Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

Сопронюк Євгеній Федорович

УДК 519.718; 681.516

МОДЕЛЮВАННЯ, ПРАКТИЧНА СТІЙКІСТЬ І ОПТИМІЗАЦІЯ

СИСТЕМ ЗІ ЗМІНОЮ ВИМІРНОСТІ ФАЗОВОГО ПРОСТОРУ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Чернівці – 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичних проблем управління і кібернетики факультету комп’ютерних наук Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича.

Науковий керівник доктор технічних наук, професор Гаращенко Федір Георгійович (Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри моделювання складних систем)

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Остапенко Валентин Володимирович (завідувач відділу числових методів оптимізації НМК “Інститут прикладного системного аналізу” НТУУ КПІ Міністерства освіти і науки України і НАН України)

кандидат фізико-математичних наук, доцент Маценко Василь Григорович (Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, доцент кафедри прикладної математики)

Захист відбудеться 26 жовтня 2007 року о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 в Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Університетська, 28, аудиторія 8.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (58012, м. Чернівці, вул. Л. Українки, 23).

Автореферат розісланий 22 вересня 2007 року.

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради Я.Й.Бігун

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. З аналізу наукових публікацій можна зробити висновок, що вдалий вибір моделі при дослідженні тих або інших проблем відіграє ключову роль їх успішного розв’язання. Подолання суттєвих труднощів розв’язування задач керування складними об’єктами, проблем розпізнавання образів і цифрової обробки інформації, апроксимації експериментальних даних на основі методів псевдоінверсії, проблем практичної стійкості пучків траєкторій та інших у значній мірі пов’язані з тим, що математичні моделі досліджуваних процесів мають вигляд систем диференціальних або різницевих рівнянь зі зміною вимірності фазового простору. Тобто, потрібно розглядати моделі динамічних систем, які при певних значеннях часового параметра можуть змінювати розмірність вектора фазового стану. Отже, на траєкторії системи накладаються проміжні умови в задані моменти часу, які дозволяють враховувати особливості процесів, що моделюються. Частинним випадком таких умов є умови миттєвої зміни розмірності вектора фазового стану, що має неабиякий практичний інтерес, зокрема, при оптимізації пучків заряджених частинок у прискорюючо-фокусуючих системах, при побудові оптимального портфеля цінних паперів, при апроксимації експериментальних даних у реальному режимі часу на основі методів псевдообернення та в ряді інших прикладних задач. Розв’язування цих задач досить часто пов’язано з застосуванням методів практичної стійкості та методів недиференційованої оптимізації, теорія яких розвинута в працях Б.М. Бублика, Ф.Г. Гаращенка, М.Ф. Кириченка, Ф.П. Васильєва, А.М. Гупала, Ю.М. Даніліна, В.Ф. Дем’янова, Ю.М. Єрмойлєва, М.М. Мойсеєва, О.Г. Наконечного, Б.М. Пшеничного, Р.П. Федоренка, В.В. Федорова, А.О.Чикрія, Н.З. Шора та інших вчених. Вона набула подальшого розвитку для систем з розривними траєкторіями у працях Л.Т. Ащепкова, В.В. Величенка, В.К. Горбунова, С.В. Ємельянова, В.В. Остапенка, Ф.О. Сопронюка, В.А. Троїцького. Розвиток теорії оптимізації динаміки пучків відображений у працях Т.Ф. Ананьїної, Б.М. Бублика, Ф.Г. Гаращенка, М.Ф. Кириченка, О.Б. Куржанського, Д.О. Овсяннікова. Тому тема дисертаційної роботи актуальна як з математичної, так і прикладної точки зору, оскільки пов’язана з розробкою методів практичної стійкості та параметричної оптимізації для систем зі зміною вимірності фазового простору і застосуванням цих методів до розв’язання різних прикладних задач. Основні результати дисертаційної роботи одержані завдяки працям М.Г. Четаєва, М.Ф. Кириченка, Б.М. Бублика, Ф.Г. Гаращенка, їх численних учнів та послідовників і знайшли застосування при розв’язуванні проблем стійкості, практичної стійкості та структурно-параметричної оптимізації.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана за планом наукових досліджень кафедри математичних проблем управління і кібернетики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича в рамках науково-дослідних тем: “Дослідження методів системного аналізу математичних моделей систем керування” (№ держреєстрації 0102U006593); “Математичні та комп’ютерні засоби моделювання систем зі змінною структурою” (№ держреєстрації 0106U003604).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка методів дослідження та побудова критеріїв практичної стійкості динамічних систем, математична модель яких описує фазовий стан, що змінює розмірність у певні моменти часу, а також параметрична оптимізація функціонала типу максимуму за початковими даними на розв’язках систем диференціальних рівнянь зі зміною вимірності фазового простору.

Для досягнення поставленої мети потрібно розв’язати наступні задачі:

1. Окреслити доцільність досліджень реальних систем на основі математичних моделей зі зміною вимірності фазового простору методами практичної стійкості, ввівши відповідні означення.

2. Сформулювати та довести теореми про практичну стійкість динамічних систем з постійно діючими збуреннями та без них з урахуванням зміни вимірності фазового простору.

3. Розробити та теоретично обґрунтувати алгоритми побудови критеріїв практичної стійкості динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору.

4. Побудувати і обґрунтувати алгоритми параметричної оптимізації за критерієм якості, який є функцією максимуму за початковими умовами від кінцевого стану на розв’язках систем зі зміною вимірності фазового простору.

5. Розробити алгоритмічне та програмне забезпечення для апробації одержаних результатів та провести комп’ютерні експерименти.

Об’єктом дослідження є системи диференціальних рівнянь зі зміною вимірності фазового простору.

Предметом дослідження є практична стійкість розв’язків систем зі зміною вимірності фазового простору як із зовнішніми збуреннями, так і без них, параметрична оптимізація в системах зі зміною вимірності фазового простору з недиференційованим критерієм якості.

Методи дослідження. Результати дисертаційної роботи одержані і обґрунтовані на основі методів математичного аналізу, диференціальних рівнянь, теорії стійкості, методів оптимізації, теорії пучків заряджених частинок у прискорюючо-фокусуючих системах та числових методів.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що в дисертації вперше:

1. Доведено теореми про достатні умови практичної стійкості розв’язків динамічних систем, які в певні моменти часу змінюють вимірність фазового стану.

2. Доведено теореми про достатні умови практичної стійкості динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору і постійно діючими збуреннями.

3. Знайдено конструктивні критерії практичної стійкості розв’язків лінійних систем зі зміною вимірності фазового простору з постійно діючими збуреннями та без них, а також розроблено обчислювальні методи для проведення відповідних комп’ютерних експериментів.

4. Доведено теорему про похідну за напрямком в області параметрів недиференційованого функціонала типу максимуму за початковими умовами від кінцевого стану динамічної системи зі зміною вимірності фазового простору.

5. Обґрунтовано і побудовано алгоритм параметричної оптимізації недиференційованого критерію якості динамічної системи зі зміною вимірності фазового простору та на основі цього розроблено обчислювальні методи для комп’ютерного моделювання таких систем.

6. Розроблено алгоритмічне і програмне забезпечення для аналізу практичної стійкості систем зі зміною вимірності фазового простору і проведено комп’ютерне моделювання з оптимізації динаміки поздовжніх і радіальних рухів заряджених частинок у прискорюючо-фокусуючих системах.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи можуть бути використані при дослідженні задач практичної стійкості динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору з постійно діючими збуреннями і без них, для розв’язування задач параметричної оптимізації недиференційованих критеріїв якості на розв’язках динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору, а також при розв’язуванні задач моделювання систем, які описуються динамічними системами зі зміною вимірності фазового простору.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, викладені в дисертації, отримані автором самостійно. В праці [1], виконаній у співавторстві, науковому керівникові професору Ф.Г. Гаращенку належить постановка задач та рекомендації щодо методів їх розв’язання. Особистий внесок дисертанта: виконання всіх основних досліджень, доведення теорем та тверджень, розрахунків, формулювання висновків та оформлення результатів.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи доповідалися на наукових семінарах кафедри математичних проблем управління і кібернетики та кафедри моделювання складних систем Київського національного університету імені Тараса Шевченка, наукових семінарах факультету комп’ютерних наук, на восьми міжнародних наукових конференціях:

1. Міжнародна науково-практична конференція “Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології” (19-21 травня 2004 року, м. Чернівці).

2. Міжнародна конференція “The 7th International Conference on Development and Application Systems (DAS 2004)” (27-29 May, 2004, Suseava, Romania).

3. Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька (27 вересня-1 жовтня 2004 року, м. Дрогобич).

4. Міжнародна конференція “International conference modern problems and new trends in probability theory” (19-26 червня 2005 року, м. Чернівці).

5. Міжнародна конференція “Problems of decision making under uncertainties (PDMU-2006)” (21-25 травня 2006 року, м. Східниця).

6. Міжнародна конференція “Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології” (17-19 травня 2006 року, м. Чернівці).

7. Міжнародна конференція “The 8th International Conference on Development and Application Systems (DAS 2006)” (25-27 May 2006, Suceava, Romania).

8. Міжнародна конференція “Диференціальні рівняння та їх застосування” (11-14 жовтня 2006 року, м. Чернівці).

Публікації. Основні положення дисертації висвітлено в 12 наукових працях [1-12] , з яких чотири [1-4] опубліковано в наукових фахових виданнях, які затверджені ВАК України. Одинадцять праць опубліковані автором дисертації одноосібно.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 177 сторінках машинописного тексту, з них основні положення дисертації викладені на 123 сторінках. Вона складається зі вступу, 4 розділів, висновків, списку використаних джерел зі 139 найменувань, 4 додатків обсягом 38 сторінок та містить у четвертому додатку 12 рисунків.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність вибраної теми, визначається наукова новизна отриманих результатів та висвітлюється їх теоретична та практична цінність.

У розділі 1 дисертаційної роботи проведено аналіз літератури з тематики дисертації (підрозділ 1.1), описано загальні поняття теорії систем зі зміною вимірності фазового простору (підрозділ 1.2), наведено математичні моделі прикладних задач з різних предметних галузей, що описуються динамічними системами зі зміною вимірності фазового простору (підрозділ .3).

У розділі 2 розглянуто питання практичної стійкості розв’язків динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору. В підрозділі 2.1 сформульовано означення практичної стійкості вказаних систем.

Нехай деяке розбиття відрізка , де , , , . Припустимо, що динаміка системи задана у вигляді

, (1)

за умов зміни вимірності фазового простору

, , (2)

де – вектор фазових координат розмірності , – вектор-функції розмірності , які задовольняють умови теореми існування і єдиності розв’язку системи (1) при , , – вектор-функції розмірності , які задають зміну вимірності фазового стану системи (1) в моменти часу , та – вектори з нульовими компонентами, , , символ – тут і надалі позначає операцію транспонування.

Означення 2.1.1. Незбурений рух , , системи (1) за умов (2) назвемо -стійким, якщо при , , як тільки .

Надалі вважатимемо, що – замкнені множини векторів допустимих фазових станів системи (1) за умов (2) при , для яких , , є внутрішньою точкою, – множина допустимих початкових станів системи (1.1) при , – скалярний добуток двох векторів та однакової розмірності.

Для побудови ефективних методів перевірки практичної стійкості динамічних систем розглядається множина початкових станів виду

,

де додатно визначена матриця розміру , – деяка стала.

Означення 2.1.3. Незбурений рух системи (1) за умов (2) , , називатимемо -стійким, якщо при , для всіх початкових умов .

Означення 2.1.4. Якщо , то незбурений рух системи (1) за умов (2) , , називатимемо -стійким.

Вивчатимуться також питання практичної стійкості систем зі зміною вимірності фазового простору з постійно діючими збуреннями

(3)

за умов зміни вимірності фазового простору (2), де – постійно діючі збурення при із заданої області , .

Припустимо, що функції , задовольняють умови теореми про існування та єдиність розв’язку системи (3) при , , при , , , тобто це вектори відповідної розмірності з нульовими компонентами.

Означення 2.1.9. Незбурений рух , , , ,…, , системи (3) за умов (2) назвемо внутрішньо -стійким, якщо при , , як тільки , , , , ,..., , .

Означення 2.1.10. Рух , , , ,..., , системи (3) за умов (2) називається зовнішньо -стійким, якщо для будь-яких , , , , ,..., , , знайдеться хоча б один проміжок і хоча б один момент часу , для якого .

Тут , – множини допустимих початкових станів системи (3) при , , – доповнення до множини , – порожня множина.

В підрозділі 2.2 доведено загальні теореми про достатні умови практичної стійкості розв’язків систем диференціальних рівнянь зі зміною вимірності фазового простору. Наведемо деякі з них.

Теорема 2.2.1. Якщо для системи (1), (2) знайдуться додатно визначені функції Ляпунова , які задовольняють умови:

, , ; (4)

при , , ; (5)

для будь-якого

; (6)

, (7)

то незбурений рух , , , системи (1), (2) -стійкий.

Теорема .2.2. Якщо для системи (1), (2) знайдуться додатно визначені функції Ляпунова , , які задовольняють умови (5)–(7) і , то незбурений рух , , , системи (1), (2) -стійкий.

Теорема 2.2.3. Нехай система (1), (2) -стійка, функції однакової розмірності . Якщо існують обернені функції , тобто , , то знайдуться функції Ляпунова , , , які задовольняють умови теореми .2.2.

Сформульована і доведена теорема 2.2.4 про асимптотичну стійкість, а також теореми про -стійкість незбуреного розв’язку , , системи (1), (2).

У підрозділі 2.3 для лінійних систем

, (8)

за умов зміни вимірності фазового простору

, (9)

обґрунтовано конструктивні критерії -стійкості та -стійкості, якщо області початкових значень або , або відповідно.

Нехай – матричний розв’язок задачі Коші

, , , , ,

де – одинична матриця порядку , ; , , .

Теорема 2.3.1. Для -стійкості системи (8), (9) достатньо, щоб справджувалися умови:

, (10)

, , (11)

де , – розв’язок (8), (9) при , який задовольняє початкову умову , , .

Теорема 2.3.2. Для -стійкості системи (8) за умов (9) достатньо, щоб справджувалися умови:

, (12)

, , (13)

де , , , – розв’язок (8) за умов (9), який задовольняє початкову умову , – таке ж, як у теоремі 2.3.1, .

Сформульовані та доведені теореми про асимптотичну стійкість розв’язків (8) за умов (9).

Обґрунтовано критерії практичної стійкості для випадку, коли фазовий стан досліджуваних об’єктів повинен задовольняти нелінійні фазові обмеження вигляду , , , де – скалярна функція, яка неперервна за сукупністю аргументів при разом зі своїми частинними похідними по компонентах вектора ; – замкнена опукла множина для будь-якого , яка містить внутрішню точку , . Введемо позначення:

, (14)

, (15)

, (16)

, (17) , (18)

, .

Теорема 2.3.5. Для того, щоб система (8), (9) була -стійкою достатньо, щоб справджувалися умови:

,

, ,

де мають вигляд (18), , , – розв’язок (8), який задовольняє початкову умову , .

Теорема 2.3.6. Для того, щоб система (8), (9) була -стійкою достатньо виконання умов:

,

, ,

де

,

,

,

– розв’язок (8), (9), який задовольняє початкову умову  , ,.

У цьому підрозділі розроблено також числовий алгоритм для аналізу критеріїв практичної стійкості.

В підрозділі 2.4 для динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору при постійно діючих збуреннях доведено теореми про достатні умови практичної стійкості та обґрунтовано критерії стійкості для лінійних систем.

Нехай динаміка системи задана у вигляді (3) за умов зміни вимірності фазового простору (2), де – - вимірний вектор фазових координат; – вектор-функції розмірності ; , – постійно діючі збурення.

Припустимо, що функції , задовольняють умови теореми про існування і єдиність розв’язку системи (3) при , , при , , , тобто це вектори відповідної розмірності з нульовими компонентами.

Теорема 2.4.1 Якщо для системи (3), (2) знайдуться додатно-визначені функції Ляпунова , які задовольняють умови:

, , ; (19)

(20)

при ;

,

для будь-якого

; (21)

а також , то незбурений рух , , , системи (3), (2) внутрішньо -стійкий.

Припустимо, що множина – деяка куля простору

, , .

Теорема .4.2. Якщо для системи (3), (2) існують додатно визначені функції Ляпунова , , , які задовольняють умови (19), (20), (21) і для будь-яких розмірності , , справджується співвідношення

, , , (22)

то незбурений рух , , , системи (3), (2) внутрішньо -стійкий.

Теорема 2.4.3. Якщо для системи (3), (2) існують додатно визначені функції Ляпунова , , , ,..., , та величина такі, що

, , , (23)

; (24)

для будь-яких - вимірних функцій , , , і для будь-якого справджуються нерівності

, , (25)

, (26)

то розв’язок , , , системи (3), (2) зовнішньо -стійкий.

Розглянемо задачу про практичну стійкість нестаціонарних лінійних систем зі зміною вимірності фазового простору при постійно діючих збуреннях виду

, , (27)

за умов зміни вимірності фазового простору (9), де – квадратні матриці розмірності з такими елементами, що розв’язок системи існує і єдиний при , – вектор-функція розмірності , яка задовольняє умови теореми існування і єдиності розв’язку системи (27) при . Ми припускатимемо, що , або відома функція часу, або вона невідома, але задовольняє умову

, (28)

, ;

– відомі матриці розмірності , причому – одинична матриця розміру , , .

Означення .4.3. Систему (27), (9) називатимемо внутрішньо -стійкою при постійно діючих збуреннях, які можуть бути відомими або ж задовольняти умову (28), якщо , для всіх , , як тільки .

Припустимо, що область початкових умов і множина задовольняють умову

Ш, (29)

де – доповнення до множини , Ш – порожня множина.

Означення .4.4. Систему (27), (9) називатимемо зовнішньо -стійкою при наявності постійно діючих збурень, які можуть бути відомими або ж задовольняти умову (28), якщо для будь-яких початкових даних системи (27) з області знайдеться такий індекс і значення , що .

Вважатимемо, що множини мають структуру

, , (30)

де – неперервні при вектор-функції розмірності .

Нехай відомі функції параметра , , . Розв’язок (27), (9), який задовольняє початкову умову , має вигляд

, (31)

де .

Запишемо умову того, що траєкторії системи (27), (9) належать множині () так:

, (32)

де

,

, , .

Позначимо: , , ,

, ,

, ,

, ,

, , .

Теорема 2.4.4. Для того, щоб розв’язок системи (27), (9) був внутрішньо -стійкий при відомих постійно діючих збуреннях достатньо виконання умов:

, (33)

, , , , (34)

власні значення матриць

,, (35)

менші одиниці.

В дисертації сформульована і доведена теорема 2.4.5 про достатні умови зовнішньої стійкості в розумінні означення 2.4.4.

Розділ 3 присвячений проблемам структурно-параметричної оптимізації для динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору. В даному розділі наведені конструктивні алгоритми обчислення градієнта функціонала якості перехідного процесу за різними параметрами на траєкторіях динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору. Для обчислення градієнта функціонала в заданому напрямку використовуються спряжені змінні, за допомогою яких легко обчислити частинні похідні. Значення спряжених змінних можна знайти як розв’язки спряжених систем лінійних диференціальних рівнянь зі зміною вимірності фазового простору. В підрозділі 3.1 зроблено короткий аналіз та сформульовані основні задачі даного розділу. В підрозділі 3.2 доведена теорема 3.2.1 про загальний вигляд градієнта функціонала від кінцевого стану динамічної системи за параметрами.

Нехай динаміка об’єкта описується системою диференціальних рівнянь

(36)

за умов зміни вимірності фазового простору

, (37)

де – вектор фазового стану об’єкта розмірності , , – вектор параметрів оптимізації розмірності з опуклої компактної множини , – вектор-функції розмірності , які неперервні за сукупністю аргументів разом зі своїми частинними похідними по і по компонентах векторів та , – диференційовні вектор-функції розмірності , які задають зміну вимірності фазового простору системи (36) в моменти , , причому , , – замкнена обмежена множина.

Вважатимемо, що початковий момент і точки , в яких система (36) змінює вимірність фазового простору, залежать відповідно від векторних параметрів і , тобто

, , . (38)

За критерій якості функціонування системи (36) за умов (37) виберемо функціонал

, (39)

де – додатно-визначений функціонал від кінцевого стану системи (36) за умов (37). Позначимо вектор параметрів , . Нехай -– деякий фіксований набір параметрів, – одиничний вектор деякого напрямку в області параметрів. Знайдемо похідну функції (39) при у напрямку вектора , ,

(40)

на множині

. (41)

Теорема 3.2.1. Похідна функціонала в напрямку в області параметрів при фіксованих значеннях параметрів , , ..., на розв’язках системи (36), (37) обчислюється за формулою

. (42)

У (42) спряжені змінні , , розмірність яких , є розв’язками наступних задач:

, (43)

, (44) , (45)

де , – функції Гамільтона-Понтрягіна, , .

Виписані також частинні випадки формули (42): коли точки перемикання та не залежать від параметрів оптимізації; коли параметрами оптимізації є набір точок перемикання або початкові значення.

В підрозділі 3.3 розроблено числовий алгоритм та запропоновано ітераційну процедуру мінімізації функціонала (39).

Розділ 4 присвячений моделюванню та оптимізації деяких систем зі зміною вимірності фазового простору. В підрозділі 4.1 наведена структура програмного забезпечення та опис основних програмних модулів. У підрозділі 4.2 подано модельні приклади, результати перевірки критеріїв практичної стійкості та числові розрахунки за критеріями. Підрозділ 4.3 присвячений задачі визначення оптимальних параметрів систем прискорення частинок з урахуванням поздовжніх коливань. Програмне забезпечення розроблялося в середовищі DELPHI мовою програмування Object Pascal. Всі засоби, які використовувалися при розробці програмного забезпечення, є opensource та freeware.

У висновках сформульовано основні результати дисертації. В додатку А подані основні форми. Опис основних програмних модулів міститься в додатку Б. У додатку В наведена таблиця точок, в яких система змінює вимірність фазового простору. Графіки числових експериментів містяться в додатку Г.

ВИСНОВКИ

В дисертації отримано нові науково обґрунтовані результати в галузі практичної стійкості, структурно-параметричної оптимізації та аналізу практичної стійкості динаміки пучків як систем зі зміною вимірності фазового простору. Вони можуть бути використані при розв’язуванні задач оцінки областей практичної стійкості розв’язків динамічних систем, які змінюють розмірність вектора фазового стану за певних значень часового параметра, а також для задач параметричної оптимізації динаміки пучків систем зі зміною вимірності фазового простору з недиференційованими критеріями якості, зокрема для оптимізації динаміки пучка заряджених частинок у прискорюючо-фокусуючих системах.

Основними результатами дисертаційної роботи є: *

Доведено теореми про практичну стійкість динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору при відсутності та при наявності постійно діючих збурень.*

Обґрунтовано конструктивні критерії для аналізу практичної стійкості лінійних динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору при відсутності та при наявності постійно діючих збурень.*

Виведені формули для обчислення похідних за напрямком одиничного вектора в області параметрів від функції максимуму за початковими даними на розв’язках динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору. Розроблено числовий алгоритм мінімізації даної функції.*

Розроблено числові методи визначення параметрів для аналізу практичної стійкості за відповідними критеріями.*

Показано, що динаміка руху заряджених частинок у прискорюючо-фокусуючих системах у деяких випадках описується системою диференціальних рівнянь зі зміною вимірності фазового простору. Розроблено числові методи визначення оптимальних параметрів систем прискорення частинок з урахуванням поздовжніх коливань. Проведено відповідний обчислювальний експеримент.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гаращенко Ф.Г., Сопронюк Є.Ф. Теореми про практичну стійкість систем зі зміною вимірності фазового простору // Вісник Київського університету. Фізико-математичні науки. – 2003. – № 5. – С. 171–177.

2. Сопронюк Є.Ф. Практична стійкість лінійних систем зі зміною вимірності фазового простору // Науковий Вісник Чернівецького Університету. Математика. – Випуск № 269. – Чернівці: 2005. – С.119-122.

3. Сопронюк Е.Ф. Практическая устойчивость систем с изменением размерности фазового пространства с постоянно действующими возму-щениями // Проблемы управления и информатики. -– № 6. – 2005. – С. 5-15.

4. Сопронюк Є.Ф. Параметрична оптимізація в системах зі зміною вимірності фазового простору // Вісник Київського університету. Фізико-математичні науки. – Випуск № 2. – К.: – 2006. – С. 236-245.---

5. Сопронюк Є.Ф. Оцінки областей практичної стійкості систем зі змінною структурою // Тези доповідей учасників міжнародної науково-практичної конференції “Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології” (19-21 травня 2004р. м. Чернівці). – Чернівці: “Рута”, 2004. – С. 76.

6. Сопронюк Є.Ф. Критерії практичної стійкості систем зі зміною вимірності фазового простору // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька. (27 вересня – 1 жовтня 2004 р., м. Дрогобич). Тези доповідей. – Львів: Поліграфічний центр видавництва Національного університету “Львівська політехніка”, 2004. – 201 с.

7. Сопронюк Є.Ф. Критерії практичної стійкості лінійних систем зі зміною вимірності фазового простору // International conference modern problems and new trends in probability theory. -– Chernivtsi: Ukraine, 2005. – С. 102.

8. Сопронюк Є.Ф. Критерії практичної стійкості систем зі зміною вимірності фазового простору // Problems of decision making under uncertainties. – Skhidnytsia: Ukraine, 2006. – C. 150 – 152.

9. Сопронюк Є.Ф. Критерії практичної стійкості лінійних систем зі зміною вимірності фазового простору // Диференціальні рівняння ті їх застосування. Міжнародна конференція, 11-14 жовтня 2006 року / Тези доповідей. – Чернівці: Рута, 2006. – С. 157.

10. Сопронюк Є.Ф. Оптимальний вибір параметрів систем зі зміною вимірності фазового простору // Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології. Матеріали Міжнародної наукової конференції. – Чернівці: Рута, 2006. – С. 117-118.

11. Soproniuk Ye. The Theorems about the System’s Practical Stability with the Measurability of the Phase Space // Proceedings 7th International Conference on Development and Application Systems DAS 2004 (27–29 May, 2004 Suseava -– Romania). – Suсeava: Editura Universitatii din Suceava, 2004. – P. 75-79.

12. Soproniuk Ye. The Practical Stability of the Linear Systems with the Phase Space Variable Measurability // Proceedings of the 8th International Conference on Development and Application Systems DAS 2006 (25-27 May 2006, Suceava – Romania). – Suceava: Editura Universitatii Suceava, 2006. – P. 54-58.

АНОТАЦІЯ

Сопронюк Є.Ф. Моделювання, практична стійкість і оптимізація систем зі зміною вимірності фазового простору. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці, 2007.

У дисертаційній роботі розглядаються задачі практичної стійкості та оптимізації динаміки систем зі зміною вимірності фазового простору. Сформульовані та доведені теореми про практичну стійкість систем зі зміною вимірності фазового простору без збурень та з постійно діючими збуреннями. Обґрунтовано конструктивні критерії для аналізу практичної стійкості лінійних систем зі зміною вимірності фазового простору без та з постійно діючими збуреннями. Доведено теорему про загальний вигляд похідної за напрямком недиференційованого критерію якості за параметрами на траєкторіях систем зі зміною вимірності фазового простору. Побудовано ітераційні процедури параметричної мінімізації функції максимуму за початковими даними на розв’язках динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору. Розроблену методику застосовано до моделювання оптимальної динаміки заряджених частинок і визначення оптимальних параметрів розглядуваних систем.

Ключові слова: системи зі зміною вимірності фазового простору, практична стійкість, функція Ляпунова, недиференційована оптимізація, пучок.

АННОТАЦИЯ

Сопронюк Е.Ф. Моделирование, практическая устойчивость и оптимизация систем с изменением размерности фазового пространства. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича, Черновцы, 2007.

Диссертационная работа посвящена проблемам практической устойчивости и параметрической оптимизации динамики систем с изменением размерности фазового пространства, а также построению алгоритмов и программных средств для компьютерного моделирования и проверки критериев практической устойчивости.

В первом разделе сделан обзор и анализ литературы по данной тематике, описаны общие понятия теории динамических систем с изменением размерности фазового пространства, приведены некоторые прикладные задачи, которые моделируются системами дифференциальных уравнений, причем фазовое состояние в определенные моменты времени меняет размерность, сформулированы задачи, которые исследуются в работе.

Второй раздел посвящен вопросам исследования задач практической устойчивости систем с изменением размерности фазового пространства. Сформулированы и доказаны для общего случая теоремы о практической устойчивости как систем без возмущений, так и систем с постоянно действующими возмущениями. Для линейных систем получены конструктивные критерии для анализа практической устойчивости. Разработаны числовые алгоритмы для анализа практической устойчивости указанных систем.

В третьем разделе рассмотрены вопросы параметрической оптимизации систем с изменением размерности фазового пространства. Здесь доказана теорема о вычислении производной по направлению по параметрам функционала типа максимума от конечного состояния исследуемой системы. На основании этого разработана итерационная численная процедура параметрической оптимизации практической устойчивости.

В четвертом разделе разработанная методика используется для компьютерного моделирования и анализа практической устойчивости линейных систем, фазовое состояние которых меняет размерность в определенные моменты времени, а также определения оптимальных параметров систем ускорения заряженных частиц с учетом продольных колебаний. Показано, что динамика движения заряженных частиц в фокусирующих и ускоряющих системах описывается дифференциальными уравнениями с изменением размерности фазового пространства. Описано разработанное программное обеспечение и приведены результаты вычислительного эксперимента.

Коды основных программных модулей и результаты вычислительного эксперимента в графической и табличной формах приведены в приложениях.

Ключевые слова: системы с изменением размерности фазового пространства, практическая устойчивость, функция Ляпунова, параметрическая оптимизация, пучок.

SUMMARY

Soproniuk Ye.F. Modeling, practical stability and optimization of the systems with change of phase space measurability. – Manuscript

Thesis for competition Ph.D degree in the Physics and Mathematics, specialization 01.05.02 – mathematical modeling and computing methods. – National Yurii Fed’kovich University, Chernivtsi, 2007.

In the dissertation problems of practical stability and optimization of dynamics of systems with change of the phase space measurability are considered. Theorems of practical stability of systems with change of phase space measurability without stimulations and with constantly operating stimulations are formulated and proved. It is proved constructive criteria of practical stability of linear systems with change of the phase space measurability without stimulations and with constantly operating stimulations. It is proved the theorem about a general view of a gradient of not differentiated criterion of quality according to parameters on trajectories of systems with change of the phase space measurability. It is constructed iterative procedures of parametrical minimization of function of a maximum according to initial data on decisions of dynamic systems with change of the phase space measurability. It is developed a technique, it is applied to modeling of optimum dynamics of the charged particles and definition of optimum parameters of considered systems.

Keywords: systems with change measurability of the phase space, practical stability, Liapunova’ function, not differentiated optimization, beam.