НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧНОЇ ФІЗИКИ
ІМ. М.М.БОГОЛЮБОВА
ПЕЛИХ Володимир Олександрович
УДК 530.12:531.51
ЛОКАЛЬНО–КОВАРІАНТНІ МЕТОДИ
І ПРОБЛЕМА ДОДАТНОСТІ ЕНЕРГІЇ
У ЗАГАЛЬНІЙ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ
01.04.02 – теоретична фізика
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Київ - 2006
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Iнституті прикладних проблем
механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук
Жук Олександр Іванович,
Одеський національний університет імені І.І.Мечнікова,
головний науковий співробітник кафедри теоретичної
фізики;
доктор фізико-математичних наук, професор
Коркіна Марія Петрівна,
Дніпропетровський національний університет,
професор кафедри теоретичної фізики;
доктор фізико-математичних наук, професор
Нікітін Анатолій Глібович,
Інститут математики НАН України,
завідувач відділу прикладних досліджень.
Провідна установа:
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка, фізичний факультет.
Захист відбудеться ”28”??вересня 2006 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.191.01 в Iнституті теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України за адресою: 03680, м. Київ–143, вул. Метрологічна 14-б, ауд. 322.
З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Iнституту теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України за адресою: 03680, м. Київ–143, вул. Метрологічна 14-б.
Автореферат розісланий?22 серпня?2006 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради
доктор фіз.-мат. наук Кузьмичев В.Є.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Ототожнивши у своїй загальній теорії відносності польові функції гравітаційного поля з метричними коефіцієнтами ріманового простору, Айнштайн поклав початок геометризації фізичних законів. При цьому на відміну від усіх інших фізичних теорій, що діяли в плоских просторах [EQUATION] чи [EQUATION] з притаманними їм широкими групами симетрій, геометричною основою загальної теорії відносності став чотиривимірний ріманів диференційовний многовид [EQUATION] лоренцової сигнатури, у якому, взагалі кажучи, відсутні глобальні симетрії. Проте, оскільки відповідно до айнштайнового постулату локальної вірності спеціальної теорії відносності у загальній теорії відносності математичною моделлю простору–часу в останній є диференційовний многовид, то існують локальні лоренцові симетрії в розшаруванні ортонормованих баз [EQUATION]. В той час як класичне метричне формулювання впродовж багаторічних досліджень досягло значного ступеня обґрунтованості, тетрадне формулювання потребує низки обґрунтувань. Серед них першочерговим є доведення коректності задачі Коші для локально–коваріантних зображень рівнянь Гільберта-Айнштайна, оскільки коректність такої задачі, як зазначено Гільбертом, є найбільш загальним критерієм змістовності кожної релятивістської теорії поля. До цього часу не мала також задовільного розв’язання проблема можливості коваріантної постановки задачі Коші для метричної форми рівнянь Гільберта–Айнштайна.
Причина труднощів з постановкою коваріантної задачі Коші є та ж, яка викликає неможливість побудувати істинний тензор енергії–імпульсу у загальній теорії відносності — відсутність тензора, який був би конкомітантом метричного тензора та його перших похідних. Слід очікувати, що шляхи забезпечення коваріантності постановки задачі Коші для рівнянь Гільберта-Айнштайна та розв’язання, принаймні часткового, проблеми енергії у загальній теорії відносності матимуть спільну ідейну основу. У дисертації ми доводимо, що такою основою є тісно пов’язані між собою локально–коваріантні методи: метод локальної ортонормованої бази та спінорний метод. Їх обґрунтуванню, розвитку та застосуванню в проблемі додатної визначеності гравітаційної енергії та її квазілокалізації і присвячено дисертаційну роботу.
Тісно пов’язаним з цими завданнями є завдання коректного обґрунтування можливості приєднання до рівнянь додаткових (координатних, калібрувальних) умов.
Актуальність цих завдань визначається, з одного боку, усе ширшим та ефективнішим використанням методу рухомого репера Картана до розв’язання теоретичних проблем загальної теорії відносності. З іншого боку, трактування поля нормованих тетрад як математичного образу системи відліку та близька перспектива запуску космічних апаратів для перевірки загально–релятивістcьких ефектів робить актуальним завдання розвитку методів однозначного задання систем відліку шляхом доповнення тетрадних рівнянь поля початковими та додатковими умовами. Доведення можливості приєднання таких додаткових умов в тетрадному формулюванні також є частиною необхідних обґрунтувань тетрадного методу у загальній теорії відносності. Тому важливим як з фізичної, так і з математичної точки зору є обґрунтування тетрадної інтерпретації загальної теорії відносності, яке полягає у встановленні умов, за яких існуватиме і буде однозначно визначеною система відліку Проблема коректного доозначення метричних рівнянь еволюції гравітаційного поля, яка в загальному вигляді вперше поставлена та досліджена автором (Пелых В.А. Доклады АН СССР.– 1979, 247, №3.– C. 590—593), також не є розв’язаною в усіх її аспектах; зокрема, в останнє десятиліття з’явилася необхідність досліджень проблеми доозначення з точки зору обчислювальної стійкості, що викликано широким застосуванням чисельних методів в задачах еволюції чорних дір.
Одним із найбільш відомих результатів у дослідженні проблеми гравітаційної енергії є отриманий Інфельдом висновок про рівність нулеві потоку гравітаційного випромінювання у системі координат, визначеній додатковими умовами Айнштайна–Інфельда–Гоффманна. У зв’язку з наявністю значної кількості взаємосуперечливих тлумачень такого результату (Фок В. А., Фіхтенгольц І.Г., Петрова Н. М. і Федорова С.П., Штейнград З. А. і Федорова С.П.) постає завдання вірного пояснення його причини.
Завдання конструювання фізичного простору–часу з більш первинних понять розв’язує не тільки твісторна програма Пенроуза, але й створювана Ю.С.Владіміровим бінарна геометрофізика. Актуальним завданням бінарної геометрофізики є знаходження геометричної чи фізичної реалізації несиметричних бінарних структур.
Останнім часом в зв’язку з розвитком тензорних методів доведення теореми про додатну визначеність гравітаційної енергії (ТДВГЕ) із загальної проблеми обґрунтування можливості задання калібрувальних умов для тетради виокремилась проблема обґрунтування можливості задання калібрувальних умов для просторової тріади. Найбільш відомими серед останніх та такими, які внаслідок спричинених ними далекосяжних фізичних наслідків викликають найбільше заперечень, стали умови Нестера. У роботі розв’язано проблему їх допустимості.
Паралелізовність некомпактних многовидів лоренцевої сигнатура забезпечує існування на них спінорної структури. Спінорні методи стали не лише засобом опису взаємодії гравітаційного поля і часток півцілого спіну, але й одним з основних методів опису алгебраїчних властивостей тензора кривини та гравітаційного і електромагнітного випромінювання у викривленому просторі–часі. Відкриття Віттеном спінорного методу доведення ТДВГЕ у загальній теорії відносності значно посилило інтерес до вивчення всіх аспектів поведінки спінорних полів у ріманових просторах.
Прогрес у розвитку квантової інтерферометрії дозволив в останні роки провести вимірювання зсуву квантово-механічної фази під впливом гравітаційних і інерційних сил, підтвердивши виконання принципу еквівалентності для нерелятивістських нейтронних хвиль. Передбачуваний розвиток експериментальної бази повинен забезпечити у недалекому майбутньому виявлення більш тонких ефектів взаємодії квантових часток з гравітаційним полем. Останні дослідження Обухова на основі отриманого Нікітіним точного перетворення Фолді–Войтгойзена у методі Еріксена–Колсруда доводять, що спіновий релятивістський ефект не порушує принципу еквівалентності у випадку діраківських ферміонів у прискореній системі відліку.
Необхідний для подальшого вихід за межі гіпотези локальності, застосованої у цих дослідженнях, вимагає створення методу зображення і дослідження рівнянь спінорних полів та відповідних їм три-векторних полів у довільних системах відліку на основі розгляду одиничних обертових часоподібних конгруенцій.
Одним із найвидатніших досягнень останніх років у загальній теорії відносності і в усій теоретичній фізиці стало доведення Шеном та Яу айнштайнової гіпотези про додатну визначеність енергії асимптотично плоского простору, як і негайна, стимульована складністю первісного варіанту доведення та вагомістю проблеми, поява альтернативних методів доведення: Віттена (з істотним внеском Реули, Ештекара і Ґоровіца, Нестера), Нестера, Кійовського, Дімакіса і Мюллера–Гоіссена.
Незважаючи на те, що доведення Віттена після його доповнення Нестером, Реулою, Ештекаром і Горовіцем набуло завершеної математичної форми, фізичний зміст доведення трактується до цього часу неоднозначно з огляду на вирішальну роль в доведенні допоміжного спінорного поля. За висловом Нестера і Тунга, це спінорне поле і надалі залишається фізично таємничим.
Встановлення відповідності між спінорним методом Віттена та тензорними методами було предметом досліджень Нестера, Чена, Нестера і Тунга, Дімакіса і Мюллера, Фрауендінера. Остаточний висновок, сформульований Дімакісом і Мюллером–Гоіссеном, із яким погодився автор найбільш відомого тензорного доведення Нестер, полягає у неможливості побудови коректного тензорного методу доведення ТДВГЕ, оскільки при цьому відповідні локальні орторепери можуть не існувати на підмноговидах асимптотично плоского многовиду. Проте створення саме тензорного коректного методу доведення було і — за умови перегляду висновку Дімакіса, Мюллера–Гоіссена і Нестера, — є надзвичайно актуальним завданням, розв’язання якого, з одного боку, є доведенням повноти і замкнутості класичної загальної теорії відносності, а, з іншого боку, відкриває шлях для встановлення в багатовимірних теоріях типу Калуца–Кляйна умов стійкості чи спонтанної компактифікації простору Мінковського. Ми ставимо одним із своїх основних завдань у цій роботі дати — із врахуванням критики тензорного методу Дімакісом і Мюллером–Гоіссеном,— обґрунтування тензорного методу Нестера доведення ТДВГЕ. За умови створення такого обґрунтування набирає сенсу і стає своєчасним наступне завдання — встановлення взаємозв’язків спінорного методу Віттена і тензорного методу Нестера. Обидва завдання, як виявлено нами, розв’язуються паралельно.
Метод Нестера — навіть при нехтуванні його, до публікації наших результатів, необґрунтованістю,— не охоплював систем з випромінюванням. Поширення тензорного методу на випромінюючі системи вимагають як логіка досліджень, так і проблема порівняння загальності спінорного та тензорного методів. Перешкодою для такого поширення, однак, є відсутність будь–яких результатів досліджень вузлових многовидів систем еліптичних рівнянь. Отримання умов відсутності таких многовидів є актуальним завданням теорії рівнянь з частинними похідними. Воно, проте, не може бути розв’язаним без задання трансформаційних властивостей шуканих функцій, а такі властивості можуть бути визначеними лише при розгляді фізично змістовних систем рівнянь, найбільш широким класом яких є вперше виділені нами подвійно–коваріантні системи. Їх досліджено у дисертаційній роботі.
Принцип еквівалентності виключає можливість існування густини гравітаційної енергії, проте не існує принципових перешкод для опису розподілу енергетичних характеристик гравітаційного поля на основі обчислення інтегралів по скінчених областях. Саме така концепція запропонована Пенроузом і відома під назвою концепції квазілокалізації маси. Істотний розвиток ідея квазілокальної енергії отримала в численних роботах Чена, Нестера і Тунга.
Відповідно до сказаного вище, в теорії квазілокальних величин виникає проблема зіставлення різних гамільтонових три–форм і, в першу чергу, тих, які відповідають найбільш вивченим випадкам — гамільтонової густини із спінорними змінними Сена–Віттена та густини Арновітта–Дезера–Мізнера, параметризованої спеціальною ортонормованою базою Нестера.
Розв’язання усіх цих проблем значною мірою є також подальшим обґрунтуванням спінорного і тетрадного методів у загальній теорії відносності, спінорного і тензорного методів у проблемі додатної визначеності гравітаційної енергії.
Мета і задачі дослідження. Метою роботи є обґрунтування тетрадного методу у загальній теорії відносності, тензорного (локального тріадного) методу у проблемі додатної визначеності гравітаційної енергії та розв’язання низки пов’язаних з цим окремих проблем, що включає в себе наступні завдання.
1. Обґрунтування запровадження додаткових (координатно–калібрувальних) умов і з’ясування причини висновку Інфельда про відсутність гравітаційного випромінювання;
2. Доведення можливості коваріантної неголономної постановки задачі Коші для рівнянь Гільберта-Айнштайна;
3. Розробка нових локально–коваріантних методів та зіставлення їх з відомими;
4. Створення диференціальної геометрії спінорних полів, асоційованих із неінтегровними розподілами, для опису взаємодії спінорних полів з полями інерції та виявлення її специфіки для різних полів;
5. Розробка методу дослідження вузлових многовидів подвійно–коваріантних систем еліптичних рівнянь і створення на цій основі тензорного методу доведення ТДВГЕ для не максимальних гіперповерхонь;
6. Побудова тензорного методу доведення додатної визначеності гравітаційної енергії на не максимальних гіперповерхнях;
7. Поширення гамільтонового, у спеціальній ортонормованій базі, методу Арновітта–Дезера–Мізнера стосовно проблеми квазілокалізації гравітаційної енергії на системи з випромінюванням та встановлення зв’язків локального методу квазілокалізації гравітаційної енергії зі спінорним методом чотири–коваріантної спінорної три–форми Нестера;
8. З’ясування можливості існування додатно визначеної гравіінерційної енергії на асимптотично плоских многовидах.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у рамках планових держбюджетних тем: Розробка функціональних методів дослідження некласичних диференціальних рівнянь та їх застосування до вивчення динаміки частинок і суцільного середовища у зовнішніх полях (номер державної реєстрації 01.90.0051927); Розвиток теорії гіллястих та інтеґральних ланцюгових дробів, їх застосування до розв’язання нелінійних операторних рівнянь (номер державної реєстрації 0193У033340); Розробка методів наближення функцій багатьох змінних гіллястими ланцюговими дробами та їх застосування до дослідження рівнянь релятивістської фізики (номер державної реєстрації 0197U008258), а також за темою Розробка методів релятивістської динаміки прямо взаємодіючих частинок та застосування у класичній, квантовій і статистичній механіках та астрономії[EQUATION]
Об’єкт дослідження — локально–коваріантні методи, фізичні поля і проблеми енергії у загальній теорії відносності.
Предмет дослідження — тетрадний і спінорний метод, спінорні поля у загальній теорії відносності, проблема додатної визначеності енергії асимптотично плоского простору та її квазілокалізації за Пенроузом.
Методи дослідження. Для розв’язання поставлених завдань ми використовуємо та розвиваємо методи теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, диференціальної геометрії в застосуванні до спінорних полів, гамільтонів метод.
Наукова новизна отриманих результатів. Результати роботи є новими і полягають у наступному:
1. Запропоновано коректне обґрунтування для доповнення рівнянь Гільберта-Айнштайна координатно–калібрувальними
умовами. На його основі розв’язано питання про можливість використання низки додаткових умов, запропонованих раніше іншими авторами.
2. Запропоновано відсутній до цього загальний підхід до побудови спеціальних формулювань теорії тяжіння, який охоплює як [EQUATION] і [EQUATION], так і — у [EQUATION]–вимірному просторі — [EQUATION]–розщеплення. Отримано рівняння поля та згорнуті тотожності Б’янкі при таких розщепленнях у термінах тензорів Схоутена неінтегровних розподілів та тензорів першого порядку.
3. Доведено, що в’язі знаходяться в інволюції за Картаном у локально–коваріантному підході у неаналітичному випадку.
4. Проведено аналіз досліджень Стешела, д’Інверно і Смаллвуда, Феррарезе і доведено, що вони містять принципові помилки, які не дозволяють вважати проблему загально–коваріантної постановки задачі Коші розв’язаною. Запропоновано її повне (в класі аналітичних функцій) розв’язання шляхом постановки задачі Коші локально [EQUATION]–коваріантним чином. Доведено існування та єдиність (в обох її розуміннях) аналітичного розв’язку задачі Коші для рівнянь Гільберта-Айнштайна з даними Коші [EQUATION], визначеними у розподілі [EQUATION], обмеженому на гіперповерхню. Тим самим обґрунтовано можливість трактування тетрад як польових змінних та обґрунтовано метод однозначного задання системи відліку на основі постановки задачі Коші для рівнянь Гільберта-Айнштайна у локальному ортонормованому репері.
5. З’ясовано, що причиною отримання Інфельдом відомого висновку про рівність нулеві потоку гравітаційного випромінювання від системи мас, зосередженої у просторово-обмеженій області, є неможливість запровадження додаткових умов Айнштайна—Інфельда—Гоффманна допустимими перетвореннями координат. Спростовано заперечення результату Інфельда іншими авторами.
6. Отримано інваріанти групи [EQUATION], які узагальнюють класичне ангармонійне відношення, на їх основі збудовано багатоточкову метрику та доведено, що вона є структурою рангу [EQUATION] у бінарній геометрофізиці Владімірова.
7. Розроблено диференціальну геометрію спінорних полів, асоційованих із неінтегровними гіперрозподілами, яка узагальнює теорію Соммерса–Сена просторових спінорів. Отримано зображення рівнянь Вейля, Дірака, Максвелла та Раріта–Швінгера у термінах перетинів модулів спінорних полів, визначених у просторах, ізоморфних до оснащення та гіперрозподілу. Ці рівняння визначають еволюцію відповідних спінорних полів в залежності від характеристик системи відліку, які формують ефективні джерела полів.
8. Отримані в роботі квадровані рівняння вейлівського і діраківського поля в термінах диференціальних форм, визначених у розподілах [EQUATION] і [EQUATION], тобто, у довільній системі відліку, створюють повну основу для опису ефектів взаємодії спінорних полів з полями інерції .
9. Встановлено, що на поширення комплексного нульового три–векторного нейтринного поля впливають тензор швидкостей деформацій системи відліку і тензор швидкостей обертань; на відміну від електромагнітного поля, взаємодія квадрованого нейтринного поля з силами інерції, породженими обертанням системи відліку, носить тензорний характер. На поширення комплексного нульового три–векторного поля Дірака, на відміну від поля Вейля, впливають усі динамічні характеристики системи відліку, в тому числі її прискорення. Взаємодія три–векторного поля Дірака з силами інерції, породженими обертанням системи відліку, також носить тензорний характер.
10. Створено метод дослідження вузлових многовидів подвійно–коваріантних (коваріантних, локально [EQUATION]–коваріантних) систем рівнянь еліптичного типу.
11. Доведено відсутність вузлових многовидів рівняння Сена–Віттена на максимальних гіперповерхнях при виконанні умови енергодомінантності та асимптотичних умов для спінорного поля і на цій основі обґрунтовано тензорний метод доведення ТДВГЕ. Тим самим усунуто підстави для сумнівів відносно повноти та замкнутості класичної загальної теорії відносності, оскільки спростовано загальновизнане твердження Дімакіса, Мюллера-Гоіссена і Нестера про неможливість існування коректного тензорного методу доведення ТДВГЕ у загальній теорії відносності.
12. Доведено, що при виконанні змістовних фізичних вимог додаткові умови Нестера є калібрувальними скрізь на асимптотично плоскому многовиді. До цього Нестер довів калібрувальність своїх умов лише у лінійному наближенні та асимптотично.
13. Встановлено умови відсутності вузлових многовидів рівняння Сена–Віттена на немаксимальних асимптотично плоских за Шоке–Брюа чи Реулою гіперповерхнях та доведено існування в усіх точках широкого класу немаксимальних гіперповерхонь деякого 3-корепера, названого нами орторепером Сена–Віттена. Для його існування не є необхідним виконання гіпотези енергодомінантності.
14. Доведено геометричну природу спінорного поля Сена–Віттена.Пріоритет автора в доведенні геометричної природи поля Сена–Віттена підтверджено журналом The Physical Review шляхом публікації статті [24] та відсутністю відповіді на неї Чі, який до цього у роботі G. Y. Chee, Phys. Rev. D, 2003 68, 044006 виклав відповідний результат автора без належного цитування.
15. Створено тензорний метод доведення ТДВГЕ на широкому класі гіперповерхонь, які не є максимальними. Розв’язано питання про існування такої виділеної системи відліку, у якій вираз для АДМ–енергії гравітаційного поля є функціоналом на додатно визначеній квадратичній формі та питання про існування привілейованої (у певному розумінні) системи відліку, привілейованих функцій ходу та зсуву.
16. Розв’язано питання про існування прямого зв’язку між чотири-коваріантним квадратичним спінорним гамільтоновим
методом квазілокалізації та гамільтоновим методом Арновітта–Дезера–Мізнера квазілокалізації у спеціальній ортонормованій базі як на максимальних гіперповерхнях, так і на певному класі немаксимальних гіперповерхонь. Як наслідок, доведено одночасну додатну визначеність густин гравітаційної енергії в обох методах у випадку систем із випромінюванням та спростовано висновок Нестера і Тунга про принципову відмінність чотири–коваріантного квадратичного спінорного гамільтонового методу і гамільтонового методу Арновітта–Дезера–Мізнера у спеціальній ортонормованій базі.
17. Запропоновано альтернативне до існуючих доведення ТДВГЕ.
18. Запропоновано узагальнене рівняння Сена–Віттена, досліджено існування та єдиність його розв’язків.
18. Доведено невід’ємність функціонала гравіінерційної енергії на модулі спінорних полів, асоційованих з диференціально-геометричним розподілом.
Практичне значення отриманих результатів.
Дисертаційна робота носить теоретичний характер і розв’язує задачі загальної теорії відносності. Результати роботи і методика їх отримання можуть бути використані при подальшому розвитку цієї теорії, теорії фізичних полів у рімановому просторі, теорії рівнянь з частинними похідними, а також стати основою для підготовки експериментів із виявлення нових ефектів взаємодії спінорних та гравіінерційних полів.
Особистий внесок здобувача. Основні результати, викладені в дисертації, отримані автором самостійно. В роботах, виконаних у співавторстві, здобувачеві належить:
в [5] — участь у проведенні розрахунків та аналізі основних фізичних результатів;
в [6] — участь у проведенні розрахунків;
в [7] — участь у постановці задачі та проведенні розрахунків, формулювання висновків;
в [8] — участь у постановці задачі та проведенні розрахунків.
Апробація результатів дисертаціїї. Основні результати дисертації доповідалися на семінарах у Московському державному університеті (керівники Ю.С.Владіміров, Н.В.Міцкєвіч), Математичному інституті АН СРСР (керівник Л.І.Сєдов), семінарах Лабораторії теоретичної фізики Об’єднаного інституту ядерних досліджень (керівник Н.А.Черніков), на семінарі з нелінійного аналізу Інституту математики НАН України (керівник академік НАН України І.В.Скрипник), семінарі Інституту теоретичної фізики НАН України (керівник член-кореспондент НАН України П.І.Фомін).
Їх оприлюднено на всесоюзних конференціях Сучасні теоретичні та експериментальні проблеми теорії відносності й гравітації (Москва, 1981, 1984; Єреван, 1988) і 8-й Російській конференції Теоретичні та експериментальні проблеми гравітації
(Пущино, 1993); конференції з теорії рівнянь з частинними похідними (Свалява, 1981); симпозіумі з інтегральних і диференціальних рівнянь (Одеса, 1982); 1-й та 2-й всесоюзних робочих нарадах Релятивістська астрофізика й космологія (Київ, 1986, 1988); семінарах Гравітаційні хвилі і гравітаційна енергія(Дубна, 1987, 1988, 1989); 9-й всесоюзній геометричній конференції (Кишинів, 1988); всесоюзних симпозіумах Гравітація й електромагнетизм (Мінськ, 1989, 1991); міжнародних конференціях Загальна теорія відносності й гравітація (Стокгольм, 1986, B.Schutz’ем; Флоренція, 1995; Пуне, 1997, P.Chrusciel’ем) і Лобачевський і сучасна геометрія(Казань, 1992); конференції Фізика в Україні (Київ, 1993); конференції Багатовимірна гравітація і космологія (Ярославль, 1994); всеукраїнській конференції Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь (Дрогобич, 1987, 1994, 1997, 2001); українсько–російській гравітаційній конференції (Харків, 2000); 3-й науковій конференції Вибрані питання астрономії та астрофізики(Львів, 2002); конференції Релятивістська астрофізика, гравітація та космологія (Київ, 2002, 2003, 2004); Загальних зборах відділення математики НАН України (Київ, 2003). Робота "Towards spinor and tensor methods in the positive energy problem" відзначена Gravity Research Foundation (USA) серед 39 кращих робіт у світі з теорії гравітації у 2000 році.
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 18 статтях у наукових журналах, 6 статтях у збірниках наукових праць і у 25 тезах конференцій.
Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, шести розділів, висновків, списку використаних літературних джерел, який включає 309 найменувань. Повний обсяг дисертації становить 336 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ
У Вступі обґрунтовано актуальність теми, вказано мету й задачі дослідження, сформульовано висновки, які свідчать про наукову новизну отриманих результатів і їх практичне значення, зазначено особистий внесок здобувача в праці, виконані в співавторстві, наведено відомості стосовно зв’язку роботи з науковими програмами, планами, темами, а також її апробації та кількості публікацій. У підрозділі 0.2 вступу наведено необхідний для подальшого огляд результатів (у тім числі автора) із обґрунтування координатних умов та їх ролі у вивченні задачі Коші для рівнянь Гільберта-Айнштайна. У зв’язку із виявленою нами відсутністю належного обґрунтування для запровадження загальних координатних умов (у тому числі і на базі теореми Рімана) ми запроваджуємо тут коректне означення координатно–калібрувальних умов у локально–коваріантному формулюванні загальної теорії відносності, на основі якого ведуться дослідження в наступних розділах.
Означення 0.1. Множину [EQUATION] рівнянь для компонент ортонормованої векторної бази [EQUATION] (тетрад)
[EQUATION] (1)
які не є коваріантними відносно локальних лоренцових перетворень та довільних перетворень координатної бази, не є несумісними з рівняннями Гільберта-Айнштайна та не є їх наслідком, назвемо додатковими умовами.
Означення 0.2 Назвемо додаткові умови (1) координатно–калібрувальними в деякій області [EQUATION], якщо в цій області існує розв’язок [EQUATION] системи рівнянь
[EQUATION] (2)
з довільними коефіцієнтами [EQUATION] класу [EQUATION], кусково — [EQUATION], який належить до класу [EQUATION], кусково — [EQUATION].
Наш розгляд проблеми усунення координатної неповноти в релятивістській теорії гравітації ми ведемо на основі тетрадного формулювання, яке забезпечило глибше розуміння самої теорії, дозволило дало коректний та повний опис поняття системи відліку, принесло нові результати в проблемі гравітаційної енергії і якого вимагає описання взаємодії гравітаційного поля з полями півцілого спіну.
У пункті 0.2.3 ми доводимо, що додаткова умова мінімальної деформації зсуву Смарра і Йорка є координатною та отримуємо більш загальні, ніж у авторів, необхідні умови координатності умови Карфори і Цоітіса.
У підрозділі 0.2.4 ми вказуємо, що вибір додаткових умов координатними не розв’язує усіх питань, які стосуються їх вибору, а у пункті 0.2.5 доводимо, що нестійкість чисельних обчислень при використанні додаткових умов Бреді, Крейтона і Торна є наслідком не [EQUATION]–гіперболічності доповнених цими умовами еволюційних рівнянь.
У Розділі 1 на основі методів неголономної диференціальної геометрії пропонується загальний підхід до побудови спеціальних формулювань теорії тяжіння, який охоплює як [EQUATION] і [EQUATION], так і – у [EQUATION]-вимірному просторі – [EQUATION]-розщеплення, виявляючи, таким чином, їх спільну геометричну основу.
Ми доповнюємо дослідження Схоутена і Ван-Кампена, Вагнера, Горбатенко, запроваджуючи та досліджуючи аналоги тензора кручення, асоційовані зі зв’язностями [EQUATION] і [EQUATION] та гомоморфізмами [EQUATION] і [EQUATION], встановлюємо їх фізичний зміст, зображуємо на цій основі рівняння Гільберта-Айнштайна в розподілах та встановлюємо, які проекції цих рівнянь знаходяться в інволюції, доводячи в неаналітичному випадку аналог теореми Картана. Остання обставина важлива з огляду на те, що виділення в’язей, які визначені на многовиді, належать до неінтегровних розподілів та знаходяться в інволюції, є складовою частиною розв’язання задачі опису обертових конфігурацій — як пило–, так і газоподібних та рідинних.
У підрозділі 1.2 запроваджено тензори [EQUATION], які є найближчим відповідником тензора кручення для тих випадків, коли відповідні паралельні перенесення не визначені.
У підрозділі 1.3 запроваджені тензори застосовано до зображення рівнянь Гільберта-Айнштайна в термінах тензорів, визначених в розподілі [EQUATION], з фундаментальним тензором [EQUATION] сигнатури [EQUATION], і дуальному розподілі [EQUATION], що містить часоподібні напрямки, з фундаментальним тензором [EQUATION] сигнатури [EQUATION].
Отримано проекції рівнянь Гільберта-Айнштайна і згорнуті тотожності Б’янкі в розподілі [EQUATION] і оснащенні [EQUATION].
Значення отриманого тут зображення рівнянь Гільберта- Айнштайна полягає у відкритті можливостей побудови зображень рівнянь фізичних полів у ріманових просторах довільного числа вимірів у термінах тензорів, визначених у розподілах довільної вимірності.
Встановлено, що фізичний зміст тензорів [EQUATION] і [EQUATION] полягає у тому, що вони визначають [EQUATION]–тензор кручення.
Точне формулювання постулату локальної причинності вимагає постановки задачі Коші, а її коректність є найбільш загальним критерієм змістовності кожної польової теорії. У метричному формулюванні загальної теорії відносності для даних Коші для рівнянь Гільберта-Айнштайна виконується теорема Е. Картана про інволюцію, яка є основою застосування у чисельних методах побудови розв’язків рівнянь Гільберта-Айнштайна т.зв. схем вільної еволюції. У зв’язку із розпочатим впровадженням чисельних методів у локально–коваріантних формулюваннях загальної теорії відносності набуло актуальності завдання доведення в локально–коваріантних підходах теорем про інволюцію. За припущення про аналітичність метричного тензора доведено відповідну теорему 1.2, частковими випадками якої при [EQUATION],[EQUATION]m=3[EQUATION]n=4[EQUATION]m=2[EQUATION]
Фізична змістовність з точки зору принципу локальної причинності вимагає розглядати польові змінні як функції класу не [EQUATION], а, принаймні, [EQUATION]. Зумовлена цим необхідність відповідного узагальнення теореми Картана реалізована в наступній теоремі.
Теорема 1.3. Нехай виконуються умови 1,2,4 теореми 1.2 і умови
3’) [EQUATION]
5) система відліку є геодезійною.
Тоді і в деякій області [EQUATION]
У другому розділі ми розв’язуємо питання про можливість коректної коваріантної постановки задачі Коші у загальній теорії відносності.
Обґрунтування можливості коваріантної постановки задачі Коші полягає у доведенні існування та єдиності її аналітичного розв’язку.
Виходячи з того, що у загальному випадку неголономної конґруенції шарування, природним чином пов’язане з конґруенцією, відсутнє, ми вимагаємо локальної коректності задачі Коші з початковими даними, які задовольняють рівняння в’язей, проте довільні в усьому іншому, на довільній гіперповерхні [EQUATION] класу [EQUATION], трансверсальній відносно конґруенції [EQUATION]. За дані Коші, які необхідно задавати на [EQUATION], обираємо компоненти [EQUATION] тріади [EQUATION] та тензор швидкостей деформації конґруенції.
Теорема 2.1. Нехай у відкритій області [EQUATION] ріманового простору задані просторовоподібна гіперповерхня [EQUATION] класу [EQUATION], яка не має особливих точок і часоподібна одинична конґруенція [EQUATION]. Нехай аналітичні початкові дані у просторовоподібному розподілі [EQUATION] задовольняють на гіперповерхні [EQUATION] рівняння
[EQUATION], [EQUATION] і визначені дані Коші. Тоді в околі [EQUATION] існує і є фізично єдиним аналітичний розв’язок [EQUATION] еволюційної частини рівнянь Гільберта–Айнштайна.
Складовою частиною доведення є доведення того, що використані нами умови Дірака–Швінгера, доповнені просторовими додатковими умовами, є координатно–калібрувальними.
У розділі 3 ми аналізуємо один із найбільш відомих результатів у дослідженні проблеми гравітаційної енергії та гравітаційних хвиль — отриманий Інфельдом висновок про рівність нулеві потоку гравітаційного випромінювання від системи мас, зосередженої у просторово-обмеженій області. Цей результат неодноразово аналізувався з метою його спростування, зокрема, Фоком, Фіхтенгольцом, Петровою та Федоровою, Штейнградом. Автори вказували на конкретні помилки в доведенні, проте помилковим кожен автор оголошував інше місце у ньому.
Нова хвиля зацікавлення до проблеми гравітаційних хвиль і, відповідно, до результату Інфельда та Плебаньського була викликана спостереженнями Тейлором, Фаулером і Мак-Каллохом зміни періоду обертання бінарного пульсара і поясненням Тейлором і Вайсбергом цього ефекту як наслідку втрати енергії у відповідності до квадрупольної формули Айнштайна у 1993 році за частину цих результатів Галсу і Тейлору присуджено Нобелівську премію.
Можливість альтернативного опису гравітаційного випромінювання відкрив розроблений Айнштайном, Інфельдом і Гоффманном наближений метод опису руху сферичних часток. Проте отримані на його основі висновки щодо гравітаційного випромінювання у роботах Гу, Переса, Кармелі, Інфельда і Плебаньського, Інфельда і Міхальської–Траутман були всеможливими: випромінювання відсутнє, його енергія є додатною, його енергія є від’ємною. У випадку додатної енергії випромінювання отримані числові коефіцієнти відрізнялись від коефіцієнта в формулі Айнштайна .
Такі результати ставили під сумнів саму коректність методу, а не лише коректність його використання.
У підрозділі 3.2 ми аналізуємо публікації, у яких нульове значення потоку оцінено як помилкове, та доводимо, що така оцінка не є обґрунтованою. У підрозділі 3.3, не заперечуючи самого результату Інфельда, ми доводимо, що цей недостатньо змістовний результат обумовлений некоректним підходом Інфельда до запровадження координатних умов, запропонованих вперше Айнштайном, Інфельдом і Гоффманном.
У розділі 4 викладено отримані спільно Скоробогатьком, Владіміровим та автором результати розвитку сформульованих Скоробогатьком ідей багатоточкової геометрії на випадок проективного варіанту побудови [EQUATION]–точкової геометрії та доведення того, що багатоточкова проективна геометрія є бінарною структурою рангу [EQUATION].
У цьому розділі розглядається підхід, у якому багатоточкова геометрія будується на основі вимоги інваріантності метрики відносно тих дробово–лінійних перетворень, які продовжуються в проективне замикання [EQUATION] простору [EQUATION] і вичерпують групу [EQUATION] всіх біголоморфних автоморфізмів його проективного замикання.
Збудовано функції [EQUATION] і [EQUATION] у вигляді відношень добутків визначників [EQUATION]–го порядків, які є інваріантами групи [EQUATION], зіставленими [EQUATION] довільним точкам [EQUATION] у просторі [EQUATION], і які узагальнюють класичне ангармонійне відношення.
Ми покладаємо вказані інваріанти в основу побудови [EQUATION]–точкової метрики у просторі [EQUATION] — багатоточкового узагальнення метрики Лобачевського.
У підрозділі 4.2.1 викладено основні ідеї та результати бінарної геометрофізики. Вона дозволила створити низку моделей взаємодії, зокрема, лептонів і кварків. Єдиним класом структур, для якого не було знайдено жодної геометричної чи фізичної реалізації, до цього часу залишався клас несиметричних бінарних структур рангів [EQUATION]. Відповідно до цього виникла необхідність доведення чи спростування змістовності такого класу структур. У підрозділі 4.2.1 це завдання розв’язується шляхом доведення того, що багатоточкова проективна геометрія є бінарною структурою рангу [EQUATION].
Перспективи подальшого взаємоузгодженого розвитку багатоточкової геометрії та бінарної геометрофізики окреслено у підрозділі 4.3.
Метою розділу 5 є побудова теорії взаємодії спінорних та гравітаційно–інерційних полів. Першою умовою її досягнення є створення методу пов’язання [EQUATION]–спінорних полів у [EQUATION] з внутрішньою геометрією диференціально-геометричних розподілів на [EQUATION].
Для цього у підрозділі 5.1 у модулі [EQUATION] спінорних полів запроваджуємо додатно визначену ермітову білінійну форму
[EQUATION]
Спінор [EQUATION] встановлює ізоморфізм між модулем [EQUATION] і модулем [EQUATION]: [EQUATION]. Структурною групою [EQUATION] є [EQUATION] і елементами модуля [EQUATION] із заданою симплектичною формою і додатно визначеною ермітовою формою є [EQUATION]–спінори.
Вибір ермітової форми внутрішнім чином полягає у ототожненні [EQUATION], де [EQUATION] є одиничним перетином одновимірного часоподібного розподілу [EQUATION].
Спінор [EQUATION] ізоморфно відображає модуль спінорних полів
[EQUATION] у модуль [EQUATION] Запроваджений в такий спосіб [EQUATION]-модуль [EQUATION] є модулем [EQUATION]–спін-тензорних полів рангу [EQUATION], асоційованим із гіперрозподілом [EQUATION]. Обмеження модуля [EQUATION] за базою до гіперповерхні [EQUATION] будемо також називати модулем [EQUATION]–спін-тензорних полів на неголономній гіперповерхні [EQUATION] .
У випадку інволютивного розподілу [EQUATION] отримуємо у вигляді часткового випадку просторові спінори Соммерса-Сена на цій гіперповерхні.
Властивості спінорних полів, асоційованих із гіперрозподілом, встановлено у підрозділі 5.3.
Коваріантні похідні від спінорних полів, асоційованих із гіперрозподілом, запроваджено у підрозділі 5.4.
Означення 5.1. Просторовою коваріантною похідною спінорних полів, асоційованих із розподілом [EQUATION], є відображення
[EQUATION] (3)
визначене умовою
[EQUATION] (4)
де [EQUATION] є оператором спінорної коваріантної похідної на [EQUATION] узгодженої з метричною зв’язністю, [EQUATION] і [EQUATION] — один-форми, що набирають значень у модулі [EQUATION].
Встановлено, що означене так відображення має усі необхідні властивості коваріантної похідної, доведено її метричність і симетричність, а у підрозділі 5.5 — єдиність.
Розроблені Соммерсом, Сеном і застосовані Ештекаром і Горовіцем, Реулою, Фрауендінером методи зображення і дослідження рівнянь спінорних полів збудовано на основі розгляду одиничних необертових часоподібних конгруенцій — необертових систем відліку, що не дозволяє вивчати всю багатоманітність ефектів взаємодії спінорних полів із силами інерції. При цьому такі системи та відповідні поля інерційних сил є надзвичайно цікавим об’єктом, оскільки саме обертові системи відліку у загальній теорії відносності демонструють крайню ступінь відходу від стандартних уявлень нерелятивістської теорії.
Рівняння основних спінорних полів у довільних системах відліку ми отримуємо у підрозділі 5.6.
Редукуючи у рівнянні Вейля оператор [EQUATION]–коваріантної спінорної похідної, отримуємо зображення рівняння Вейля у термінах перетину модуля спінорних полів, визначеного у просторах, ізоморфних до одновимірного розподілу та його неінтегровного оснащення
[EQUATION] (5)
де [EQUATION] — спінор кутової швидкості.
За умови [EQUATION] отримуємо рівняння
[EQUATION] (6)
яке узагальнює рівняння нульових мод Сена–Віттена на випадок неінтегровного розподілу [EQUATION] — обертової системи відліку).
Узагальнені [EQUATION] зображення рівняння Вейля (5) та отриманих також у цьому підрозділі рівнянь Раріта–Швінгера і Максвелла визначають еволюцію відповідних спінорних полів в залежності від характеристик системи відліку, які формують ефективні джерела полів.
Важливою властивістю полів Вейля та Раріта–Швінгера, виявленою Яцківим та Сеном, є можливість інтерпретації часткового розв’язку рівнянь Раріта–Швінгера в необертових системах відліку як нейтринної нульової моди. У теоремі 5.3 доводимо, що ця властивість існує у всіх системах відліку.
У підрозділі 5.7 ми отримуємо та аналізуємо рівняння еволюції квадрованих полів Вейля і Дірака у розподілі [EQUATION].
Відомо, що навіть подання чотири-коваріантних рівнянь Максвелла у рімановому просторі як еволюційних для три-векторних полів становило проблему, що потребувала для свого розв’язання розвитку теорії систем відліку. Тим складнішою є проблема опису еволюції в термінах три-векторних полів спінорних полів півцілого спіну, рівняння яких від самого початку були сформульовані через об’єкти [EQUATION]– чи [EQUATION]–спінори), істотним чином із-за своєї внутрішньої структури пов’язані з чотиривимірністю многовиду. У цьому підрозділі на основі розвинутої у підрозділах 5.1—5.6 диференціальної геометрії спінорних полів, асоційованих із неголономними розподілами, ми отримуємо рівняння еволюції три-векторних просторових полів, що відповідають вейлівським та діраківським спінорним полям при повному врахуванні динамічних характеристик системи відліку. Тим самим створено повну основу для опису ефектів взаємодії спінорних полів з полями інерції.
Для еволюції нульового векторного поля Вейля [EQUATION] отримуємо у термінах диференціальних форм, визначених у розподілах [EQUATION] і [EQUATION], тобто, у довільній системі відліку, наступне рівняння:
[EQUATION] (7)
де [EQUATION] — один-форма з компонентами [EQUATION], [EQUATION] — 1– та 2–форми, що відповідають векторам [EQUATION] і тензорам [EQUATION] та [EQUATION], та базисні 1–форми [EQUATION] у розподілі [EQUATION], [EQUATION] —узагальнений зовнішній диференціал [EQUATION] у розподілі [EQUATION]. Через [EQUATION] позначено векторнозначну форму із компонентами в деякій базі [EQUATION].
Аналіз квадрованого рівняння нейтринного поля (7) дозволяє сформулювати наступні висновки:
1) у довільній системі відліку нейтринному полю відповідає комплексний вектор з рівним нулеві скалярним квадратом (далі будемо такі вектори називати нульовими);
2) подібно, як і нульове вільне електромагнітне поле, поле [EQUATION] поширюється у напрямі, що визначається вектором, дуальним до форми [EQUATION];
3) на поширення цього поля впливають тензор швидкостей деформацій системи відліку і тензор швидкостей обертань;
4) на відміну від електромагнітного поля, вплив обертання системи відліку на поширення комплексного нульового три–векторного поля не може бути вираженим лише через вектор кутової швидкості. Взаємодія квадрованого нейтринного поля з силами інерції, породженими обертанням системи відліку, носить тензорний характер (член [EQUATION] у формулі (7)).
Подібним чином отримуємо зображення рівняння Дірака у термінах спінорних полів, асоційованих з розподілом [EQUATION].
[EQUATION] (8)
[EQUATION] (9)
Згідно з рівняннями (8)—(9) еволюція спінорних полів Дірака визначається зв’язністю у розподілі [EQUATION] та динамічними характеристиками системи відліку і, на відміну від еволюції спінорного поля Вейля, залежить не лише від деформації та обертання системи відліку, але і від її прискорення.
Аналогічно до рівнянь Максвелла та рівняння Вейля, також і рівняння Дірака у випадку довільної системи відліку визначають еволюцію деяких просторових нульових векторних полів.
Квадровані рівняння Дірака у безкоординатній формі і у термінах величин, визначених у розподілі [EQUATION] та його оснащенні [EQUATION] і, таким чином, у довільній системі відліку, отримуємо у вигляді
[EQUATION]
[EQUATION] (10)
[EQUATION]
[EQUATION] (11)
де дійсні одиничні вектори [EQUATION] та [EQUATION] визначено співвідношеннями
[EQUATION]
На основі їх аналізу формулюємо наступні висновки:
1) у довільній системі відліку діраківському полю відповідають два комплексних нульових вектори [EQUATION] ;
2) поля [EQUATION] і [EQUATION] поширюються у напрямах, що визначаються векторами, дуальним до форм [EQUATION] і [EQUATION] відповідно;
3) на поширення цих полів впливають тензор швидкостей деформацій системи відліку і тензор швидкостей обертань, а також — на відміну від нейтринного поля — прискорення системи відліку.
4) взаємодія квадрованого діраківського поля з силами інерції, породженими обертанням системи відліку, як і поля нейтринного, носить тензорний характер (члени [EQUATION] і [EQUATION] у формулах (10)—(11)).
Розділ 6 містить обґрунтування тензорного методу Нестера, тензорну інтерпретацію спінорного методу Віттена і
