квазікомплексного) потенціалу будується неоднознач-но, що суттєво ускладнює саму постановку оберненої задачі у традиційному розумінні. Із числом зв’язності області фільтрації різко зростає і число можливих випадків формування течії в області та відповідних їм можливих конфігурацій області квазікомплексного потенціалу. Вже у випадку тризв’язної області фільтрації число таких випадків досягає 23-х, і виникає необхідність у розв’язанні додаткової задачі “вибору” конкретного випадку з множини можливих. Дана задача не є тривіальною і заслуговує на проведення окремого наукового дослідження, оскільки її розв’язання є одночасно вирішенням проблеми перенесення методики конформних та квазіконформних відображень на випадки багатозв’язних областей. Частково вище означена проблема була вирішена у роботах Бомби А.Я., але питання системного підходу до по-дібних задач та побудови ефективних чисельних методів їх розв’язування залишилося відкритим.
Актуальною проблемою також є поширення методів математичного моделювання фільтраційних деформацій ґрунту у присвердловинних та придренних зонах. Дуже часто (у 30% випадках) дренажні системи, спроектовані за утвердженими в традиційній інженерній практиці методиками, через деякий час експлуатації не виконують своїх проектних функцій, тобто недоосушують (недозволожують) землі, а тому потребують додаткової реконструкції. Причини криються у неврахуванні під час проектування явищ фільтраційної деформації ґрунту (суфозії, кольматажу, переорієнтації частинок і т.п.), які супроводжується суттєвими змінами коефіцієнта фільтрації ґрунту у придренних (присвердловинних) зонах. Зокрема, при перевищенні діючими градієнтами допустимого (критичного) значення для ґрунту, в навколодренному середовищі, відбувається втрата фільтраційної міцності ґрунту через переміщення дрібних його частинок (явище суфозії), що зумовлює зміну коефіцієнта фільтрації. Незважаючи на те, що розміри зон, де градієнти потенціалу перевищують критичні їх значення, у порівнянні із міждренними відстанями досить малі, зміни, які відбуваються у цих зонах, впливають на характеристики середовища та фільтраційну витрату. У зв’язку із складністю проведення експериментів на фізичних моделях на передній план виходить дослідження таких деформаційних процесів у ґрунтах на основі математичного та комп’ютерного моделювання, що дозволяє вивчити зміни характеристик процесів у значно ширшому спектрі значень вихідних фільтраційних параметрів без проведення дорогих експери-ментів. Моделювання фільтрації у пористих середовищах із врахуванням вище вказаних явищ вже проводилося у простіших випадках модельної фізичної області (розглядалися випадок криво-лінійної чотирикутної області фільтрації та осесиметричний випадок) у роботах Бомби А.Я., Хла-пука С.С., Сидорчука Б.П. та Каштана С.С. Питання моделювання відповідних процесів для фі-зичних областей складнішої геометрії із сильнопроникними включеннями залишилося відкритим.
Отже, поширення і розвинення методики конформних та квазіконформних відображень на випадки багатозв’язних модельних фізичних областей для розв’язування крайових задач теорії фільтрації із врахуванням фільтраційних збурень, побудова відповідних чисельних схем та алго-ритмів, дослідження їх збіжності та стійкості є актуальною та практично важливою проблемою.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у відповідності з планом науково-дослідної роботи “Математичне моделювання нелінійних збурень еко-енергосистем” (номер державної реєстрації 0100U004897) і пов’язана з науково-дослідними роботами “Фізико-математичне моделювання фільтраційно-деформаційних процесів в ґрунтових греблях з врахуванням взаємовпливу градієнтів напору та характеристик середовища” (№2-62 від 17.05.03, УДУВГП) та “Дослідження контактної взаємодії циліндричних тіл з гладкими і ребристими поверхнями” (номер державної реєстрації 0102U005281).
Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає у розвитку обчислювальних методів, створенні алгоритмів та їх реалізації у вигляді ефективних програмних засобів для вирішення важливої науково-технічної задачі математичного і комп’ютерного моделювання збурень фільтраційних процесів у багатозв’язних схильних до деформацій пористих середовищах, обмежених еквіпотенціальними лініями, за умов врахування взаємовпливу градієнта фільтрації та фільтраційних характеристик ґрунту.
Для досягнення поставленої мети, були визначені такі задачі дослідження:
1. Розвинути відому методологію математичного моделювання процесів осесиметричної фільтрації на випадки довільних двозв’язних областей, обмежених еквіпотенціальними лініями;
2. Отримати розв’язки модельних нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення для двозв’язних областей у випадках, коли коефіцієнт фільтрації (провідності) є тензором та залежить від координат точок області, шуканого потенціалу швидкості та його градієнта;
3. На основі розвинення підходів до моделювання фільтраційних процесів з післядією для двозв’язних областей дослідити фільтраційну деформацію ґрунтів з урахуванням суфозії;
4. Розробити ефективні алгоритми та створити відповідні програмні комплекси для розв’язування нелінійних обернених крайових задач на конформні та квазіконформні відображення у випадках тризв’язних модельних областей фільтрації, зокрема, за умов керування. При цьому вирішити проблему автоматизованого вибору форми відповідної області комплексного потенціалу з множини можливих залежно від співвідношень граничних потенціалів між собою (зокрема, залежно від значення потенціалу на контурі-збурювачі);
5. Провести чисельний експеримент з метою встановлення ступеня взаємовпливу характеристик процесу та середовища, зокрема, фільтраційних деформацій, величини фільтраційної витрати, поля швидкості; визначення зон збурення (вимиву та осідання частинок); розрахунку ліній розділу течії, величин перетоків (із розрахунком їх оптимальних співвідношень) між зовнішнім та внутрішніми контурами, ділянок “застою” течії.
Об’єкт дослідження. Нелінійні процеси та задачі теорії фільтрації.
Предмет дослідження. Збурення фільтраційних процесів у пористих багатозв’язних пластах.
Методи дослідження. В процесі наукового дослідження поставлених проблем використано традиційні методи математичного моделювання, теорії функції комплексної змінної, багатосітко-вий метод розв’язування розріджених систем лінійних рівнянь, відомі числові методи (методи скінчених різниць, блочних ітерацій, послідовних наближень в різного роду модифікаціях). В основу розробленого числового методу покладено ідею поетапної параметризації конформного (квазіконформного) інваріанту сіткової області, координат граничних внутрішніх вузлів гідроди-намічної сітки з використанням ідей методу блочних ітерацій для обґрунтування його збіжності.
Наукова новизна отриманих результатів. Проведені теоретичні дослідження дали змогу отримати ряд нових результатів.
1. Вперше здійснено та обґрунтовано систематизацію підходів до математичного моделювання фільтраційних деформацій ґрунту у випадках багатозв’язних криволінійних областей, обмежених еквіпотенціальними лініями.
2. Вирішено проблему врахування роздвоєння лінії течії при переході від багатозв’язної області фільтрації до відповідної однозв’язної області комплексного потенціалу при математичному моделюванні фільтраційних процесів у пористих пластах.
3. Розроблено нові ефективні числові алгоритми розв'язування нелінійних обернених крайових задач на конформні та квазіконформні відображення для двозв’язних областей на основі почерго-вої параметризації характеристик процесу та середовища при моделюванні суфозійних явищ у ґрунтах та визначенні характерних зон збурення. Вперше отримано числові розв’язки відповідних задач.
4. Вперше повністю вирішено проблему вибору форми області комплексного потенціалу з множини усіх можливих у випадку тризв’язної модельної області фільтрації та розроблено відповідний практичний алгоритм вибору.
5. Розроблено спеціальні числові алгоритми для розв'язування нелінійних обернених крайових задач на конформні та квазіконформні відображення у тризв’язних областях фільтрації, що дають можливість визначати співвідношення між величинами перетоків при керуванні процесом та розміщення характерних точок, що, зокрема, визначають зони “застою” течії.
6. Вперше на основі результатів числових розрахунків встановлено співвідношення між харак-те-ристиками середовища і процесу (фільтраційна витрата, гідродинамічна сітка, коефіцієнт фільт-рації) до та після деформації для випадків, коли фізична область фільтрації є багатозв’язною.
7. На основі запропонованих шляхів оптимізації обчислювальних процедур створено ефективний пакет програм, який дозволяє будувати динамічну сітку та поверхню швидкості, обчислювати фільтраційну витрату, встановлювати і досліджувати комп’ютерну збіжність та стійкість розроблених методів та алгоритмів для багатозв’язних деформівних середовищ з урахуванням зворотного впливу характеристик процесу.
Достовірність отриманих у роботі результатів забезпечується застосуванням алгоритмів, побудованих із використанням теоретично обґрунтованих методів, стійкістю отриманих розв’язків, їх адекватністю як результатам, отриманим експериментально, так і відомим точним розв’язкам тестових прикладів.
Практичне значення отриманих результатів. Проведені у роботі дослідження дають можливість аналізувати фільтраційні характеристики середовища, враховуючи різного роду збурення фільтраційного процесу, у двозв’язних та тризв’язних областях. Вони є базовими для поширення методики конформних та квазіконформних відображень на області більш складної геометричної форми (чотиризв’язні, п’ятизв’язні і т.д.). Результати також будуть корисними при побудові моделей нелінійних процесів фільтрації в шаруватих середовищах та в областях з вільними ділянками границь. Більшість результатів, отриманих в роботі, подано у вигляді формул, алгоритмів, таблиць і графіків, які можуть бути включені в різні посібники та довідники або використані в інженерній практиці.
Наукові результати, одержані в кандидатській дисертації, впроваджені МКП “Рівневода” (м. Рівне) при моделюванні та прогнозуванні фільтраційно-деформаційних процесів навколо водозабірних свердловин при зміні режимів їх експлуатації.
Запропоновані методи числового розв’язування нелінійних обернених крайових задач теорії фільтрації на конформні та квазіконформні відображення використовуються при читанні спецкурсів “Методи теорії функції комплексної змінної” і “Методи теорії збурень” для студентів РДГУ за спеціальністю “Прикладна математика”.
Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи обговорювалися на IX Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2002р.); на X Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2004р.); на Міжнародній науково-практичної конференції "Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології" (Чернівці, 2004р.); на конференції молодих учених із сучасних проблем математики і механіки імені академіка Я.С.Підстригача (Львів, 2004р.); на XI Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2004р.); на звітних науково-практичних конференціях професорсько-викладацького складу, аспірантів та студентів Рівненського державного гуманітарного університету (Рівне, 2002–2004р.); на XIII, XIV, XV Наукових сесіях осередку Наукового товариства імені Т.Г.Шевченка (Львів–Рівне, 2002–2004р.).
Дисертація у цілому доповідалася на розширеному семінарі кафедри інформатики та прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету (Рівне, 2005р.), семінарі кафедри математичних методів в інженерії Тернопільського технічного університету ім. І.Пулюя (Тернопіль, 2006р.), семінарі відділу 175 інституту кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України (Київ, 2006р.), семінарі при кафедрі обчислювальної математики факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2006р.).
Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у 12 наукових працях (10 статей та 2 тез доповідей), з них 5 статей – у фахових виданнях за обраною спеціальністю, 5 – у фахових виданнях суміжних галузей за напрямком досліджень.
Особистий внесок здобувача полягає в безпосередній участі у проведенні теоретичних досліджень, самостійному проведенні числових експериментів, оформленні проміжних результатів роботи у вигляді публікацій і доповідей, узагальненні окремих етапів досліджень та дисертаційної роботи у цілому. Всі практичні результати, які складають основний зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно.
У дослідженнях, результати яких представлені у публікаціях, написаних у співавторстві з науковим керівником, А.Я.Бомбі належить загальний підхід до моделювання фільтраційних деформацій у ґрунтах та застосування методики конформних та квазіконформних задач при розв’язуванні відповідних крайових задач теорії фільтрації. Здобувачеві належить: у роботах [1-7] – побудова алгоритмів розв’язування задач, реалізація алгоритмів у вигляді пакету комп’ютерних програм, проведення числових розрахунків для модельних задач, дослідження комп’ютерної збіжності, аналіз та систематизація отриманих результатів; у роботі [12] – алгоритм знаходження динамічної сітки та поля швидкості, проведення відповідних числових розрахунків.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел (129 бібліографічних найменувань) та додатків. Загальний обсяг дисертаційної роботи – 162 сторінки, з них 156 сторінок основного тексту, в тому числі 58 рисунків та 23 таблиці.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність роботи, сформульовано мету та основні задачі дослідження, визначена наукова новизна роботи та її зв’язок із науковими програмами, планами і темами. Наведено основні результати, отримані у роботі, їх практичне значення, особистий внесок здобувача та дані про апробацію результатів.
У першому розділі міститься огляд праць, що стосуються теми дисертації, висвітлено основні методи та підходи, які використані при дослідженні проблеми, проведено аналіз сучасного стану справ та досягнень у сфері математичного та комп’ютерного моделювання фільтраційних процесів із врахуванням різного роду збурень у пористих середовищах, а також здійснено постановку задач досліджень процесів нелінійної фільтрації. Зокрема, відзначено, що одним із перших вивченням процесу фільтрації у пористих середовищах експериментально займався французький інженер А.Дарсі. Результати його досліджень дозволили сформулювати закон, який був опублікований у 1856 р. і до цього часу вважається основним законом фільтрації у пористих середовищах, у вигляді:, де – швидкість фільтрації; І – градієнт напору; – коефіцієнт фільтрації. Подальші дослідження і розробку основних положень теорії фільтрації проводили такі відомі вчені, як: М.Є.Жуковський, М.М.Павловський, П.Я.Полубаринова-Кочина, В.І.Аравін, С.М.Нумє-ров, М.М.Герсеванов, П.Ф.Фільчаков, А.Я.Олійник, В.І.Лаврик, В.В.Скопецький, В.М.Булаваць-кий, В.С.Дейнека, А.А.Глущенко, А.П.Кузьменко. Проблемами вивчення і моделю-вання фільтраційних деформацій у пористих середовищах, врахування яких дозволило би більш точніше проводити розрахунки дренажних і свердловинних систем і т.п., займалися С.В.Ізбаш, С.О.Христианович, Д.М.Мінц, А.М.Патрашев, В.С.Істоміна, В.М.Кондратьєв, М.І.Хри-санов, С.Ф.Авер’янов, А.П.Вавілов, А.П.Власюк, М.М.Хлапук, А.Я.Бомба та ряд інших вчених.
Аналіз вищенаведених та інших наукових джерел показав, що суттєвий вплив на питому фільтраційну витрату мають деформаційні процеси, які виникають у присвердловинних (придренних) зонах області фільтрації та зумовлюють перерозподіл напорів (потенціалів, квазіпотенціалів), їх градієнтів та зміну коефіцієнта фільтрації ґрунту. На даний час, процеси такого роду моделюються певною залежністю коефіцієнта фільтрації від характеристик середовища. При цьому не враховується характер збурення чи величина градієнта фільтраційного потенціалу. М.М.Хлапуком за власною розробленою методикою були проведені експерименти на ґрунтових моделях, які показали, що складний характер роботи дрен осушувально-зволожувальних систем зумовлює значну зміну дренажного стоку і витрати з дрени у ґрунт. За результатами експериментів зроблено висновок про те, що втрата фільтраційної міцності ґрунтів у навколодренному середовищі відбувається при перевищенні діючими градієнтами допустимого (критичного) значення для даного ґрунту. З метою математичного моделювання такого роду процесів фільтрації з урахуванням взаємовпливу градієнтів потенціалу та коефіцієнта фільтрації А.Я.Бомбою розроблено підхід до розв’язування відповідних нелінійних крайових задач з післядією. У випадку осесиметричної фільтрації такі задачі розв’язувались Б.П.Сидорчуком. Моделювання фільтраційних процесів такого роду в однозв’язних криволінійних чотирикутних пористих середовищах було проведено С.С.Каштаном.
У даній роботі цей підхід узагальнено та розроблено методику розв’язування поставлених задач у випадку фільтрації у криволінійних багатозв’язних областях GZ – пористих середовищах, обмежених еквіквазіпотенціальними лініями. В основу досліджень покладено процес фільтрації у пористому пласті, який описується законом Дарсі та рівнянням нерозривності, де – швидкість фільтрації; – деяка обмежена неперервна в функція (чи тензор другого роду), що характеризує провідність середовища, його неоднорідність, анізотропію та схильність до деформації; – квазіпотенціал швидкості фільтраційного поля, який на кожній із ділянок границі області є заданим, скінченим і сталим.
У другому розділі розглядаються модельні задачі на знаходження квазігармонічних функцій (квазіпотенціалу), (функції течії), рівномірної динамічної сітки у двозв’язній криволінійній області GZ, обмеженій двома гладкими замкненими контурами (або ) – внутрішній, (або ,) – зовнішній, а також повної фільтраційної витрати при умовах:, , (див. рис.1).
[малюнок]
Рис.1. Фізична область та відповідна їй область квазікомплексного потенціалу
У випадку моделювання фільтраційних процесів без врахування фільтраційних збурень (), шляхом введення гармонічно спряженої до функції течії, виборі на внутрішньому контурі деякої точки A та здійснення умовного розрізу вздовж відповідної лінії течії (через AD та BC на рис.1 позначено відповідно верхній та нижній береги розрізу) пропонується перехід до більш загальної задачі на конформне відображення утвореної при цьому однозв’язної області на відповідну прямокутну область комплексного потенціалу з невідомим параметром (повною витратою) при відповідності чотирьох кутових точок (рис.1):
(1)
Через геометричну складність області (криволінійний чотирикутник) та тривіальність відповідної їй області комплексного потенціалу (прямокутник) замість прямої задачі на конформне відображення розглядається обернена до неї. Перехід до оберненого відобра-ження автоматично вирішує проблему побудови сітки при використанні сіткових чисельних методів, дозволяє побудувати гідродинамічну сітку руху речовини в області, визначити фільтраційну витрату, що є суттєвим, наприклад, при вивченні на даних фільтраційних полях (фонах) явищ конвекції, масо-обміну та дифузії розчинних забруднюючих речовин.
Зауважимо, що під терміном “обернення” розуміється: а) перехід від конформного (квазіконформного) відображення фізичної області на відповідну область комплексного (квазікомплексного) потенціалу до більш вигідного оберненого відображення; б) задача на відображення () є ще й оберненою задачею у традиційному розумінні (коли за додатковими відомостями про розв’язок задачі, знаходять ще й невідомі коефіцієнти, що входять у рівняння, граничні умови і т.д.), адже при постановці крайової (фізичної) задачі в області невідомими є її параметри (наприклад, повна фільтраційна витрата).
Відповідна до (1) обернена крайова задача на конформне відображення області на при невідомих витраті та розрізі, проведеному вздовж однієї з ліній течії (що є природним), записується у вигляді:
(2)
(3)
(4)
Той факт, що функції та задовольняють умовам Коші-Рімана (2), а, отже, кожна з них окремо є гармонічною в області, дозволяє звести дану задачу до розв’язуван-ня в рівнянь Лапласа, які є більш зручними при розв’язуванні на комп’ютері, при заданих нелінійних крайових умовах (3), (4) та умовах Коші-Рімана на ділянках та границі області. Останні крайові умови зручно замінити на умови ортого-нальності ліній течії та еквіпотенціальних ліній до відповідних ділянок границі фізичної області:
(5)
Провівши повну дискретизацію задачі (де диференціальні рівняння у частинних похідних другого порядку еліптичного типу апроксимовано п’ятиточковою різницевою симетричною схемою, умови ортогональності – спеціальними числово-аналітичними різницевими рівняннями, а конформний інваріант – рівнянням, що забезпечує виконання умови “конформної подібності у малому” відповідних чотирикутників областей та), на основі ідей методу блочної ітерації шляхом поетапної параметризації величини конформного інваріанта області, граничних та внутрішніх вузлів сітки побудовано алгоритм числового розв’язування задачі, результатом виконання якого є шукані конформний інваріант (повна фільтраційна витрата), координати граничних та внутрішніх вузлів побудованої в області фільтрації динамічної сітки – вузли (,), , , , ,.
Використавши знайдені за розробленим алгоритмом координати вузлів області фільтрації, швидкість фільтрації в області знаходимо за формулами:
,
. (6)
Нелінійні обернені крайові задачі на квазіконформні відображення для неоднорідних анізотропних схильних до деформацій середовищ, де замість (2) маємо (7):
, (7)–
симетричний тензор другого рангу (,), розв’язуються аналогічно, із врахуванням відхилення траєкторій руху частинок рідини від норма-лей до відповідних еквіпотенці-альних ліній залежно від анізотропних властивостей середовища та із використанням ідей поетапної параметризації характеристик середовища і процесу.
Побудовані алгоритми також модифіковано для розв’язування задач на знаходження значення одного з граничних потенціалів за відомою повною витратою. Приклади побудови гідродина-мічних сіток у цьому випадку зображені на рис.2 та рис.3, де пунктирними лініями відокремлені зони найбільших за абсолютною величиною нев’язок дискретних аналогів рівнянь (7) -– так звані "застійні" зони.
Перевірку точності наближень значень шуканих функцій за розробленими у роботі алгоритмами проведено шляхом співставлення результатів, отриманих за цим алгоритмом, із заздалегідь відомими розв’язками тестових прикладів. Комп’ютерну збіжність та стійкість розробленого алго-ритму апробовано шляхом проведення багаточисельних числових розрахунків гідроди-намічних сіток у двозв’язних областях при різних значеннях параметрів розбиття відповідних областей комплексного потенціалу. Результати обчислень подано у вигляді табличних даних та гідродинамічних сіток руху.
[малюнок]
Рис. 2. Свердловина в ізотопному деформівному Рис. 3. Свердловина у криволінійному
трикутному пласті із заокругленими кутами анізотропному деформівному пласті
У третьому розділі розглядаються задачі моделювання збурень фільтраційного фону, зумовлених наявністю додаткового внутрішнього контуру-перехоплювача (рис.4-6) – задачі у тризв’язних областях фільтрації. Особливістю розв’язання таких задач методами теорії функцій комплексної змінної є те, що у цих випадках область комплексного (квазікомплексного) потенціалу будується неоднозначно і, одночасно із побудовою алгоритму чисельного розв’язування конкретної нелінійної оберненої задачі, виникає проблема вибору відповідної конфігурації області з усіх можливих 23-х варіантів (всі можливі випадки для та зображені на рис.4 та рис.5 відповідно). Дана проблема повністю вирішена за допомогою спеціально розробленого евристичного алгоритму. На основі аналізу та систематизації підходів до розв’язання подібних задач у двозв’язних областях запропоновано уніфіковану процедуру дискретизації обернених крайових задач на конформні та квазіконформні відображення з керуючим потенціалом у випадку тризв’язної модельної області, обмеженої еквіпотенціальними лініями, що враховує особливості розрахункових схем вздовж ліній роздвоєння потоків та в околах точок призупинки (звороту та розходження) течії, які є
[малюнок]
Рис.4. Всі можливі випадки для
[малюнок]
Рис.5. Всі можливі випадки для
визначальними для знаходження застійних зон у області фільтрації. Побудовано нові ефективні алгоритми розв’язування відповідних крайових задач на конформні відображення для ключових та проміжних задач, які додатково були модифіковані для розв’язування подібних нелінійних задач у неоднорідних та анізотропних середовищах.
У четвертому розділі наведені результати комп’ютерного моделювання фільтраційних процесів у грунтах без та з врахуванням суфозійних явищ, а також вказані особливості програмної реалізації числових алгоритмів, розроблених у попередніх розділах.
Приклад побудованої у тризв’язній області фільтрації розрахункової динамічної сітки та відповідної області комплексного потенціалу зображено на рис.6. Числові характеристики розв’яз-
[малюнок]
Рис.6. Тризв’язний пласт та відповідна йому область квазікомплексного потенціалу
Табл.1. Результати розрахунків для різних значень керуючого потенціалу |
n1 | n2 | m1 | m2 | m3
0.15 | 8 | 42 | 283 | 2 | 118 | 0.004 | 2.205 | 5.314 | 0.523
0.20 | 10 | 40 | 268 | 2 | 101 | 0.012 | 2.018 | 5.358 | 0.311
0.30 | 15 | 35 | 272 | 4 | 83 | 0.081 | 1.656 | 5.431 | 0.350
0.40 | 20 | 30 | 273 | 10 | 66 | 0.200 | 1.327 | 5.469 | 0.395
0.50 | 25 | 25 | 274 | 17 | 51 | 0.349 | 1.025 | 5.480 | 0.414
0.60 | 30 | 20 | 273 | 26 | 38 | 0.527 | 0.750 | 5.464 | 0.407
0.70 | 35 | 15 | 271 | 37 | 25 | 0.746 | 0.503 | 5.419 | 0.266
0.80 | 40 | 10 | 267 | 50 | 14 | 1.006 | 0.286 | 5.338 | 0.167
0.90 | 45 | 5 | 260 | 67 | 5 | 1.345 | 0.109 | 5.197 | 0.240
0.95 | 47 | 3 | 251 | 86 | 3 | 1.733 | 0.054 | 5.073 | 0.462
ку подібної задачі з горизонтальним розміщенням еліптичного резервуару у пласті приведені у табл.1, де, та – величини перетоків, та відповідно (розрахунки проводилися при різних значеннях параметрів розбиття n1, n2, m1, m2, m3 та значенні керуючого потенціалу).
У розділі також розглянуто дві моделі взаємозв’язку градієнтів потенціалу і коефіцієнта фільтрації у випадку двозв’язної області фільтрації:
(8)
(9)
де – параметр, що характеризує ступінь впливу градієнтів потенціалу на коефіцієнт фільтрації; коефіцієнт фільтрації недеформованого сере-дови-ща; – величина діючого гра--ді-єн-ту потенціалу;, , , критичні його значення (затримки, вимиву, насичення тощо). На основі моделі (8), зокрема, проведені числові розрахунки параметрів процесу фільтрації та дефор-мівного середовища для системи “свердлови-на в еліптичному пласті” (, , , , , ,; див.рис.7 та рис.8) за умов суфозійно-фільтраційного взаємовпли-
[малюнок]
Рис. 8. Розподіл градієнта напору та коефіцієнта фільтрації вздовж розрізу в еліптичному деформівному пласті
ву. У випадку неврахування взаємовпливу градієнта напору та коефіцієнта фільтрації () отримано повну витрату, його ж врахування за вище вказаним законом викликало збільшення розрахункової витрати до. На рис.8 відповідно пунктирними, точковими та жирними лініями зображені залежності, () на початкових (,) ітераціях і на стадії стабілізації процесу (,).
[малюнок] [малюнок]
Рис. 9. Три свердловини у пласті із непроникною зовнішньою стінкою
Потрібно також підкреслити переваги розроблених у роботі методів і алгоритмів при розв’язуванні більш широких класів задач для областей, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, зокрема, коли зовнішній контур фільтраційної області є непроникним. Останні є важливими при моделюванні фільтраційних процесів у нафтогазових пластах, в яких для продовження терміну експлуатації штучно створюються додаткові впливи. В якості прикладу, на рис.9 схематично зображені область фільтрації, траєкторії руху рідини та один з варіантів побудови області комплексного потенціалу для випадку формування течії, породженої трьома внутрішніми лініями рівного потенціалу – свердловинами (нагнітальною, експлуатаційною та керуючою), у пласті із непроникною зовнішньою стінкою.
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ
У дисертаційній роботі вирішено важливу науково-технічну задачу розробки нових ефективних алгоритмів та програмних комплексів для розв’язування нелінійних обернених крайових задач на конформні та квазіконформні відображення – засобів математичного моделювання і дослідження процесів фільтрації у деформівних пористих пластах складної геометрії, обмежених еквіпотенціальними лініями, за умов післядії, а також керування.
Основні результати роботи полягають у наступному:
1. Методику математичного моделювання фільтраційних деформацій ґрунту, запропоновану Бомбою А.Я. та Хлапуком М.М., перенесено на випадки областей фільтрації складнішої геометрії (багатозв’язні криволінійні області).
2. Вирішено проблему врахування роздвоєння лінії течії при переході від багатозв’язної області фільтрації до однозв’язної при математичному моделюванні фільтраційних процесів у пористих пластах.
3. Розроблено нові ефективні числові алгоритми розв'язування нелінійних обернених крайових задач на конформні та квазіконформні відображення для двозв’язних областей на основі відомого методу почергової параметризації характеристик процесу та середовища при моделюванні суфозійних явищ у ґрунтах.
4. Вперше повністю вирішено проблему вибору форми області комплексного потенціалу з множини усіх можливих у випадку тризв’язної модельної області фільтрації та розроблений відповідний евристичний алгоритм вибору.
5. Модифіковано розроблені числові алгоритми для розв'язування нелінійних обернених крайових задач на конформні та квазіконформні відображення у тризв’язних областях фільтрації.
6. Отримано числові розв’язки задач із врахуванням фільтраційної деформації середовища та взаємовпливу градієнту квазіпотенціалу і фільтраційних характеристик середовища, встановлено зони збурення вихідного потоку змінним коефіцієнтом фільтрації.
7. Вперше на основі результатів числових розрахунків встановлено співвідношення між харак-тери-стиками середовища і процесу до та після деформації (фільтраційна витрата, гідродинаміч-на сітка, коефіцієнт фільтрації) для випадків, коли фізична область фільтрації є багатозв’язною.
8. Створено пакет програм, який дозволяє будувати динамічну сітку та поверхню швидкості, досліджувати збіжність і стійкість розроблених методів.
Отримані результати досліджень є основою для перегляду та уточнення методик, які сто-су-ють-ся фільтраційних розрахунків при проектуванні дренажних споруд та оптимізації інших гідросистем. Подані в роботі моделі та алгоритми числового наближення розв’язків нелінійних обернених крайових задач теорії фільтрації на конформні відображення можуть бути використані при побудові моделей нелінійних процесів фільтрації в областях із шаруватими середовищами та в областях із вільними ділянками їх границь. Отримані в роботі результати для пористих середовищ складної геометрії мають загальний характер і можуть бути використані, наприклад, при моделюванні електричних полів у провідних середовищах.
Методика і результати дослідження можуть бути рекомендовані до використання в інженерній практиці науково-дослідних та проектно-конструкторських установ та організацій, які проводять розрахунки нафтогазових пластів, проектування дренажних споруд, водних басейнів та інших гідросистем.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Бомба А.Я., Пригорницький Д.О. Нелiнiйнi модельні крайові задачі на квазіконформні відображення для тризв’язних анізотропних середовищ // Журнал обчисл. та прикл. матем.- 2004.- №2 (91).- С.19-24.
2. Бомба А.Я., Пригорницький Д.О., Скопецький В.В. Чисельне розв’язання нелінійних модельних крайових задач на квазіконформні відображення з післядією // Доповіді Національної академії наук України. Серія: математика, природознавство, технічні науки.- 2004.- №3.- С.62-68.
3. Бомба А.Я., Пригорницький Д.О. Крайові задачі на конформні відображення для тризв’язних областей з потенціалом керування // Доповіді Національної академії наук України. Серія: математика, природознавство, технічні науки.- 2004.- №4.- С.57-63.
4. Бомба А.Я., Пригорницький Д.О. Нелінійні обернені крайові задачі на квазіконформні відоб-раження у тризв’язних областях з післядією // Доповіді Національної академії наук України. Серія: математика, природознавство, технічні науки.- 2005. – №2 – С.59-64.
5. Бомба А.Я., Пригорницький Д.О., Хлапук М.М. Моделювання нелінійних фільтраційно-суфозійних процесів, що виникають в системах типу “свердловина в еліптичному пласті” // Гідромеліорація і гідротехнічне будівництво.- Збірник наукових праць. – Вип.29. – Рівне, 2005.- С.47-56.
6. Бомба А.Я., Пригорницький Д.О. Чисельне розв’язання обернених нелінійних крайових задач на квазіконформні відображення в двозв’язних деформівних середовищах // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика.- 2003.- Вип.7.- С.3-10.
7. Бомба А.Я., Пригорницький Д.О. Наближення розв’язків одного класу обернених крайових задач на конформні відображення в багатозв’язних областях з потенціалом керування // Математичні методи та фізико-механічні поля.- 2003.- 46, №4.- С.155-162.
8. Пригорницький Д.О. Модифікація алгоритму чисельного розв’язання одного класу нелінійних модельних крайових задач на квазіконформні відображення в двозв’язних деформівних середовищах // Волинський математичний вісник.- 2002.- Вип.9.- С.60-66.
9. Пригорницький Д.О. Алгоритм чисельного розв’язання одного класу нелінійних модельних крайових задач на конформні відображення для тризв’язних областей // Волинський математичний вісник. Серія прикладна математика.- 2003.- Вип.1.- С.107-117.
10. Пригорницький Д.О. Нелінійні обернення модельних крайових задач на конформні відображення для тризв’язних областей // Волинський математичний вісник. Серія прикладна математика.- 2004.- Вип.2. – С.196-211.
11. Пригорницький Д.О. Чисельне розв’язування одного класу крайових задач на конформні відображення у тризв’язних областях з потенціалом керування // Конф. мол. учених із сучасн. пробл. мех. і матем. ім. акад. Я.С. Підстригача. Львів, 24-26 травня 2004 / Тези допов.- Л., 2004.- С.131-132.
12. Бомба А.Я., Пригорницький Д.О., Присяжнюк І.М. Сингулярно збурені задачі типу “фільтрація-конвекція-дифузія” у многозв’язних областях // Тези доповідей XІ-ої Всеукраїнської наукової конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (21-23 вересня 2004р., Львів).- Львів.- 2004.- С.24.
АНОТАЦІЇ
Пригорницький Д.О. Математичне моделювання збурень фільтраційних процесів у пористих пластах. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи. Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя, Тернопіль, 2006.
У дисертаційній роботі методику математичного моделювання фільтраційних деформацій ґрунту, запропоновану Бомбою А.Я. та Хлапуком М.М., перенесено на випадки областей фільтрації складнішої геометрії (багатозв’язні криволінійні області). При цьому вирішено проблему врахування роздвоєння лінії течії при переході від багатозв’язної області фільтрації до однозв’язної. Розроблено нові ефективні числові методи та алгоритми розв'язування нелінійних обернених крайових задач на конформні та квазіконформні відображення для двозв’язних та тризв’язних областей на основі відомого методу почергової параметризації характеристик процесу та середовища при моделюванні суфозійних явищ у ґрунтах; отримано числові розв’язки задач із врахуванням фільтраційної деформації середовища при врахуванні взаємовпливу градієнту квазіпотенціалу та фільтраційних характеристик середовища, встановлено зони збурення вихідного потоку змінним коефіцієнтом фільтрації; вперше на основі результатів числових розрахунків встановлено співвідношення між характеристиками середовища і процесу до та після деформації (фільтраційна витрата, гідродинамічна сітка, коефіцієнт фільтрації, ін.) для випадків, коли фізична область фільтрації є багатозв’язною.
Ключові слова: математичне моделювання, збурення, нелінійні крайові задачі, квазі-конформні відображення, фільтраційні деформації, суфозія, кольматаж, коефіцієнт фільтрації, витрата, градієнт потенціалу, керуючий потенціал, взаємовплив, задачі з післядією.
Пригорницкий Д.А. Математическое моделирование возмущений фильтрационных процессов в пористых пластах. Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 математическое моделирование и вычислительные методы. Тернопольский государственный технический университет имени Ивана Пулюя, Тернополь, 2006.
В диссертационной работе решена важная научно-техническая задача моделирования фильтрационных процессов в пористых средах с учетом разного рода возмущений (как фильтрационных деформаций грунтов, так и возмущений, породженных введением в область дополнительных источников и включений). Для этого методика математического моделирования фильтрационных деформаций грунтов, предложенная А.Я.Бомбой и Н.Н.Хлапуком перенесена и соответствующим образом дополнена на случаи многосвязных криволинейных областей фильтрации, а также решена проблема учета раздвоения линии течения при переходе от многосвязной области фильтрации к односвязной.
На основе идеи обращения соответствующих модельных краевых задач на конформные и квазиконформные отображения в двусвязных и трехсвязных областях разработаны новые эффективные алгоритмы для численного приближения их решений. Преимуществами разработанных алгоритмов решения обратных краевых задач на конформные и квазиконформные отображения есть одновременное построение гидродинамической сетки движения, находжение поля скорости фильтрации и вычисление фильтрационных расходов, а также простота компьютерной реализации алгоритмов и возможность их применения для решения новых нелинейных краевых задач.
Для решения рассматриваемых проблем специально были разработаны новые эффективные программные продукты для аппаратной платформы x86, предназначенные для обращения нелинейных краевых задач на конформные и квазиконформные отображения.
В работе получены числовые решения задач с учетом взаимовлияния градиента квазипотенциала и фильтрационных характеристик среды, найдены зоны возмущения исходного потока переменным коэффициентом фильтрации; впервые на основе результатов числовых расчетов получены соотношения между характеристиками среды и процесса до и после деформации (фильтрационная затрата, гидродинамическая сетка, коэффициент фильтрации, др.) для случаев, когда физическая область фильтрации является многосвязной. На основе этого проведены числовые расчеты для нахождения полного фильтрационного расхода, построения гидродинамической сетки движения и зон возмущения коэффициента фильтрации в системе горизонтального дренажа при учете суффозионно-фильтрационного взаимовлияния.
На основании проведенных расчетов подтверждено, что учет изменения свойств пористой среды под действием больших градиентов потенциала в процессе фильтрации принципиально изменяет базовые положения методики оценки фильтрационных характеристик грунтов. Полученные в работе результаты исследований для пористых сред сложной геометрии имеют общий характер и могут быть использованы, например, при моделировании электрических полей в проводящих средах. Идея квазиконформного (конформного) перехода от сложной конфигурации криволинейной физической области фильтрации к соответствующей канонической области квазикомплексного потенциала может быть использована при изучении явлений конвекции, массообмена, диффузии растворенных в воде загрязняющих веществ для построения соответствующих фильтрационных полей (фонов). Методика и результаты исследования могут быть рекомендованы к использованию в инженерной практике научно-исследовательских и проектно-конструкторских учреждений и организаций, которые проводят расчет нафтогазовых пластов, проектирование дренажных сооружений, водных бассейнов и других гидросистем.
Ключевые слова: математическое моделирование, возмущения, нелинейные краевые задачи, квазиконформные отображения, фильтрационные деформации, суффозия, кольматаж, коэффициент фильтрации, фильтрационный расход, градиент потенциала, управляющий потенциал, взаимовлияние, задачи с последействием.
Prigornitsky D.A. Mathematical modeling of perturbations of filtration processes in porous environments.– Manuscript.
Thesis for a degree of candidate of technical sciences of speciality 01.05.02 Mathematical modeling and numerical methods. – Ivan Pul’uj Ternopil State Technical University, Ternopil’, 2006.
In thesis the filtration deformations in porous environments with complex geometry bounded by the equipotential lines with allowance of interferences between the characteristics of environment and process were researched. Using idea of stage-by-stage parameterization of characteristics of environment and the process, the new effective algorithms of the solution of corresponding boundary value problems on conformal and quasiconformal mappings of curvilinear quadrangles to rectangular, which describe processes of influence of gradients of quazipotential (greater than their critical values) on filtration characteristics of environment were developed. On the basis of the constructed decisions of such nonlinear problems, where the factor of a filtration and components of tensor of filtration depend both on coordinates of physical area of a filtration and required functions of a current, potential and its gradient, character of formation of the indignant zones of environment were investigated.
On the basis of the lead calculations it is established, that the account of properties of the porous environments and influence of gradients of potential on the process of a filtration essentially changes base positions of a technique of an estimation of filtration characteristics known in the literature.
Keywords: a mathematical modeling, perturbation, nonlinear boundary
