МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ТАВРІЙСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМ. В.І. ВЕРНАДСЬКОГО

Іздєбська Яна Вікторівна

УДК 535.2

ФОРМУВАННЯ КОМБІНОВАНИХ ОПТИЧНИХ ВИХОРІВ

У СІМЕЙСТВІ ПОЗАОСЬОВИХ СВІТЛОВИХ ПУЧКІВ

01.04.05 – оптика, лазерна фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Сімферополь – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі загальної фізики Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки України, м. Сімферополь

Науковий керівник: | доктор фізико-математичних наук, професор

Воляр Олександр Володимирович,

Таврійський національний університет ім. В.І. Вернадського, фізичний факультет, зав. кафедри загальної фізики

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор

Обуховський В’ячеслав Володимирович,

Київський національний університет

ім. Тараса Шевченка, професор кафедри математики

та теоретичної радіофізики

доктор фізико-математичних наук, професор

Мохунь Ігор Іванович,

Чернівецький національний університет ім. Юрія Федьковича,

професор кафедри кореляційної оптики

Провідна установа: | Інститут фізичної оптики МОН України, м. Львів

Захист дисертації відбудеться “08” червня 2007 р. о 14 00 годині на засіданні спеціалізованої вченої Ради K52.051.02 Таврiйського національного університету ім. В.І. Вернадського за адресою: 95007, м.Сімферополь, пр. Ак. Вернадського 4.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Таврiйського національного університету ім. В.І. Вернадського за адресою: 95007, м. Сімферополь, пр. Ак. Вернадського 4.

Автореферат розісланий “28” квітня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради K 52.051.02

д. ф.-м. н. Яценко О.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження дефектів хвильового фронту акустичних і електромагнітних полів, які представлені Дж. Наєм і М. Беррі [1*], викликали широкий науковий резонанс в уявленнях про топологічну структуру хвильових полів. Метод генерації таких дефектів у світлових пучках на комп'ютерно-синтезованих голограмах, який був представлений у роботі М.С. Соскіна та ін. [2*], в остаточному підсумку дав поштовх до формування нового напрямку в оптиці, який получив назву сингулярна оптика [2*].

Сингулярна оптика, як у фундаментальному, так і в прикладному аспекті вивчає фізичні властивості сингулярних пучків, зокрема пучків, що переносять оптичні вихори. Оптичним вихором скалярного поля називається така хвильова структура, для якої в деяких точках амплітуда поля набуває нульового значення, у той час як фаза стає невизначеною. Класичним типом світлових пучків, що переносять оптичні вихори, є пучки Лаггера-Гаусса.

Унікальні властивості оптичних вихорів - захоплювати, обертати й транспортувати мікрочастинки, а також здатність кодувати інформацію, зараз використовуються в різних приладах і пристроях мікроелектроніки й генної інженерії. У свою чергу, практичне використання оптичних вихорів передбачає створення й удосконалювання пристроїв, що генерують сингулярні пучки такі як, пучки Бесселя-Гаусса, Гельмгольца-Гаусса та ін. [3*]. Крім цього, у нелінійній оптиці залишається актуальною задача створення вихрових солітонів [4*].

Одним з основних методів формування сингулярних пучків, що переносять оптичні вихори, є метод комп’ютерно-синтезованих голограм [2*]. Цей метод дозволяє формувати сингулярні пучки із наперед заданими характеристиками оптичних вихорів. Варто виділити особливий клас пучків - спіральні пучки, які були детально досліджені Е.Г.Абрамочкіним і В.Г.Волостніковим [5*]. Їхньою відмінною рисою є самовідтворення розподілу інтенсивності пучка в процесі поширення й фокусування з точністю до масштабних перетворень й повороту.

Як відомо, сингулярні пучки мають здатність переносити орбітальний кутовий момент [6*]. Однак, настільки жорстка вимога самоподібності, яка накладена на спіральні пучки, не містить у собі широкий клас сімейств позаосьових пучків, кутовий момент яких можна плавно змінювати за рахунок зсуву та повороту індивідуальних пучків у сімействі відносно один одного. Крім цього, не досліджене питання структурної стійкості спіральних пучків щодо слабких збурень, які накладаються на індивідуальні пучки сімейства.

Все вищесказане підкреслює актуальність теоретичних і експериментальних досліджень когерентних симетричних сімейств позаосьових сингулярних пучків, які за певних умов можуть утворювати як структурно стійкі, так і структурно нестійкі хвильові конструкції, які здатні переносити заданий орбітальний кутовий момент.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота була виконана в рамках науково-дослідних робіт за проектами Міністерства освіти і науки України, зареєстрованих в Укр. ІНТЕІ під реєстраційними номерами: №0103V001227 “Процеси народження, знищення й еволюції оптичних вихорів у неоднорідних анізотропних середовищах” (№222/03), №0100U001363 “Структурні перетворення й стабілізація квазимонохроматичних сингулярних пучків в оптичних волокнах і кристалах” (№249/06) проведених на кафедрі загальної фізики Таврійського національного університету iм. В.І. Вернадського.

Метою дисертаційної роботи є теоретичне й експериментальне дослідження структури поля й орбітального кутового моменту симетричного сімейства синхронізованих сингулярних пучків, осі яких лежать на поверхні гіперболоїда обертання.

Для досягнення поставленої мети необхідно було вирішити наступні задачі:

1. Розрахувати й експериментально сформувати за допомогою комп'ютерно-синтезованих голограм поле сімейства сингулярних пучків, включаючи фундаментальні гаусівські пучки, із осями, що лежать на поверхні гіперболоїда обертання, і проаналізувати його структуру при вільному поширенні та фокусуванні.

2. Розрахувати й проаналізувати орбітальний кутовий момент симетричного сімейства сингулярних пучків.

3. Теоретично й експериментально дослідити процес формування комбінованих оптичних вихорів у симетричному сімействі пучків, що виникли при дифракції хвилі на стопі діелектричних клинів. Знайти умову, при якій пучки стають самоподібними.

Об'єкт дослідження - симетричне сімейство позаосьових сингулярних пучків.

Предмет дослідження - фазові сингулярності, які формуються у сімействі позаосьових пучків.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

1) Вперше показано, що симетричне сімейство з N сингулярних пучків, кожний з яких переносить оптичний вихор з топологічним зарядом M, зв'язаних між собою умовою фазового синхронізму з орбітальним числом l, є самоподібним щодо розповсюдження й фокусування, якщо виконується умова рівності нормованого кута нахилу осей пучків і їх нормованого зсуву щодо загальної осі сімейства.

2) Вперше знайдена умова формування вихорів вищих порядків на осі сімейства сингулярних пучків. Зокрема, якщо топологічний заряд оптичного вихору, що переноситься кожним пучком в сімействі, дорівнює нулю, то на осі сімейства за рахунок багатопроменевої інтерференції формується вихор із топологічним зарядом рівним різниці кількості пучків і орбітального числа при однакових знаках орбітального числа l та кута нахилу a кожного з пучків (al)>0, або вихор із зарядом рівним орбітальному числу -l, якщо знаки орбітального числа l і кута різні (al)<0.

3) Вперше показано, що умова самоподібності сімейств сингулярних пучків розпадається на дві додаткових умови: для структурно стійких і структурно нестійких сімейств. Ці додаткові умови пов'язані з різним перебігом дислокаційних реакцій, які залежать від величин і знаків топологічного заряду, орбітального числа й кута нахилу пучків.

4) Будь-які відхилення параметрів сімейства пучків від умови cамоподібності приводять до різкої зміни характеру перебігу дислокаційних реакцій і як наслідок до деформації структури осьового вихору. Так, якщо заряд кожного пучка дорівнює нулю, а знаки орбітального числа і кута нахилу однакові (la)>0, то така зміна параметрів викликає розщеплення осьового вихору із зарядом на N позаосьових вихорів з одиничними топологічними зарядами й осьовий вихор із зарядом рівним орбітальному числу l.

5) Вперше показано, що орбітальний кутовий момент, що переноситься сімейством пучків, залежить з одного боку, від взаємної інтерференції індивідуальних пучків, а з іншого боку, від геометричних властивостей сімейства. При відносно малих значеннях кута нахилу й зсуву , коли контури індивідуальних пучків істотно перекриваються, основний внесок у кутовий момент дає взаємна інтерференція пучків. При більших значеннях зсуву та кута нахилу, коли контури пучків практично не перекриваються, кутовий момент починає змінюватися лінійно зі збільшенням цих параметрів, і обумовлений тільки геометрією сімейства.

6) Вперше теоретично й експериментально показано, що симетричне сімейство позаосьових пучків формується при дифракції хвилі на стопі діелектричних клинів. Отримано умову, що зв'язує параметри пучка й клинів, при якому сітка оптичних вихорів перетвориться в пучок, що переносить єдиний оптичний вихор з ідеальною формою серцевини. Ця умова відповідає умові самоподібності сімейства пучків. Топологічний заряд вихору дорівнює кількості клинів у стопі.

Практичне значення одержаних результатів полягає у тому, що сімейство синхронізованих позаосьових сингулярних пучків дозволяє формувати структурно стійкі оптичні вихори вищих порядків з високим орбітальним кутовим моментом. Результати цих досліджень становлять практичний інтерес для лазерних технологій, медицини й мікробіології, а саме, можуть бути застосовані для захоплення, обертання і транспортування мікрооб'єктів так званими “оптичними пінцетами”. Крім цього, формування таких сімейств відкриває великі перспективи для розвитку методів оптичної передачі й кодування інформації в мікроелектроніці й генній інженерії.

Достовірність наукових результатів визначається використанням добре перевірених експериментальних методик і теоретичного апарата сучасної фізики, а також хорошим збігом експериментальних і теоретичних результатів. Крім цього, результати досліджень щодо захоплення мікрооб’єктів знайшли застосування в інших наукових групах (зокрема, в групах Дослідницького центру фотоніки в Наньян технологічному університету (Сінгапур) і Кавендишської лабораторії в Кембриджському університету (Об'єднане Королівство).

Особистий внесок здобувача. Всі експериментальні дослідження та обробка експериментальних даних, які включені в дисертацію і викладені в роботах [1-10], виконані дисертантом самостійно. У роботах [2,3,9,10] здобувач брав участь у теоретичних розрахунках і в роботах [5,6] - у розробці комп'ютерних програм для моделювання розподілів інтенсивності сімейства позаосьових пучків. Дисертантом проводилося комп'ютерне моделювання розподілів інтенсивності сімейств, формованих на стопі діелектричних клинів [9,10]. Обговорення, аналіз та узагальнення отриманих результатів проводились разом із співавторами та науковим керівником.

Апробація результатів дисертації: основні результати дисертаційної роботи були представлені на міжнародних конференціях: 5th International conference on Correlation optics (Чернівці, 2001), 9th and 10th International conferences “Nonlinear Optics of Liquid and Photorefractive Crystals NOLPC’2002” (Алушта, 2002, 2004), NATO “Singular Optics” (Київ, 2003), 5th International Workshop “Laser and Fiber-Optical Network Modeling (LFNM)” (Алушта, 2003), 9th International conference “The International Conference on Advanced Optoelectronic and Lasers (CAOL’2003)” (Алушта, 2003), SPIE International Symposium Optical Science and Technology (Сан-Дієго, США, 2005), International Symposium “Photonics Europe” (Страсбург, Франція, 2006), 8th International conference “Laser and Fiber-Optical Networks Modeling (LFNM)” (Харків, 2006), Topical Meeting in Ecole Polytechnique de Montreal (Монреаль, Канада, 2006).

Публікації. Основні результати роботи викладені в 10 статтях у фахових наукових журналах.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку цитованої літератури. Загальний обсяг роботи становить 137 сторінок, які включають 70 рисунків та 107 бібліографічних назв.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, сформульовані мета та завдання досліджень, показані наукова новизна й практичне значення одержаних результатів, наведена інформація про їх апробацію і особистий внесок автора.

В першому розділі проаналізовано дані науково-технічної літератури, які присвячені даному напрямку досліджень. Розглянуто основні характеристики сингулярних пучків, що переносять оптичні вихори. Проаналізовано існуючі на сьогоднішній день методи формування сингулярних пучків і приклади їхнього практичного застосування.

Другий розділ присвячений теоретичним і експериментальним дослідженням поля сімейства позаосьових гаусівських пучків. Орієнтація пучків обрана таким чином, щоб їхні осі збігалися з одним із двох сімейств прямолінійних утворюючих гіперболоїда обертання. Центр кожного пучка в площині z=0 зсунутий уздовж радіуса на відстань r0 (рис. 1б), а його вісь повернута до загальної осі z сімейства на малий кут a (рис. 1а), так що , . Перетяжки всіх пучків лежать у площині z=0 і мають однакову півширину r. У площині z=0 кутова координата центра поперечного перетину n-го пучка задається як , де n-номер пучка в сімействі. Всі пучки в сімействі синхронізовані по фазі, тобто кожному пучку надана початкова фаза , (де - орбітальне число сімейства).

У системі координат, яка пов'язана з віссю симетрії гіперболоїда, хвильова функція n-го пучка має вигляд:

(1)

де , - довжина Релєя, - хвильове число. Для малих кутів нахилу пучків : . Хвильова функція усього сімейства записується у вигляді:

, (2)

де , - модифікована функція Бесселя першого роду n-го порядку, , , - відносний зсув пучка, - відносний кут, на який пучок відхилений щодо осі сімейства, - кут дифракційної розбіжності окремого пучка.

За допомогою комп’ютерного моделювання показано, що в полі сімейства з N=2, =0 формується чисто крайова дислокація (рис. 2а). Однак, при a0 крайова дислокація зникає і формується ланцюжок одиничних оптичних вихорів (рис. 2б). Зі збільшенням кута нахилу a щільність оптичних вихорів в області спостереження збільшується. При зменшенні величин зсуву r0 і кута нахилу a можна домогтися, такого стану, коли пучок містить тільки один осьовий вихор (рис. 2,в-г).

Як правило, сімейство, що складається з N позаосьових синхронізованих гаусівських пучків, формує сітку оптичних вихорів, у якій особливе місце займає осьовий вихор. При поширенні уздовж осі z і фокусуванні розподіл інтенсивності в поперечному перерізі сімейства пучків залежить від декількох параметрів. При заданому значенні кількості пучків N, орбітального числа l і знака кута a, такими параметрами є координата z, величини зсуву r0 і кута нахилу a. При варіації цих параметрів може змінюватися число й тип фазових сингулярностей поля. Прийнято вважати [7*], що стан фізичної системи є структурно стійким щодо слабкої варіації деяких параметрів, якщо число та тип критичних точок у системі при цьому не змінюється. Критичними точками сингулярних пучків з високими значеннями топологічного заряду є фазові сингулярності [8*]. Таким чином, будемо вважати, що сімейство позаосьових пучків є структурно стійким, якщо при слабкій зміні параметрів кута a і зсуву r0 не змінюється кількість оптичних вихорів і величини їх топологічних зарядів.

При заданому значенні координати z=const і зміні параметрів кута a і зсуву r0 можливі два випадки: 1) слабка зміна параметрів кута a і зсуву r0 приводить до зміни числа й типу особливих точок у сімействі; 2) характер особливих точок не змінюється. Перший випадок належить до структурно нестійких сімейств [7*]. Другий випадок характеризує структурно стійкий стан поля.

При фіксованих параметрах a=const та r0=const і змінній координаті z (розповсюдження й фокусування пучка) також можливі два випадки. У першому випадку картина розподілу інтенсивності поля не змінюється з точністю до масштабних перетворень і кутового повороту картини в цілому. Другий випадок, більш загальний, характеризується несинхронною зміною положень особливих точок в сімействі без зміни їхньої кількості й типу. Перший випадок відповідає самоподібним сімействам [5*]. Другий випадок характеризує сімейства з відсутньою самоподібністю.

Таким чином, симетричне сімейство, фазово-узгоджених пучків, можна розділити на наступні чотири типи: 1) структурно стійке самоподібне сімейство пучків; 2) структурно нестійке самоподібне сімейство; 3) структурно стійке сімейство з відсутньою самоподібністю; 4) структурно нестійке сімейство пучків з відсутньою самоподібністю.

Надалі вивчався кожний тип сімейства пучків. Виявлено, що сімейство синхронізованих позаосьових гаусівських пучків може зберігати свій розподіл інтенсивності щодо розповсюдження й фокусування з точністю до масштабних перетворень і повороту, якщо виконується умова:

або , (3)

тобто сімейство пучків є самоподібним, а умову (3) будемо називати умовою самоподібності.

З метою дослідження сімейства на структурну стійкість, вивчався стан осьового оптичного вихору при виконанні умови (3). Виявлено, що у цьому випадку топологічний заряд осьового вихору залежить від співвідношення між знаками кута a і орбітального числа l:

(4)

Наочно структурні перетворення в сімействі пучків поблизу умови (3) при z=const проілюстровані на прикладі траєкторій оптичних вихорів, побудованих у координатах {x,y,b}, де . На рис. 3а зображені траєкторії сімейства трьох пучків при N=3, l=1, (la)>0. Кожна гілка траєкторії до точки b=1, x=y=0 лежить в єдиній площині. При наближенні параметра b до одиниці всі траєкторії сходяться на осьовій траєкторії x=y=0. Відповідно до умови (4) у цій точці заряд вихору дорівнює зі знаком протилежним вихідному осьовому вихору. Слабка зміна параметра b (b>1) приводить до виникнення нових () вихорів. Тобто для даного випадку це поява нових чотирьох гілок траєкторій вихорів (рис.3а). Кожна гілка траєкторій лежить у новій площині. Заряди вихорів на кожній з цих чотирьох траєкторій дорівнюють +1. Таким чином, точка b=1, x=y=0 відповідає точці структурно нестійкого самоподібного сімейства пучків.

Зовсім інший характер траєкторій приведений на рис. 3б. Він відповідає випадку N=4, l=-1, (la)<0. У комбінованому пучку поблизу осі спостерігаються чотири гілки траєкторій. Поблизу умови b=1 периферійні траєкторії починають відштовхуватися від осьової траєкторії, але не зазнають розриву. Для b>1, траєкторії спочатку наближаються до осьової гілки, а потім поступово починають віддалятися. Структурні перетворення в пучку відсутні. Сімейство пучків виявляється самоподібним за умовою b=1. При цьому, осьовій траєкторії завжди відповідає вихор, що переносить топологічний заряд, який дорівнює орбітальному числу l. Осьову траєкторію оточує N траєкторій периферійних вихорів з одиничними топологічними зарядами.

Загалом кажучи, стан із виродженими особливими точками (у приведеному вище випадку, вихор на осьовій траєкторії) вважаються структурно нестійкими [7*]. Однак, не всі типи збурень можуть привести до зняття виродження цих сингулярностей [8*]. У випадку аксіально симетричного сімейства зміна параметрів a і r0, а також координати z, не завжди приводять до розщеплення вихорів вищих порядків на одиничні. Хоча інші типи збурень можуть зняти це виродження. Тому в даній роботі використовувалася термінологія структурно стійкого стану з виродженою особливою точкою тільки у вище зазначених рамках.

Типова поведінка структурно стійких сімейств з і без властивої самоподібності ілюструється рис. 4. Експериментально такі сімейства були отримані методом комп’ютерно-синтезованих голограм. Розподіли інтенсивності на рис. 4а представляють структурно стійке сімейство з п'яти пучків, у якому не виконується умова самоподібності (3). При вільному поширенні (верхній ряд зображень) структура такого сімейства змінюється, а саме спостерігається невелике перекручування в периферійних точках. При фокусуванні (нижній ряд зображень) розподіл інтенсивності сімейства за наближенням до фокуса лінзи істотно змінюється, однак додаткові особливі точки не з'являються.

Зовсім інакше поводиться структурно стійке самоподібне сімейство (рис. 4б). Розподіл інтенсивності такого сімейства при вільному поширенні і фокусуванні зберігається з точністю до масштабних перетворень й повороту.

Важливою характеристикою сімейства позаосьових пучків є їх орбітальний кутовий момент (ОКМ). В даному розділі був розрахований і проаналізований питомий ОКМ сімейства позаосьових гаусівських пучків:

, (5)

де , . Даний вираз може бути істотно спрощений у двох випадках: 1) коли , і 2) коли =const, (або =const, ). У першому випадку, при малих кутових лінійних зсувах R0 питомий ОКМ перетвориться до виду:

(6)

При порівнянні виразів (4) і (6) видно, що фактично, питомий кутовий момент визначається величиною топологічного заряду осьового вихору за умови (3). У другому випадку, коли =const, (або =const, ) питомий ОКМ лінійно змінюється зі збільшенням кута нахилу (або відносного зсуву ):

. (7)

Характерна залежність питомого ОКМ від кута для сімейства з трьох пучків приведена на рис. 5. Поблизу малих значень кута спостерігається різка зміна кутового моменту для та плавна зміна для . Зазначимо, що перші два екстремума залежності відповідають умові (3). Екстремум при відповідає структурно нестійкому самоподібному сімейству. В області другого екстремума, з , величина питомого ОКМ дуже слабко змінюється. Цей екстремум відповідає структурно стійкому самоподібному сімейству. Аналогічна поведінка питомого ОКМ спостерігається й з більшою кількістю пучків. Відзначимо, що, змінюючи параметри зсуву R0 й кута можна досягти такого стану, при якому ОКМ обертається в нуль (рис. 5). З іншого боку, відповідно до (6), можна досягти екстремально високих значень ОКМ: при виконанні умови (3) для структурно нестійких сімейств.

Аналогічна поведінка просліджується й для залежності питомого ОКМ від зсуву R0. При відносно малих значеннях кута нахилу й зсуву R0, коли контури індивідуальних пучків істотно перекриваються, основний внесок у кутовий момент дає взаємна інтерференція. При більших значеннях зсуву й кута нахилу, коли контури пучків практично не перекриваються, кутовий момент починає змінюватися лінійно зі збільшенням цих параметрів, і обумовлений тільки геометрією сімейства.

У третьому розділі теоретично і експериментально розглядається сімейство синхронізованих позаосьових сингулярних пучків, що переносять оптичні вихори, з осями, що лежать на поверхні гіперболоїда обертання (рис.1). У цьому випадку структура сімейства пучків залежить ще від величини М та знака s топологічного заряду оптичного вихору, що переноситься кожним пучком. У процесі формування сімейства кожний пучок повертається на кут . Такий поворот сингулярного пучка супроводжується появою додаткової фази. Для того, щоб синхронізувати фази всіх пучків у сімействі, необхідно помножити хвильову функцію кожного пучка на . Хвильова функція сімейства сингулярних пучків, записується у вигляді:

,(8)

де, - знак топологічного заряду вихору в окремому пучку.

У структурі сімейства сингулярних пучків відбуваються радикальні зміни в порівнянні із сімейством гаусівських пучків. На осі сімейства формується оптичний вихор, знак заряду якого завжди протилежний знаку зарядів в окремих сингулярних пучках. Орбітальне число l, тобто величина, що характеризує додаткові дискретні фази, які присвоюються пучкам, буде або збільшувати, або зменшувати заряд центрального вихору: . Осьовий вихор оточений симетрично розташованими N оптичними вихорами із протилежними знаками заряду. Варіація відносних значень зсуву R0 і кута змінює взаємні фази пучків, симетрично зрушуючи вихори щодо осі. У більшості випадків, варіацією всіх параметрів сімейства {}, не можна досягнути стану поля, коли всі ближні вихори зберуться на загальній осі симетрії. Тобто зміна параметрів не приведе до структурних перетворень в сімействі. Однак є така особлива комбінація цих параметрів, при якій всі вихори можуть зібратися на осі, формуючи новий стан, і це буде відповідати умові:

(9)

Обмежимося випадком, коли . Верхній рядок в умові (9) відповідає самоподібному структурно нестійкому сімейству. Нижній рядок характеризує самоподібне структурно стійке сімейство. Примітно, що у випадку, коли кількість пучків дорівнює топологічному заряду, а орбітальне число l=0, на осі оптичний вихор не утвориться поза залежністю від знака топологічного заряду в індивідуальних пучках.

Характерні розподіли інтенсивності структурно стійких сімейств сингулярних пучків за відсутності самоподібності ілюструє рис. 6. Верхній ряд демонструє розподіли інтенсивності в площині z=0 для різних станів сімейства. Нижній ряд ілюструє розподіли інтенсивності полів на відстані z=2м. Середній рядок ілюструє поля сімейств, отриманих експериментально при генерації на комп’ютерно-синтезованих голограмах. Привертає до себе увагу той факт, що в процесі розповсюдження спостерігається слабка деформація поля у вигляді обертання. Периферійні частина сімейства деформується сильніше осьової, але нові особливості не з'являються. У той же час, експериментально і теоретично було показано, що структурно стійке самоподібне сімейство сингулярних пучків не зазнає таких змін і зберігає свій розподіл інтенсивності при вільному розповсюдженні та при проходженні через фокус лінзи (див., наприклад, рис.7).

Теоретично розраховано і проаналізовано питомий ОКМ сімейства сингулярних пучків. Показано, що при малих значеннях параметрів кута й зсуву R0 питомий ОКМ, головним чином характеризується комбінацією кількості пучків N, орбітального числа l і топологічного заряду кожного пучка sM.

Типові залежності сімейства сингулярних пучків від відносного кута нахилу пучків для різних значень М приведені на рис. 8. Як і у випадку сімейства несингулярних пучків, перші два екстремуму залежності , представленої на рис. 8а, збігаються з умовою (3). Із збільшенням кута (або зсуву ) варіації кутового моменту згладжуються. Ця залежність описується наступним співвідношенням:

. (10)

Важливо відзначити, що з ростом величини топологічного заряду вихорів M в індивідуальних пучках осциляції при малих кутах (або зсувах ) згладжуються (рис.8б), якщо . Це легко зрозуміти, якщо згадати, що вихори вищих порядків у сусідніх сингулярних пучках сімейства розщеплюються на M одиничних вихорів, згладжуючи розподіл щільності кутового моменту по перерізу пучка. Крім цього, основний внесок у питомий ОКМ при малих значеннях кута і зсуву вносять при осьові вихори. У той же час, відповідно до умови (9) максимальні сплески кутового моменту збігаються з , але зі збільшенням заряду вихорів M у пучках його величина зменшується.

Четвертий розділ присвячений теоретичному й експериментальному дослідженню методів формування симетричного сімейства позаосьових пучків на краю діелектричного клина й стопі клинів.

У якості діелектричного клина використовувалося покривне скло, яке має змінну товщину.

Розглянемо фізичний механізм цього методу. Фундаментальний гаусівській пучок падає на поверхню прозорого діелектричного клина таким чином, що одна його половина проходить у вільному просторі, а інша - крізь клин (рис.9). Фактично одиничний клин формує сімейство із двох пучків. Хвильову функцію поля в дальній зоні дифракції за оптичним клином можна записати у вигляді:

(11)

де , nw - показник заломлення клина, - кут клина, d – товщина клина, - інтеграл імовірності.

Вираз (11) описує ланцюжок оптичних вихорів, розташовану уздовж грані клина (рис.9(2)). Змінюючи параметри падаючого пучка і кут клина g можна виділити пучок, що переносить одиничний оптичний вихор (рис.9(3)).

Деформацію серцевини вихору зручно характеризувати лініями рівної інтенсивності, які мають форму еліпсів. Величина еліптичності може бути визначена як взаємовідношення півосей еліпса , де b і a – величини малої й великої півосей еліпса.

На рис. 10 представлена крива залежності еліптичності серцевини вихору від радіуса перетяжки гаусівського пучка , що падає на клин. При деяких значеннях перетяжки крива має вироджений максимум, при якому еліптичність серцевини вихору дорівнює . Теоретично й експериментально показано, якщо перетяжка пучка дорівнює:

, (12)

тоді серцевина вихору отримує ідеальну форму, тобто . Виявлено, що умова (12) відповідає умові самоподібності сімейства позаосьових пучків (3), відповідно до якого форма серцевини вихору в процесі поширення і фокусування не змінюється.

Метод формування сімейства двох пучків на клині можна поширити на формування симетричного сімейства, що складається з множини позаосьових пучків, якщо використати стопу діелектричних клинів. Проведено експериментальний і теоретичний аналіз структури поля дифракції на такій стопі. На рис. 11 (I) приведена схема стопи клинів. Виявлено, що топологічний заряд осьового вихору, який переноситься сімейством пучків, чисельно дорівнює числу клинів у стопі (рис 11(II)). Знайдено, що структура поля сімейства пучків після стопи клинів буде структурно стійкою, якщо кут орієнтації між гранями клинів відносно один одного дорівнює =p/K (де K-число клинів). Скориставшись результатами, отриманими вище для одного клина (11), можна привести хвильову функцію сімейства пучків після стопи клинів у циліндричних координатах у вигляді:

(13)

Цій вираз відповідає сімейству (2) із позаосьових пучків:

(14)

за умови самоподібності (3).

Зазначимо, що метод дифракції світла на стопі клинів дозволяє формувати сімейство позаосьових пучків тільки з парним числом пучків. Примітно, що енергетична ефективність методу формування сімейства позаосьових пучків на стопі клинів істотно перевищує ефективності формування такого сімейства методом комп’ютерно-синтезованих голограм.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ:

1. Вперше розраховано і проаналізовано поле сімейства синхронізованих сингулярних пучків, осі яких лежать на поверхні гіперболоїда обертання. Показано, що структура поля таких пучків єдиним способом описується п'ятьма числами, а саме: N – числом пучків, l – орбітальним числом, sM – топологічним зарядом кожного пучка (де s - знак заряду), - відносним зсувом і - відносним кутом нахилу осей пучків. Показано, що таке сімейство є самоподібним щодо розповсюдження й фокусування, тобто розподіл інтенсивності в поперечному перетині сімейства пучків не змінюється, якщо виконується умова рівності нормованого кута нахилу й нормованого зсуву осей пучків щодо загальної осі сімейства: .

2. Вперше встановлена умова, відповідно до якої, на осі сімейства позаосьових пучків формується оптичний вихор вищого порядку. Показано, що величина топологічного заряду вихору істотно залежить від знака добутку орбітального числа на знак топологічного заряду пучка () і знака добутку орбітального числа на кут нахилу пучків (), що охоплює різноманіття можливості перетинання листів хвильових фронтів індивідуальних пучків на оптичній осі сімейства. Зокрема, якщо заряд кожного вихору в сімействі дорівнює нулю, а знаки l і однакові, то на осі формується вироджений вихор із зарядом . Якщо знаки l і різні, то на осі формується вихор із зарядом рівним орбітальному числу -l.

3. Вперше показано, що самоподібні сімейства позаосьових пучків щодо розповсюдження й фокусування можуть бути структурно стійкими або нестійкими залежно від співвідношення величин і знаків топологічного заряду, орбітального числа й кута нахилу осей пучків.

4. Найменші відхилення нормованого кута нахилу або зсуву від умови самоподібності можуть привести до зміни топологічного заряду осьового вихору в сімействі. Зокрема, якщо заряд кожного вихору в індивідуальному пучку дорівнює нулю, а знаки l і однакові, то зміна параметрів приводить до розпаду осьового вихору з топологічним зарядом на N позаосьових вихорів, так що на осі залишається вихор із зарядом рівним орбітальному числу l. У такому випадку сімейство структурно нестійке. Якщо ж знаки l і різні, то ніякі зміни кута й зсуву не викликають розпад осьового вихору й сімейство буде структурно стійким.

5. Вперше теоретично розраховано і проаналізовано питомий орбітальний кутовий момент сімейства сингулярних пучків. Показано, що при малих значеннях параметрів кута й зсуву величина питомого орбітального кутового моменту характеризується комбінацією числа пучків N, орбітального числа l і топологічного заряду кожного пучка M. Варіація параметрів сімейства пучків дозволяє одержати екстремально високі значення питомого орбітального кутового моменту. При більших значеннях зсуву , величина питомого орбітального кутового моменту визначається добутком: .

6. Вперше показано, що симетричне сімейство позаосьових пучків формується при дифракції хвилі на стопі діелектричних клинів. Отримано умову, яка зв'язує параметри пучка й клинів, при якої на осі сімейства формується пучок, що переносить єдиний оптичний вихор з майже ідеальною формою серцевини. У цьому випадку сімейство пучків перетворюється в стандартний спіральний пучок. Знайдено умову, при якому пучок стає структурно стійким після стопи клинів. Топологічний заряд вихору в комбінованому пучку дорівнює числу клинів у стопі.

СПИСОК ЦИТОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ:

1*. Nye J.F., Berry M.V. Dislocations in wave trains//Proc. R. Soc. Lond. A. - 1974. - V.336. - P.165-190.

2*. Soskin M.S., Vasnetsov M.V. Singular optics // Progress in Optics. - 2001. – Vol. 42, ed.Wolf E. (Amsterdam: Elsevier).- P.217-276.

3*. Киселев А.П. Локальные световые волны: параксиальные и точные решения волнового уравнения // Оптика и спектроскопия.- 2007.- Т.102, № 4.-P. 697-717.

4*. Desyatnikov A., Kivshar Yu., Torner L. Optical vortices and optical solitons // Progress in Optics.-2005.-V.47.-P.1-61.

5*.Абрамочкин Е.Г., Волостников В.Г. Спиральные пучки света // Успехи физических наук.- 2004. – Т.174, №12. – С.1273-1300.

6*. Allen, L., Padget, MJ., Babiker, M. The orbital angular momentum of light // Progress in Optics. – 1999. – V.39. – P.391-372.

7.* Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложение. М., “Мир”, 1980. - 608с.

8*. Freund I. Critical point explosions in two-dimensional wave fields // Optics Communications. - 1999. - V.159. - P.99-117.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ВИКЛАДЕНІ В РОБОТАХ:

1. Шведов В.Г., Издебская Я.В., Алексеев А.Н., Воляр А.В. Формирование оптических вихрей в процессе дифракции света на диэлектрическом клине // Письма в ЖТФ.- 2002.- Т.28, В.6.- С.87-94.

2. Izdebskaya Ya.V., Shvedov V. G., Volyar A. V. Singular Beam Diffraction by the Edge of a Dielectric Medium // Ukr. J. Phys. Opt. -2004.-V. 5, №3.-P.96-99.

3. Izdebskaya Ya.V., Shvedov V.G., Volyar A.V. Generation of higher-order optical vortices by the dielectric wedge // Optics Letters.- 2005.- V.30, №18.- P. 2472-2474.

4. Izdebskaya Ya.V., Shvedov V.G., Volyar A.V. Focusing of wedge-generated higher-order optical vortices // Optics Letters.- 2005.- V.30,№19.- P.2530-2532.

5. Izdebskaya Ya.V., Fadeyeva T. A., Shvedov V.G., Volyar A.V. Vortex-bearing array of singular beams with very high orbital angular momentum // Optics Letters.- 2006.- V. 31,№17, P. 2523-2525.

6. Volyar A.V., Shvedov V.G., Izdebskaya Ya.V., Fadeyeva T.A., Rubass A.F. Structure and Orbital Angular Momentum of Singular Array of Gaussian Beams // Ukr. J. Phys. Opt.- 2006.- V. 7,№3.-P79-88.

7. Izdebskaya Ya.V., Shvedov V.G., Kurabtzev D.A., Alexeyev A.N., Volyar A.V. The optical vortex generation by optical wedge // Proc. of SPIE.- 2002.-V.4607.-P.78-82.

8. Shvedov V.G., Izdebskaya Ya.V., Vershitskiy V.I., Rubass A.F., Volyar A.V. Generation of high-intensity singular beams // Proc. of SPIE.- 2003.- V.5257.-P.308-312.

9. Izdebskaya Ya.V., Shvedov V.G., Volyar A.V. Structure of optical vortices at the boundary of dielectric medium // Proc. of SPIE.- 2004.- V. 5582.- P. 222-230.

10. Izdebskaya Ya.V., Shvedov V.G., Volyar A.V. Generation of high-order optical vortices by optical wedges system // Proc. of SPIE.- 2004.- V.6023.- P.6023OT-2(8).

АНОТАЦІЯ

Іздєбська Я.В. Формування комбінованих оптичних вихорів у сімействі позаосьових світлових пучків. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за фахом 01.04.05 - оптика, лазерна фізика. Таврійський національний університет ім. В.І. Вернадського, Сімферополь, 2007.

В дисертаційній роботі проведено теоретичне й експериментальне дослідження поля сімейства синхронізованих нахилених сингулярних пучків, осі яких лежать на поверхні гіперболоїда обертання. Структура поля таких сімейств описується п'ятьма числами: N – числом пучків, l – орбітальним числом, sM – топологічним зарядом кожного пучка (де s - знак заряду), - відносним зсувом і - відносним кутом нахилу осей пучків.

Показано, що сімейство сингулярних пучків може формувати осьовий вихор вищого порядку, а також зберігати свій розподіл інтенсивності при розповсюдженні й фокусуванні з точністю до масштабних перетворень і повороту, тобто бути самоподібним при виконанні умови: . Виявлено, що самоподібні сімейства можуть бути структурно стійкими, якщо число й тип особливих точок у сімействі не змінюється або структурно нестійкими, якщо характер особливих точок у сімействі змінюється стосовно варіації кута й зсуву від умови самоподібності .

Показано, що, орбітальний кутовий момент сингулярного сімейства може досягати високих значень при зміні параметрів зсуву й кута .

Експериментально й теоретично показане, що симетричне сімейство синхронізованих позаосьових пучків формується при дифракції фундаментального гаусівського пучка на стопі діелектричних клинів.

Ключові слова: сингулярний пучок, оптичний вихор, орбітальний кутовий момент, діелектричний клин, топологічний заряд.

Аннотация

Издебская Я.В. Формирование комбинированных оптических вихрей в семействе внеосевых световых пучков. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.05 – оптика, лазерная физика. Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, Симферополь, 2007.

В диссертационной работе проведено теоретическое и экспериментальное исследование поля семейства синхронизированных сингулярных пучков, оси которых лежат на поверхности гиперболоида вращения. Структура поля таких семейств описывается N – числом пучков, l – орбитальным числом, величиной M и знаком s топологического заряда каждого пучка, относительными величинами смещения и угла наклона осей пучков.

Показано, что семейство внеосевых пучков формирует осевой оптический вихрь, окруженный сеткой вихрей. В общем случае распределение интенсивности такого семейства меняется при распространении. Однако, если потребовать равенство относительного угла и относительного смещения: , семейство будет являться самоподобным при распространении и фокусировки, т.е. сохранять свое распределение интенсивности с точностью до масштабных преобразований и поворота. В тоже время, такие самоподобные семейства могут быть структурно устойчивыми или структурно неустойчивыми по отношению к изменениям параметров семейства от условия . Согласно данному условию на оси семейства внеосевых пучков может формироваться оптический вихрь высшего порядка. Величина топологического заряда осевого вихря существенно зависит от знака произведения орбитального числа на знак топологического заряда пучка () и знака произведения орбитального числа на угол наклона пучков (). Так, например, если топологический заряд каждого индивидуального пучка в семействе равен нулю, а знаки l и a одинаковые ()>0, то на оси семейства формируется вихрь с зарядом равным: . Этот случай соответствует структурно неустойчивому семейству. Если знаки l и a разные ()<0, то семейство пучков является структурно устойчивым и на оси формируется вихрь с зарядом равным орбитальному числу –l.

Показано, что удельный орбитальный угловой момент семейства сингулярных пучков характеризуется сочетанием числа пучков N, орбитального числа l и топологического заряда каждого пучка sM при малых значениях параметров угла и смещения . При относительно малых значениях угла наклона и смещения , когда контуры индивидуальных пучков существенно перекрываются, основной вклад в угловой момент дает взаимная интерференция пучков. При больших значениях смещения и угла наклона, когда контуры пучков практически не перекрываются, удельный угловой момент начинает меняться линейно с увеличением этих параметров и обусловлен только геометрией семейства. Вариация этих параметров позволяет получить очень высокие значения удельного углового момента.

Экспериментально и теоретически было показано, что симметричное семейство синхронизированных внеосевых пучков формируется при дифракции фундаментального гауссова пучка на стопе клиньев. Получено условие, связывающее параметры