КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

АРТЕМОВИЧ Орест Дем'янович

УДК 512.544+512.552

ГРУПИ, БЛИЗЬКІ ДО НЕРОЗКЛАДНИХ, І

ПОВ'ЯЗАНІ З НИМИ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ КІЛЕЦЬ

01.01.06 — алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-матем атичних наук

Київ — 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському

національному університеті

імені Тараса Шевченка

Науковий консультант: доктор

фізико-математичних наук,

СУЩАНСЬКИЙ Віталій Іванович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри

алгебри і математичної логіки

Офіційні опоненти:

заслужений діяч науки і техніки України,

доктор фізико-математичних наук,

професор КУРДАЧЕНКО Леонід Андрійович,

Дніпропетровський державний університет,

завідувач кафедри алгебри і геометрії

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

ЧЕРНІКОВ Микола Сергійович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, професор

ШМЕЛЬКІН Альфред Львович

Московський університет імені М.В. Ломоносова,

професор кафедри вищої алгебри

Провідна установа: Ужгородський державний

університет, кафедра алгебри,

Міністерство освіти України, м. Ужгород

Захист відбудеться "25" вересня 2000 року о 14 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при

Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

за адресою: 01017, М.Київ, проспект акад. Глушкова, 6,

Київський національний університет ім. Т. Шевченка,

механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці

Київського національного університету

імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий "21" серпня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Петравчук А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Природнє прагнення будь-якої теорiї -- кла-сифiкацiя дослiджуваних об'єктiв -- досягається разноманiтними спо-собами. Один iз основних пiдходiв до вивчення алгебраїчних об'єктiв полягяє, з одного боку, в їх описаннi шляхом знахождення рiзних роз- кладiв на складовi нерозкладнi або бiльш простiше влаштованi пiдоб'єк-ти i, з другого боку, в дослiдженнi впливу властивостей пiдоб'єктiв можливих розкладiв на весь об'єкт. При цьому природнiй iнтерес ви-кликає будова "цеглин" таких розкладiв (тобто нерозкладних об'єктiв). Класичнi приклади цього дають загальнi теореми про примарнi розкла- ди в теорiї кiлець (серед них теорема Ласкера-Нетер, теорема про одно- значний розклад iдеалiв в дедекiндовiй областi), теорема Веддербарна- Мальцева про розклад скiнченновимiрної сепарабельної алгебри в пря-му суму нiльпотентного радикалу i напiвпростої пiдалгебри, теореми про розклад модулiв в прямi суми нерозкладних (зокрема, незвiдних) пiдмодулiв, теорема про розклад клiффордових напiвгруп в напiвграт-ку цiлком простих напiвгруп та iн.

В теорiї груп прикладом такого пiдходу є факторизацiйний напря-мок, в якому на даний час, з одного боку, значну кiлькiсть робiт при-свячено дослiдженню груп, розкладних в добуток деяких своїх власнихпiдгруп, тобто груп, що володiють власною факторизацiєю. Першi ро- боти в цьому напрямку належать Ф. Холлу, Г. Цаппа, С.А. Чунiхiну, I. Шуру; починаючи з робiт Е. Сепа, Л. Редеї, Х. Вiландта, Б. Хуп-перта, Н. Iто, О. Кегеля цi дослiдження ведуться систематично. В 50-х роках С.М. Чернiков з учнями започаткували вивчення груп з ши-рокими системами доповнювальних пiдгруп. Цiй тематицi присвяченiпрацi Ю.М. Горчакова, Д.I. Зайцева, А.П. Петравчука, Я.П. Сисака, Н.В. Чернiкової, М.С. Чернiкова, автора та iнших. За останнi декiлька десятирiч отримано значнi досягнення в дослiдженнi нескiнченних груп з власною факторизацiєю в працях Б. Амберга, Дж. Вiлсона, Д.I. Зай-цева, Дж. Леннокса, Д. Робiнсона, Дж. Роузблейда, М.Ф. Сесекiна, Я.П. Сисака, В.I. Сущанського, М.С. Чернiкова та iнших.

З другого боку, до недавнього часу небагато було вiдомо про нероз- кладнi об'єкти цього пiдходу, тобто про нескiнченнi групи без власної факторизацiї. Методи дослiдження таких груп i близьких до них якраз i розвиваються в данiй дисертацiї. Коротко про ключовi iсторичнi моменти. Першим нескiнченну абельову групу без власної фактори- зацiї (тобто квазiциклiчну p-групу ) розглядав Г. Прюфер в своїй дисертацiї в 1921 роцi. Пiсля цього до побудови першої неабельової нескiнченної групи без власної факторизацiї минуло майже половина столiття. В 1947 роцi О.Г. Курош i С.М. Чернiков опублiкували огляд (Курош А.Г., Черников С.Н. Разрешимые и нильпотентные группы//Успехи мат. наук.- 1947.- T.2, N 3.- С. 18-59), в якому серед iнших була сформульована проблема 22: ``чи спiвпадає клас всiх груп, в яких кожна пiдгрупа субнормальна, з класом всiх нiльпотентних груп?". Дж. Ро-узблейд, який першим спробував в 1965 роцi розв'язати цю проблему, значним чином стимулював всi наступнi дослiдження в цьому напрямi. Через декiлька рокiв Г. Хайнекен i I. Мохамед (Heineken H., Moha-med I.J. A group with trivial centre satisfying the normalizer condition// J. Algebra.- 1968.- Vol.10.- P. 368-376) негативно розв'язали проблему 22, сконструювавши серiю прикладiв p-груп G з абельовим комутантом G' експоненти p, кожна власна пiдгрупа яких нiльпотентна i субнормаль-на, i з одиничними центрами. В їх честь ненiльпотентнi групи з нiль-потентними i субнормальними власними пiдгрупами прийнято назива-ти групами типу Хайнекена-Мохамеда. Пiзнiше Г. Хайнекен i I. Мо-хамед (Heineken H., Mohamed I.J. Groups with normalizer condition// Math. Ann. - 1972.- Vol.198.- P. 179-188), Д. Мелдрум (Meldrum J.D.P. On the Heineken-Mohamed groups//J. Algebra.- 1973.- Vol.27.- P. 437-444) i Б. Хартлi (Hartley B. A note on the normalizer condition// Proc. Cambr. Phil. Soc. - 1973.- Vol.74.- P. 11-15) незалежно побудували незлiченнi родини попарно неiзоморфних p-груп G типу Хайнекена-Мохамеда з абельовим комутантом G' експоненти p i одиничними центрами. В своїй наступнiй працi для кожного простого числа p i кожного додатнього цiлого числа n Б. Хартлi (Хартли Б. О нормализаторном усло-

вии и мини-транзитивных группах подстановок // Алгебра и логика.- 1974. - T.13, N 5. - С. 589-602) сконструював нову серiю прикладiв p-груп G типу Хайнекена-Мохамеда з абельовим комутантом G' експоненти , одиничними центрами i лiнbйно впорядокованими за включенням множинами всiх G-iнварiантних пiдгруп iз G'. Проте достатньо дов-го залишалося вiдкритим запитання: ``чи iснують неметабельовi (вiд-повiдно з комутантом нескiнченної експоненти) групи типу Хайнекена-Мохамеда?". Вiдповiдаючи на нього, Б. Бруно i Р. Фiллiпс (Bruno B., Phillips R. E. On multipliers of Heineken-Mohamed type groups// Rend. Sem. Mat. Padova. - 1991. - Vol.85. - P. 133-146) для кожного непарно-го простого числа p вказали незлiченну родину попарно неiзоморфних неметабельових p-груп G типу Хайнекена-Мохамеда з нескiнченними центрами Z(G) i ступеня розв'язностi 3. Тiльки в 1995 роцi Ф. Ме-негaццо (Menegazzo F. Groups of Heineken-Mohamed// J. Algebra.- 1995.- Vol.171.- P. 807-825) показав, що для кожного простого числа p iснує метабельова p-група G типу Хайнекена-Мохамеда з комутантом G' не скiнченної експоненти, а для кожного простого числа p i кожного цiлого числа d>1 iснує p-група типу Хайнекена-Мохамеда з комутантом G' ступеня розв'язностi d. В результатi цих дослiджень виявилось, що групи типу Хайнекена-Мохамеда важливi з багатьох точок зору. Вониє прикладами нерозкладних груп, тобто груп кожнi двi власнi пiдгрупи яких породжують власну пiдгрупу. В цьому планi в дисертацiйнiй ро-ботi, вiдповiдаючи на запитання 1 iз монографiї Б. Амберга, С. Фран-чiозi i Ф. Джованнi (Amberg B., Franciosi S., de Giovanni F. Products of groups.- Oxford: Clarendon Press, 1992), автором встановлено, що недосконала група G нерозкладна тодi i тiльки тодi, коли вона не має власної факторизацiї (тобто iз G=AB, де A i B -- пiдгрупи iз G, випли-ває, що A=G або B=G), охарактеризовано недосконалi нерозкладнi групи i дослiджено нерозкладнi групи G з нiльпотентним комутантом G' скiнченної екпоненти. Заодно в дисертацiї також (iз застосуван-ня класифiкацiї скiнченних простих груп) розглянуто скiнченнi групи з власною факторизацiєю, i серед них скiнченнi групи, порядок кож-ної неодиничної нормальної пiдгрупи яких дiлиться на непарне просте число p i якi мiстять ізольований елемент порядку p; для цих груп вста-новлено аналог Z*-теореми Глаубермана.

Б. Хартлi звернув увагу ще на один цiкавий аспект, пов'язаний з групами типу Хайнекена-Мохамеда. Вiн ввiв до розгляду ледве транзи-тивнi групи, а його учень Б. Лав довiв, що ледве транзитивна локаль-но скiнченна недосконала група є групою типу Хайнекена-Мохамеда з нiльпотентним комутантом G' скiнченної експоненти i скiнченним гiперцентром. Б. Хартлi i М. Кузуцуоглу також встановили, що кожна локально скiнченна ледве транзитивна група непроста, а В.В. Беляєв i М. Кузуцуоглу довели, що кожна група типу Хайнекена-Мохамеда має ледве транзитивне зображення.

Ще одна проблема, яка виникла в процесi описаних дослiджень: ``чи кожна група iз субнормальними пiдгрупами розв'язна?". Її дослiджували Б. Брукс, Х. Смiт i К. Касоло. Але розв'язав її В. Мерес, який в серiї своїх праць (див., наприклад, статтю: Mцhres W. Auflцsbarkeit von Gruppen, deren Untergruppen alle subnormal sind// Archiv Math.- 1990.- Bd.54.- S. 232-235) довiв, що група, всi пiдгрупи якої субнормальнi, ро-зв'язна. Отже, групи типу Хайнекена-Мохамеда завжди розв'язнi i не мають власної факторизацiї. Саме тому в дисертацiйнiй работi вив-чаються розв'язнi нерозкладнi групи. Ще одним пiдтвердженням ва-жливостi вивчення розв'язних нерозкладних груп ї та обставина, що кожна локально скiнченна проста група розкладна.

Всезростаючий iнтерес дослiдникiв до груп типу Хайнекена-Моха-

меда, якi також є мiнiмальними ненiльпотентними групами, багато в чому стимулював вивчення мiнiмальних не X-груп, де X -- деякий клас груп. Необхiднiсть у вивченнi таких груп природньо виникає i при дослiдженнi груп з рiзними умовами мiнiмальностi i максимальностi. Iсторично перший результат в цьому напрямку належить Г. Мiллеру i Х. Морено, якi ще в 1903 роцi вивчали скiнченнi мiнiмальнi неабе-льовi групи. Скiнченнi мiнiмальнi ненiльпотентнi i вiдповiдно скiн-ченнi мiнiмальнi ненадрозв'язнi групи вивчали О.Ю. Шмiдт, Л. Ре-деї i вiдповiдно Б. Хупперт. Л.А. Шеметков з учнями дослiджували скiнченнi мiнiмальнi групи, якi не належать до даної формацiї. Не-скiнченнi мiнiмальнi ненiльпотентнi групи почали вивчати Н. Нюмен i Дж. Bайголд (Newman M.F., Wiegold J. Groups with many nilpotent subgroups // Archiv Math. - 1964. - Vol.15. - P. 241-250). Великий вплив на дослiдження нескiнченних мiнiмальних не X-груп мали працi В.В. Бе-ляєва. Вiн дослiджував мiнiмальнi не FC-групи. Iз його результатiв i працi М. Кузуцуоглу i Р. Фiллiпса, зокрема, випливає, що локально скiнченна мiнiмальна не FC-група є p-групою. Мiнiмальнi не FC-групи також вивчали А. Азар, Ф. Ляйнен та iншi. Вивчаючи локально скiн-ченнi групи з майже абельовими власними пiдгрупами, В.В. Беляєв (Бе-ляев В.В. Локально конечные группы с почти абелевыми собственными подгруппами//Сиб. мат. ж.- 1983.- T.24, N 1.- С. 11-17) встановив, що локально скiнченна мiнiмальна не майже aбельова група є групою Чарi-на або нерозкладною метабельовою групою. Незалежно мiнiмальнi не майже абельовi групи вивчала також Б. Бруно. Вiдповiдаючи на запи-тання 7.5, записане В.В. Беляєвим в ``Коурiвський зошит" (Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп/ / Сост. В.Д. Мазуров, Е.И. Хухро. - 12-ое изд., перераб. и доп. - Новосибирск: Ин-т матема-тики СО АН СССР, 1992. - 144 с.), автор встановив в дисертацiйнiй роботi, що нерозкладнi метабельовi групи в деякому розумiннi дуже близькi до груп типу Хайнекена-Мохамеда, i що розв'язнi нерозкладнiгрупи є p-групами. Б. Бруно i Р. Фiллiпс також дослiджували недоско-налi мiнiмальнi не майже нiльпотентнi групи (скорочено -групи), а Х. Отал, Х. Пена, Б. Хартлi i А. Азар вивчали мiнiмальнi не CC-групи. М. Ху охарактеризував групи, всi власнi пiдгрупи яких є групами Бе-ра, з максимальною пiдгрупою; i показав, що мiнiмальнi неберовськi групи не мiстяться в класi груп типу Хайнекена-Мохамеда. Пiзнiше М. Ху i незалежно М. Дiксон, М. Еванс i Х. Смiт вивчали групи, всi власнi пiдгрупи яких є нiльпотентними розширеннями скiнченних груп і вiдповiдно груп скiнченного рангу. Близьким до цих дослiджень є цикл робiт А. Азара з учнями. Задачi про мiнiмальнi не X-групи залишаються актуальними i публiкацiї, присвяченi їм, продовжують виходити з друку. Так, вiдносно недавно опублiкованi результати до-слiджень Є.I. Хухро, Х. Смiта, Дж. Баклi, Дж. Леннокса, Дж. Неймана, Дж. Bайголда та iнших. Х. Отал i Х. Пена, Ф. Наполiтанi i Е. Пегораро (Napolitani F., Pegoraro E., On groups with nilpotent- by-Cernikov proper subgroups // Archiv Math. - 1997. - Vol.69. - P. 89-94) шукали мiнiмальнi групи, якi не є розширеннями нiльпотентних груп за допомогою чер-нiковських груп. Розвиваючи цей пiдхiд, в дисертацiї розглядаються розв'язнi групи, насиченi пiдгрупами, якi є розширеннями нiльпотент-них груп за допомогою чернiковських груп. В дисертацiйнiй рoботi та-кож охарактеризовано недосконалi мiнiмальнi не майже гiперцентраль-нi групи. Цi групи, як i мiнiмальнi не майже абельовi групи, групи Чарiна, недосконалi мiнiмальнi не майже нiльпотентнi групи, є прикла-дами HM*-груп, тобто груп G з гiперцентральним комутантом G' i фактор-групою G/G', яка є подiльною чернiковською p-групою. Зокре-ма, кожна нерозкладна метабельова група є HM*-групою. Саме тому

значна частина четвертого роздiлу дисертацiї присвячена дослiдженню HM*-груп, вивчення яких в багатьох випадках зводиться до розглядунерозкладних груп i розкладних груп, близьких до груп Чарiна. Прицьому ефективною виявилась розглянута автором конструкцiя групи, пiдказана вiдомою конструкцiєю Я.П. Сисака ( Сысак Я.П. Произведе-ния бесконечных групп: Препр./ АН УССР. Ин-т математики; N 82.53.- К.: 1982.- 36 с.) i прикладом В.С. Чарiна (Чарин В.С. Замечание об условии минимальности для подгрупп/ / ДАН СССР. - 1949. - T.66. - С. 575-576), що дало змогу не тiльки будувати приклади розкладних HM*-груп, але також дослiджувати розкладнi групи, близькi до груп Чарiна, i отримати деякi твердження про радикальнi кiльця. Пошуки автором прикладiв HM*-груп серед груп одиниць фактор-кiлець певних кiлець скручених многочленiв привели до необхiдностi дослiджувати групи Фробенiуса, асоцiйованi з асоцiативними кiльцями i модулями над ни-ми, чому якраз присвячено третiй роздiл; а також до бiльш детального вивчення деяких задач про асоцiативнi кiльця i, зокрема, до розгляду диференцiально тривiальних (тобто тiльки з нульовими диференцiю-

ваннями) i вiдповiдно жорстких (тобто тiльки з тривiальними ендо- морфiзмами) кiлець.

Мiнiмальнi не X-групи -- це також групи в деякому розумiннi з ``ма-

лою" множиною не X-пiдгруп. Напевно, не можна повнiстю охопити

всi дослiдження, що ведуться в цьому напрямку, до якого, до речi, вiдносяться i групи з умовами мiнiмальностi Min-X i максимальностi

Max-X для не X-пiдгруп, вивчення яких активно проводиться вже до-статньо довгий час. Так, С.М. Чернiков i В.П. Шунков вивчали гру-пи з умовою мiнiмальностi для неабельових пiдгруп, а Д.I. Зайцев i Л.А. Курдаченко -- групи з умовою максимальностi для неабельових пiдгруп. Зрозумiло, що кожна мiнiмальна не X-група задовольняє од-ночасно умову мiнiмальностi i умову максимальностi для не X-пiдгруп. В цьому напрямку Л.А. Курдаченко i Г. Кутоло вивчали групи з умо-вою максимальностi для ненормальних пiдгруп, а Л.А. Курдаченко i Х. Смiт -- групи з умовою максимальностi для несубнормальних пiд-груп. С. Франчiозi, Ф. Джованнi i Я.П. Сисак охарактеризували де-якi класи груп з умовою мiнiмальностi для не FC-пiдгруп. Групам

з рiзними умовами мiнiмальностi i максимальностi присвяченi працi Р. Бера, Д.I. Зайцева, Л.А. Курдаченка, А.I. Мальцева, Д. Робiнсона, М.С. Чернiкова, С.М. Чернiкова, В.П. Шункова та iнших. Все вище-сказане ще раз пiдтверджує, що мiнiмальнi не X-групи тiсно переплi-таються з групами, якi задовольняють Max- i Min-. Це спостереження i та особлива роль, яку вiдiграє поняття ``нiльпотентнiсть" (i такi йо-го можливi узагальнення як ``майже нiльпотентнiсть", ``гiперцентраль-нiсть", ``майже гiперцентральнiсть") в теорiї груп, а також (на при-кладi груп Хайнекена-Мохамеда) зв'язок наявностi ``малої" множини власних ненiльпотентних пiдгруп з вiдсутнiстю власних факторизацiй i привело автора до вивчення достатньо мало дослiджених груп, близь-ких до нерозкладних, тобто груп з ``малими" множинами ненiльпотент-них (вiдповiдно негiперцентральних) пiдгруп. На цьому шляху вини-кає багато перспективних, цiкавих i важливих задач, розв'язки яких потребують нових пiдходiв i пошуку нових методiв. З одного боку, при дослiдженнi таких груп часто виникають HM*-групи (i, зокрема, нерозкладнi групи з нiльпотентним комутантом). При цьому, в знач-нiй мiрi, застосовуються методи теорiї кiлець i модулiв, демонструючи глибокi взаємозв'язки теорiї груп i теорiї кiлець. З другого боку, воснову методiв дослiдження нерозкладних груп i груп з умовою мак-симальностi для ненiльпотентних пiдгруп лягли отриманi в дисертацiї критерiї вiдповiдно нiльпотентностi, гiперцентральностi i енгелевостi всiх розширень абельової групи за допомогою абельової групи опера-торiв, а також класичнi модульно-кiльцевi результати.

Розробцi методiв дослiдження груп, близьких до нерозкладних, до-слiдженню їх властивостей i їх характеризацiям, а також деяким теоре-тико-кiльцевим задачам, якi при цьому виникають, i присвячено дану дисертацiйну роботу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, тема-ми. Тема дисертацiйної рoботи пов'язана з тематикою наукових до-слiджень кафедри алгебри i математичної логiки Київського нацiональ-ного унiверситету iменi Тараса Шевченка i кафедри алгебри i топологiї Львiвського нацiонального унiверситету iменi Iвана Франка ``Алгебро-топологiчнi конструкцiї i їх застосування" (номер державної реєстрацiї 0195V009660).

Мета i задачi работи. Метою роботи є дослiдження груп, близьких до нерозкладних. При цьому виникає необхiднiсть дослiджува-ти HM*-групи i, зокрема, нерозкладнi групи i групи без власної фак-торизацiї; розглядати групи Фробенiуса, асоцiйованi з асоцiативними кiльцями i модулями над ними; розробити модульно-кiльцевий пiдхiд до дослiдження HM*-груп i побудови їх прикладiв; отримати критерiї вiдповiдно нiльпотентностi i гiперцентральностi всiх розширень абе-льової групи з допомогою абельової групи операторiв; вивчати ро-зв'язнi групи вiдповiдно з умовами мiнiмальностi i максимальностi для рiзних систем ненiльпотентних пiдгруп.Методи дослiдження. В дисертацiйнiй рoботi використовують-ся сучаснi методи теорiї груп, диференцальної алгебри, комутативної алгебри, а також модульно-кiльцевi методи дослiдження нескiнченнихгруп.

Наукова новизна. В дисертацiї вперше отримано наступнi новi

теоретичнi результати:*

охарактеризовано диференцiально тривiальнi кiльця без дiльникiвнуля i жорсткi поля характеристики 0, алгебраїчнi над своїми прос- тими пiдполями;* описано диференцiально тривiальнi i вiдповiдно жорсткi кiльця скiн- ченного рангу;* вивчено диференцiально тривiальнi лiвi нетеровi кiльця;* розв'язано двi старi задачi Ф. Саса про кiльця, в яких iдеал nR ви- дiляється кiльцевим прямим доданком для кожного цiлого числа n i

вiдповiдно в яких кожний елемент є лiвим множником; * описано властивостi недосконалих груп без власної факторизацiї i, зокрема, отримано характеризацiю нерозкладних метабельових груп;* отримано аналог Z*-теореми Глаубермана (iз застосуванням класи- фiкацiї скiнченних простих груп) для непарних простих чисел;* запроновано конструкцiю групи, асоцiйованої з модулем над асоцiа- тивним кiльцем, i встановлено критерiй, коли вона є групою Фро- бенiуса, що дало змогу отримати деякi рзультати про радикальнi кiльця i групи, близькi до груп Чарiна;* охарактеризовано мiнiмальнi не майже гiперцентральнi групи;* встановлено критерiї гiперцентральностi i енгелевостi всiх розши-рень абельової групи за допомогою абельової групи i, зокрема, кри- терiї нiльпотентностi, гiперцентральностi, енгелевостi всiх розши- рень абельової групи за допомогою абельової групи операторiв;* дослiджено розв'язнi групи з умовою мiнiмальностi для негiперцент- альних (вiдповiдно ненiльпотентних, не майже нiльпотентних, не майже гiперцентральних) пiдгруп;* охарактеризовано перiодичнi локально нiльпотентнi групи з умовою максимальностi для ненiльпотентних (вiдповiдно негiперцентраль- них) пiдгруп;* дослiджено розв'язнi групи, насиченi пiдгрупами, якi є розширення- ми нiльпотентних груп за допомогою чернiковських груп.Теоретична i практична цiннiсть роботи. Дисертацiя носить теоретичний характер. Результати i методи можуть бути використанi в подальших дослiдженнях з теорiй груп i асоцiативних кiлець.Апробацiя результатiв роботи. Результати дисертацiї доповiда-лись на:*

V Всесоюзному симпозiумi з теорiї кiлець, алгебр i модулiв (Ново-

сибiрськ, 1982);*

XVII Всесоюзнiй алгебраїчнiй конференцiї (Мiнськ, 1983);*

X Всесоюзному симпозiумi з теорiї груп (Мiнськ, 1986);*

Школi ``Топологiчна алгебра" (Тирасполь, 1988);*

Мiжнароднiй алгебраїчiй конференцiї, присвяченiй памятi А.I. Маль-

цева (Новосибiрськ, 1989);*

NATO Advanced Study Institute of Finite and Locally Finite Groups

(Istanbul, Turkey, 1994);*

Ring Theory Conference (Miscolc, Hungary, 1996);*

Groups and Group Rings IV (Львiв, 1996);*

Мiжнароднiй алгебраїчiй конференцiї, присвяченiй памятi Д.К. Фад-

дєєва (Санкт-Петербург, 1997);*

Groups and Group Rings V (Bialystok, Poland, 1997);*

Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї, присвяченiй памятi профе-

сора Л.М. Глускiна (Слов'янськ, 1997); *

Groups and Group Rings VI (Wisla, Poland, 1998);*

Другiй Мiжнароднiй алгебра·чнiй конференцiї, присвяченiй памятi

професора Л.А. Калужнiна (Київ--Вiнниця, 1999);*

Groups and Group Rings VII (Suprasl, Poland, 1999).

Крiм того, результати дисертацiйної роботи доповiдались на алгеб-раїчних семiнарах Iнституту математики НАН України (Київ, 1986, 1987); Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевчен-ка (Київ, 1993--1999); Львiвського нацiонального унiверситету iменi

Iвана Франка (Львiв, 1982--1999); Унiверситету Йоганеса Гутенберга (Майнц, ФРН, 1996); Iнституту математики Варшавського унiверси-тету (Варшава, Польща, 1996); Iнституту математики Бялостоцького унiверситету (Бялосток, Польща, 1996); Iнституту математики Сiлезь-кого технiчного унiверситету (Глiвiце, Польща, 1996).

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiї опублiкованi без спiвав-торiв в 24 наукових статтях [1--24], в препринтi [25], а також в 14 тезах доповiдей наукових конференцiй [26--39].

Структура i об'єм дисертацiї. Дисертацiя складається iз списку умовних позначень, вступу, п'яти роздiлiв (якi мiстять 20 пiдроздiлiв), висновкiв, списку використаних джерел; список використаних джерел складається iз 291 найменування. Загальний обcяг дисертацiї -- 300сторiнок.

Автор щиро вдячний свому науковому консультанту професору Су-щанському Вiталiю Iвановичу за постiйну увагу i пiдтримку в роботi.

ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi обгрунтовано актуальнiсть теми роботи.

В роздiлi 1 дається огляд лiтератури за темою дисертацiї, вказано основнi необхiднi факти i означення, описано короткий змiст резуль-татiв работи.

Роздiл 2 має допомiжний характер; в ньому вивчаються диферен-цiально тривiальнi кiльця, жорсткi кiльця, деякi факти про якi викорис-товуються для вивчення HM*-груп, а також дослiджуються двi старiпроблеми Ф. Саса.

Теорема 2.1.2 (основна в пiдроздiлi 2.1) характеризує диференцiаль-но тривiальнi кiльця без дiльникiв нуля.Теорема 2.1.2. Нехай A -- комутативна область.(i). Якщо char(R)=0, то A -- диференцiально тривiальне кiльце тодi i тiльки тодi, коли Q(A) -- алгебраїчне розширення поля Q(P), де P -- перетин A з простим пiдполем iз Q(A). (ii). Якщо char(R)=p, то A -- диференцiально тривiальне кiльце тодi i тiльки тодi, коли A=A, де A={ x| xО A}.

К. Мексон (Maxson C.J. Rigid rings// Proc. Edinburgh Math. Soc.-1979.- Vol.21, N 1.- P. 95-101) довiв, що жорстке поле характеристи-ки p iзоморфне скiнченному полю Z iз p елементiв. Подiбного опису жорстких полiв характеристики 0 до цих пiр нема. Але, як зауважили

K. Єнсен i X. Ленцiг, iз однiїї статтi X. Гайфмена випливає, що iснують жорсткi поля Пеано будь-якої нескiнченної потужностi. Теорема 2.1.3 характеризує жорсткi поля характеристики 0, якi є алгебраїчними над своїми простими пiдполями.

Продуктивним виявилось накладання умови скiнченностi на ранг Прюфера адитивної групи R диференцiально тривiального кiльця R. Це дозволило отримати опис диференцiально тривiальних кiлець скiн-ченного рангу (теорема 2.2.1) i, зокрема, диференцiально тривiальнихлiвих артiнових кiлець (наслiдок 2.2.14).

Теорема 2.2.1. Нехай R -- кiльце скiнченного рангу. Тодi R -- дифе-ренцiально тривiальне кiльце в тому i тiльки в тому випадку, коли воно належить до одного iз наступних типiв:

(ii)R -- кiльце без скруту з подiльною оболонкою D(R), iзоморфноюскiнченнiй кiльцевiй прямiй сумi полiв алгебраїчних чисел;(iii)R@ FЕ S -- кiльцева пряма сума, де F -- кiльце типу (i) i S --

кiльце типу (ii).

Наслiдок 2.2.14. Наступнi умови еквiвалентнi:(i) R -- диференцiально тривiальне лiве артiнове кiльце;(ii) R=RЕ ... ЕR -- кiльцева пряма сума кiлець R, ..., R, причому кожне R є диференцiально тривiальним полем або iзоморфне деякому Z.

Охарактеризовано також жорсткi кiльця скiнченного рангу (теоре-ма 2.2.2), що значно розширює старi результати K. Мексона, K. Ма-клiна (McLean K.R. Rigid Artinin Rings// Proc. Edinburgh Math. Soc.-1982.- Vol.25, N 1.- P. 97-99), отриманi ними для артiнових кiлець. Дове-дене при цьому твердження 2.2.18 пiдказуї, як будувати некомутативнi жорсткi кiльця скiнченного рангу. Теорема 2.2.1 разом з наступною теоремою основнi в пiдроздiлi 2.2.

Теорема 2.2.2. Нехай R -- кiльце скiнченного рангу. Тодi R _ жорстке

кiльце в тому i тiльки в тому випадку, коли воно належить до одного

iз типiв:(ii) R -- кiльце без скруту, подiльна оболонка D(R) якого є узагальненим

тiлом кватернiонiв над полем рацiональних чисел Q, i Nor(R)=

{gО D(R) | gR=Rg} =Z(D(R)); (iii)R -- кiльце без скруту, подiльна оболонка якого D(R)@ Q(x) є

полем алгебраїчних чисел, R@ Z[x]Н B Н Q(x) i мiнiмальний

многочлен елемента x над полем Q має точно один корiнь в B; (iv) R -- кiльце без скруту, подiльна оболонка якого D(R) @ Q(x) є полем алгебраїчних чисел, R @ B, Z[x]Н B Н Q(x), i якщо hО B -- який-небудь корiнь мiнiмального многочлена p (x) елемента x над Q i h№x, то знайдеться многочлен f(x)О Q[x] такий, що f(x)О B i f(h)ПB.

Результати, отриманi в цьому роздiлi, застосовуються в роздiлi 4

для побудови прикладiв HM*-груп. В пiдроздiлi 2.3 цiлком описано диференцiально тривiальнi лiвi нетеровi кiльця (теорема 2.3.1), звiдки випливає, що в загальному випадку нетеровi кiльця мають достатньо багато ненульових диференцiювань.

Теорема 2.3.1. Нехай R -- лiве нетерове кiльце. Тодi R -- диферен-

цiально тривiальне кiльце в тому i тiльки в тому випадку, коли воно

належить до одного iз типiв:

(1) R -- диференцiально тривiальна нетерова область;

(2) R -- пiдпрямий добуток скiнченної кiлькостi диференцiально три-

вiальних нетерових областей характеристики 0;

В пiдродiлi 2.3 отримано також деякi результати про жорсткi кiль-ця (твердження 2.3.11, 2.3.12), охарактеризовано диференцiально три-вiальнi правi спадковi кiльця (твердження 2.3.13).

Пiдроздiл 2.4 присвячено двом старим задачам, вивчати якi почала М. Суппа (Suppa M.A. Sugli anelli I-rigidi // Boll. Unione mat. Ital.-1985.- Vol.D4.- P. 145-152; Sugli anelli q-rigidi// Riv. mat. Univ. Parma.-1986. - Vol.12.- P. 121-125) в 1985 роцi i якi також ранiше розглядалися

М.Д. Фрiгером. При цьому охарактеризовано q-жорсткi кiльця з оди-ницею, якi не мають простих некомутативних гомоморфних образiв(теорема 2.4.1) i непростi I-жорсткi кiльця з одиницею (теорема 2.4.7).Основнi результати цього пiдроздiлу -- теореми 2.4.1 i 2.4.7 _ розвива-

ють пiдхiд, застосований в пiдроздiлi 2.2, i характеризують вiдповiд-

но I-жорсткi i q-жорсткi кiльця, введенi в розгляд М. Суппою, тобто

кiльця, всi власнi iдеали i вiдповiдно всi власнi фактор-кiльця яких є

жорсткими.

Будь-яке просте кiльце I-жорстке. Оскiльки I-жорстке кiльце, яке

ма' ненульовий несутт'вий iдеал, ' кiльцевою прямою сумою двох жорс-

тких полiв, то нижче ми обмежу'мося розглядом непростих кiлець, всi ненульовi iдеали яких сутт'вi. Комутативнi I-жорсткi неподiльнi кiль-ця R без скруту з адитивною групою R скiнченного рангу (Прюфера) розглядались М.Д. Фрiгером (Friger M.D. Strongly rigid and I-rigid rings // Comm. Algebra.- 1994.- Vol.22.- P. 1833-1842).

Теорема 2.4.7. Нехай R -- непросте кiльце з одиницею. Тодi R — I-

жорстке кiльце в тому i тiльки в тому випадку, коли воно належить до

Теореми 2.5.1 i 2.5.6 (основнi в пiдрoздiлi 2.5) дають вiдповiдь на

два старi запитання Ф. Саса, а саме, охарактеризовано (теорема 2.5.1)

асоцiативнi кiльця R, в яких iдеал nR видiляється кiльцевим прямим

доданком для кожного цiлого числа n. Це є вiдповiддю на запитання

79 Ф. Саса iз його монографi] (Szбsz F. Radikale der Ringe.- Budapest: Akadбmiai Kiadу, 1975). Тут також описано структуру (теорема 2.5.6) кiлець, в яких кожний елемент є лiвим множником (див. запитання 82 iз книги Ф.Саса). В доведеннях двох наступних теорем суттєво використовуються факти про адитивнi групи кiлець.

Теорема 2.5.1. Нехай R -- асоцiативне кiльце. Тодi iдеал nR видiляєть-

ся кiльцевим прямим доданком для будь-якого цiлого числа n в тому i

тiльки в тому випадку, коли R належить до одного iз типiв:

Нагадаємо, що елемент a кiльця R називається лiвим множником,

якщо iснує таке цiле число n, що (a+n)R=(0).

Теорема 2.5.6. Нехай R -- асоцiативне кiльце. Тодi кожний елемент iз

R є лiвим множником в тому i тiльки в тому випадку, коли R -- кiльце

одного iз типiв:

анулятор кiльця R, ex=mx для всiх елементiв x iз R i R/A@ m Z (m

-- невiд'ємне цiле число);

(e) iснує елемент eО R такий, що R=A+e· Z, де A -- лiвий

анулятор кiльця R i ex=x для всiх елементiв x iз R;

(z ) R= — кiльцева пряма сума, де -- p_i-компонента групи R, exp()=,-- лiвий анулятор пiдкiльця R,

для всiх елементiв

В роздiлi 3 дослiджуються групи Фробенiуса, пов'язанi з асоцiатив-ими кiльцями i модулями над ними, необхiднiсть у вивченнi яких ви-никає при розглядi HM*-груп.

В пiдроздiлi 3.1 для кожного правого R-модуля M наступним чином побудована група S(M,G). Нехай G - пiдгрупа групи одиниць U(R)

асоцiативного кiльця R з одиницею. Через S(M,G) позначимо множину

пар елементiв

{(m,g)| mО M,gО G },

на якiй алгебраїчна операцiя визначена за правилом (m,g)(n,h)=(mh+

n,gh). Ця конструкцiя дозволяї для правого R-модуля M i неодинич-

них пiдгруп G iз групи одиниць U(R) примiтивного справа кiльця R,

якi сладаються iз iнварiантних справа елементiв, будувати групи Фро-

бенiуса у випадку, коли модуль M простий i точний.

Теорема 3.1.3. Нехай M -- простий точний правий модуль над примi-

тивним справа кiльцем R. Якщо G -- така неодинична пiдгрупа групи

одиниць U(R) кiльця R, що множина { 1-g|gО G} складається тiльки iз iнварiантних справа елементiв, то S(M,G)=Al B -- група Фробенiуса

з ядром A@ M i доповненням B@ G.

Пари Фробенiуса над асоцiативними кiльцями без дiльникiв нуля

розглянуто в пiдроздiлi 3.2; тут побудовано деякi приклади груп Фро-бенiуса (над полями), якi є HM*-групами.В пiдроздiлi 3.3 запропоновано наступну конструкцiю групи H(I,T), асоцiйованої з модулем над асоцiативним кiльцем R, яка розширює конструкцiю Я.П. Сисака, що з успiхом застосовується при вивчен-нi радикальних кiлець i в пов'язаних з ними факторизацiйних зада-чах теорiї груп. Для лiвого R-модуля M, пiдгрупи $T$ приєднаної гру-пи R° кiльця R i пiдмодуля I iз M множина H(I,T) пар елементiв{(x,y)| xО I, yО T } сладає групу стосовно алгебраїчної операцiї, визначеної за правилом (x,y)(u,v)=(yu+u+x,y o v). Встановлено кри-терiй, коли H(I,T), де I -- ненульовий пiдмодуль лiвого R-модуля M, а T -- неодинична пiдгрупа приїднаної групи R° асоцiативного кiльця R, є группою Фробенiуса, а саме, доведена основна в цьому пiдрoздiлi

Теорема 3.3.3. Нехай M -- лiвий R-модуль, I -- його ненульовий пiд-модуль, T -- неодинична пiдгрупа приєднаної групи R° асоцiативного кiльця R. Тодi G=H(I,T)=Al B є групою Фробенiуса з ядром

A, iзоморфним адитивнiй групi пiдмодуля I, i доповненням B, яке iзоморфне пiдгрупi T, тодi i тiльки тодi, коли виконуються наступнi двi умови:

(i) ann_T(i)={ tО T| ti=0} ={ 0} для кожного ненульового елемента i iз I; (ii) I=aI для кожного неодиничного елемента a iз T . Отримано деякi наслiдки. Так, зокрема, показано, що для ненульо-вого iдемпотентного радикального кiльця R асоцiйована з ним група

H(R,R°) нiколи не буде групою Фробенiуса (лема 3.3.7); встановлено, що центр будь-якого однобiчного iдеалу простої радикальної областi завжди нульовий (наслiдок 3.3.8), а також доведено, що радикальна PI-область непроста (наслiдок 3.3.9). Проблема 22 О.Г. Куроша i С.М. Чернiкова дала поштовх для пошукуГ. Хайнекеном i I. Мохамедом, Дж. Мелдрумом, Б. Хартлi, Б. Бруно, Р. Фiллiпсом, Ф. Менегаццо серiй прикладiв ненiльпотентних груп з нiльпотентними i субнормальними власними пiдгрупами (тобто груп типу Хайнекена-Мохамеда); вона також стала вiдправною точкою ба-гатьох дослiджень з широкими системами субнормальних пiдгруп, зв'я-заних в першу чергу з роботами Б. Брукса, Х. Смiта, К. Касоло, В. Ме-реса. Цi результати в свою чергу привернули увагу багатьох дослiд-никiв до вивчення мiнiмальних не X-груп. Серед робiт в цьому напрям-ку зазначимо статтi Н. Нюмена i Дж. Bайголда, Х. Смiта, В.В. Беляєва, Б. Бруно, М. Кузуцуоглу, Р. Фiллiпса, А. Aзара, М. Ху, М. Дiксона, М. Еванса, Х. Смiта, Ф. Наполiтанi, Е. Пегораро, автора та iнших. Як вже зазначалось, з одного боку, групам з власними фактори-зацiями i, зокрема, групам з достатньо широкими системами доповню-вальних пiдгруп присвячено багато робiт. Результати цих дослiджень викладено в монографiях С.М. Чернiкова, М.С. Чернiкова, Б. Амберга, С. Франчiозi i Ф. Джованнi, оглядах Л.С. Казарiна i Л.А. Курдаченка, Б. Амберга i Я.П. Сисака та iнших. З другого боку, майже зовсiм не вивченими виявились групи без власної факторизацiї. Ця обставина привернула увагу