МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ

ТАВРІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРОТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ЛІСНЯК Андрій Анатолійович

УДК 514.18

Геометричне моделювання ДІЙ

механічних пристроїв НА ОСНОВІ

властивостЕЙ трикутника Рело

Спеціальність 05.01.01 –

Прикладна геометрія, інженерна графіка

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Мелітополь – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті «Харківський політехнічний інститут» Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: - доктор технічних наук, професор

Найдиш Андрій Володимирович,

завідувач кафедри прикладної математики

і комп’ютерних технологій,

Таврійський державний агротехнологічний університет

(м. Мелітополь)

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор

Борисенко Валерій Дмитрович,

завідувач кафедри інженерної графіки,

Національний університет кораблебудування

імені адмірала Макарова;

(м. Миколаїв);

- кандидат технічних наук, доцент

Гнатушенко Володимир Володимирович,

доцент кафедри електронних засобів телекомунікацій,

Дніпропетровський національний університет

(м. Дніпропетровськ)

Захист відбудеться 23.06.2008 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .819.02 у Таврійському державному агротехнологічному університеті за адресою:

72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б.Хмельницького, 18.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Таврійського державного агротехнологічного університету за адресою:

72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б.Хмельницького, 18.

Автореферат розісланий 21.05. 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої ради,

кандидат технічних наук, доцент О.Є.Мацулевич

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Становлення виробничого потенціалу України неможливе без інформаційного забезпечення систем автоматизованого проектування машинобудівних виробів. При цьому виявилося, що найважче формалізувати процес спряження певних деталей, коли необхідно врахувати, що деталь машинобудівного виробу формується як обвідна миттєвих положень окремих частин іншої деталі, яка рухається за законами обертання, паралельного переносу чи обертового переносу. У широкому розумінні в процесі формоутворення обвідної задіяні дві геометричні складові - форма частин рухомої деталі та закон її переміщення відносно іншої деталі.

Геометричне моделювання складних за формою об’єктів як результату їх профілювання за певними законами переміщення належать до головних напрямків розвитку прикладної геометрії та інженерної графіки. Значний внесок у розв’язання конкретних задач формоутворення зробили професори В.В.Ванін, С.М.Ковальов, В.Є.Михайленко, В.М.Найдиш, В.С.Обухова, А.В.Павлов, А.М.Підкоритов, О.Л.Пiдгорний, К.О.Сазонов, І.А.Скидан та ін.

Однак, відкритими залишаються питання геометричного моделювання різновидів формоутворення, у тому числі і результатів обкатки планетарним механізмом. Зокрема, це стосується досліджень у галузі математичного забезпечення алгоритмів формоутворення (сверління) некруглих отворів, профілювання корпусів роторно-планетарних машин (двигунів Ванкеля) та проектування кулачків синхронного обертання з попарним точковим контактом (для шнекових екструдерів). Зазначене є прикладами механічних пристроїв, що діють на основі властивостей трикутника Релло.

З появою математичних процесорів вдалося здійснити геометричне моделювання різновидів обкатки трикутника Релло за допомогою планетарного механізму. Цьому присвячено роботи професорів А.В.Найдиша і Л.М.Куценка та їх учнів (В.В.Суліми, Д.В.Соколова, А.В.Васильєва, В.Г.Реви, С.В.Росохи). Для опису результату обкатки трикутника Релло за допомогою планетарного механізму необхідно мати зручний для диференціювання опис трикутника. Адже для обчислення обвідної необхідно брати похідну від функції, яка входить до його опису. Недоліки відомих описів полягають у використанні для їх «конструювання» функцій, які викликають складнощі при диференціюванні (дробово-тригонометричних, обернених тригонометричних та R-функцій). Тому доцільним буде пошук нових способів опису. Ідеальним з позицій диференціювання буде опис трикутника Релло рівнянням у неявному вигляді з використанням поліномів – тобто у вигляді неявно-поліноміального рівняння.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано на кафедрі нарисної геометрії і графіки Національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут» в рамках науково-технічної програми кафедри нарисної геометрії і графіки за замовленням НПП «Екструдер».

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є розробка способу опису фігур постійної ширини рівнянням поліноміального типу, та на прикладі трикутника Релло побудові зображень результатів його обкатки за одним з трохоїдальних законів, або за законом обертового переносу, що моделюють дії механічних пристроїв певного класу.

Об’єктом дослідження є явище формоутворення складних за формою кривих шляхом геометричного моделювання різновидів обкатки трикутника Релло, що широко використовується в машинобудуванні.

Предметом дослідження є обвідна окремих фаз положень трикутника Релло, як результат геометричного моделювання різновидів обкатки в залежності від її параметрів.

Методи дослідження: елементи теорії R-функцій, геометричне моделювання переміщення трикутника Релло по площині, використання комп’ютерної графіки в середовищі Maple.

Для досягнення мети досліджень у дисертації поставлено такі задачі:

1. Виконати огляд механічних пристроїв, дія яких базується на основі властивостей трикутника Релло, та здійснити огляд способів його опису.

2. Описати криві постійної ширини диференціальним рівнянням, що дозволить формалізувати визначення класу кривих на площині.

3. Розробити спосіб розв’язання складеного диференціального рівняння у вигляді ряду Фур’є з непарними доданками, що дозволить будувати описи кривих постійної ширини у параметричному вигляді.

4. Знайти рівняння трикутника Релло у параметричному та неявно-поліноміальному вигляді, що дозволить спростити описи сім’ї трикутників Релло в процесі обкатки та визначення обвідної цієї сім’ї.

5. На основі знайденого опису трикутника Релло одержати рівняння обвідних сім’ї узагальнених діаметрів, що дозволить розглянути нові схеми застосовувати кривих постійної ширини в механічних пристроях.

6. Одержати аналог трикутника Релло як обвідну сім’ї епітрохоїд та обчислити значення керуючого параметра, за яким його форма збігатиметься з формою класичного трикутника Релло, що дозволить досягти точного точкового контакту при обкатці планетарним механізмом трикутника Релло в середині епітрохоїди.

7. На основі закону обертового переносу розробити схеми обертання багатопарних трикутників Релло із постійним точковим попарним контактом між ними, що дозволить підвищити продуктивність дії прес-екструдера.

8. Реалізацію роботи виконати в науково-промисловому підприємстві «Екструдер» при проектуванні нових схем шнекових прес-екструдерів.

Наукова новизна одержаних результатів.

- Вперше криві постійної ширини описано диференціальним рівнянням, та наведено його розв’язки у вигляді ряду Фур’є з непарними доданками.

- Вперше з використанням базисів Гробнера одержано опис трикутника Релло у неявно-поліноміальному вигляді.

- Вперше одержано аналог трикутника Релло як обвідну сім’ї епітрохоїд та обчислено значення керуючого параметра, за яким його форма збігатиметься з формою класичного трикутника Релло, що дозволить досягти точкового контакту епітрохоїд і трикутника Релло при обкатці планетарним механізмом.

- Вперше розроблено схеми синхронного обертання багатопарних трикутників Релло із постійним попарним точковим контактом між ними, що дозволить підвищити продуктивність нових схем дії прес-екструдерів.

Вірогідність результатів роботи підтверджується графічними зображеннями сім’ї положень окремих фаз переміщення трикутника Релло для тестових прикладів, а також розрахунками реальних кривих в процесі впровадження методу в практику.

Практичне значення одержаних результатів. Викладені в дисертації дослідження є основою для проектування різновидів обкатки на базі сучасних математичних процесорів. Результати дозволяють впроваджувати в практику розрахунок схем свердління некруглих отворів, профілювання роторів і корпусів трохоїдних машин та моделювання кулачків-роздрібнювачів шнекових екструдерів для ефективного функціонування механічних пристроїв.

Реалізація результатів роботи виконана на Харківському НПП «Екструдер» при проектуванні обладнання нового тривісного шнекового прес-екструдера, що підтверджується довідкою про впровадження.

Особистий внесок здобувача. Особисто автором розроблено спосіб складання диференціальне рівняння для опису кривих постійної ширини, та знайдено розв’язки цього рівняння. Конкретний внесок до наукових праць полягає в розробці способів опису трикутника Релло рівняннями в неявно-поліноміальному вигляді; а також в складанні конкретних алгоритмів моделювання обкатки трикутника Релло за трохоїдальними законами та за законом обертового переносу.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися та обговорювались на: міській секції графіки під керівн. д.т.н., проф. Л.М.Куценка (м. Харків, 2006 р); н/п конференціях „Геометричне і комп’ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн” (м. Сімферополь, 2005, 2006 рр.); н/п конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Дніпропетровськ, 2006 р.); україно–російських н/п конференціях «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Харків, 2005, 2007 рр.); науковому семінарі кафедри прикладної математики і комп’ютерних технологій ТДАТА під керівн. д.т.н., проф. А.В.Найдиша (м. Мелітополь, 2007 р.).

Публікації. За результатами досліджень опубліковано 10 робіт, з них 7 статей одноосібно та 9 статей у виданнях, які рекомендовано ВАК України.

Структура i обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку літератури зі 121 найменування та додатків. Робота містить 137 сторінок тексту та 76 рисунків.

Вступ містить загальну характеристику роботи. Обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та задачі досліджень. Показано наукову новизну і практичну цінність отриманих розв’язків.

В першому розділі наведено огляд способів опису трикутника Релло як кривої постійної ширини і можливі схеми застосування цих описів.

В роботах В.В.Суліми показано, що якщо центр кола радіуса а, описаного навколо трикутника Релло, збігається з початком декартових координат, то його рівняння в неявному вигляді з використанням тригонометричних функцій має вигляд

. (1)

Рис. 1. Трикутник Релло і еквідистанта

В роботах С.В.Росохи з використанням R-функцій еквідистанту трикутника Релло пропонується описувати у вигляді

F(x, y) (wa wb fc) (wa wc fb)

(wb wc fa) qa qb qc = 0, (2)

де описами опорних областей будуть

; ; ;

; ;

; ;

; .

У формулі (2) значками і позначено R-операції:

; .

При t = 0 рівняння трикутника Релло одержується у вигляді.

, (3)

де ; ;.

Недоліки описів (1)–(3) полягають у використанні для їх «конструкцій» функцій, які викликають складнощі при диференціюванні (обернених тригонометричних та R-функцій). Тому актуальним є пошук нових способів опису. Ідеальним з позицій диференціювання є опис за допомогою поліномів.

В другому розділі наведено теоретичні основи опису кривих постійної ширини. Нехай на площині Oxy задано фігуру G, якій належить початок координат. Вважатимемо, що границею фігури G буде опукла замкнута крива L. Рівняння першої дотичної до кривої L задамо у вигляді

, (4)

де параметр t буде змінюватися в інтервалі [0..2].

В рівнянні (1) через h(t) позначено опорну функцію, яка визначає відстань від дотичної до початку координат (рис. 2).

Зважаючи на опуклість і замкнутість кривої L можна стверджувати, що існує друга дотична до кривої L з рівнянням , яка відповідає значенню параметра t+ для опорної функції. На рис. 3 зображено криву L з двома дотичними до неї в точках P і Q. Зазначимо, що між точками P і Q найкоротшою відстань буде тоді, коли пряма PQ буде перпендикулярною до обраних дотичних.

Рис. 2. Опорна пряма кривої

Рис. 3. Ширина кривої на площині

Відстань між дотичними d(t) називають узагальненим діаметром опуклої замкнутої кривої. У випадку, коли значення d(t) = d =const, тобто коли воно не залежить від параметра t, то L має назву кривої постійної ширини.

Відомо, що опорна функція h(t) для всіх t з інтервалу [0..2] має задовольняти трьом умовам:

1) замкнутості h(t) = h(t + 2);

2) постійності шини h(t) + h(t + ) = d;

3) опуклості .

Криву постійної ширини на площині можна вважати обвідною сім’ї прямих (4). Згідно традиційного способу опису зазначеної обвідної слід розв’язати відносно x і y систему рівнянь

; (5)

Шуканий розв’язок, тобто опис кривої L, можна одержати у вигляді:

; (6)

.

Звідси виникає задача визначити таку опорну функцію h(t), щоб обвідною була крива постійної ширини (як приклад - трикутник Релло).

З використанням умови складемо диференціальне рівняння відносно опорної функції h(t) (рис. 2). Для цього врахуємо координати точок

P(;) і

Q(; ),

а також формулу для обчислення довжини відрізка PQ. В результаті для визначення опорної функції h(t) одержимо диференціальне рівняння:

, (7)

де вираз слід розуміти так: спочатку виконується диференціювання функції h(t) по t, а потім в одержаному виразі аргумент t заміняється на t+.

Розв’язок диференціального рівняння (7) шукатимемо у вигляді ряду Фур’є з непарними компонентами:

, (8)

де С – константа інтегрування, за допомогою якої можна враховувати геометричну форму кривої постійної ширини.

В загальному випадку одержані криві постійної ширини матимуть самоперетини (на рис. 4 і далі обрано d = 1).

Для унаочнення сім’ї відрізків, які саме і забезпечують властивість кривої бути «постійної ширини», пропонується зображувати відрізки, що з’єднують точки кривої, які зміщені за параметром t на величину (рис. 5).

Рис. 4. Приклади кривих постійної ширини з самоперетинами.

Рис. 5. Зображення кривих постійної ширини з узагальненими діаметрами.

На практиці ж необхідно визначити криву постійної ширини без самоперетинів. Для обчислення відповідного значення константи інтегрування скористаємося умовою опуклості кривої. Визначимо похідні від виразів (6) ; ; та обчислимо кривину кривої . Звідси стає зрозумілим вибір вище умови опуклості кривої у вигляді нерівності iii).

В залежності від N в роботі знайдено формулу для обчислення константи інтегрування , починаючи зі значення якої буде опуклою відповідна крива постійної ширини (рис. 6).

Рис. 6. Зображення опуклих кривих постійної ширини

сумісно з узагальненими діаметрами.

Знайдено описи обвідних сім’ї узагальнених діаметрів опуклих кривих постійної ширини. Наприклад, при N = 4 рівняння обвідної має вигляд:

Запропоновано спосіб опису кривих постійної ширини рівнянням у вигляді F(x, y) = 0, де F(x, y) - поліном. Для цього використано базиси Гробнера у середовищі Maple – тобто клас багаточленів, корені яких співпадають з коренями шуканого багаточлена. Наприклад, при n = 3, C = 64 і d = 1 (рис. 6) функція, що входить до неявно-поліноміального рівняння кривої, має вигляд:

(9)

В роботі також розглянуто спосіб параметризації в раціонально-поліноміальному вигляді кривої, яка описана в неявно-поліноміальному вигляді рівнянням F(x, y) = 0. Спосіб базується на використанні в середовищі математичного процесора операторів вигляду

algcurves[parametrization](F, x, y, t).

Наприклад, опис трикутника Релло за допомогою параметричних раціонально-поліноміальних виразів матиме вигляд:

; . (10)

В роботі криві x=x(t), y=y(t) постійної ширини відносно точки P(x0,y0) досліджуються за допомогою побудови їх подери, рівняння якої має вигляд

; . (11)

На рис. 7 і 8 наведено приклади подер для трикутника Релло і кривої постійної ширини із самоперетинами.

Рис. 7. Приклади подер для трикутника Релло

Рис. 8. Приклади подер для кривої постійної ширини з самоперетинами.

В третьому розділі наведено теоретичні основи опису трикутника Релло. З формули (5) при N = 2 і С = 8 можна визначити опорну функцію у вигляді . Тоді з врахуванням (3) опис трикутника Релло має вигляд:

; . (12)

З параметричного опису (12) трикутника Релло (наприклад, при d = 1) у середовищі Maple можна одержати його опис в поліноміальному вигляді. Для цього необхідно виконати перепозначення c = cos(t) i s = sin(t) і скласти рядок

. (13)

До строки (13) слід застосувати оператор Гробнера в результаті чого будуть обчислені вирази, серед яких буде і опис трикутника Релло у вигляді:

(14)

На рис. 9 наведено графік функції z = F(x, y) і вигляд трикутника Релло, описаного рівнянням F(x, y) =0 .

Рис. 9. Графік функції z = F(x, y) (ліворуч) і трикутник Релло,

описаний рівнянням F(x, y) =0 з лініями рівня функції F(x, y).

Застосування поліноміального опису F(x, y) = 0 трикутника Релло дозволяє по-новому здійснювати геометричне моделювання результату обкатки за допомогою планетарного механізму. В роботі розглянуто такі різновиди опису обкатки трикутника Релло.

1. Епітрохоїдна обкатка утворюється тоді, коли трикутник Релло є одним цілим з рухомим колом більшого радіуса R, яке котиться своєю внутрішньою частиною по нерухомому колу меншого радіуса r (рис. 10).

Опис параметричної ( - параметр) сім’ї трикутників Релло має вигляд:

. (15)

2. Гіпотрохоїдна обкатка утворюється тоді, коли трикутник Релло є одним цілим з рухомим колом меншого радіуса r, яке котиться по внутрішній частині нерухомого кола більшого радіуса R (рис. 11).

Опис параметричної ( - параметр) сім’ї трикутників Релло має вигляд

. (16)

Рис. 10. Схема епітрохоїдної обкатки

Рис. 11. Схема гіпотрохоїдної обкатки

3. Закон обертового переносу. На відстань R переносом трикутника Релло 1 відносно іншого трикутника Релло 2 вважається переміщення полюса трикутника 1 по колу радіуса R з центром в полюсі трикутника 2 так, що кожний трикутник сім’ї {1} буде результатом паралельного переносу трикутника 2. В результаті обертового переносу трикутника Релло 1 на відстань буде утворено новий трикутник 1 (рис. 12).

Рис. 12. Схема обкатки трикутника Релло за законом обертового переносу.

Для випадків 1 – 3, враховуючи поліноміальне рівняння F(x, y) = 0 трикутника Релло, опис результату обкатки можна визначити двома способами:

- з огляду на зв'язок між операцією об'єднання множин і R-диз'юнкцією обвідну при a b наближено рівнянням у неявному вигляді (опис одержується у неявному вигляді);

- шляхом наближеного чисельного розв’язання відносно у середовищі математичного процесора системи рівнянь і (опис одержується у вигляді точок, належних обвідній).

На рис.13 наведено приклади результатів обкатки трикутника Релло.

Рис. 13. Приклади обкатки трикутника Релло:

епітрохоїдної (а) і гіпотрохоїдою (б)

4. Умовно-реверсна обкатка утворюється тоді, коли спочатку за допомогою планетарного механізму формується епітрохоїда (тут коло більшого радіуса котиться своєю внутрішньою частиною по нерухомому колу меншого радіуса), а потім, помінявши місцями рухоме і нерухоме коло, визначається обвідна сім’ї епітрохоїд (тут коло меншого радіуса котиться по внутрішній частині нерухомого кола більшого радіуса); при цьому сформована епітрохоїда вважається одним цілим з рухомим колом меншого радіуса. Аналог трикутника Релло утворюється як обвідна сім’ї епітрохоїд.

Порівняно з відомими результатами в наведеній схемі пропонується застосовувати поліноміальне рівняння епітрохоїди. Нехай r = 2 і R = 3.

Крок 1. За схемою епітрохоїдної обкатки побудувати параметричне рівняння кривої (епітрохоїди) ; (рис. 14). Із застосування базису Гробнера знайдено її поліноміальне рівняння

. (17)

Крок 2 (реверс обкатки). За схемою гіпотрохоїдної обкатки побудувати обвідну сім’ї епітрохоїд (17), зображення яких наведено на рис. 15.

Обвідна сім’ї епітрохоїд складається з двох гілок – зовнішньої, що має вигляд трилисника, і внутрішньої, форма якої нагадує трикутник Релло і залежить від керуючого параметра а. В роботі показано, що при а = 7,75 кожна дуга внутрішньої обвідної матиме найменше відхилення від дуги кола, що вказує на її подобу елементу трикутника Релло.

Рис. 14. Епітрохоїда при а = 8

Рис. 15. Сім’я епітрохоїд (15)

Показано, що в аналітичному вигляді внутрішню обвідну можна описати за допомогою R - функції з огляду на зв'язок між операцією перетину множин і R-кон'юнкцією.

В четвертому розділі наведено застосування нового способу опису трикутника Релло при проектуванні шнекового прес-екструдера. Форму трикутника Релло мають кулачки-роздрібнювачі, насаджені на шнеки. При цьому реалізується обкатка трикутника Релло за схемою обертового переносу. Наголошується, що дисертація присвя-чена геометричним питанням конструювання відповідного обладнання, де доводиться ефективність поліноміального опису трикутника Релло при розрахунку раціональних значень параметрів конструкції прес-ектрудерів.

Звичайно прес- екструдери проектуються з двома шнеками (рис. 16), де на паралельних валах в одному напрямку синхронно обертаються шнеки й групи насадок-роздрібнювачів насіння. За технологією кожні дві насадки-роздрібнювачі, які розташовані в одній площині, установлені з можливістю постійного контакту при обертанні. Це запобігає в процесі віджимання налипанню роздрібненої маси на поверхні насадок. Пропонуються багатошнекові конструкції. На рис. 17 наведено схему семивісної конструкції. Тут необхідно так розташувати трикутники Релло, щоб задовольнити попарний точковий дотик під час синхронного обертання валів. Детально в роботі розглянуто тривісну конструкцію екструдера (рис. 18). При цьому поліноміальний опис дозволяє спростити обчислити площ активних зон.

Рис. 17. Фази обертання семи трикутників Релло

Рис.18. Переріз нового прес-екструдера

Якщо центральний трикутник Релло в локальній системі координат описано рівнянням F(X,Y) = 0, то його обертання в глобальній системі реалізовано формулою , де u – кут повороту. За такою формулою описуються обертання інших трикутників. Позначивши ; , координати центрів інших трикутників обчислено як (2dX, 0); (dX , dY); (-2dX, 0); (-dX , -dY); (dX , -dY); (-dX , dY).

В роботі наведено приклади розрахунків фізичних полів, які виникають в кулачку прес-ектрудера. Результати впроваджено на НВП «Екструдер» при проектуванні обладнання трьохвісних прес-екструдерів.

ВИСНОВКИ

Дисертацію присвячено новому розв’язанню задачі опису кривих постійної ширини у вигляді параметричних і неявно-поліноміальних рівнянь, та геометричному моделюванню дій механічних пристроїв (на прикладі властивостей трикутника Релло), які зводяться до формоутворення обкаткою за трохоїдними законами на основі планетарного механізму та законом обертового переносу.

Значення для науки роботи полягає у подальшому розвитку результатів формоутворення обкаткою трикутника Релло з використанням його нового аналітичного опису та опису законів його переміщення для моделювання дій механічних пристроїв певного класу.

Значення для практики досліджень полягає в скороченні термінів та підвищенні точності моделювання механічних пристроїв з трикутником Релло, що задовольняють сучасним вимогам і прискорюють етапи їх проектування.

При цьому отримані результати, що мають науково-практичну цінність.

1. Виконано огляд механічних пристроїв, дія яких базується на основі властивостей трикутника Релло, та огляд описів трикутника Релло, з чого зроблено висновок про відсутність способів опису, зручних для практики.

2. Описано криві постійної ширини диференціальним рівнянням, що дозволить формалізувати визначення цілого класу кривих на площині.

3. Розроблено спосіб розв’язання складеного диференціального рівняння у вигляді ряду Фур’є з непарними доданками, що дозволило будувати описи кривих постійної ширини у параметричному вигляді, що, в свою чергу, спростило описи результатів їх обкаток за допомогою планетарного механізму.

4. Знайдено рівняння трикутника Релло у параметричному та неявно-поліноміальному вигляді, що дозволило спростити описи сім’ї трикутників Релло в процесі обкатки.

5. На основі знайденого опису трикутника Релло було одержано рівняння обвідних сім’ї узагальнених діаметрів, що дозволило розглянути нові схеми застосовувати кривих постійної ширини в механічних пристроях.

6. Одержано аналог трикутника Релло як обвідну сім’ї епітрохоїд та обчислено значення керуючого параметра, за яким його форма збігатиметься з формою класичного трикутника Релло, що дозволило досягти точного точкового контакту при обкатці планетарним механізмом трикутника Релло в середині епітрохоїди.

7. На основі закону обертового переносу розроблено схеми синхронного обертання багатопарних трикутників Релло із постійним точковим попарним контактом між ними, що дозволило підвищити продуктивність дії шнекового прес-екструдера.

8. Реалізацію роботи виконано в науково-промисловому підприємстві «Екструдер» при проектуванні нових схем шнекових прес-екструдерів.

Основні положення дисертації опубліковано у таких роботах:

1. Лісняк А.А. Розрахунок контурів N-кутників, що окреслені трикутником Релло // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2004. Вип. 4.- Т. 25.- С. 94–99

2. Лісняк А.А. Окреслення правильного чотирикутника складним обертанням трикутника Релло // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2004. Вип. 4.- Т. 27.- С. 107–110

3. Лісняк А.А. Геометричні властивості трикутника Релло // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2006. Вип. 4.- Т. 31.- С. 109–114

4. Лісняк А.А. Опис трикутника Релло рівнянням у неявному вигляді за допомогою тримісної R-кон’юнкції // Геометричне та комп’ютерне моделювання – Харків: ХДУХТ, 2004. – Вип.8. – С. 137-143.

5. Шеліхова І.Б., Лісняк А.А. Обкатка трикутника Релло за законом обертового переносу // Геометричне та комп’ютерне моделювання – Харків: ХДУХТ, 2005. – Вип.13. – С. 173-178.

Особисто автором виконано аналіз особливостей закону обертового переносу та способів його опису.

6. Лісняк А.А. Трикутник Релло як фігура постійної ширини та його можливі використання // Геометричне та комп’ютерне моделювання – Харків: ХДУХТ, 2006. – Вип.14. – С. 180-187.

7. Лисняк А.А. Синтетические методы построения треугольника Релло как кривой постоянной ширины.- У зб. «Геометричне та комп’ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн». Київ: КНУТД, 2006. С. 99-103

8. Лісняк А.А., Грінченко А.А. Опис трикутника Релло за допомогою нормального рівняння // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. – Вип. 2(43), Дніпропетровськ, 2006 – С. 135 – 139.

Особисто автором виконано перевірка адекватності опису трикутника Релло за допомогою нормального рівняння.

9. Лісняк А.А. Опис трикутника Релло рівнянням у неявному вигляді за допомогою тримісної R-кон’юнкції // Прикладна геометрія та інженерна графіка – Київ: КНУБА, 2004. – Вип. 74. – С. 260-267 .

10. Тормосов Ю.М., Лісняк А.А., Кукуруза Д.В. Формоутворення глухих некруглих отворів // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2007. Вип. 4.- Т. 35.- С. 42–48

Особисто автором складено схему руху інструменту при формуванні глухих некруглих отворів та реалізовано спосіб його опису.

Лісняк А.А. Геометричне моделювання механічних пристроїв, дії яких базуються на властивостях трикутника Релло. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 – Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Таврійський державний агротехнологічний університет, Мелітополь, Україна, 2008.

Дисертацію присвячено новому розв’язанню задачі опису кривих постійної ширини у вигляді параметричних і неявно-поліноміальних рівнянь, та на прикладі властивостей трикутника Релло геометричному моделюванню дій механічних пристроїв, які зводяться до формоутворення обкаткою за трохоїдними законами на основі планетарного механізму та законом обертового переносу. До головних результатів роботи слід віднести таке. Складено диференціальне рівняння для визначення функцій, що входять до опису кривих постійної ширини, та розроблено спосіб його розв’язання. Знайдено описи трикутника Релло рівняннями у параметричному та неявно-поліноміальному вигляді. Одержано аналог трикутника Релло як обвідну сім’ї епітрохоїд та обчислено значення керуючого параметра, за яким його форма збігатиметься з формою класичного трикутника Релло. На основі закону обертового переносу розроблено схеми синхронного обертання багатопарних трикутників Релло із постійним точковим попарним контактом між ними. Реалізацію роботи виконано в науково-промисловому підприємстві «Екструдер» при проектуванні нових схем шнекових прес-екструдерів.

Ключові слова: трикутник Релло, неявно-поліноміальне рівняння трикутника Релло, обкатка трикутника Релло, планетарний механізм.

Лисняк А.А. Геометрическое моделирование механических устройств, действие которых базируются на свойствах треугольника Релло. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - Прикладная геометрия, инженерная графика. – Таврийский государственный агротехнологический университет, Мелитополь, Украина, 2008.

Диссертация посвящена новому решению задачи описания кривых постоянной ширины в виде параметрических и неявно-полиномиальных уравнений, и на примере свойств треугольника Релло геометрическому моделированию действий механических устройств, которые сводятся к формообразованию обкаткой по трохоидным законам на основе планетарного механизма и законом вращающегося переноса.

Актуальность темы исследований связана с тем, что становление производственного потенциала Украины невозможное без информационного обеспечения систем автоматизированного проектирования машинострои-тельных изделий. При этом оказалось, что наиболее сложно формализовать процесс сопряжения определенных деталей, когда необходимо учесть, что деталь машиностроительного изделия формируется как огибающая мгновенных положений отдельных частей другой детали, которая перемещается по законам вращения, параллельного переноса либо вращательно-параллельного переноса. В широком понимании в процессе формообразования огибающей задействованные две геометрические составляющие - форма частей подвижной детали и закон ее перемещения относительно другой детали.

Геометрическое моделирование сложных по форме объектов как результата их профилирования по определенным законам перемещения принадлежат к главным направлениям развития прикладной геометрии и инженерной графики. Значительный вклад в решение конкретных задач формообразования сделали профессора В.В.Ванин, С.Н.Ковалев, В.Е.Михайленко, В.М.Найдыш, В.С.Обухова, А.В.Павлов, А.Н.Подкорытов, А.Л.Подгорный, К.А.Сазонов, И.А.Скидан и др.

Однако открытыми еще остается вопрос геометрического моделирования разновидностей формообразования, в том числе и результата обкатки планетарным механизмом. В частности это касается исследований в области математического обеспечения алгоритмов формообразования (сверления) некруглых отверстий, профилирования корпусов роторно-планетарных машин (двигателей Ванкеля) и проектирование кулачков синхронного вращения с попарным точечным контактом (для шнековых экструдеров). Упомянутое является примерами механических устройств, которые действуют на основе свойств треугольника Релло.

С появлением математических процессоров удалось осуществить геометрическое моделирование разновидностей обкатки треугольника Релло с помощью планетарного механизма. Этому посвящены работы профессоров А.В.Найдиша и Л.Н.Куценко, а также их учеников (В.В.Сулимы, Д.Л.Соколова, А.В.Васильєва, В.Г.Ревы, С.В.Росохи). Для описания результата обкатки треугольника Релло с помощью планетарного механизма необходимо иметь удобное для дифференцирования описание треугольника. Ведь для вычисления огибающей необходимо брать производную от функции, которая входит в описание треугольника. Недостатки известных описаний состоят в использовании для их «конструирования» функций, которые вызывают сложность при дифференцировании (таких как дробно-тригонометрических, обратных тригонометрических и R-функций). Поэтому целесообразным будет поиск новых способов описания. Идеальным из позиций дифференцирования будет описание треугольника Релло при помощи полиномов в виде так называемого неявно-полиномиального уравнения.

К главным результатам диссертации нужно отнести следующие. Составлено дифференциальное уравнение для определения функций, которые входят в описание кривых постоянной ширины, и разработан способ его решения. Найдены описания треугольника Релло уравнениями в параметрическом и неявно-полиномиальном виде. Получен аналог треугольника Релло как огибающей семейства эпитрохоид и вычислено значение управляющего параметра, при котором его форма будет совпадать с формой классического треугольника Релло. На основе закона вращающегося переноса разработаны схемы синхронного вращения многопарных треугольников Релло с постоянным точечным попарным контактом между ними. Реализацию работы выполнено в научно-промышленном предприятии «Екструдер» при проектировании новых схем шнековых прес-экструдеров.

Ключевые слова: треугольник Релло, неявно-полиномиальное уравнение треугольника Релло, обкатка треугольника Релло, планетарный механизм.

Lisnyak A.A. Geometrical design of mechanical devices action of which are based on properties of a triangle Reuleaux. - Manuscript.

Thesis on competition of a scientific degree of the candidate of engineering science on a specialty 05.01.01 - applied geometry, engineering graph. – The Tavria State Agrotechnological Univesity, Melitopol, Ukraine, 2008.

The dissertation and 10 scientific works are protected, and are devoted to the new decision of task of description of curves of permanent width as parametric and polinomial equalizations, and on the example of properties of triangles Reuleaux to the geometrical design of actions of mechanical devices which are taken to shaping rolling to on by trochoid’s laws on the basis of planetary mechanism and law of the revolved transfer. To the main results it is needed to take followings. Worked out a differential equation for determination of functions which are included in description of curves of permanent width, and the method of its decision is developed. Descriptions of triangles Reuleaux are found by equalizations in parametric and polinomial kind. The analogue of triangles Reuleaux is got as rounding families of epitrochoid and the value of managing parameter at which his form will coincide with the form of classic triangles Reuleaux is calculated. On the basis of law of the revolved transfer the charts of synchronous rotation of multipair triangles Reuleaux are developed with a permanent point poparnym contact between them. Realization of work is executed in the scientifically-industrial enterprise of «Ekstruder» at planning of new charts of auger-drill head pres-ekstruderov.

Keywords: triangles Reuleaux, polinomial equalization of triangles Reuleaux, rolling of triangles Reuleaux, planetary mechanism.