НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ НАУКОВИЙ ЦЕНТР

«ХАРКІВСЬКИЙ ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

Черкаський Віталій Олександрович

УДК 530.14

КВАНТОВИЙ ХАОС В ДВОВИМІРНИХ ПОТЕНЦІАЛАХ

НЕТРИВІАЛЬНОЇ ТОПОЛОГІЇ

01.04.02 - теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті теоретичної фізики ім. О. І. Ахієзера Національного наукового центру «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Болотін Юрій Львович, Інститут теоретичної фізики ім. О. І. Ахієзера Національного наукового центру «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України, начальник відділу «Теоретико-групових властивостей елементарних часток, теорії ядра і нелінійної динаміки».

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Яновський Володимир Володимирович, Інститут монокристалів НАН України, завідувач відділом «Теорії конденсованого стану речовини»;

доктор фізико-математичних наук, професор Русов Віталій Данилович, Одеський національний політехнічний університет, завідувач кафедрою теоретичної і експериментальної ядерної фізики.

Захист відбудеться « 11 » червня 2008 р. о 15-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .845.02 у Національному науковому центрі «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України за адресою:

61108, м. Харків, вул. Академічна, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного наукового центру «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України за адресою:

61108, м. Харків, вул. Академічна, 1.

Автореферат розісланий « 8 » травня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Підпис Кірдін А.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія квантового хаосу є природним продовженням класичної теорії нелінійної динаміки, так само як сама квантова механіка є узагальненням класичної. Предмет теорії квантового хаосу визначають як властивості таких квантових систем, класичні аналоги яких мають стохастичну динаміку, тобто формулювання і дослідження квантових проявів класичної стохастичності (КПКС).

Незважаючи на свою недовгу історію, теорія квантового хаосу знайшла застосування у багатьох областях природничих наук. Більша частина таких прикладних напрямків неминуче вимагає аналізу фізичних моделей, що описуються потенціалами досить складної форми. Однак досягнення теорії квантового хаосу досі обмежені найпростішими моделями, дуже далекими від реальних систем. В той же час досить складні потенціали нетривіальної топології, тобто багатоямні потенційні системи, дотепер залишаються майже абсолютно невивченою галуззю квантового хаосу. Дана робота, що покликана заповнити цей пробіл, являє собою першу спробу розширити дослідження квантового хаосу на реалістичні потенційні системи і тим самим стимулювати подальший розвиток відповідних прикладних напрямків.

Таким чином, тема дисертації є актуальною для сучасної фізики детермінованого хаосу, як фундаментальної, так і прикладної.

Зв'язок роботи з науковими програмами. Дана дисертаційна робота є частиною досліджень, які проводилися в рамках таких планових бюджетних тем, програм і проектів Національного Наукового Центра «Харківський фізико-технічний інститут»:

1. НДР «Дослідження геометричних основ і структури симетрії теорії супер-струн, вивчення властивостей нуклонів і ядер у лептон-адронних взаємодіях» (номер державної реєстрації 080901ИР009 від 08.10.2001р.) у рамках «Програми проведення фундаментальних досліджень по атомній науці і техніці «Національного Наукового Центра «Харківський фізико-технічний інститут» до 2005р.», затвердженої розпорядженням Кабінету Міністрів України від 13.09.2001р. № 421-р, Київ;

2. Теми № III-5-06 (ІТФ) «Теоретико-групові методи і хаос у теорії фундаментальних взаємодій, ядерній фізиці і космології» Відомчого замовлення НАН України на проведення наукових досліджень по атомній науці і техніці Національного Наукового Центра «Харківський фізико-технічний інститут», затвердженого Постановою Бюро Відділення ядерної фізики і енергетики НАН України від 13.06.2005р., протокол № 7(16), § 2;

3. НДР «Вивчення класичного й квантового хаосу» (договір №М/118-2005, номер державної реєстрації 0106U003156, строки виконання 2005-2006гг.) в рамках Робочої програми науково-технічного співробітництва між Урядом України й Урядом Республіки Словенія, затвердженої наказом МОН України від 18.03.2005р. №158 «Про фінансування спільних українсько-словенських науково-дослідних проектів».

Роль автора дисертації у виконанні зазначених науково-дослідних робіт — виконавець.

Мета і завдання досліджень.

Мета роботи — розширення теорії квантового хаосу на двовимірні потенціали загального виду і перевірка наслідків цієї теорії в чисельному експерименті.

Досягнення цієї мети потребувало вирішення таких завдань:

1. розробити ефективні чисельні методи, придатні для розв’язання стаціонарного рівняння Шредингера і моделювання часової динаміки нестаціонарних станів в двовимірних потенціалах нетривіальної топології;

2. отримати чисельно спектри енергій і стаціонарні хвильові функції для двох типових представників двовимірних систем нетривіальної топології — в потенціалах квадрупольних осциляцій і нижчої омбілічної катастрофи ;

3. на базі отриманих чисельних даних перевірити достовірність відомих критеріїв квантового хаосу у випадку потенціалів нетривіальної топології і сформулювати нові критерії, специфічні для багатоямних потенційних систем;

4. чисельно проаналізувати динамічне тунелювання хвильових пакетів в багатоямних потенціалах і застосувати для його опису теорію тунельних триплетів, що описує тунелювання, посилене хаосом.

Об'єкт дослідження — КПКС у двовимірних потенціалах загального виду.

Предмет дослідження — прояви квантового хаосу в статистичних властивостях енергетичного спектра, в структурі стаціонарних хвильових функцій і часовій динаміці хвильових пакетів у змішаному стані як найбільш загальному виді динаміки.

Методи дослідження:

1. чисельні методи розв’язання рівняння Шредингера — метод діагоналізації і спектральний метод розв’язання стаціонарного рівняння Шредингера;

2. квазикласичні методи розгортання спектра і контролю точності обчислень;

3. статистичні методи дослідження флуктуацій енергетичного спектра — аналіз розподілу відстаней між сусідніми енергетичними рівнями у формі Броді і Бері-Робніка-Богомольного;

4. геометричні методи дослідження квантових станів — аналіз просторового розподілу щільності ймовірності й нодальної структури хвильових функцій;

5. методи теорії тунелювання, посиленого хаосом, аналіз часової залежності автокореляційної функції хвильових пакетів, методи знаходження тунельних дублетів і триплетів.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. вперше була отримана функція розподілу відстаней між сусідніми рівнями в змішаному стані і була підтверджена гіпотеза про універсальний характер флуктуацій енергетичних спектрів;

2. вперше було чисельно досліджене питання про можливість застосування розподілу Бері-Робніка-Богомольного для опису флуктуацій енергетичних спектрів змішаного типу в потенціалах загального виду; було запропоноване пояснення незадовільної згоди теоретичних та чисельних результатів, що засноване на обліку домішки патологічних рівнів гармонічного осцилятора;

3. був запропонований новий підхід до пошуку проявів квантового хаосу в структурі хвильових функцій, що, на відміну від традиційних методів, полягає не в статистичному аналізі квантових станів, а апелює до просторової структури окремої хвильової функції; була продемонстрована ефективність такого підходу у випадку багатоямних двовимірних потенціалів;

4. вперше був чисельно проаналізований ефект динамічного тунелювання в потенціалі з декількома локальними мінімумами і було запропоноване пояснення цього ефекту на основі теорії тунельних триплетів;

5. були розвинуті чисельні і квазикласичні методи розв’язання рівняння Шредингера і моделювання часової динаміки нестаціонарних станів у двовимірних потенціалах нетривіальної топології.

Практичне значення отриманих результатів. Виявлені КПКС в структурі хвильових функцій, енергетичних спектрів і динаміці хвильових пакетів є необхідними для побудови загальної теорії квантового хаосу.

Спостережуване в багатоямних потенціалах тунелювання, посилене хаосом, може застосовуватися для керування квантовою динамікою за допомогою чисто класичних засобів.

Розроблені чисельні і квазикласичні методи розв’язання рівняння Шредингера і моделювання часової динаміки у двовимірних потенціалах нетривіальної топології мають універсальний характер і можуть бути використані для аналізу квантової динаміки в системах будь-якої природи.

Особистий внесок здобувача полягає в наступному:

1. в роботах [1,5] дисертантом була чисельно отримана стаціонарна хвильова функція змішаного стану в потенціалі квадрупольних осциляцій атомного ядра в моделі зарядженої рідкої краплі;

2. в роботі [2] здобувачем були отримані й проаналізовані діаграми нодальних доменів стаціонарних хвильових функцій в потенціалах квадрупольних осциляцій атомного ядра і в потенціалі нижчої омбілічної катастрофи ;

3. в роботах [3,6] здобувачем був отриманий енергетичний спектр в потенціалі нижчої омбілічної катастрофи , побудована і чисельно проаналізована функція розподілу міжрівневих інтервалів, а також був проведений аналіз розпливання гаусових хвильових пакетів в потенціалі нижчої омбілічної катастрофи ;

4. роботи [4,7,8] були виконані дисертантом без співавторів. У цих роботах автор розвинув чисельні методи розв’язання рівняння Шредингера для потенціалів складної топології, а також квазикласичні методи контролю точності і обробки результатів обчислень; здійснив чисельне моделювання ефекту динамічного тунелювання у потенціалі квадрупольних осциляцій атомного ядра і запропонував пояснення цього ефекту на основі теорії тунельних триплетів.

Апробація результатів дисертації. Результати, отримані в дисертації, були представлені на таких наукових симпозіумах і конференціях:

1. V міжнародна конференція «Let's Face Chaos Through Non-linear Dynamics», Марибор, Словенія, 30 червня - 14 липня 2002р.;

2. VI міжнародна конференція «Let's Face Chaos Through Non-linear Dynamics», Марибор, Словенія, 26 червня - 10 липня 2005р.;

3. II міжнародна конференція «Квантова електродинаміка і статистична фізика», Харків, Україна, 19-23 вересня 2006р.;

а також на наукових семінарах в Інституті Теоретичної Фізики ім. О. І. Ахієзера Національного наукового центру «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України і Інституту монокристалів НАН України.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 4 статтях у наукових фізичних журналах та в 4 матеріалах конференцій.

Структура дисертації і об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел. Повний об'єм дисертаційної роботи становить 148 сторінок, у тому числі список використаної літератури з 193 найменувань на 15 сторінках, 45 ілюстрацій і 2 таблиці в тексті.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі викладається обґрунтування актуальності теми дисертаційної роботи, формулюються мета і завдання дослідження, визначаються наукова новизна і практичне значення отриманих результатів, подані відомості про апробацію і публікацію матеріалів дисертаційної роботи, поданий короткий зміст роботи.

У першому розділі коротко викладена історія дослідження проблеми квантового хаосу і виконаний огляд літератури, пов'язаної з цією проблемою. Докладно розглянуті розходження у властивостях хаотичних і регулярних квантових систем — критерії квантового хаосу. Центральне місце займає формулювання критеріїв квантового хаосу з використанням статистичних властивостей енергетичних спектрів (функції розподілу міжрівневих відстаней, спектральної жорсткості, коефіцієнтів кореляції, Фур'є-аналізу спектральної жорсткості) і структури стаціонарних хвильових функцій (ступеня розподілу по базисних функціях, швидкості збіжності розкладання, топографії нодальних ліній, розподілу щільності ймовірності). Розглянуто критерії квантового хаосу, засновані на властивостях часової еволюції нестаціонарних станів (хвильових пакетів). Проаналізовано недоліки альтернативних критеріїв квантового хаосу.

У другому розділі представлений сучасний стан проблеми квантового хаосу, поданий стислий виклад основ теорії класичного динамічного хаосу, розглянуті критерії переходу регулярність-хаос у гамільтонових системах із гладкими потенціалами, сформульовані відкриті питання теорії квантового хаосу, розв’язанню яких присвячена дисертація, подана загальна постановка задачі, що буде розв'язана в дисертації.

Процес дослідження хаотичної динаміки в довільній нелінійній системі включає такі етапи:

1. дослідження класичного фазового простору, детектування хаотичних режимів шляхом чисельного інтегрування класичних рівнянь руху;

2. аналітична оцінка критичної енергії (або інших параметрів) переходу регулярність-хаос;

3. вивчення КПКС;

4. аналіз зв'язку між хаотичною динамікою і конкретними фізичними ефектами.

У дисертації цей підхід реалізований для двовимірних потенціалів з декількома локальними мінімумами.

Автономні гамільтонові системи з поверхнею потенційної енергії, що має декілька локальних мінімумів, являють собою просту модель, у рамках якої можуть бути описані такі важливі фізичні процеси як хімічні і ядерні реакції, фазові переходи і багато інших.

Принциповою особливістю переходу від регулярності до хаосу в багатоямних потенціалах є існування різних критичних енергій для різних локальних мінімумів. Типовим представником таких систем є потенціал квадрупольних коливань (КО) атомного ядра

, (1)

де координати та пов’язані з внутрішніми координатами поверхні ядра в представленні сферичних функцій

,

а безрозмірний параметр описує топологію поверхні потенційної енергії. При потенціал (1) має просту топологію з єдиною потенційною ямою в центрі координат, що відповідає ядрам зі сферично симетричним основним станом. Випадок відповідає нетривіальній топології з чотирма локальними мінімумами в потенціалі (1) — одним центральним і трьома периферійними — і описує сильно деформовані стани атомних ядер. В останньому випадку критичні енергії для центрального і периферійного мінімумів суттєво відрізняються. На рис.1 представлені перетини Пуанкаре при різних енергіях, що демонструють еволюцію динаміки в центральному і периферійному мінімумах потенціалу квадрупольних коливань.

Рис.1. Перетини Пуанкаре для потенціалу квадрупольних коливань (1) у площині при й а), (б), (в).

При низьких енергіях рух носить чітко виражений квазиперіодичний характер для обох мінімумів (рис.1а). Звертає на себе увагу розходження в топології перетинів Пуанкаре: складна структура з різними по характеру нерухомими точками в центральному мінімумі і тривіальна структура з єдиною нерухомою еліптичною точкою в периферійному мінімумі. При збільшенні енергії спостерігається поступовий перехід до хаосу (рис.1б). Однак зміна характеру траєкторій, локалізованих у певному мінімумі, відбувається зовсім по-різному. Для центрального мінімуму вже при енергії, рівній половині сідлової, значна частка траєкторій є хаотичними, а при енергії, рівній сідловій, практично всі початкові умови приводять до хаотичних траєкторій. У периферійному мінімумі при цих же умовах рух залишається квазиперіодичним. Більше того, навіть при енергіях , що істотно перевищують сідлову , у периферійному мінімумі зберігається значна частка фазового простору, що відповідає квазиперіодичному руху (рис.1в).

Таким чином, в інтервалі енергій класична динаміка має чітко виражений хаотичний характер у центральному мінімумі і залишається строго регулярною в периферійних мінімумах. Такий різновид динаміки в багатоямних потенціалах, коли частка хаотичних траєкторій при деякій енергії в одному локальному мінімумі істотно відрізняється від їхньої частки в інших мінімумах, отримав назву змішаного стану. Змішаний стан відкриває нові перспективи для дослідження КПКС в статистиці енергетичних спектрів, структурі хвильових функцій і динаміці хвильових пакетів.

У третьому розділі представлені результати розробки чисельних методів — методу діагоналізації і спектрального методу розв’язання рівняння Шредингера — для аналізу проблеми квантового хаосу в гладких потенціалах загального виду. Продемонстровано переваги спектрального методу перед методом діагоналізації при аналізі проблем квантового хаосу у двовимірних потенціалах складної геометрії, викладена методика оптимізації і контролю точності обчислень спектральним методом з використанням результатів квазикласичних наближень.

Спектральний метод застосовується для розв’язання стаціонарного рівняння Шредингера довільної розмірності:

(2)

де – розмірність конфігураційного простору системи, а допускає лише фінітний рух для всіх енергій. Для цього треба знайти залежне від часу рішення відповідного нестаціонарного рівняння Шредингера

(3)

з деякою довільною початковою умовою

. (4)

Таким чином,

, (5)

Якщо отримати на достатньо довгому часовому інтервалі , то можна обчислити кореляційну функцію виду

, (6)

а її Фур'є-образ буде містити всю інформацію про спектр енергій :

. (7)

Кінечний аналог -функції

, (8)

на відміну від звичайної -функції Дірака, ніколи не обертається у нескінченність: . Таким чином, кожному енергетичному рівню відповідає досить гострий пік — локальний максимум функції , розташований у точці . Аналізуючи положення локальних максимумів , можна визначити самі рівні енергії , а також абсолютні величини коефіцієнтів : .

Для знаходження стаціонарних хвильових функцій використовується Фур'є-образ самої :

. (9)

Якщо тепер у виразі

(10)

зневажити сумою, що містить , то з точністю до фазового множника власні хвильові функції визначаться виразом:

(11)

Для обчислення при застосовується покроковий метод розділених операторів:

. (12)

Дія диференціального оператора знаходиться за допомогою дискретного перетворення Фур'є.

Таким чином, спектральний метод в якості природного базиса використовує плоскі хвилі — власні функції вільної частки. Такий базис є однаково гарним для потенціалів будь-якого виду. Ця фундаментальна байдужість спектрального методу до форми потенційної поверхні системи є основною причиною його універсальності. У порівнянні з методом діагоналізації в спектральному методі набагато більше гнучкості: до вільних параметрів обчислень належать розмір і крок обчислювальної сітки, як за часом, так і по всіх координатах незалежно. У той же час вибір числа вузлів сітки обмежений вимогою ефективності обчислень: застосування алгоритму швидкого перетворення Фур'є — головної передумови швидкості спектрального методу — припускає, що всі числа вузлів сітки не містять великих простих дільників (бажано, щоб вони були цілими ступенями двійки). Найбільша сваволя укладена у виборі початкового стану для обчислень по спектральному методу.

Алгоритм спектрального методу може бути легко узагальнений на задачі довільної розмірності, чого не можна сказати про метод діагоналізації — розумна побудова базису кінечної розмірності із власних станів багатовимірного гармонічного осцилятора є нетривіальним завданням через важливу проблему впорядкування базисних векторів. До достоїнств спектрального методу варто віднести також ту обставину, що чисельне моделювання часової динаміки хвильових пакетів входить в алгоритм методу як допоміжна процедура. У деяких важливих випадках таке моделювання є основним завданням, тоді як знаходження самих рівнів енергії й власних хвильових функцій не потрібно. У таких випадках важливою перевагою спектрального методу є можливість досягти кінцевої мети найкоротшим шляхом, тоді як одержання тих самих результатів методом діагоналізації зажадало б незрівнянно більше зусиль.

При аналізі проблем квантового хаосу велике значення мають квазикласичні наближення до щільності станів

, (13)

і ступеневої функції числа станів

(14)

де — стаціонарні рівні енергії. Для отримання таких квазикласичних наближень традиційно використовують інтегральні формули, аналогічні відомим формулам Томаса-Фермі:

, (15)

де – розмірність конфігураційного простору системи. У випадку двовимірних систем такі формули потребують обчислення чотирикратних інтегралів по фазовому простору системи, але для досить широкого класу гамільтонових систем можна розвинути універсальну процедуру зведення таких інтегралів до двократних і навіть однократних, що значно спрощує подальше чисельне інтегрування. В роботі був розвинутий такий універсальний метод спрощення квазикласичних наближень і з його допомогою були отримані квазикласичні результати для щільності і числа станів в двовимірних багатоямних моделях – потенціалах КО і .

У четвертому розділі викладені КПКС в змішаному стані. Розглянуто властивості стаціонарних квантових станів: функція розподілу відстаней між найближчими сусідами в енергетичному спектрі, просторова й нодальна структури стаціонарних хвильових функцій. Особлива увага приділена проявам квантового хаосу в часовій динаміці хвильових пакетів: хаотичне розпливання хвильового пакета зі швидким згасанням кореляцій і посилене хаосом динамічне тунелювання в змішаному стані.

Статистичні властивості енергетичного спектра стаціонарних станів квантової системи належать до найбільш традиційних об'єктів для формулювання критеріїв квантового хаосу. Серед таких критеріїв найбільш популярним є розподіл відстаней між найближчими енергетичними рівнями.

В 80-ті роки минулого сторіччя на основі нелінійної теорії динамічних систем був розроблений універсальний підхід до проблеми статистичних властивостей енергетичних спектрів. Як показують чисельні розрахунки, підкріплені серйозними теоретичними міркуваннями, головною універсальною особливістю систем, чия динаміка в класичній межі регулярна, є феномен кластеризації рівнів (розподіл Пуасона)

, (16)

у той час як для систем, хаотичних у класичній межі, характерно розштовхування рівнів (розподіл Вігнера)

, (17)

де означає величину міжрівневого інтервалу. Це твердження іноді називають гіпотезою про універсальний характер флуктуацій енергетичних спектрів.

Ситуація істотно ускладнюється для гамільтонових систем загального положення, фазовий простір яких містить як регулярну, так і хаотичну компоненти. Бері і Робнік, і незалежно Богомольний, базуючись на квазикласичних аргументах, показали, що функція розподілу відстаней між сусідніми рівнями в цьому випадку являє собою суперпозицію пуасонівського і вігнерівського розподілів з відносними вагами, обумовленими відносною часткою фазового простору з регулярним і хаотичним рухом

, (18)

де означає відносну частку фазового простору, зайнятого регулярними траєкторіями.

Ділянки спектрів багатоямних потенціалів, що реалізують змішаний стан, пропонують нові можливості для вивчення проміжної статистики. При цих енергіях хаотичний і регулярний компоненти розділені не у фазовому просторі (як у звичайному випадку), а в конфігураційному. Апріорно вид функції розподілу відстаней між сусідніми рівнями в змішаному стані не обов'язково зводиться до суперпозиції з певними вагами пуасонівського і вігнерівського розподілів. У цьому випадку ми маємо справу не зі статистикою суміші двох систем рівнів з різними функціями розподілу, а зі статистикою системи рівнів, кожний з яких не може бути пов'язаний з певною статистикою. Статистичні властивості таких систем дотепер взагалі не вивчалися, хоча саме такі системи відповідають ситуації загального положення.

У випадку змішаного стану в багатоямних потенціалах класичний рух носить істотно змішаний характер і статистичні властивості енергетичного спектра повинні описуватися функцією розподілу змішаного типу, такою як розподіл Бері-Робніка-Богомольного (4). У випадку потенціалу нижчої омбілічної катастрофи

(19)

для і близько до для , що якісно співпадає із чисельними даними для статистики енергетичних рівнів (рис. 2).

Недостатньо точну згоду чисельної функції розподілу міжрівневих інтервалів з розподілом Бері-Робніка-Богомольного (18) можна пояснити, насамперед, недостатньою квазикласичністю розглянутих станів. Однак більш важливою причиною такої незгоди теорії й експерименту виявляється специфічна особливість спектрів енергії в змішаному стані. Полягає вона в тому, що рівні енергії в потенціалах з декількома локальними мінімумами в дійсності виявляються дуже близькими до рівнів енергії, що відповідають кожному локальному мінімуму окремо. Останні, у свою чергу, досить точно описуються спектральними серіями, отриманими в наближенні гармонічного осцилятора, особливо для не дуже високих енергій. У випадку змішаного стану особливо близькими до рівнів гармонічного осцилятора є рівні енергії в регулярних мінімумах. Така близькість розглянутого спектра до гармонічного автоматично означає й близькість відповідних функцій розподілу відстаней між сусідніми рівнями. Як відомо, такий розподіл для гармонічного осцилятора носить патологічний характер — він не має універсальної форми, і відповідно, не описується жодним з відомих розподілів.

Функція розподілу відстаней між сусідніми рівнями для гармонічного осцилятора має максимуми, що відповідають його власним частотам. Відповідно розподіл для спектра гармонічного наближення в змішаному стані має більшу кількість максимумів, що відповідають всім частотам, що входять у гармонічне наближення. У цій залежності виду розподілу від власних частот системи й складається основна причина патологічного характеру флуктуацій спектра гармонічного осцилятора. У випадку змішаного стану рівні енергії, близькі до гармонічних, дають істотний, і патологічний, внесок у функцію розподілу відстаней між сусідніми рівнями. Реалістична функція розподілу повинна будуватися як суміш трьох компонентів: не тільки хаотичних і регулярних, але й гармонічних, що привносять патологічні флуктуації спектра. Побудова такої загальної функції розподілу є завданням майбутнього.

Звичайна процедура пошуку КПКС в характеристиках хвильових функцій припускає дослідження розходжень у їхній структурі нижче й вище критичної енергії переходу до хаосу. Такий підхід натрапляє на труднощі, пов'язані з необхідністю відокремити КПКС від тривіальної модифікації хвильових функцій, пов'язаної зі зміною її квантових чисел. Хвильові функції, що відповідають енергіям, при яких спостерігається класичний змішаний стан, дозволяють спостерігати прояви квантового хаосу при порівнянні не різних функцій, а окремих частин однієї і тієї ж хвильової функції, локалізованих у різних частинах конфігураційного простору (різні локальні мінімуми). Ця можливість пов'язана з тим, що в змішаному стані різні частини хвильової функції відповідають різним типам класичного руху.

Від характеру класичного руху залежить просторова структура стаціонарних хвильових функцій. Хвильові функції регулярних станів локалізовані поблизу стійких періодичних орбіт, у той час як характерна амплітуда хаотичних хвильових функцій практично постійна усередині класично дозволеної області.

Ще більш наочні КПКС у структурі нодальних доменів (рис.3).

Відповідні критерії квантового хаосу полягають в наступному:

1. усередині класично дозволеної області нодальні домени регулярних станів мають правильну структуру, подібну до шахової дошки, а для хаотичних станів нодальні домени ніякої певної структури не утворюють;

2. нодальні лінії регулярних станів перетинаються між собою, для хаотичних станів характерно ухиляння від перетинань;

3. на границі класично дозволеної області нодальна структура регулярних хвильових функцій отримує різку перебудову, з шахматноподібної перетворюючись у смугасту з радіальними нодальними лініями, що йдуть на нескінченність, що робить саму границю класично дозволеної області добре помітною в нодальній структурі регулярних хвильових функцій; для хаотичних станів характерне існування перехідного шару поблизу границі класично дозволеної області, у якому нодальна структура перебудовується досить плавно, і деякі радіально спрямовані нодальні криві замикаються один на одну вже в класично забороненій області.

У випадку змішаного стану, амплітуда переважної більшості хвильових функцій в одному й іншому локальному мінімумі відрізняється на кілька порядків, що ускладнює аналіз її розподілу.

Це обставина, однак, є несуттєвою для аналізу нодальної структури хвильових функцій. Її особливості подібні до перерахованих вище для одноямного випадку, з тією різницею, що характерні риси регулярних і хаотичних станів присутні в одній і тій же стаціонарній хвильовій функції змішаного стану. Їхній прояв носить універсальний характер, як видно з порівняння змішаного стану в потенціалах квадрупольних осциляцій (1) і нижчої омбілічної катастрофи (19) на рис.3.

Вочевидь, властивості хвильових функцій дають набагато багатший матеріал для вивчення КПКС, ніж властивості енергетичного спектра, але ці дослідження вимагають більших обчислювальних витрат.

У найбільш тісному ідеологічному зв'язку із класичною динамікою перебувають КПКС в динаміці гаусових хвильових пакетів мінімальної дисперсії, які у квазикласичній межі є квантовим аналогом матеріальної крапки й досить добре відтворюють характерні властивості класичних траєкторій.

У випадку змішаного стану рух має квазиперіодичний характер в одному з мінімумів і стохастичний в іншому (рис. 4а). Це проявляється й у квантових кореляційних функціях (6): періодично повторювані піки відповідають квазиперіодичному регулярному руху в одному з мінімумів (рис. б); при тій же енергії в іншому мінімумі спостерігається аперіодичний рух зі швидким загасанням кореляцій (рис. 4в), що пов'язане з набагато швидшим розпливанням хвильових пакетів при хаотичному, ніж при регулярному русі.

Розглянемо динаміку гаусових хвильових пакетів у потенціалі квадрупольних поверхневих коливань атомного ядра (1). При значенні параметра поверхня потенційної енергії має чотири локальні мінімуми, при цьому в певному інтервалі енергій рух носить стохастичний характер у центральному мінімумі й регулярний — в інших.

При енергіях руху, що істотно переважають сідлову, хаотична динаміка спостерігається у всіх локальних мінімумах. Однак у периферійних мінімумах зберігаються острови стабільності (рис. 1г), що відповідають квазиперіодичному руху, локалізованому в цих мінімумах.

За допомогою спектрального методу неважко вивчити квантовий аналог такої квазиперіодичної траєкторії. Для цього треба вибрати початковий стан у вигляді гаусова хвильового пакета мінімальної невизначеності:

(20)

При цьому його параметри варто вибрати так, щоб вони збігалися із класичними початковими умовами, що дають квазиперіодичний рух. В результаті певний час динаміка такого квантового хвильового пакета буде з високою точністю імітувати класичний рух по відповідній квазиперіодичній траєкторії. Через достатньо довгий проміжок часу починає проявлятись ефект динамічного тунелювання: хвильовий пакет залишає той локальний мінімум, де він був локалізований з початку, і з’являється в двох інших, тобто відбувається процес переходу, що є заборонений класичною механікою. Через такий саме проміжок часу хвильовий пакет більш-менш поновлюється в своєму початковому стані (рис. 5).

Осцилюючий характер динамічного тунелювання ясно зображений в термінах автокореляційної функції (рис. 6а). Її Фур’є-образ (рис. 6б) демонструє три домінуючі стани у хвильовому пакеті, які формують тунельний триплет (правий максимум на діаграмі насправді являє собою дуже вузький дублет). Рис. 7 показує розподіл для усіх трьох членів тунельного триплету в порядку зростання їхньої енергії (зліва направо): середній стан є цілковито регулярним і утворює тунельний дублет разом зі станом найвищої енергії, який є майже регулярним з невеликою домішкою хаотичних мод. Найнижчий за енергією стан в тунельному триплеті є майже цілковито хаотичним і перекривається лише з одним з членів тунельного дублету (найвищім за енергією). Відштовхування цих станів значно розширює розщеплення рівнів в тунельному дублеті і таким чином помітно посилює тунелювання, в чому і полягає сутність ефекту тунелювання, посиленого хаосом.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вивчені найбільш фундаментальні КПКС в змішаному стані, а саме: функція розподілу відстаней між сусідніми рівнями в спектрі енергій, просторова структура стаціонарних хвильових функцій і часова динаміка гаусових хвильових пакетів. Таким чином, реалістичні потенціали нетривіальної топології були вперше досліджені з точки зору теорії квантового хаосу.

Дисертантом отримані такі головні наукові та практичні результати:

1. вперше була підтверджена гіпотеза про універсальність флуктуацій енергетичного спектра для потенціалів складної топології, продемонстрована якісна згода з відомими теоретичними результатами для розподілу міжрівневих інтервалів у випадку динаміки змішаного типу;

2. вперше було виявлено патологічний характер спектральних флуктуацій у змішаному стані, обумовлений наявністю серій рівнів типу неуніверсального спектра двовимірного гармонічного осцилятора, показана необхідність обліку такого впливу для побудови загальної теорії спектральних флуктуацій;

3. було запропоновано новий підхід до вивчення КПКС в структурі хвильових функцій змішаного стану. Ефективність такого підходу продемонстрована для таких представницьких систем, як потенціали квадрупольних поверхневих коливань атомних ядер і омбілічної катастрофи .

4. вперше було проведено чисельне моделювання часової динаміки гаусових хвильових пакетів у потенціалах нетривіальної топології. Продемонстрована якісна відповідність між швидкостями загасання класичних і квантових кореляцій. Вперше виявлений ефект динамічного тунелювання в потенціалах з декількома локальними мінімумами і було подане пояснення цього ефекту, засноване на теорії тунельних триплетів, що описує тунелювання, посилене хаосом;

5. було проведено оптимізацію чисельних методів розв’язання рівняння Шредингера в потенціалах складної топології і розроблені квазикласичні методи аналізу і контролю точності чисельно отриманих результатів.

Таким чином, мета дисертаційної роботи досягнута, поставлені завдання виконані повністю.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Berezovoj V.P., Bolotin Yu.L., Cherkaskiy V.A. Quantum manifestations of classical stochasticity in the mixed state. // Prog. Theor. Phys. Supplement. – 2003. - V. 150. - P. .

2. Berezovoj V.P., Bolotin Yu.L., Cherkaskiy V.A. Signatures of quantum chaos in wave functions structure for multi-well 2D potentials. // Phys. Lett. A. – 2004. - V. 323. - P. .

3. Березовой В.П., Болотин Ю.Л., Черкасский В.А. Проявления квантового хаоса в квадрупольных поверхностных осцилляциях ядер. // Вісник ХНУ iм. В.Н. Каразiна, сер. фiз. "Ядра, частинки, поля". – 2004. – № 628. - С. 47-60.

4. Черкасский В.А., Комбинированное применение численных и аналитических методов при исследовании квантового хаоса в гладких потенциалах сложной геометрии. // Вісник ХНУ iм. В.Н. Каразiна, сер. фiз. "Ядра, частинки, поля". – 2005. – № 710. – С. 47-64.

5. Berezovoj V.P., Bolotin Yu.L., Cherkaskiy V.A. Quantum manifestation of classical stochasticity in the mixed state. // Abstracts of 5th international conference «Let’s Face Chaos Through Non-linear Dynamics». – 2002. – Maribor, Slovenia. – P.102.

6. Berezovoj V.P., Bolotin Yu.L., Cherkaskiy V.A. Quantum chaos in two-dimensional potentials of non-trivial topology. // Abstracts of 6th International Conference «Let’s Face Chaos Through Non-linear Dynamics». – 2005. – Maribor, Slovenia. – P.93.

7. Cherkaskiy V.A. Analytical and numerical methods for quantum chaos problems in 2D potentials. // Abstracts of 6th International Conference «Let’s Face Chaos Through Non-linear Dynamics». – 2005. – Maribor, Slovenia. – P.108.

8. Cherkaskiy V.A. Numerical methods for quantum chaos problems in 2D potential systems. // Тези 2-ї Міжнародної конференції «Квантова електродинаміка та статистична фізика». – 2006. – Харків, Україна. – С.113.

АНОТАЦІЯ

Черкаський В.А. Квантовий хаос в двовимірних потенціалах нетривіальної топології. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за фахом 01.04.02 - теоретична фізика - Інститут теоретичної фізики імені О.І. Ахієзера Національного наукового центру «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України, Харків, 2007.

У дисертації вивчені прояви квантового хаосу у двовимірних нелінійних системах з нетривіальною формою потенційної поверхні, тобто такою, що має два або більше локальні мінімуми. Нелінійні моделі зі складною багатоямною формою потенційної поверхні являють собою ситуацію загального положення й служать ефективною моделлю для опису таких важливих фізичних процесів, як хімічні реакції, фазові переходи, ядерні реакції і розпад наддеформованих ядер. Найбільш загальним видом класичної динаміки в таких системах є так званий змішаний стан, що характеризується тим, що при одній і тій же енергії в одних мінімумах спостерігається регулярний рух, а в інших — хаотичний. Вплив класичного хаосу на квазикласичну динаміку вивчено на рівні статистичних властивостей енергетичних спектрів, структури стаціонарних хвильових функцій і динаміки хвильових пакетів.

Запропонований новий підхід для вивчення квантових проявів класичної стохастичності в структурі хвильових функцій і продемонстрована його ефективність на прикладі деформаційного потенціалу, що описує квадрупольні коливання атомних ядер, і потенціалу нижчої омбілічної катастрофи . Проведено оптимізацію чисельних методів розв’язання рівняння Шредингера в потенціалах складної топології й розроблені аналітичні квазикласичні методи контролю точності отриманих чисельно результатів. Спектральний метод, що використовується в оптиці, був адаптований для розв’язання рівняння Шредингера в багатоямному випадку. Це дозволило далеко просунутися у квазикласичну область і істотно поліпшити статистичну вірогідність результатів. Уперше досліджені статистичні властивості енергетичних спектрів змішаного стану. Продемонстровано якісну згоду отриманих результатів з гіпотезою про універсальний характер флуктуацій енергетичних спектрів. Проведено чисельне моделювання динаміки хвильових пакетів, за допомогою якого виявлені строгі кореляції між класичною й квантовою динамікою. Виявлено ефект посиленого хаосом тунелювання хвильових пакетів у багатоямному випадку.

Ключові слова: квантовий хаос, двовимірні системи, гладкі потенціали, чисельні методи.

АННОТАЦИЯ

Черкасский В.А. Квантовый хаос в двумерных потенциалах нетривиальной топологии. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 – теоретическая физика – Институт теоретической физики имени А.И. Ахиезера Национального научного центра «Харьковский физико-технический институт» НАН Украины, Харьков, 2007.

В диссертации изучены проявления квантового хаоса в двумерных нелинейных системах с нетривиальной формой потенциальной поверхности, то есть такой, которая обладает двумя или более локальными минимумами. Нелинейные модели со сложной многоямной формой потенциальной поверхности представляют собой ситуацию общего положения и служат эффективной моделью для описания таких важных физических процессов, как химические реакции, фазовые переходы, ядерные реакции и распад супердеформированных ядер. Наиболее общим видом классической динамики в таких системах является так называемое смешанное состояние, которое характеризуется тем, что при одной и той же энергии в одних минимумах наблюдается регулярное движение, а в других — хаотическое. Влияние классического хаоса на квазиклассическую динамику изучено на уровне статистических свойств энергетических спектров, структуры стационарных волновых функций и динамики волновых пакетов.

Предложен новый подход для изучения квантовых проявлений классической стохастичности в структуре волновых функций и продемонстрирована его эффективность на примере деформационного потенциала, описывающего квадрупольные колебания атомных ядер, и потенциала низшей омбилической катастрофы . Проведена оптимизация численных методов решения уравнения Шредингера в потенциалах сложной топологии и разработаны аналитические квазиклассические методы контроля точности полученных численно результатов. Используемый в оптике спектральный метод решения уравнения Шредингера адаптирован для многоямного случая. Это позволило далеко продвинуться в квазиклассическую область и существенно улучшить статистическую достоверность результатов. Впервые исследованы статистические свойства энергетических спектров смешанного состояния. Продемонстрировано качественное согласие полученных результатов с гипотезой об универсальном характере флуктуаций энергетических спектров. Проведено численное моделирование динамики волновых пакетов, с помощью которого обнаружены строгие корреляции между классической и квантовой динамикой. Обнаружен эффект усиленного хаосом туннелирования волновых пакетов в многоямном случае.

Ключевые слова: квантовый хаос, двумерные системы, гладкие потенциалы, численне методы.

ABSTRACT

Cherkaskiy V.A. Quantum chaos in two-dimensional potentials of non-trivial topology. - Manuscript.

Thesis for scientific degree of candidate of science in physics and mathematics by speciality 01.04.02 - theoretical physics - Akhiezer Institute for Theoretical Physics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2007.

The present thesis is devoted to consideration of quantum signatures of chaos in two-dimensional non-linear systems. Generic potential energy surface is of non-trivial shape, namely it has two or more local minima. The most general type of classical dynamics in such systems is the so-called mixed state — the situation, when at one and the same energy some minima demonstrate regular motion, while the others — chaotic one.

Non-linear models with complicated multi-well shape of potential energy surface represent the common case situation and they are used for description of many important processes in real systems, such as chemical reactions, phase transitions, nuclear reactions and decay of superdeformed nuclei. However the problem of general theoretical description of dynamics — the mixed state — in such models remains up to now almost unstudied, both from classical and quantum mechanical points of view.

In the present thesis a novel approach is proposed for investigations of quantum chaos in wave function structure. In distinction from the traditional quantum chaos criteria, which are based on analysis of modifications of wave structure at the regularity-chaos transitions with energy growth, the new approach allows observe the signatures of quantum chaos in a separate wave function at fixed energy, and therefore gives possibility to study the quantum chaos in pure form. Efficiency of the new approach is demonstrated for such representative systems as the potentials of lower umbillic catastrophe (two-well system) and of quadrupole surface oscillations of atomic nuclei (four-well system).

Statistical properties of stationary states energy spectra fluctuations in quantum systems belong to the most traditional objects