Київський національний університет імені Тараса Шевченка

КАРНАУХОВА ТЕТЯНА ВАСИЛІВНА

УДК 539.3

КОЛИВАННЯ І ДИСИПАТИВНИЙ РОЗІГРІВ

В’ЯЗКОПРУЖНИХ ШАРУВАТИХ ТОНКОСТІННИХ

П’ЄЗОЕЛЕМЕНТІВ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіл

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Українському транспортному університеті, Міністерство освіти України

Науковий керівник: - доктор технічних наук, професор Рассказов Олександр

Олегович, Український транспортний універси- тет,завідувач кафедри теоретичної механіки та загальної фізики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук Григоренко Олек -

сандр Ярославович, Інститут механіки ім. С.П.Тимо -шенка НАНУ, провідний науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук Мукоїд Віктор Петрович, Інститут підтримки експлуатації атомних електростанцій, керівник лабораторії

Провідна установа: Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України

Захист відбудеться «__22__» березня 2000 p. о 16.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою:03127, Київ, проспект Глушкова,2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Автореферат розісланий «_18_» лютого 2000р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Кепич Т.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена розробці моделей вимушених неосесиметричних коливань і дисипативного розігріву тонкостінних шаруватих п’єзоелектричних елементів; розробці чисельно-аналітичних методів розв’язування крайових задач, до яких приводять ці моделі; розв’язанню конкретних задач на основі розроблених моделей і методів та виявленню основних закономірностей впливу дисипативного розігріву на механічний і тепловий стан таких елементів.

Актуальність теми. Тонкостінні шаруваті п’єзоелектричні елементи конструкцій у вигляді стержнів, пластин і оболонок різноманітної конфігурації знаходять широке застосування в багатьох галузях науки й техніки: в машинобудуванні, гідроакустиці, радіоелектроніці, обчислювальній техніці, дефектоскопії, в різноманітних технологічних процесах і т. п. В останнє десятиріччя п’єзоелектричні елементи ефективно використовуються для контролю коливань тонкостінних елементів з пасивних (без п’єзоефекту) металічних і композитних матеріалів, при цьому одні шари (сенсори) з активних (з п’єзоефектом) матеріалів дають інформацію про рівень коливань конструкцій, а інші (актуатори) збуджують коливання необхідної амплітуди й фази для демпфірування коливань конструкції в цілому. В зв’язку з цим різко зросло коло питань, пов’язаних з вивченням впливу п’єзокомпонентів на механічну поведінку тонкостінних елементів. Одним із основних режимів роботи цих елементів при їх застосуванні на практиці є гармонічний і, як окремий випадок, резонансний режим. При цьому внаслідок таких специфічних особливостей багатьох активних і пасивних матеріалів, як значні гістерезисні втрати й низька теплопровідність, залежність їх властивостей від температури, механічні й електричні коливання супроводжуються, як правило, значним підвищенням температури через розсіювання електромеханічної енергії в теплову, тобто спостерігається явище дисипативного розігріву. Це явище негативно впливає на ефективність роботи тонкостінних елементів з декількох причин. По-перше, внаслідок залежності електромеханічних характеристик матеріалу від температури може мати місце зсув резонансної частоти, в результаті чого падає інтенсивність випромінювання акустичної енергії, якщо п’єзоелемент розрахований на випромінювання енергії в резонансному режимі. По-друге, при досягненні температурою точки Кюрі активний матеріал стає пасивним, тобто втрачає своє функціональне призначення. По-третє, при порушенні балансу між дисипативним розігрівом і втратами тепла внаслідок теплообміну з зовнішнім середовищем як в активних, так і в пасивних елементах може мати місце так званий тепловий пробій, коли спостерігається катастрофічне зростання температури і стаціонарний тепловий стан взагалі відсутній. По-четверте, із-за неоднорідності температури дисипативного розігріву в елементах можуть виникнути значні температурні напруження, що може привести до їх механічного руйнування. Поряд з потребами техніки, необхідність у вивченні впливу дисипативного розігріву на коливальні процеси в тонкостінних елементах диктується і внутрішньою логікою розвитку термомеханіки, бо це дозволяє вивчити більш широке коло явищ в них, дослідити вплив дисипативного розігріву на їхній електромеханічний і тепловий стан, дати оцінку меж застосування постановок задач, в яких розігрів не враховується. Неосесиметричні коливання тонкостінних елементів досить широко розповсюджені на практиці. Неосесиметричність може бути викликана як геометрією елемента (наприклад, це може бути циліндрична або конічна панель), так і характером електромеханічного навантаження. На практиці при контролі коливань конструкцій широко розповсюджене нанесення на пасивні тонкостінні елементи п’єзоелектричних шарів по деякій його площі, що також викликає неосесиметричний стан. При врахуванні дисипації, породженої нею температури розігріву й температурної залежності електромеханічних характеристик дослідження термомеханічних коливань зводиться до складних нелінійних крайових задач. Їх розв’язання можна одержати лише чисельними методами. Проведений дисертантом аналіз публікацій з цих питань свідчить, що в літературі не розглядались неосесиметричні коливання і дисипативний розігрів тонкостінних п’єзоелементів. Із сказаного випливає, що тема дисертаційної роботи є актуальною.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано згідно до комплексної теми “Розробка основ прикладної теорії та методів розрахунку багатошарових конструкцій складної геометрії”, яка виконувалась в Українському транспортному університеті згідно до Координаційного плану досліджень НАН України, а також згідно до теми “Числове дослідження процесів деформування багатошарових елементів конструкцій та споруд, які взаємодіють з неоднорідними середовищами, при статичних, динамічних і температурних навантаженнях” за планом досліджень Міністерства освіти України.

Мета й задачі дослідження полягають у розробці моделей неосесиметричних коливань шаруватих тонкостінних п’єзоелектричних елементів з врахуванням дисипації і породженого нею дисипативного розігріву; розробці ефективних чисельно-аналітичних методів розв’язання лінійних і нелінійних крайових задач, що виникають при застосуванні цих моделей; розв’язанні на основі розроблених моделей і методів конкретних задач і виявленні основних закономірностей впливу дисипативного розігріву на неосесиметричний механічний і тепловий стан вказаних елементів.

Наукова новизна результатів. Основні результати роботи стосуються квазістатичних і динамічних задач про неосесиметричні коливання і дисипативний розігрів шаруватих тонкостінних п’єзоелектричних елементів з врахуванням дисипативних електромеханічних властивостей матеріалу, породженого дисипацією вібророзігріву й залежності характеристик матеріалу від температури. Наукова новизна полягає у постановках таких задач, розробці чисельно-аналітичних методів їх розв’язування, в отриманих конкретних результатах про вплив вищезгаданих факторів на термомеханічний стан п’єзоелементів. У роботі: 1) вперше розроблено ефективний чисельно-аналітичний метод розв’язування задач про неосесиметричні коливання і дисипативний розігрів шаруватих п’єзоелектричних тонкостінних елементів у вигляді пластин і оболонок, в основі якого лежать ітераційні процедури лінеаризації відповідних нелінійних крайових задач із застосуванням скінченно - елементного методу (СЕМ) для розв’язування лінійних крайових задач, що виникають на кожній ітерації; 2) для випадку, коли характеристики матеріалу не залежать від температури, вперше одержано точні аналітичні розв’язки задач про резонансні коливання і дисипативний розігрів прямокутної п’єзопластини й циліндричної п’єзоелектричної панелі з шарнірно закріпленими торцями; ці розв’язки мають як самостійне значення, так є й еталонними для оцінки ефективності та достовірності результатів, одержаних чисельними методами; 3) вперше дано постановку задач про тепловий пробій п’єзоелектричних тонкостінних елементів і одержані розв’язки ряду конкретних задач в рамках такої постановки ; 4) вперше досліджено вплив часткової теплової деполяризації на термомеханічний стан п’єзоелектричних тонкостінних елементів; 5) вивчено вплив дисипативного розігріву, характеру навантаження, граничних умов, структурної неоднорідності тощо на електромеханічний і тепловий стан тонкостінних п’єзоелементів.

Теоретичне й практичне значення одержаних результатів полягає в розширенні кола питань термоелектромеханіки тонкостінних елементів при їх гармонічному навантаженні; в можливості їх застосування для оцінки впливу вібророзігріву на ефективність роботи п’єзоелементів при їх проектуванні та експлуатації; в дослідженні нових ефектів, що породжуються вібророзігрівом; в можливості використання розроблених програм для розрахунків електромеханічного й теплового стану п’єзоелементів взагалі й для контролю коливань тонкостінних елементів, зокрема. Частина результатів використана при виконанні робіт за вищезгаданими державними темами, а також у навчальному процесі в Українському транспортному університеті.

Особистий внесок здобувача: За темою дисертації опубліковано 6 наукових праць [ 1 - 6], в тому числі: 4 - в наукових журналах, 2 - в збірниках праць. Основні результати було отримано автором самостійно. В той же час роботи [2, 4-6] опубліковані в співавторстві. При виконанні [2] В.І.Козлов надавав консультації при розробці СЕМ і розв’язав стаціонарну задачу про згин циліндричної панелі під дією власної ваги. Здобувачу належить розробка моделей шаруватих п’єзооболонок, реалізація з використанням СЕМ ітераційних процедур і вивчення впливу різних факторів на електромеханічний і тепловий стан п’єзооболонок. В [4] дисертант застосувала розроблені співавторами програми розв’язання задач про осесиметричні коливання і дисипативний розігрів оболонок обертання і з їх використанням дослідила вплив теплової деполяризації на термоелектромеханічний стан кільцевої п’єзопластини. В [5] співавтор приймав участь у постановці задачі й обговоренні результатів, а її розв’язок здобувач одержала самостійно В [6] О.О. Рассказову належить ідея можливості побудови точного розв’язку для шаруватої п’єзооболонки, а В.І.Козлов надавав консультації з реалізації СЕМ і провів аналітичне дослідження на максимум температури розігріву. Аналітичний розв’язок задачі в усьому діапазоні частот і, зокрема, для резонансної частоти , а також розв’язок задачі СЕМ належить здобувачу.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати досліджень за темою дисертації доповідались на наукових конференціях професорсько-викладацького складу Українського транспортного університету (1997 - 1999 рр.); на міжнародній конференції “Нелінійні проблеми диференціальних рівнянь та математичної фізики”, присвяченій 80-річчю академіка Ю.О.Митропольського ( Нальчик. 2.06. - 6.06.1997 р.); на міжнародній конференції “ Сучасні проблеми механіки й математики”, присвяченій 70-річчю від дня народження академіка НАН України Я.С.Підстригача (Львів, 25-28. 05. 1998р.); на міжнародній конференції “Dynamic systems modelling and stability investigation” (Kyiv, 25-29.05.1999). Дисертаційна робота в цілому обговорювалась на науковому міжкафедральному семінарі Українського транспортного університету, науковому семінарі “Проблеми механіки” при кафедрі теоретичної і прикладної механіки, а також на засіданні кафедри механіки суцільних середовищ механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (1999 р.).

Публікації. Основні результати дисертації викладено в 6 наукових працях.

Розмір і структура роботи. Дисертаційна робота складається із вступу; 5 розділів, висновків та списку використаної літератури. Вона містить 181 сторінку машинописного тексту. Ілюстрації займають 28 сторінок (40 ілюстрацій), таблиці - 6 сторінок (6 таблиць). Бібліографія розташована на 7 сторінках і складається з 78 джерел.

Автор вдячний своєму науковому керівникові доктору технічних наук, професору О.О.Рассказову за постійну увагу до роботи, а також доктору фізико-математичних наук В.І.Козлову за наукові консультації з реалізації скінченно-елементного методу.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подається загальна характеристика роботи: розкривається сучасний стан досліджень, пов’язаних з проблемою неосесиметричних коливань і дисипативного розігріву шаруватих п’єзоелектричних пластин і оболонок; обгрунтовується необхідність проведення наукового пошуку з цих питань; відзначається актуальність теми дисертації; формулюється мета роботи та її наукова новизна; обгрунтовується теоретичне й прикладне значення роботи; вказується на публікації автора за темою дисертації і розкривається особистий внесок автора дисертації в роботах, опублікованих разом із співавторами; наводяться дані про зв’язок дисертаційної роботи з науковими темами, що виконуються в установі здобувача, а також дані про апробацію дисертації.

В першому розділі подано огляд публікацій вітчизняних і зарубіжних вчених, присвячених моделюванню коливань і дисипативного розігріву тонкостінних п’єзоелементів, і шляхом критичного аналізу одержаних результатів вибираються напрямки досліджень. Механіка й термомеханіка тонкостінних елементів є однією з найбільш розвинутих галузей механіки деформівного твердого тіла. Але більшість робіт у цій галузі одержано, по-перше, для пружних матеріалів, а по-друге, без врахування взаємодії полів різної фізичної природи. Основні результати з розробки моделей тонкостінних елементів, методів розв’язування відповідних крайових задач і розв’язків конкретних класів квазістатичних і динамічних задач представлені у відомих монографіях С.О. Амбарцумяна, В.В. Болотіна і Ю.М.Новічкова, О.Л. Гольденвейзера, Я.М. Григоренка і А.Т.Василенка, О.О.Рассказова, І.І.Соколовської, М.О.Шульги, в багатотомних узагальнюючих виданнях під загальною редакцією О.М.Гузя, присвячених методам розрахунку оболонок, механіці композитних матеріалів і елементів конструкцій, а також в багатьох збірниках і працях конференцій з теорії пластин та оболонок. Проте внутрішня логіка розвитку механіки й потреби практики привели до необхідності розробки моделей коливань тонкостінних п’єзоелементів з врахуванням взаємодії механічних, електричних і теплових полів. Ці питання особливо важливі для таких елементів, які працюють в резонансному режимі й матеріали яких мають значні гістерезисні втрати, наприклад, полімерні пасивні й п’єзоактивні матеріали, що знайшли широке застосування на практиці, зокрема, при контролі коливань тонкостінних елементів. Вже в першій фундаментальній роботі Д.Берлінкура, Д.Керрана, Г.Жаффе з електромеханіки п’єзоелементів відмічалось, що одним з основних обмежень на рівень електричних навантажень і тривалість гармонічних коливань цих елементів є їх дисипативний розігрів. Про явища, які можуть мати місце при врахування розігріву, йшлося вище. Основні досягнення з розробки моделей пасивних і п’єзоактивних матеріалів для моногармонічних процесів з врахуванням взаємодії механічних, електричних і теплових процесів пов’язані з роботами В.Г.Карнаухова, І.Ф.Киричка, І.К.Сенченкова, В.В.Михайленка й ін.

Перші фундаментальні результати з електромеханіки тонкостінних пружних елементів одержано в роботах В.Т.Грінченка, А.Ф.Улітка та їх учнів. В них на основі аналізу розв’язків елементарних задач класичні гіпотези Кірхгофа-Лява були доповнені адекватними їм гіпотезами для електричних польових величин і на основі цих узагальнених гіпотез були побудовані моделі одношарових тонкостінних п’єзопластин і оболонок, в тому числі й моделі коливань таких елементів. В роботах І.Ю.Хоми з використанням розкладу польових величин за поліномами Лежандра по товщині було розроблено моделі пружних анізотропних п’єзооболонок. Моделі пружних шаруватих п’єзооболонок з використанням класичних гіпотез Кірхгофа- Лява й уточнених гіпотез типу Тимошенка було побудовано в роботах Б.О.Кудрявцева, В.З.Партона, Н.Д.Сеніка, Ю.Б.Євсейчика, С.І.Рудницького, М.О.Шульги й ін. Перші результати з розробки моделей коливань і дисипативного розігріву тонкостінних п’єзоелементів, в тому числі й шаруватих були одержані в роботах В.Г.Карнаухова й І.Ф.Киричка й представлені в їх монографіях. Проте в цих роботах розглядалась така структурна неоднорідність, коли пакети п’єзоактивних шарів розділялись металічним шаром, при цьому дисипативний розігрів в останніх не був врахований. Але в зв’язку з застосуванням активних п’єзоелементів для контролю коливань тонкостінних елементів з пасивних металічних і композитних матеріалів виникла потреба в розробці моделей шаруватих елементів такої структури, коли вони складені з пакетів активних і пасивних шарів як з ізотропних, так і з анізотропних дисипативних матеріалів. При цьому дисипативний розігрів може мати місце і в активних, і в пасивних шарах. У вищезгаданих роботах В.Г.Карнаухова та І.Ф. Киричка було запропоновано ітераційні методи розв’язування нелінійних задач про осесиметричні коливання і дисипативний розігрів п’єзоактивних пластин і оболонок з використанням методу дискретної ортогоналізації для розв’язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь, які виникають на кожній ітерації. Неосесиметричні задачі про коливання і дисипативний розігрів п’єзоелектричних пластин і оболонок зводяться до складних нелінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних і на сьогоднішній день в літературі не розглядались. В даній дисертації дається таке узагальнення згаданих вище ітераційних методів, коли для розв’язування систем лінійних диференціальних рівнянь на кожній ітерації використовується скінчено-елементний метод. Для оцінки ефективності й точності чисельних методів необхідно мати еталонні аналітичні розв’язки про неосесиметричні коливання і дисипативний розігрів п’єзоелектричних пластин та оболонок. Такі розв’язки в літературі також відсутні. У згаданих вище роботах В.Г.Карнаухова та І.Ф. Киричка досліджувався вплив спряженості полів на амплітудно- та температурночастотні характеристики термомеханічних осесиметричних коливань. Проте в цих роботах вважалось, що температура дисипативного розігріву не досягає точки Кюрі, коли має місце теплова деполяризація п’єзоактивного матеріалу і він стає пасивним. В літературі виконано поодинокі роботи з цього питання і відсутні роботи по вивченню впливу теплової деполяризації на електромеханічний і тепловий стан тонкостінних п’єзоелементів при їх неосесиметричних коливаннях. Відсутні в літературі і публікації з теплового пробою активних п’єзоелектриків взагалі і тонкостінних п’єзоелементів зокрема. Це явище для пасивних діелектриків детально вивчено в класичних роботах В.О. Фока, М.М.Семенова, а результати цих досліджень представлено у відомій монографії Г.Н.Сканаві.

В другому розділі наведено основні співвідношення термоелектромеханіки дисипативних фізично лінійних тіл для моногармонічних процесів. Для моделювання таких процесів використовуються універсальні співвідношення механіки й електростатики - рівняння руху, кінематичні співвідношення, рівняння електростатики, механічні, електричні й теплові граничні умови, початкові умови для температури. Для моделювання електромеханічної поведінки дисипативних матеріалів використовується концепція комплексних характеристик. При цьому рівняння стану для пасивних і п’єзоактивних матеріалів мають такий же вигляд, як і рівняння стану для пружних матеріалів з заміною всіх польових величин і характеристик на комплексні. Вважається, що дійсні й уявні частини комплексних характеристик залежать від температури. Рівняння енергії має вигляд

(1)

де - температура, - тензор теплопровідності, - теплоємність, крапка означає похідну за часом, а кома - похідну по координаті. Дисипативна функція в (1) визначається рівнянням стану

(2)

Тут дійсні й уявні частини тензора деформацій, напружень, напруженості електричного поля та індукції, - частота навантаження. Дисипативна функція для пасивного матеріалу визначається співвідношенням (2), в якому слід опустити електричні величини.

Основні співвідношення для шаруватих поляризованих по товщині тонкостінних п’єзоелектричних оболонок одержано шляхом прийняття гіпотез відносно розподілу по товщині польових величин. В роботі розглядаються лише такі моделі, які будуються на основі класичних механічних гіпотез Кірхгофа-Лява, доповнених гіпотезами про польові електричні величини, які запропонував А.Ф.Улітко. Пасивні шари вважаються ортотропними. В результаті рівняння стану для зусиль і моментів ,мають вигляд

(3)

Тут характеристики жорсткості є сумою характеристик жорсткості пасивних і активних шарів, авиражаються через характеристики матеріалів і задані на електродах потенціали. Для одержання двовимірних рівнянь енергії приймається гіпотеза, що нормальна складова теплового потоку змінюється по товщині по заданому , наприклад, поліноміальному закону

(4)

Розподіл температури по товщині визначається шляхом інтегрування (4) по товщинній координаті , при цьому

(5)

Рівняння для , одержуються з варіаційного принципу та методом моментів. Найпростіше рівняння енергії має місце, коли тобто коли температура стала по товщині оболонки. В цьому ж розділі, як окремий випадок, представлені визначальні рівняння для тришарової оболонки, яка складається з середнього пакету пасивних шарів і приєднаних до нього активних пакетів. Розглянуто випадки, коли середній пакет є ортотропним металічним або діелектричним (наприклад, композитним на полімерній основі), а також різні варіанти розміщення нескінченно тонких електродів на поверхнях контакту пакетів. Як окремий випадок, з одержаних співвідношень маємо рівняння стану для двохшарової, в тому числі й біморфної пластини або оболонки.

В третьому розділі представлено розроблені в дисертації методи розв’язування нелінійних комплексних систем диференціальних рівнянь в частинних похідних, які описують вимушені моногармонічні коливання і дисипативний розігрів шаруватих тонкостінних оболонок обертання. Для цього подано варіаційне формулювання задачі електромеханіки для таких оболонок із застосуванням рівнянь Лагранжа

, (6)

де - деякі функціонали, одержані з використанням варіаційних тривимірних рівнянь електромеханіки після інтегрування по товщині оболонки і врахуванням гіпотез Кірхгофа-Лява, доповнених згаданими вище гіпотезами відносно напруженості електричного поля й індукції. Вони мають громіздкий вигляд і тут не наводяться. При врахуванні залежності властивостей від температури електромеханічні характеристики розраховуються для усереднених по шарах значень температури, що дозволяє провести аналітичне інтегрування по товщині оболонки. Розв’язок варіаційної задачі знаходиться скінченно-елементним методом з використанням дванадцяти-вузлових ізопараметричних елементів. Прогин в межах елемента апроксимується поліномами Ерміта в місцевій системі координат. Тангенціальні складові зміщень і геометрія оболонки в межах елемента апроксимуються кубічними поліномами в цій системі. Як глобальна система координат, в якій об’єднуються всі скінченні елементи, використовується ортогональна система координат З умови стаціонарності (6) одержимо комплексну лінійну систему алгебраїчних рівнянь відносно амплітуд зміщень і їх похідних. Її розв’язок знаходиться методом Гаусса. Потім знаходяться компоненти тензора деформацій і напружень, вектора індукції і напруженості електричного поля, дисипативна функція. Температура дисипативного розігріву буде досягати максимального рівня при коливаннях на резонансних частотах. Для їх знаходження необхідно розв’язати узагальнену задачу на власні значення для пружної п’єзоелектричної оболонки

(7)

де і - відповідно матриці жорсткості й мас. Алгоритм розв’язку базується на розрахунку знаку визначника

det (8)

і методі половинного ділення інтервалу, в якому знаходиться власне число. Реалізовано також алгоритм знаходження резонансних частот за допомогою задачі про вимушені коливання електропружної задачі, при цьому одночасно знаходяться резонансні частоти і форми коливань. Для дослідження ефективності й точності скінчено-елементного методу при розв’язуванні задач електромеханіки розглянуто ряд тестових задач: 1) задача про згин ізотропної кругової замкнутої циліндричної оболонки з вільними торцями, що знаходиться під дією самоврівноваженої системи двох діаметрально розміщених зосереджених сил; 2) задача про неосесиметричні вільні коливання нескінченної замкнутої циліндричної оболонки; 3) задача про вільні коливання замкнутої ортотропної конічної оболонки з жорстко закріпленими торцями. Ці задачі мають точні аналітичні розв’язки. Порівняння результатів розрахунків з використанням аналітичних і скінченно-елементних розв’язків показало високу точність розробленого варіанту останнього. В цьому ж розділі дано варіаційну постановку задачі теплопровідності для шаруватих оболонок обертання з відомим джерелом тепла й умовами конвективного теплообміну з зовнішнім середовищем. Двовимірна задача, одержана описаним в другому розділі методом, розв’язується на тій же сітці скінчених елементів, що і задача електромеханіки. При цьому коефіцієнти (m= 0,1,2,3.4,5) в представленні температури поліномом 5-ї степені , температура зовнішнього середовища, початкова температура, коефіцієнти теплопровідності, а також потужність теплових джерел в межах кожного елементу апроксимувались поліномами 3-ї степені, які використано в задачі електромеханіки. Аналогічно до вищевказаного одержано систему 6N (N- кількість вузлових точок) лінійних диференціальних рівнянь першого порядку за часом відносно вузлових значень з відповідними початковими умовами. Для її розв’язання використовувався скінченно-різницевий метод Кренка - Нікольсена, який є неявним безумовно стійким методом другого порядку точності. Реалізована також неявна скінчено-різницева схема першого порядку точності. Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь для кожного кроку за часом знаходився методом Гаусса. Для дослідження ефективності розробленої методики визначення температурних полів в тонкостінних елементах розглянуто задачу теплопровідності для ізотропної квадратної пластини, яка нагрівається в результаті конвективного теплообміну з зовнішнім середовищем постійної температури Нижня поверхня пластини і її торці вважались теплоізольованими. Початкова температура Така задача має аналітичний розв’язок. Порівняння результатів, одержаних аналітичним і скінчено-елементним методом, показало високу точність останнього. В завершення в цьому розділі описані ітераційнi методи розв’язування задач про вимушені неосесиметричні коливання і дисипативний розігрів шаруватих п’єзооболонок обертання - кроковий за часом метод, метод змінних параметрів та його модифікація - метод Стефенсена - Ейткена. Кожен з цих методів зводить розв’язок вихідної нелінійної системи диференціальних рівнянь до розв’язування на кожній ітерації лінійних задач електромеханіки, розрахунку дисипативної функції та розв’язування лінійного рівняння теплопровідності з відомим джерелом тепла, тобто до задач, описаних і апробованих у попередніх підрозділах третього розділу.

В четвертому розділі представлені точні розв’язки квазістатичних і динамічних задач про вимушені коливання і дисипативний розігрів пластин та оболонок канонічної форми. Розглянуто прямокутну біморфну пластину з шарнірно закріпленими торцями. Електромеханічні властивості матеріалу вважаються незалежними від температури аж до точки Кюрі. В цьому випадку спочатку потрібно розв’язати задачу електромеханіки, яка описується граничною задачею

,

(9)

де комплексна жорсткість і виражаються через електромеханічні характеристики матеріалу. Ця крайова задача розв’язується шляхом представлення прогину сумою квазістатичної і динамічної складових, кожна з яких знаходиться методом Фур’є . Після цього знаходиться дисипативна функція і розв’язується рівняння теплопровідності з відомим джерелом тепла. При цьому вважається, що температура постійна по товщині і знаходиться з рівняння

(10)

при відповідних граничних і початкових умовах.

В (10) усереднена по товщині дисипативна функція визначається виразом

(11)

де -уявна частина комплексної згинної жорсткості, - додатня уявна частина діелектричної проникливості,

Максимальна температура дисипативного розігріву буде мати місце на першій резонансній частоті. Розв’язок задачі для пластинки з теплоізольованими торцями на цій частоті має вигляд

(12)

де коефіцієнти залежать від геометричних розмірів пластини, умов її навантаження і теплообміну, електромеханічних і теплофізичних характеристик матеріалу. Вважаючи, що при досягненні температурою точки Кюрі п’єзоелемент втрачає своє функціональне призначення, одержимо критичне значення електричного навантаження Одержаний точний аналітичний розв’язок має самостійне значення при розрахунках температури дисипативного розігріву біморфних пластин і може бути еталоном при розробці чисельних методів розв’язування даного класу задач. Аналогічні результати одержані для біморфної циліндричної панелі, при цьому використовувалась технічна теорія оболонок. Ці задачі розв’язано також із застосуванням описаних в третьому розділі ітераційних методів і скінченно-елементного методу. Проведено порівняння результатів розрахунків з використанням аналітичного і скінченно-елементного методів, яке показало високу точність останнього. В цьому ж розділі представлено точні аналітичні розв’язки квазістатичних задач про формування областей теплової деполяризації в п’єзоелектричних елементах, пов’язане з досягненням температурою дисипативного розігріву точки Кюрі, коли п’єзоматеріал втрачає п’єзоефект і стає пасивним, при цьому п’єзоелектричний коефіцієнт прирівнюється нулеві. Одержані розв’язки задач про поширення фронту деполяризації в залежності від величини електричного навантаження в шарі, циліндрі, кільцевій пластині. Остання задача розглядалась як в квазістатичній, так і в динамічній постановках, при цьому враховувалась і залежність властивостей матеріалу від температури. Досліджено вплив умов теплообміну, сил інерції, залежності властивостей матеріалу від температури на розміри областей деполяризації. Розв’язано також важливу для практики задачу про вплив теплової деполяризації на вимушені коливання тонких замкнутих сферичної і нескінченно довгої циліндричної п’єзооболонок, які знаходяться в акустичному середовищі. Вивчено вплив на критичне значення параметра навантаження акустичного середовища та залежності властивостей матеріалу від температури. В кінці цього розділу представлені розв’язки задач про тепловий пробій п’єзоелектричного шару, біморфних прямокутної пластини й циліндричної панелі. Всі ці задачі зведено до визначення мінімального власного числа деякої задачі на власні числа. Одержано прості формули для критичних значень параметра електричного навантаження, після досягнення якого має місце тепловий пробій вказаних елементів.

В п’ятому розділі досліджено спільний вплив дисипації, вібророзігріву й залежності властивостей матеріалів на такі характеристики термоелектромеханічних коливань, як амплітудно- й температурно-частотні характеристики, залежність коефіцієнта затухання та коефіцієнта електромеханічного зв’язку від частоти. Коефіцієнт затухання вводиться, як відношення дисипованої за період електромеханічної енергії до подвоєної середньої за період накопиченої електромеханічної енергії. Загальна теорія коефіцієнта електромеханічного зв’язку розроблена в роботах А.Ф.Улітка і квадрат цього коефіцієнта вводиться , як відношення здатної до обернення накопиченої на даній деформації в об’ємі п’єзоелектричного тіла електричної (механічної) енергії до підведеної ззовні до тіла механічної (електричної) енергії. З використанням гіпотез Кірхгофа-Лява й А.Ф.Улітка одержано спрощені вирази для цих коефіцієнтів. З використанням описаних у другому й третьому розділах моделей і методів розв’язано конкретні задачі для біморфних і тришарових прямокутних пластин і циліндричних панелей. П’єзоелектричні шари виготовлено з п’єзокераміки ,залежність властивостей якої від температури вивчена в роботах М.О.Шульги й О.М.Болкісева. Біморфні п’єзоелементи виготовлено з п’єзоелектричних шарів однакової товщини з протилежними напрямками поляризації. В тришарових елементах середній пасивний шар зі сталі межує з двома п’єзошарами з протилежними напрямками поляризації. На зовнішніх поверхнях п’єзоелементів має місце конвективний теплообмін за законом Ньютона, а їх торці -теплоізольовані й на них нанесені нескінченно тонкі електроди, до яких підводиться гармонічна за часом різниця потенціалів. Розрахунки проведені для різних рівнів електричного навантаження. Як і для представлених вище результатів розв’язання більш простих задач, графіки частотних залежності амплітуд коливань, температури вібророзігріву, коефіцієнтів затухання й електромеханічного зв’язку є типовими для нелінійних коливань, хоча співвідношення між напруженнями, індукцією й деформаціями й напруженістю електричного поля є лінійними. При низьких рівнях навантаження характерна відсутність частотних областей неоднозначності вказаних характеристик. Зі збільшенням електричного навантаження такі області з’являються, так що при русі по нижній вітці в бік збільшення частоти при деякому її значенні спостерігається стрибок на верхню вітку й при подальшому збільшені частоти має місце рух по верхній вітці. При русі по верхній вітці в сторону зменшення частоти спостерігається стрибок на нижню вітку з подальшим рухом по ній при зменшенні частоти. При подальшому збільшенні навантаження з’являються частотні області з різким спадом характеристик перед стрибком на нижню вітку. Можлива також поява додаткових високотемпературних віток, як це відмічалось при дослідженні коливань кільцевої пластини й сферичної оболонки. Поява таких частотних областей пояснюється різкою зміною властивостей матеріалі з температурою при наближенні до точки Кюрі. На рис. 1 - 4 показано типові криві зміни з частотою в околі першого резонансу амплітуди поперечного зміщення температури вібророзігріву коефіцієнтів затухання і електромеханічного зв’язку при різниці потенціалів В, підведеної до нанесених на зовнішні поверхні нескінченно тонких електродів, для циліндричної біморфної панелі довжиною L = 0,01м, радіусом R =0,01м, товщиною = 0,001м, кутом розхилу Суцільні лінії відповідають результатам розрахунків з врахуванням залежності властивостей від температури, штрихові - незалежним.

У висновках сформульовано основні результати досліджень.

ВИСНОВКИ

1. На основі концепції комплексних характеристик, гіпотез Кірхгофа-Лява про розподіл механічних польових величин по товщині оболонки, адекватних їм гіпотез відносно електричних польових величин і гіпотези про поліноміальний розподіл нормальної компоненти вектора теплового потоку по товщині одержано рівняння стану для комплексних зусиль, моментів, електричної індукції і дисипативних функцій. З використанням цих рівнянь і рівнянь руху, кінематичних співвідношень та рівняння енергії здійснено постановку нелінійної крайової задачі, яка описує неосесиметричні коливання і дисипативний розігрів шаруватих п’єзоелектричних пластин і оболонок, складених з пасивних і п’єзоактивних дисипативних шарів, з врахуванням спряженності електромеханічних і теплових полів та залежності властивостей матеріалів від температури.

2. Розроблено ефективну методику розв’язування вищевказаної нелінійної крайової задачі, яка базується на ітераційних методах і скінчено-елементному методі розв’язування лінійних крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних на кожній ітерації.

3. Для випадку, коли властивості матеріалу не залежать від температури, одержано точні аналітичні розв’язки задач про коливання і дисипативний розігрів біморфних прямокутної пластини й циліндричної панелі з шарнірно закріпленими торцями. Крім самостійного значення , такі розв’язки є еталонними при оцінці ефективності чисельних методів. Проведено порівняння результатів розрахунків, одержаних за допомогою скінченно-елементного методу й аналітичних розв’язків, яке свідчить про високу точність і ефективність розробленої методики. За умови, що досягнення температурою вібророзігріву точки Кюрі не допускається, одержано прості формули для критичного значення параметра електричного навантаження біморфних пластин і циліндричних панелей, після досягнення якого має місце втрата елементом свого функціонального призначення.

4. Одержано точні аналітичні розв’язки задач про квазістатичні коливання і дисипативний розігрів шару, нескінченного порожнистого циліндра й кільцевої пластини з врахуванням часткової теплової деполяризації. Одержано трансцендентні рівняння, розв’язок яких дає залежність розмірів деполяризованої області від прикладеної різниці потенціалів. Задачу для кільцевої пластинки розв’язано також в динамічній постановці з врахуванням залежності властивостей матеріалу від температури й часткової теплової деполяризації, при цьому виявлено як кількісний, так і якісний вплив сил інерції і теплової деполяризації на амплітудно- й температурночастотні характеристики.

5. Одержано розв’язок динамічної задачі про коливання і дисипативний розігрів нескінченної циліндричної і сферичної п’єзооболонок, що знаходяться в акустичному середовищі, з врахуванням залежності властивостей матеріалу від температури й теплової деполяризації. Проведено чисельне дослідження впливу сил інерції, акустичного середовища, залежності властивостей від температури й теплової деполяризації на їх електромеханічний і тепловий стан.

6. Поставлено й розв’язано задачу про тепловий пробій шару, біморфних прямокутної пластини й циліндричної панелі. Визначення критичного значення параметра навантаження, після досягнення якого має місце лавиноподібне наростання температури (тепловий пробій), зведено до розв’язання задачі на мінімальне власне число для деякого диференціального рівняння другого порядку в частинних похідних. Це дозволило одержати прості формули для критичного значення параметра електричного навантаження.

7. З використанням описаного вище підходу до розв’язування нелінійних крайових задач на основі ітераційних методів і скінченно-елементного методу, одержано розв’язки задач про коливання і дисипативний розігрів біморфних і тришарових прямокутних пластинок і циліндричних панелей. На основі чисельних розрахунків показано, що, починаючи з деякого рівня електричного навантаження, амплітудно- й температурночастотні характеристики коливань, частотні залежності коефіцієнтів затухання і коефіцієнтів електромеханічного зв’язку в околі резонансу мають типовий для нелінійних динамічних систем вигляд, незважаючи на те, що при постановці задачі використовуються лінійні рівняння стану для механічних і електричних польових величин.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

Основний зміст дисертації відображено в таких публікаціях:

1. Карнаухова Т.В. Тепловой пробой пьезоэлектрического слоя при гармоническом электрическом нагружении//Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов. Киев:Ин-т математики НАН Украины. - 1996. - С.130-132.

2. Козлов В.И., Карнаухова Т.В. Математическое моделирование неосесимме- тричных колебаний и диссипативного разогрева поляризованных по толщине слоистых вязко -упругих пьезоэлектрических оболочек вращения// Нелиней- ные проблемы дифферен циальных уравнений и математической физики. Сб. научных трудов международной конференции, посвященной 80-летию акаде -мика Ю.А. Митропольского ( Нальчик, 2-6 июня 1997г.). Киев: Ин-т математики НАН Украины. - 1997. - С. 151-154.

3. Карнаухова Т.В. Тепловая деполяризация пьезоэлектрического слоя при гармоническом квазистатическом электрическом нагружении//Прикл. механика. - 1998. - 34, 4. - С. 81-84.

4. Киричок И.Ф., Карнаухова Т.В., Венгренюк Ю.А. О влиянии тепловой деполяриззации на термоэлектромеханическое поведение кольцевой пластины из вязкоупругого пьезоматериала при гармоническом нагружении// Прикл. механика. - 1998. - 34,6. - С. 85-91.

5. Киричок И.Ф., Карнаухова Т.В. Квазистатическая задача термовязкоупругости частично деполяризованного пьезоэлектрического цилиндра при гармоническом нагружении//Прикл. механика. - 1999. - 35, 3. – С. 42 - 48.

6. Рассказов А.О., Козлов В.И., Карнаухова Т.В. Поперечные колебания и виброразогрев прямоугольной биморфной пластины из диссипативного пьезоматериала// Прикл. механика. - 1999. - 35, 9. - С. 85-93.

АНОТАЦІЇ

Карнаухова Т.В. Коливання і дисипативний розігрів в’язкопружних шаруватих тонкостінних п’єзоелементів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000.

В дисертації на основі концепції комплексних характеристик з використанням гіпотез Кірхгофа - Лява й адекватних їм гіпотез про розподіл по товщині електричних польових величин й температури побудовані математичні моделі неосесиметричних коливань шаруватих оболонок обертання, складених із пасивних і п’єзоактивних шарів, з врахуванням дисипації, викликаної нею температури вібророзігріву й залежності властивостей матеріалу від температури. Розроблено чисельно-аналітичну методику розв’язування нелінійних крайових задач для рівнянь в частинних похідних, до яких приводять такі моделі. Ця методика грунтується на ітераційних процедурах нелінійної механіки й скінченно-елементному методі розв’язування лінійних крайових задач на кожній ітерації. Для випадку, коли властивості матеріалу не залежать від температури, одержано точні аналітичні розв’язки задачі про коливання і вібророзігрів біморфних прямокутної пластини й циліндричної панелі, а також задач про поширення фронту теплової деполяризації в шарі, циліндрі й кільцевій п’єзопластині. На основі розроблених моделей і методів шляхом розв’язання конкретних задач досліджено вплив дисипації, температури вібророзігріву, залежності властивостей матеріалу від температури на амплітудно-, температурночастотні характеристики, коефіцієнти затухання й електромеханічного зв’язку, докритичний і критичний тепловий стан тонкостінних пластин й оболонок.

Ключові слова: термомеханічні коливання, шаруваті п’єзооболонки, дисипація, вібророзігрів.

Karnaukhova T.V. Vibrations and dissipative heating of viscoelastic layered thin-walled piezoelements. - Manuscript.

Dissertation for Candidate of Sciences Degree in Physics and Mathematics by the speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solids. - Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2000.

In the dissertation mathematical models of nonsymmetric vibrations of layered revolution shells which made up from passive and piezoactive components are developed with taking into account dissipation, vibroheating, temperature dependence of material characteristics. Numerical and analytical approaches of solving nonlinear boundary problems to which the models lead are developed. The approaches are based on iteration procedures of nonlinear mechanics and finite element methods of solving linear boundary problems on every iteration. When material characteristics don’t depend on temperature the analytical solutions of problems of vibrations of bimorph rectangular plates and cylindrical panels are obtained also as well problems about motion of front of thermal depolarization in layer, cylinder and circular plate. On basis of the models, methods and received analytical and numerical solutions the influence of dissipation, vibroheating and temperature dependence of material properties are investigated on amplitude, - temperature-frequency characteristics, coefficients of damping and electromechanical couples, critical thermal states of thin-walled elements.

Key words: thermo-mechanical vibrations, layered piezoshells, dissipation, vibroheating.

Карнаухова Т.В. Колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих слоистых тонкостенных пьезоэлементов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени