КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

КРЕНЕВИЧ Андрій Павлович

УДК 517.9

АСИМПТОТИЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ
СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ СИСТЕМ У СКІНЧЕННОВИМІРНИХ ТА ГІЛЬБЕРТОВИХ ПРОСТОРАХ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі загальної математики
Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

СТАНЖИЦЬКИЙ Олександр Миколайович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри загальної математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

ЯСИНСЬКИЙ Володимир Кирилович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича,

завідувач кафедри математичної та

прикладної статистики

кандидат фізико-математичних наук,

КАПУСТЯН Олексій Володимирович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

доцент кафедри інтегральних та диференціальних

рівнянь.

Захист відбудеться 19 травня 2008 року о 14.00 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.001.37 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м.Київ-22, просп. академіка Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національ-ного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий ___ квітня 2008 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Системи диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями правих частин є природним узагальненням систем звичайних диференціальних рівнянь на той випадок, коли при дослідженні реальних об'єктів потрібно враховувати вплив випадкових сил. При цьому важливо не тільки мати кількісні характеристики таких систем, що отримуються емпірично, шляхом стохастичної обробки, а й не менш важливо знати їх еволюцію з часом. Тут і стають в нагоді якісні методи дослідження поведінки розв'язків систем з випадковими збуреннями. За останні десятиріччя ця математична теорія, активно розвиваючись, знайшла свої застосування в радіотехніці та електроніці, квантовій механіці, теорії автоматичного керування, космічних дослідженнях. Такими системами рівнянь описуються зміни на ринку фінансів та цінних паперів, що в останні роки значно підвищило інтерес спеціалістів-практиків до даної галузі математики. Таким чином, у незалежній країні, що прагне мати розвинуту ринкову економіку та сучасні технології її прогнозування, треба мати готовий набір якісних методів для розв'язання задач, що постійно виникають на практиці.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках теми 06 БФ038-01 "Якісні та аналітичні методи дослідження і моделювання нелінійних систем та фізико-механічних полів" (номер держреєстрації 0106U005863).

Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка якісних методів дослідження систем диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями їх параметрів, та застосування цих методів до вивчення стійкості та обмеженості розв'язків, встановлення умов існування і єдиності розв'язків, дослідження коливних властивостей розв'язків. У роботі вивчаються наступні задачі:

дослідження експоненціальної дихотомії стохастичних систем з випадковими початковими даними;

асимптотична еквівалентність розв'язків стохастичних систем Іто;

застосування асимптотичної еквівалентності стохастичних систем Іто до дослідження стійкості, обмеженості та коливності їх розв'язків;

дослідження стохастичних рівнянь у гільбертових просторах.

Методика дослідження. У роботі використовуються якісні методи теорії звичайних диференціальних рівнянь, методи теорії випадкових процесів та теорія стохастичних диференціальних рівнянь дифузійного типу.

Наукова новизна одержаних результатів.

Отримано зв'язок експоненціальної дихотомії лінійної однорідної системи з випадковими початковими даними з існуванням обмежених у середньому квадратичному на додатній півосі розв'язків у неоднорідної системи.

Для лінійних систем з випадковими початковими даними отримано достатні умови експоненціальної дихотомії в термінах квадратичних форм. Також вказано необхідні умови експоненціальної дихотомії для лінійних однорідних систем зі сталими коефіцієнтами.

Наведено умови за яких розв'язки стохастичних лінійних, квазілінійних та нелінійних систем Іто асимптотично еквівалентні в різних імовірнісних сенсах до розв'язків відповідних детермінованих систем.

Отримано достатні умови асимптотичної еквівалентності розв'язків стохастичного лінійного рівняння в гільбертовому просторі розв'язкам відповідного звичайного диференціального рівняння.

Для стохастичних рівнянь не розв'язаних відносно "похідної" знайдено умови існування і єдиності їх розв'язків.

Теоретична та практична цінність отриманих результатів. Усі отримані в дисертаційній роботі результати мають як теоретичне значення для якісного дослідження систем диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями правих частин, так і практичне застосування для дослідження реальних систем.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікував сім наукових статей у фахових виданнях, із них дві у співавторстві з науковим керівником проф. Станжицьким О.М., в яких Станжицькому О.М. належить постановка задач та загальне керівництво роботою. Автор зі спільних робіт у дисертації використовує лише ті результати, які отримані ним особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися та обговорювалися на наступних наукових семінарах:

науковий семінар кафедри загальної математики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка;

науковий семінар кафедри математичної та прикладної статистики Чернівецького університету імені Юрія Федьковича;

науковий семінар відділу теорії випадкових процесів в Інституті математики НАН України;

науковий семінар відділу теорії ймовірностей Інституту прикладної математики і механіки (м. Донецьк);

спільний науковий семінар кафедр інтегральних та диференціальних рівнянь, математичної фізики та загальної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Основні результати роботи доповідалися на наступних міжнародних наукових конференціях:

Міжнародна наукова конференція "Шості Боголюбовські читання" (м. Чернівці, 2003р.);

Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 2004р.);

Міжнародна наукова конференція "Сучасні проблеми і нові напрямки теорії ймовірностей" (м. Чернівці, 2005р.);

Міжнародна наукова конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування" (м. Київ, 2005р.);

Одинадцята міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука. (м. Київ 2006р.).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано 7 статей у фахових виданнях [1–7], а також надруковано 5 тез доповідей на конференціях [8–12].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний зміст дисертації становить 127 сторінок, із них список використаних джерел займає 13 сторінок і включає в себе 99 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел.

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи, висвітлює деякі результати щодо схожих проблем, отриманих іншими авторами.

Другий розділ присвячений дослідженню експоненціальної дихотомії в середньому квадратичному лінійних стохастичних систем Іто. Вивчення властивості дихотомії бере свій початок ще від робіт Ж. Адамара і О. Перона. В даний час є велика кількість робіт присвячених дихотомії як лінійних так і нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь.

Очевидно, що питання дихотомії актуальні і для стохастичних лінійних диференціальних систем. Проте, слід зауважити, що труднощі їх дослідження значно вищі. Наприклад, для систем лінійних стохастичних рівнянь зі сталими коефіцієнтами, на відміну від детермінованого випадку, явний вигляд розв'язків знайти практично неможливо. Одначе, як було показано багатьма авторами задача знаходження моментів порядків 1,2,... може бути зведена до задачі розв'язування допоміжної детермінованої лінійної системи. При цьому рівняння для перших моментів має таку ж розмірність, що й вихідне. Проте специфіка імовірнісного випадку в більш повній мірі проявляється на системі рівнянь для других моментів. Так, наприклад, неважко привести приклади коли перші моменти розв'язків прямують до нуля на нескінченності, а другі моменти необмежено зростають. Тому актуальним у лінійній теорії є вивчення поведінки саме других моментів.

Отже, розглядається система—

детерміновані, неперервні по і обмежені на додатній півосі матриці, , – незалежні в сукупності вінерівські процеси, задані на ймовірнісному просторі з фільтрацією, – простір обмежених у середньому квадратичному -вимірних випадкових величин із нормою. Тоді, для, система має єдиний сильний розв'язок, визначений при і такий, що має при скінченний другий момент. Нехай – сім'я лінійних операторів, що -вимірному випадковому вектору при, ставлять у відповідність -вимірний випадковий вектор.

Означення .1 Систему будемо називати експоненціально дихотомічною в середньому квадратичному на півосі, , якщо простір розкладається в пряму суму підпросторів

де – n-мірний, вимірний по , -вимірний випадковий процес, обмежений у середньому квадратичному на додатній півосі. Тоді має місце наступна

Теорема .1 Нехай неоднорідна система така, що при довільному випадковому процесі обмеженому в середньому квадратичному, існує, що її розв'язок – обмежений у середньому квадратичному на додатній півосі. Тоді вихідна однорідна система – експоненціально дихотомічна в середньому квадратичному на додатній півосі.

У підрозділі 2.2 наведено умови дихотомії в термінах квадратичних форм. Як відомо, у випадку систем звичайних диференціальних рівнянь зі скінченновимірним простором початкових даних питання дихотомії еквівалентне існуванню квадратичної форми, похідна від якої в силу системи є від'ємно визначеною. У роботах Х. Массера та Х. Шеффера було показано, що, для систем звичайних диференціальних рівнянь нескінченної розмірності, існування квадратичної форми, похідна від якої в силу системи від'ємно визначена, не гарантує дихотомії. Тому в підрозділі 2.2 означення дихотомії дещо послаблене.

Означення .2 Вищенаведену однорідну лінійну стохастичну систему будемо називати експоненціально дихотомічною в середньому квадратичному на півосі, якщо для простір розкладається в пряму суму підпросто, причому

а) для розв'язків сто--хастичної системи, що виходять у момент з підпростору, справедлива оцінка:

Зауважимо, що якщо в означенні для всіх, то дане означення рівносильне означенню експоненціальної дихотомії з попереднього підрозділу.

Експоненціальну дихотомію стохастичної системи будемо вивчати за допомогою знакозмінних форм виду, де – симетрична, обмежена при матриця.

Таким чином наступна теорема є узагальненням відомого результату для систем звичайних диференціальних рівнянь і вказує достатні умови експоненціальної дихотомії в термінах квадратичних форм для систем стохастичних диференціальних рівнянь із випадковими початковими даними.

Теорема .2 Нехай існує симетрична, неперервно диференційована й обмежена при матриця, така, що матриця

є від’ємно визначеною при. Тоді вихідна однорідна система експоненціально дихотомічна в середньому квадратичному на додатній півосі. Якщо простір – скінченновимірний, то система експоненціально дихотомічна в сенсі означення .1.

Обернену теорему було отримано для системи зі сталими коефіцієнтами.

Розглянемо систему лінійних стохастичних диференціальних рівнянь Іто

де, невипадкові матриці.

Теорема .3 Нехай однорідна система зі сталими коефіцієнтами експоненціально дихотомічна у середньому квадратичному на додатній півосі. Тоді існує неперервно диференційована по квадратична форма по , така, що є від'ємно визначеною при квадратичною формою.

Одним із найбільш важливих розділів якісної теорії стохастичних диференціальних рівнянь є вивчення асимптотичної поведінки розв’язків, зокрема стійкості стохастичних систем у різних імовірнісних сенсах, наприклад, стійкості у середньому квадратичному, стійкості з ймовірністю одиниця, стійкості за ймовірністю.

У дисертаційній роботі використано інший підхід до вивчення асимптотичної поведінки розв'язків стохастичних систем, а саме, відшукання системи звичайних диференціальних рівнянь, асимптотична поведінка розв'язків якої є подібною до поведінки розв'язків стохастичної системи. Вихідну і знайдену системи називатимемо асимптотично еквівалентними.

Саме зазначеним вище питанням присвячений третій розділ дисертаційної роботи, де досліджуються умови асимптотичної еквівалентності розв'язків систем лінійних та нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь розв'язкам детермінованих систем.

Зауважимо, що даний підхід стане в нагоді, при дослідженні стійкості розв’язків стохастичних систем, оскільки питання стійкості стохастичної системи зводиться до питання стійкості деякої детермінованої системи.

Поруч із системою звичайних диференціальних рівнянь

розглядається система стохастичних диференціальних рівнянь вигляду

дмірні функції, – стандартний скалярний вінерівський процес, визначений для, на ймовірнісному просторі та узгоджений із фільтрацією.

Вважатимемо, що вищенаведені системи мають розв’язки на додатній півосі.

Означення 3.1 Якщо кожному сильному розв'язку стохастичної системи можна поставити у відповідність розв'язок детермінованої системи, такий, що

то стохастична система називається асимптотично еквівалентною детермінованій системі в середньому квадратичному.

Означення .2 Якщо кожному сильному розв'язку стохастичної системи можна поставити у відповідність розв'язок детермінованої системи, такий, що

то стохастична система називається асимптотично еквівалентною детермінованій системі з ймовірністю 1.

У підрозділі 3.1 розглядається лінійна система звичайних диференціальних рівнянь вигляду

разом із лінійною стохастичною диференціальною системою вигляду

де, – детермінована, стала матриця, – неперервні, детерміновані матриці. Тоді має місце теорема, що є узагальненням теореми Левінсона на випадок систем стохастичних диференціальних рівнянь.

Теорема .1 Нехай розв'язки детермінованої лінійної системи обмежені на. Тоді, якщо виконуються нерівності

то

a)лінійна стохастична система асимптотично еквівалентна в середньому квадратичному детермінованій лінійній системі;

b)лінійна стохастична система асимптотично еквівалентна детермінованій лінійній системі з ймовірністю 1.

Із даної теореми очевидним чином отримуються наступні наслідки.

Наслідок 3.1 За умов теореми 3.1 зі стійкості детермінованої системи випливає стійкість стохастичної системи в середньому квадратичному та із ймовірністю 1.

Розглянемо систему

Очевидним чином можна отримати наступне твердження.

Наслідок .2 Нехай виконуються оцінки, що беруть участь у теоремі 3.1. Тоді кожний розв'язок щойно наведеної системи з ймовірністю 1 має горизонтальну асимптоту (взагалі кажучи випадкову), тобто

Розглянемо стохастичне диференціальне рівняння другого порядку вигляду

д неперервна на додатній півосі функція, така, що, – скалярний вінерівський процес. Для того, щоб надати рівнянню строгий сенс, будемо розуміти його як систему стохастичних диференціальних рівнянь Іто вигляду

Із теореми 3.1 та наслідку 3.1 очевидним чином отримаємо наступний

Наслідок 3.3 Усі розв'язки останньої системи стійкі в сенсі середнього квадратичного та з ймовірністю 1. Більш того, для майже всіх розв'язок буде нескінченно близько наближатись до тривіального розв'язку або буде коливним на півосі.

У підрозділі 3.2 отримано узагальнення теореми .1 на випадок квазілінійних систем вигляду

де – неперервні за сукупністю аргументів -мірні функції, для яких виконується умова Ліпшиця по тобто існує така, що для довільних виконується нерівність

Крім того для виконуються оцінки

де – деякі додатні неперервні функції.

Теорема .2 Нехай розв'язки детермінованої лінійної системи обмежені на. Тоді, якщо

то

a)квазілінійна стохастична система асимптотично еквівалентна в середньому квадратичному детермінованій лінійній системі;

b)квазілінійна стохастична система асимптотично еквівалентна детермінованій лінійній системі з ймовірністю 1.

Логічним завершенням третього розділу є підрозділ 3.3, у якому встановлено достатні умови асимптотичної еквівалентності розв'язків нелінійних систем.

Розглядається нелінійна система звичайних диференціальних рівнянь

разом із нелінійною системою стохастичних диференціальних рівнянь вигляду

де – -мірні функції, такі, що виконуються умови:

а) існує додатна стала , що для довільних, для довільного виконується оцінка

b) існує додатна стала , що для довільного, для довільного виконується оцінка

c) існує функція, обмежена на така, що для довільного, для довільного виконується оцінка –

стандартний скалярний вінерівський процес, визначений для , на ймовірнісному просторі з фільтрацією.

Теорема .3 Нехай розв'язки детермінованої нелінійної системи задовольняють умову: існує константа така, що для довільного

Нехай виконуються вище наведені умови a)-c) причому для

де – деякі додатні сталі, незалежні від , причому.

Тоді

a)стохастична нелінійна система асимптотично еквівалентна відповідній детермінованій системі в середньому квадратичному;

b) стохастична нелінійна система асимптотично еквівалентна відповідній детермінованій системі з ймовірністю 1.

Завершальний четвертий розділ присвячений стохастичним диференціальним рівнянням у гільбертових просторах.

Підрозділ 4.1 є логічним продовженням результатів, описаних у підрозділі 3.1, на випадок гільбертового простору.

Розглядається простір– сепарабельний гільбертовий простір зі скалярним добутком та нормою | • |.

У гільбертовому просторі розглядається лінійне диференціальне рівняння

інійний обмежений оператор.

Поруч із ним розглядається стохастичне диференціальне рівняння вигляду

де – лінійні, для кожного обмежені оператори, – скалярний вінерівський процес, визначений для, на ймовірнісному просторі та узгоджений із фільтрацією.

Тоді має місце наступна

Теорема .1 Нехай розв'язки лінійного рівняння обмежені на, причому спектр оператора складається з двох спектральних множин

таких, що, а.

Нехай оператор що є звуженням оператора на інваріантний під-простір, який відповідає спектральній множині, подібний до деякого косоермітового оператора (). Тоді, якщо

то стохастичне рівняння асимптотично еквівалентне в середньому квадратичному та з ймовірністю 1 детермінованому лінійному рівнянню.

У підрозділі 4.2 досліджуються умови існування і єдиності розв'язків стохастичного диференціального рівняння вигляду

визначеного у гільбертовому просторі , що задовольняє початкову умову ,

де – скалярний вінерівський процес, визначений для, на ймовірнісному просторі та узгоджений із фільтрацією, – лінійний, неперервний по оператор, такий, що для кожного – обмежений оператор,–

неперервні по оператор-функції, такі, що існують додатні сталі, такі, що для всіх виконуються наступні співвідношення

a.

Враховуючи неперервність оператора, очевидно, що існують додатні сталі і, такі що

c)

де – еволюційний оператор рівняння Будемо називати вищенаведене рівняння стохастичним рівнянням не розв’язаним відносно "похідної".

Розглянемо банаховий простір – простір -значних, -вимірних, із ймовірністю неперервних по випадкових процесів, з нормою

Наступна лема надає інтегральне представлення для розв’язку вищенаведеного рівняння.

Лема .1 Розв'язок інтегрального рівняння

є сильним розв'язком рівняння не розв’язаного відносно "похідної" з початковою умовою).

Доведення теореми існування і єдиності було розділено на декілька етапів, кожен з яких оформлено у вигляді додаткового твердження.

Для довільних розглянемо наступне стохастичне рівняння

і визначимо оператор, що діє за правилом

Теорема .1 Нехай існують додатні сталі , такі, що для довільних виконуються нерівності

причому сталі (де визначені вище) пов'язані співвідношенням

Тоді останнє рівняння має єдиний розв'язок на відрізку, який визначається як нерухома точка оператор

Визначимо оператор наступним чином

де – розв'язок рівняння

Лема .2 Нехай виконуються умови теореми .2, причому. Тоді існують додатні сталі, такі, що для довільних виконуються нерівності:

Теорему існування і єдиності стохастичного рівняння не розв’язаного відносно "похідної" отримаємо використовуючи метод послідовних наближень Пікара. Побудуємо послідовність за наступними рекурентними співвідношеннями

діє за правилом

Лема .3 Нехай виконуються умови Леми .2. Тоді існують додатні сталі, такі, що для довільних виконуються оцінки

Основним результатом підрозділу 4.2 є

Теорема .3 Нехай виконуються умови a)-d), причому сталі пов'язані співві

Тоді, для довільної початкової умови), стохастичне рівняння не розв’язане відносно "похідної" має єдиний розв'язок на відрізку котрий можна знайти використовуючи метод послідовних наближень Пікара.

ВИСНОВКИ

Для лінійних систем отримано теорему про зв'язок експоненціальної дихотомії в середньому квадратичному з існуванням обмежених у середньому квадратичному розв'язків відповідної неоднорідної системи. В термінах знакозмінних квадратичних форм отримано достатні умови дихотомії на півосі, а для стохастичних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами отримано і необхідні умови дихотомії на півосі в термінах квадратичних форм.

Отримано умови асимптотичної еквівалентності розв'язків стохастичних лінійних, квазілінійних та нелінійних систем у середньому квадратичному та з ймовірністю 1 розв'язкам систем звичайних диференціальних рівнянь, та узагальнено результати на випадок гільбертового простору.

Досліджено питання існування і єдиності розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі, що не розв’язані відносно "похідної".

Отримані в роботі результати дають можливість якісними методами досліджувати задачі прикладного характеру, математичними моделями яких є стохастичні диференціальні рівняння дифузійного типу.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Станжицький О.М., Креневич А.П. Експоненційна дихотомія лінійних стохастичних систем Іто // Вісник Київського університету. Серія: математика, механіка. —2003.— №9,10.— С.132—138.

Станжицький О.М., Креневич А.П. Дослідження експоненціальної дихотомії лінійних стохастичних систем Іто з випадковими початковими даними за допомогою квадратичних форм // Український математичний журнал.—2006.—58, №4.—С.543—554.

Креневич А.П. Асимптотична еквівалентність розв'язків квазілінійних стохастичних систем Іто // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки —2006.— №1.—С.69—76.

Креневич А.П. Асимптотична еквівалентність розв'язків лінійних стохастичних систем Іто // Український математичний журнал.—2006.—58, №10.—С.1368—1384.

Креневич А.П. Асимптотична еквівалентність розв'язків нелінійних стохастичних систем Іто // Нелінійні коливання. Інститут математики НАН України.—2006.—9, №2.—С.213—220.

Krenevych Andriy. Asymptotic Equivalence Of the solutions of The Linear Stochastic Ito Equations in the Hilbert space // Theory of Stochastic Processes.—2007.—13(29), №1-2.—P.103—109.

Креневич А.П. Про існування і єдиність розв’язків стохастичних диферен-ціальних рівнянь в гільбертовому просторі не розв’язаних відносно ‘похідної’ // Науковий вісник Чернівецького уні-вер-ситету: Збірник наукових праць. Математика.—Чернівці:Рута, 2007.— 349.—С.46 – 49.

Креневич А.П. Станжицький О.М. Іщук В.В. Експоненційна дихотомія лінійних систем Іто // Тези доповідей. Шості Боголюбовські читання.—Чернівці, 2003. —С.214.

Креневич А.П. Дослідження експоненційної дихотомії стохастичних систем Іто за допомогою квадратичних форм // Матеріали конференції. Х Міжнародна конфер. ім. акад. М. Кравчука.— Київ, 2004.—С.145.

Креневич А.П. Асимптотична еквівалентність розв'язків стохастичних систем Іто // Матеріали конференції. Міжнародна конференція "Сучасні проблеми і перспективи розвитку теорії ймовірностей". — Чернівці, 2005. —С.129.

Креневич А.П. Асимптотична еквівалентність з ймовірністю 1 розв'язків стохастичних систем Іто // Матеріали конференції. Міжнародна конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування". — Київ, 2005.—С.49.

Креневич А.П. Асимптотична еквівалентність розв'язків нелінійних стохастичних систем Іто // Матеріали конференції. ХІ Міжнародна наук. конфер. ім.акад. М. Кравчука.— Київ, 2006.—С.158.

АНОТАЦІЇ

Креневич А.П. Асимптотичне дослідження стохастичних диферен-ціальних систем у скінченновимірних та гільбертових просторах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню асимптотичної поведінки розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь Іто в скінченновимірних та гільбертових просторах. Отримано умови експоненціальної дихотомії для лінійних однорідних стохастичних систем Іто та досліджено зв’язок дихотомічних систем з існуванням у неоднорідних обмежених на півосі розв’язків. Отримано також необхідні та достатні умови експоненціальної дихотомії в термінах квадратичних форм. Для стохастичних систем отримано умови асимптотичної еквівалентності в середньому квадратичному та з ймовірністю 1 і для лінійних систем узагальнено ці результати на випадок гільбертового простору. Отримано умови існування і єдиності розв’язків стохастичних систем не розв’язаних відносно «похідної» в гільбертовому просторі.

Ключові слова: стохастичне диференціальне рівняння Іто, експоненціальна дихотомія у середньому квадратичному, квадратична форма, асимптотична еквівалентність у середньому квадратичному, асимптотична еквівалентність із ймовірністю , стохастичне диференціальне рівняння не розв’язане відносно "похідної", існування і єдиність розв’язку.

Креневич А.П. Асимптотическое исследование стохастических дифференциальных систем в конечномерных и гильбертовых прост-ранствах. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2008.

Диссертационная работа посвящена исследованию асимптотического поведения решения стохастических дифференциальных уравнений Ито в конечномерных и гильбертовых пространствах. Для стохастических дифференциальных систем доказано, что если линейная неоднородная система на полуоси имеет ограниченное в среднем квадратичном решение, то соответствующая ей однородная система будет экспоненциально дихотомической на полуоси. Также, в терминах квадратичных форм, получены условия, которые гарантируют экспоненциальную в среднем квадратичном дихотомию на полуоси. Для систем Ито с постоянными коэффициентами доказано существование отрицательно определенной квадратичной формы.

Получены условия асимптотической эквивалентности в среднем квадратичном и с вероятностью  для стохастических систем. Таким образом, для линейных стохастических систем получен аналог теоремы Левинсона. Доказано, что если детерминированную систему возмущать малыми коэффициентами и белым шумом, то решения возмущенной системы будут себя вести, в среднем квадратичном и с вероятностью , аналогично решениям начальной, не возмущенной системы. Данный результат был обобщен на случай стохастических систем в гильбертовом пространстве. Также был получен результат об асимптотической эквивалентности нелинейных стохастических систем.

Рассмотрены стохастические уравнения диффузионного типа не решенные относительно "производной" в гильбертовом пространстве. Для них, используя метод последовательных приближений Пикара, получены условия существования и единственности решений.

Ключевые слова: стохастическое дифференциальное уравнение Ито, экспоненциальная дихотомия в среднем квадратичном, квадратичная форма, асимптотическая эквивалентность в среднем квадратичном, асимптотическая эквивалентность с вероятностью , стохастическое дифференциальное уравнение не решенное относительно "производной", существование и единственность решения.

Krenevych A.P. Asymptotic investigation of stochastic differential systems in finite-dimensional and Hilbert spaces. – Manuscript.

The thesis is for obtaining a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in specialty 01.01.02 – Differential Equations. – Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2008.

The thesis is dedicated to investigation of the asymptotic behaviour of solutions to the stochastic differential Ito’s equations in finite-dimensional and Hilbert spaces. The exponential dichotomy conditions of a linear homogeneous stochastic system are obtained. These conditions are determined in terms of bounded solutions and quadratic forms. The conditions of the asymptotic equivalence in the mean square and with probability one are derived for the stochastic differential systems in finite-dimensional and Hilbert spaces. The existence and uniqueness theorem for solutions of the stochastic systems not resolved with respect to “derivative” in Hilbert space are proved.

Key words: stochastic differential equation, exponential dichotomy in mean square, quadratic form, asymptotic equivalence in mean square, asymptotic equivalence with probability one, stochastic differential equation not resolved with respect to “derivative”, the existence and uniqueness theorem.