Національний університет "Львівська політехніка"

Азаров Ігор Валерійович

УДК 681.516.42+681.5.037.2

ВПЛИВ ПОХИБОК ЗАОКРУГЛЕННЯ НА СТІЙКІСТЬ ДВОВИМІРНИХ ЦИФРОВИХ ФІЛЬТРІВ

05.12.13 – радіотехнічні пристрої та засоби телекомунікацій

Автореферат дисертації

на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Львів – 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені

Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

доктор технічних наук, професор

Cиницький Лев Аронович‚

Львівський національний університет імені Івана Франка‚

професор кафедри

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, старший науковий співробітник

Смеркло Любомир Михайлович,

Львівський науково-дослідний радіотехнічний інститут Державного комітету промислової політики України,

начальник відділеннядоктор технічних наук, професор Стахів Петро Григорович, національний університет “Львівська політехніка”‚ завідувач кафедри

кандидат технічних наук, старший науковий співробітник

Погребенник Володимир Дмитровичдоктор фізико-математичних наук, професор Гафійчук Василь Васильович‚ Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України‚ завідувач відділом

,

Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, м. Львів,

старший науковий співробітник

Провідна установа:

Національний технічний університет України “Київський політехнічний

інститут”, кафедра акустики і акустоелектронікиНаціональний технічний університет України “КПІ”, відділ теорії електричних та електронних кіл, м. Київ

Захист відбудеться “ 23 ”  травня 2001 р. о “ 14 ” год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .052.10 у Національному університеті "Львівська політехніка" (79013, Львів-13, вул. С. Бандери, ).

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Національного університету "Львівська політехніка" (79013, Львів-13, вул. Професорська, 1).

Автореферат розісланий “ 9 ”  квітня 2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романишин Ю.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АКТУАЛЬНІСТЬ ТЕМИ. Дослідження багатовимірних дискретних систем набуло в останні роки дуже широкого поширення. Обумовлено це тим, що зацікавленість подібними задачами викликана проблемами обробки, передачі й синтезу зображень.

Існують також і більш традиційні і добре відомі задачі, де виникає необхідність аналізу багатовимірних дискретних систем, наприклад, при дискретизації рівнянь у частинних похідних при розв'язку їх чисельними методами. Цей аналіз має також неабияке значення і при побудові загальної теорії систем, що дозволяє вивчити нові явища, які залишалися поза увагою дослідників.

Аналіз лінійних багатовимірних систем так само, як і одновимірних, може проводитись як у часовій, так і в частотній областях. В літературі інколи вказується на обмеженість застосування аналізу багатовимірних систем у часовій області і в багатьох прикладних дослідженнях розрахунок ведеться на основі дискретного перетворення Фур'є. Мабуть, ця точка зору не є загальноприйнятою, про що свідчить те, що потік робіт по теорії багатовимірних систем у часовій області не зменшується. У більшості випадків головні властивості багатовимірних систем можуть бути виявлені на прикладі двовимірних систем. Тому далі обмежимося дослідженням саме таких систем.

Здавалось би, теорія лінійних двовимірних систем вивчена повністю. Проте побудова простих і надійних алгоритмів для визначення таких якісних характеристик як, наприклад, стійкість, або характер усталення стаціонарного режиму ще залишаються актуальними.

Проблема значно ускладнюється при врахуванні нелінійних ефектів, які виникають унаслідок квантування сигналу по рівню. Остання проблема вивчалась багатьма дослідниками і для одновимірних систем були отримані умови стійкості (у більшості випадків достатні, але дуже далекі від необхідних). У тому випадку, коли це зробити не вдавалося, обмежувались визначенням максимально можливих амплітуд автоколивань, що виникають внаслідок квантування по рівню. Подібних досліджень для двовимірних систем є обмаль, і вони виявляються малоефективними. Тому слід вважати, що дослідження стійкості багатовимірних систем при врахуванні квантування по рівню є актуальним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертаційної роботи здійснювалися в рамках науково-технічної теми “Розробка методів та програм математичного моделювання складних режимів у нелінійних динамічних системах”, що виконувалася науково-дослідною лабораторією автоматизованого проектування радіоелектронних кіл та систем Львівського національного університету імені Івана Франка в 1997-2000 рр. згідно з наказом Міністерства освіти України № 37 від 13.02.97.

Метою дисертаційної роботи є встановлення умов стійкості лінійних двовимірних цифрових фільтрів і цифрових фільтрів з операцією заокруглення. Відповідно до поставленої мети, у дисертаційній роботі потрібно було вирішити такі задачі:

·

· розробити алгоритм дослідження стійкості двовимірних цифрових фільтрів із заокругленням до найближчого цілого;

· поширити теорію стійкості Ляпунова на двовимірні цифрові фільтри, записані у формі Россера з кусково-неперервними функціями, які можуть мати розриви першого роду;

· дослідити режими граничних циклів двовимірного цифрового фільтра із заокругленням;

· дослідити, як впливають похибки заокруглення, що виникають при виконанні тесту з перевірки стійкості лінійного двовимірного цифрового фільтра, на правильність результату.

Об'єкт дослідження — двовимірний цифровий фільтр.

Предмет дослідження — стійкість двовимірного цифрового фільтра.

Методи дослідження — дослідження з допомогою імпульсних характеристик лінійних фільтрів, другим методом Ляпунова і з допомогою алгебраїчних нерівностей фільтрів з заокругленням, програмою символьних обчислень “Maple” впливу похибок заокруглення при виконанні перевірки стійкості лінійних фільтрів на правильність результату.

Наукова новизна одержаних результатів:

1. Розширено клас нелінійних двовимірних цифрових фільтрів, для яких придатний другий метод Ляпунова, — крім фільтрів з нелінійністю переповнення метод поширюється на клас фільтрів з кусково-неперервними функціями, які мають розриви першого роду.

2. На основі зробленого розширення класу фільтрів, для яких придатна теорія стійкості Ляпунова, вперше розроблено метод перевірки на стійкість систем із заокругленням при кожній операції множення.

3. На основі класичного апарату нерівностей вперше розроблено метод дослідження стійкості фільтра із заокругленням до найближчого цілого при кожній операції множення.

4. За допомогою розробленого методу дослідження стійкості фільтра із заокругленням вперше отримано область достатніх умов стійкості для двовимірних фільтрів певного виду із заокругленням до найближчого цілого.

5. Вперше проведено класифікацію режимів нестійкості у двовимірних системах з операцією заокруглення до найближчого цілого. Для двох режимів проаналізовані значення коефіцієнтів, при яких можливе виникнення нестійкості.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані області стійкості дають можливість використовувати цифрові фільтри із заокругленням, в яких не виникають граничні цикли, що підвищує завадостійкість систем. Отримані результати дослідження алгоритму перевірки на стійкість лінійних двовимірних фільтрів дають змогу при реалізації алгоритму вибрати таку кількість розрядів, при якій заокруглення при проміжних розрахунках не спотворять результати виконання алгоритму.

Розроблені в дисертації алгоритми пошуку області стійкості двовимірного фільтра із заокругленням використовуються ТзОВ Міжгалузевий науково-технічний комплекс “Матеріали радіотехніки, електроніки, інформатики” (МНТК “МЕРІ”, м.Львів), виробником сертифікованих телефонів з визначником номера. Знайдений метод отримання області стійкості двовимірного фільтра із заокругленням використовується науково-дослідною лабораторією автоматизованого проектування радіоелектронних кіл та систем Львівського національного університету імені Івана Франка і ТзОВ “ОРПЕТ” (м.Львів), виробником сертифікованих систем телекомунікацій.

Особистий внесок здобувача. Автором самостійно виконано всі теоретичні та експериментальні дослідження, що становлять основу дисертаційної роботи. Особистий внесок автора в спільних публікаціях:

- в] – опис алгоритму, отримання аналітичної області стійкості для прикладу‚ постановка та аналіз результатів числових експериментів;

- в [2] – чисельне дослідження режиму нестійкості, отримання аналітичного розв'язку, перевірка отриманих результатів;

- в [4] – алгоритм запису імпульсної характеристики для фільтрів, в тому числі з нерекурсивними підсистемами, отримання імпульсної характеристики і дослідження на стійкість для прикладу;

- в [5] – формулювання і доведення теореми, застосування теореми для систем з заокругленням, розгляд прикладів.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати дисертаційної роботи доповідались й обговорювались на:

·

· Міжнародній науково-технічній конференції “Проблемы физической и биомедицинской электроники” (Київ, 1997, 1998, 1999);

· щорічних звітних наукових конференціях викладачів і співробітників Львівського національного університету імені Івана Франка (1997-2000);

· науковому семінарі кафедри радіофізики Львівського національного університету імені Івана Франка.

Дисертаційна робота в повному обсязі доповідалася та обговорювалася на кафедрі радіофізики Львівського національного університету імені Івана Франка.

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано 5 друкованих праць у фахових наукових виданнях.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Дисертація містить 136 сторінок тексту, 18 ілюстрацій обсягом 5 сторінок, 1 таблицю на 2 сторінки, 2 додатки на 12 сторінках та список літератури з 92 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність дослідження стійкості двовимірних цифрових фільтрів, сформульовано мету та основні завдання досліджень, наукову новизну роботи, практичну цінність отриманих результатів, наведено відомості про апробацію роботи.

В першому розділі розглянуто застосування, математичні моделі і методи дослідження стійкості лінійних двовимірних цифрових фільтрів, наведені чисельні експерименти по дослідженню граничних циклів у фільтрах із заокругленням до найближчого цілого при кожній операції множення і класифікація цих граничних циклів.

Лінійні двовимірні цифрові фільтри на перших етапах дослідження описувалися різницевими рівняннями високого порядку

(1)

де y(m1,m2) – вихідний сигнал, x(m1,m2) – вхідний сигнал, N – порядок фільтра по першому індексу, М – порядок фільтра по другому індексу, N1 і М1 визначають кількість вхідних відліків, які використовуються для обчислення вихідного відліку, aij i bij – коефіцієнти нерекурсивної і рекурсивної частини фільтра відповідно.

В останні роки набули значного поширення описи у вигляді рівнянь станів (Россера і Форназіні-Маркезіні). Рівняння в моделі Россера має вигляд:

(2)

де – вектор стану в моделі Россера, – n-вимірний вектор так званої горизонтальної складової стану, – m-вимірний вектор так званої вертикальної складової стану, u(i, j) – вхідний сигнал, y(i,) – вихідний сигнал. A1, A2, A3, A4 – матриці розмірностей nґn, nґm, mґn, mґm відповідно, В1, В2 – матриці розмірностей nґ1, mґ1, С1, С2 – матриці розмірностей 1ґn, 1ґm. Неважко побачити, що визначає зміну вектора стану в горизонтальному напрямі, а – у вертикальному напрямі у відповідності з різницевими рівняннями першого порядку.

Рівняння в моделі Форназіні-Маркезіні має наступну структуру:

(3)

де х – вектор стану, у – вихідний сигнал, и – вхідний сигнал, A1, A2, A0, В, С – матриці розмірностей рґр, рґр, рґр, рґ1, 1ґр відповідно.

При дослідженні стійкості двовимірних систем найбільше поширення у літературі отримав критерій обмежений вхід – обмежений вихід (ОВОВ). Критерій ОВОВ вимагає, щоб довільна обмежена по амплітуді вхідна послідовність давала обмежену по амплітуді вихідну послідовність, тобто якщо вхідний сигнал задовольняє нерівності , то вихідний сигнал повинен задовольняти нерівності , де P і Q – деякі додатні числа.

Необхідна і достатня умова на імпульсну функцію у випадку стійкості ОВОВ є умова:

(4)

Зрозуміло, що ця умова не є зручною для досліджень, тому що для її перевірки необхідно вираховувати безмежні суми. Крім цього, умова (4) вимагає знання імпульсної характеристики. Як правило, алгоритми синтезу фільтрів дозволяють отримати коефіцієнти різницевого рівняння або передавальну функцію фільтра. Тому більшого поширення набули алгебраїчні критерії, що базуються на вивченні розташування коренів характеристичного рівняння. Для лінійного фільтра (1) z-передавальна функція має вигляд

,

де

тоді достатня умова стійкості полягає в тому, що характеристичний поліном не повинен обертатися в нуль при будь-яких значеннях

Ця умова відома під назвою теореми Шенкса. Існують і більш зручні для перевірки умови, які є вдосконаленням теореми Шенкса (теореми Хуанга, Де Карло-Стрінтціса).

Як відомо, в одновимірних фільтрах при наявності заокруглень і відсутності вхідного сигналу виникають так звані граничні цикли – на виході фільтра спостерігається періодичний сигнал (інколи нульової частоти – постійне зміщення). У двовимірному випадку при відсутності вхідного сигналу також можлива поява на виході певного незгасаючого сигналу. Проте цей сигнал має більш складну структуру, ніж в одновимірному випадку. Чисельні експерименти, які демонструють різні режими нестійкості, наведемо для рівняння

(5)

1) Найпростіший вид нестійкості – “постійне зміщення”. По рядках сигнал являє собою “горбик”, що загасає. Від рядка до рядка цей сигнал “пересувається” у сторону збільшення номера стовпця. Зміщення вздовж певних напрямків є постійним. Тому і запропонована нами назва такого виду нестійкості як “постійне зміщення”.

Рис. 1. Обробка зображення фільтром першого порядку, коефіцієнти а = b = .2, c = .5, d e . Перше зображення – вхідне (16 градацій сірого), друге – оброблене з великою розрядністю (вважаємо без заокруглення), третє – зображення, оброблене із заокругленням типу Round.

2) Дещо складнішою ситуацією є випадок, при якому і по рядках, і по стовпцях спостерігаються незгасаючі періодичні коливання певної частоти (у загальному випадку різної для рядків і стовпців). Рівняння (5) при значеннях коефіцієнтів a ; b ,6; c ; d ,26; e ,26 і при певних початкових умовах має на виході усталений сигнал із періодом 4 по рядках і періодом 2 по стовпцях. Один період такого сигналу має вигляд:

.

3) Більш складною формою незгасаючого вихідного сигналу є така, при якій період сигналу в рядку збільшується в ціле число разів від рядка до рядка. Рівняння (5) при значеннях коефіцієнтів a ,8; b ,2; c ,4 і при одній ненульовій умові x0,0  має на виході сигнал з періодами в рядку: перший рядок – період 1, другий рядок – період 1, третій рядок – період 4, ..., сьомий рядок – період 8, ..., дев'ятий рядок – період 16, ..., десятий рядок – період 32, ..., одинадцятий рядок – період 64, ..., двадцять шостий рядок – період 16384.

Рис. 2. Обробка зображення фільтром другого порядку, коефіцієнти а = b = .8, c = .4, d = e = .2. Перше зображення – вхідне (6 градацій сірого на фоні нуля), друге – оброблене з великою розрядністю без заокруглення, третє – оброблене зображення із заокругленням типу Round.

У даній роботі проаналізовано умови виникнення граничних циклів першого й другого видів.

У другому розділі розроблено метод розрахунку імпульсних характеристик лінійних двовимірних цифрових фільтрів та їх застосування до дослідження стійкості лінійних систем, досліджено тест на стійкість двовимірного цифрового рекурсивного фільтра при наявності обмеженої розрядності й похибок заокруглення, застосувано теорію стійкості багатовимірних цифрових фільтрів для дослідження на стійкість різницевого рівняння, отриманого з рівняння в частинних похідних.

Імпульсну характеристику (реакцію системи на одиничний імпульс) можна отримати чисельно як таблицю даних або здійснюючи зворотне Z-перетворення з отриманням аналітичного виразу. Вказані методи громіздкі й перший не дає аналітичного розв'язку. Використовуючи твердження, викладене у дисертації, цю задачу можна звести до нескладної комбінаторної задачі.

Розглянемо фільтр із найпростішою нерекурсивною частиною, для якої aij рівні символу Кронекера. Тоді для такої системи імпульсну характеристику можна отримати згідно з наступним твердженням: відлік імпульсної характеристики для (1) в точці (n1, n2) дорівнює сумі величин усіх можливих шляхів із точки (0, 0) до точки (n1, n2). Шлях утворюється стрілками bkl. Величина шляху – це добуток bkl, які утворюють шлях.

Застосовуючи твердження до рівняння (5), в якому d=e=0, отримуємо імпульсну характеристику

.

Використовуючи знайдену імпульсну характеристику для дослідження стійкості фільтра за допомогою (4), отримуємо область стійкості

.

Сучасні тести на стійкість лінійного двовимірного фільтра при наявній z-передавальній характеристиці містять наступні частини:

1) Перевіряється стійкість одновимірного фільтра, який отримуємо при z1=0.

2) Складається матриця Шура-Кона (яка залежить від z2 і z2-1) і перевіряється її додатньовизначеність при z2=1.

3) Знаходиться визначник даної матриці, проводиться заміна z2+z2-1=x і методом Штурма перевіряється відсутність нулів отриманого полінома Р(x) на проміжку [-1,1].

В тесті на стійкість, який досліджувався, для відшукання визначника з пункту 3 використовується швидке перетворення Фур'є. Оскільки алгоритм реалізується в арифметиці з обмеженою розрядністю, він може давати невірні результати. Найбільше обчислень припадає на пункт 3, тому помилки в результаті найчастіше виникають на цьому етапі. В дисертації пункт 3 виконувався для послідовності 10-ти z-передавальних характеристик із випадковими значеннями коефіцієнтів один раз із безмежною розрядністю в програмі “Maple”, а інші рази з обмеженою розрядністю. Похибки алгоритму у випадку фільтра четвертого порядку зустрічаються при десятковій розрядності, нижчій за 9, а у випадку п'ятого порядку - нижчій за 13.

Після дискретизації рівняння в частинних похідних, яке описує систему з розподіленими параметрами, ми отримуємо різницеве рівняння. Це рівняння можемо трактувати як рівняння лінійного багатовимірного фільтра. В дисертації у такий спосіб було досліджено рівняння теплопровідності й зроблено висновок, що рівняння теплопровідності допускає застосування явного методу дискретизації й використання дискретизованого рівняння як рівняння цифрового фільтра.

Основна увага в третьому розділі приділяється аналізу граничних циклів у фільтрах із заокругленням. Тут також описується розроблений алгоритм знаходження області стійкості фільтрів із заокругленням.

Дослідимо граничний цикл типу "постійне зміщення" для випадку фільтра

. (6)

Для нульових початкових умов задамо лише один ненульовий відлік . В цьому випадку для певного набору коефіцієнтів (а, с) отримуємо постійне зміщення в певному напрямі. Якщо ми обробляємо сигнал однаково як по m1, так і по m2, то використовуємо симетричні фільтри, в яких а=b, і к-та наддіагональ рівна к-й піддіагоналі.

Спочатку розглянуто випадок, коли ненульовими є лише головна діагональ (на ній значення a) і перші над- і піддіагоналі (на них значення b). Значення a і b пов'язані системою рівнянь:

.

Розв'язок системи записується у вигляді:

, , (7)

де , .

Аналіз виразів (7) показує, що:

а) при а, с®0 справедливі нерівності a, b Ј1, тобто фільтр залишається стійким при наявності заокруглення;

б) випадок а®0, с®1 є найбільш несприятливим, оскільки a®Ґ і b®Ґ ;

в) максимальне значення нестійкості можемо оцінити виразом:

.

Для випадку, коли імпульс містить декілька над- та піддіагоналей, ми записуємо систему:

a > b .

Максимальні значення розв'язку системи нерівностей:

, .

Отримані значення дещо перевищують реальні. Це, насамперед, пов'язано з використанням наближеної нерівності .

Розглянемо виникнення періодичних граничних циклів для (6). Для цього скористаємося наступними міркуваннями: розв'язки для системи із заокругленням до найближчого цілого є подібні до розв'язків лінійної системи, але з коефіцієнтами, взятими на границях області стійкості. Розв'язок шукаємо у вигляді періодичного сигналу з періодом 2 по одному напрямі і періодом 2 по іншому, тобто у вигляді:

a b a b

g d g d

a b a b

g d g d

Тут a, b, g, d – деякі числа. Система рівнянь для обчислення цих чисел:

.

Щоб існували ненульові розв'язки системи, необхідно, щоб визначник системи дорівнював нулеві. Визначник матриці дорівнює добутку власних значень. Тому система має розв'язки при рівності нулю одного з власних значень, а розв'язок системи з точністю до константи дорівнює власному вектору, що відповідає нульовому власному значенню. Матриця має наступні власні значення і власні вектори:

Область стійкості для (6) в просторі коефіцієнтів отримана Хуангом і представляє собою тетраедр. Умови співпадають з гранями тетраедра (рис. 3).

- a a - a - a

- a a a a

Нестійкість для =0 Нестійкість для =0

a a a - a

a a - a a

Нестійкість для =0 Нестійкість для =0

Рис. 3. Можливі режими нестійкості при пошуку періодичних режимів з періодом два по рядках і по стовпцях.

При врахуванні заокруглення подібні режими можуть з'являтися вже в області стійкості лінійного фільтра. Числові експерименти підтверджують ці евристичні міркування. При врахуванні заокруглення коливання з періодом 2 характерні тим, що величини відрізняються одне від одного не більше, ніж на одиницю. Що стосується амплітуд коливань, тобто максимально можливих по абсолютній величині значень , то вони визначаються відстанню від границі стійкості. Чим ближче точка (a, b,) до цієї границі, тим більше значення максимально можливої амплітуди.

Отримані результати означають, що для фільтра із заокругленням біля площини =0 існує режим нестійкості з періодом 2 по рядках і постійним зміщенням по стовпцях, біля площини =0 –постійне зміщення по рядках і період 2 по стовпцях, біля площини =0 – постійне зміщення по стовпцях і рядках, біля площини =0 – період 2 по рядках і 2 по стовпцях.

З аналогічних міркувань знаходимо, що біля ребер згаданого вище тетраедра можливе існування режимів:

ь коливання з періодом 3 по рядках і постійним зміщенням по стовпцях біля ребра ;

ь коливання з періодом 3 по рядках і 2 по стовпцях біля ребра ;

ь коливання з періодом 4 по рядках і постійним зміщенням по стовпцях біля ребра ;

ь коливання з періодом 4 по рядках і 2 по стовпцях біля ребра ;

ь коливання з періодом 3 по рядках і 6 по стовпцях біля точки .

Для всіх розглянутих режимів mЧn умови існування режимів nЧm отримуємо після заміни коефіцієнтів a i b місцями у відповідних рівностях для режимів mЧn.

В дисертації розроблено алгоритм знаходження області стійкості системи із заокругленням до найближчого цілого і при кожній операції множення. Суть алгоритму наступна: береться область стійкості лінійної системи і з неї за певне число ітерацій вирізається область, в якій система із заокругленням є нестійкою. Спочатку вираховується максимальна амплітуда нестійкості і проводиться перевірка існування нестійкості для всіх значень від нуля до знайденого максимального значення. На кожній ітерації проводиться перевірка значення і відкидається область, де може існувати нестійкість. На кожній ітерації при відкиданні області нестійкості проводиться вирахування максимального значення нестійкості, що дає змогу зменшити число ітерацій.

Застосування розробленого нами алгоритму дало змогу вперше отримати область стійкості для системи (6) із заокругленням до найближчого цілого при кожній операції множення (рис.4, рис.5).

Рис. 4. Об'ємне зображення області стійкості для фільтра (6).

Рис. 5. Перерізи області стійкості, представленої на рис. 4.

В четвертому розділі поширено теорію стійкості Ляпунова на двовимірні системи у формі Россера із заокругленням до найближчого цілого при кожній операції множення в арифметиці з фіксованою комою.

Розглянемо нелінійне рівняння двовимірного цифрового фільтра у формі Россера:

(8)

з початковими умовами, що задовільняють

де - кусково-неперервні і не мають розривів у нулі,

; xh, xv – вектори розмірностей m i n відповідно.

Припущення 1. Припустимо, що для системи (8) існує неперервна функція V: Rm+n а R із наступними властивостями:

1. Функція V(х) може бути зображена у вигляді:

, ,

причому неперервні додатно визначені .

2. Перша різниця функції у силу (8) від'ємно визначена:

.

Теорема: Якщо припущення 1 виконуються, то стан рівноваги системи (8) є асимптотично стійкий у цілому.

Використовуючи теорему для рівняння із заокругленням:

,

для функції Ляпунова у вигляді р-норми вектора х отримуємо

,

де r =1 для заокруглення шляхом відкидання дробової частини, r =2 для заокруглення до найближчого цілого, , подвійні риски з індексом р – погоджена норма матриці для р-норми вектора.

Для функції Ляпунова у вигляді квадратичної форми з діагональною матрицею Н :

отримуємо співвідношення

. (9)

Записавши (6) у формі Россера і використавши (9), отримуємо результати, представлені на рис. 6.

Рис. 6. 1 – контур області стійкості при заокругленні до найближчого цілого (коефіцієнт с=0). При с=0.15 область зникає повністю. 2 – контур області стійкості при заокругленні шляхом відкидання дробової частини (коефіцієнт с=0). При с=0.5 область зникає повністю.

Основні результати та висновки

У дисертаційній роботі розв'язано наукову задачу дослідження стійкості лінійних двовимірних систем, інваріантних до зсуву, розширено клас двовимірних фільтрів, до яких можна застосувати другий метод Ляпунова, вперше розроблені два різні методи дослідження стійкості двовимірних систем з операцією заокруглення, вперше прокласифіковано режими нестійкості, які виникають у системах із заокругленням, і проаналізовано умови їх виникнення, що забезпечує можливість проектування стійких двовимірних фільтрів.

При цьому отримано такі результати:

1. Хоча для дослідження стійкості лінійних двовимірних фільтрів існує декілька методів, для встановлення умов стійкості для фільтрів із заокругленням методи розроблені слабо, а для фільтрів у формі Россера з заокругленням до найближчого цілого їх немає взагалі. Тому в дисертації розроблено методи дослідження стійкості фільтра з заокругленням до найближчого цілого і шляхом відкидання дробової частини, які представляються формою Россера і формою різницевого рівняння. Для лінійних фільтрів розроблено метод отримання області стійкості у просторі коефіцієнтів.

2. Сформульовано нову теорему про стійкість, що є поширенням другого методу Ляпунова на двовимірні фільтри з операцією заокруглення, які представляються формою Россера. Вказуються класи функцій, які можна використати як функції Ляпунова для дослідження стійкості фільтрів. Отримані результати дозволяють стверджувати, що область стійкості при заокругленні шляхом відкидання дробової частини значно більша, ніж при заокругленні до найближчого цілого.

3. Вперше отримано області стійкості для фільтрів певного класу із заокругленням до найближчого цілого та із заокругленням шляхом відкидання дробової частини, що дає змогу проектувати фільтри без можливості виникнення граничних циклів. В літературі подібні результати були отримані лише для фільтрів у формі Форназіні-Маркезіні і для заокруглення, що береться не при кожній операції множення.

4. Розроблено метод для знаходження області стійкості системи із заокругленням до найближчого цілого, що дозволило вперше отримати область достатніх умов стійкості в просторі коефіцієнтів для фільтра певного класу із заокругленням до найближчого цілого. Після чисельної перевірки результату можна вважати цю область областю необхідних і достатніх умов стійкості з високою степінню ймовірності.

5. Вперше проведено класифікацію й експериментальне дослідження режимів нестійкості у двовимірних системах з операцією заокруглення до найближчого цілого. Для двох режимів проаналізовані умови виникнення нестійкості. Це дозволяє уявити вигляд спотворень при граничних циклах, що можуть виникати в системах із заокругленням. Нестійкість, при якій період від рядка до рядка збільшується в ціле число разів, дає можливість використовувати цей граничний цикл як шлях до отримання хаотичного сигналу.

6. Розроблено новий алгоритм запису в аналітичному вигляді імпульсної характеристики для лінійного двовимірного фільтра, що дозволяє досліджувати стійкість із допомогою імпульсної характеристики. Використання імпульсних характеристик при дослідженні на стійкість двовимірних фільтрів певного класу показує, що в просторі коефіцієнтів аij умова є необхідною і достатньою для півпростору, що задовольняє нерівності , а для іншого півпростору – лише достатньою.

7. Досліджено стійкість розв'язків дискретизованого рівняння теплопровідності з точки зору цифрової фільтрації і зроблено висновок, що рівняння теплопровідності допускає застосування явного методу дискретизації й використання дискретизованого рівняння як рівняння цифрового фільтра.

8. Вперше досліджено чутливість до похибок заокруглення чисельного алгоритму перевірки стійкості з використанням швидкого перетворення Фур'є і проведено його порівняння з іншими алгоритмами, що дозволяє при реалізації алгоритму в арифметиці з обмеженою розрядністю правильно вибрати розрядність сітки. З'ясовано, що при реалізації алгоритму потрібно використовувати як мінімум 9 десяткових розрядів для перевірки на стійкість фільтра четвертого порядку, і як мінімум 13 десяткових розрядів для фільтра п'ятого порядку.

Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в п'яти наукових працях:

1. Азаров І. В., Синицький Л. А. Дослідження стійкості лінійних двовимірних цифрових фільтрів з нелінійністю заокруглення типу Round // Электроника и связь. – 1999. – №6, Том 1. – С. 212-216.

2. Азаров І. В., Синицький Л. А. Нестійкість у двовимірних цифрових фільтрах, обумовлена заокругленням // Электроника и связь. – 1998. – № 4, Ч.2. – С. .

3. Азаров І. В. Дослідження тесту на стійкість двовимірного цифрового рекурсивного фільтру при наявності обмеженої розрядності та похибок заокруглення. // Теоретична електротехніка. – 1998. – Вип. 54. – С. .

4. Азаров І. В., Синицький Л. А. Розрахунок імпульсних характеристик двовимірних рекурсивних фільтрів // Электроника и связь. – 1997. – № 2, Ч.1. – С. .

5. Азаров І. В., Синицький Л. А. Дослідження стійкості двовимірних цифрових фільтрів другим методом Ляпунова // Відбір і обробка інформації. – 2000. – № (90). – С. .

анотація

Азаров І.В. Вплив похибок заокруглення на стійкість двовимірних цифрових фільтрів. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.12.13 – радіотехнічні пристрої та засоби телекомунікацій. – Національний університет “Львівська політехніка”, Львів, 2001.

Дисертація присвячена дослідженню стійкості лінійних двовимірних цифрових фільтрів і двовимірних фільтрів з операцією заокруглення в арифметиці з фіксованою комою. Запропоновано алгоритм отримання в аналітичному вигляді імпульсних характеристик і за їх допомогою зроблена спроба дослідити стійкість лінійних фільтрів. Розроблено алгоритм знаходження області стійкості в просторі коефіцієнтів фільтра для систем з заокругленням до найближчого цілого і за його допомогою отримана область стійкості для певного класу фільтрів. Поширено другий метод Ляпунова про стійкість двовимірних фільтрів на клас кусково-нелінійних функцій. З її допомогою отримано умови на стійкість систем з заокругленням до найближчого цілого і з заокругленням шляхом відкидання дробової частини. Чисельно досліджено, прокласифіковано режими нестійкості для двовимірних систем із заокругленнями; отримано аналітичні умови їх виникнення. Розглянуто вплив операцій заокруглення при реалізації алгоритмів чисельного дослідження стійкості на правильність роботи цих алгоритмів. Отримані рекомендації на вибір кількості розрядів для реалізації цих алгоритмів.

Ключові слова: двовимірний цифровий фільтр, заокруглення, стійкість, режими нестійкості, другий метод Ляпунова.

Азаров И.В. Влияние ошибок округления на устойчивость двумерных цифровых фильтров . — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.12.13 – радиотехнические устройства и средства телекоммуникаций. - Национальный университет “Львовская политехника”, Львов, 2001.

Диссертация посвящена исследованию устойчивости линейных инвариантных к сдвигу двумерных цифровых фильтров и двумерных цифровых фильтров с операцией округления в арифметике с фиксированной запятой.

Предложен алгоритм получения в аналитическом виде импульсных характеристик (ИХ), причем задача сводится к решению несложной комбинаторной задачи. Раньше в литературе указывалось ограниченное применение условия на ИХ для изучения устойчивости фильтра (что связывалось со сложностью получения ИХ). Теперь с помощью полученных ИХ сделана попытка исследовать устойчивость линейных фильтров.

Разработан алгоритм нахождения достаточной области устойчивости в пространстве коэффициентов фильтра для систем с округлением к ближайшему целому. Суть алгоритма сводится к итерационному вырезанию из области устойчивости линейной системы областей неустойчивости. С помощью использования алгоритма впервые получена достаточная область устойчивости для определенного класса фильтров. После численной проверки полученную область можно считать полной областью устойчивости с большой степенью вероятности.

Распространён второй метод Ляпунова об устойчивости двумерных фильтров, представленных моделью Россера, на класс кусочно-непрерывных функций, в которых нет разрыва в начале координат. К числу таких функций принадлежат две из трёх встречаемых на практике функций округления. С помощью теоремы получены условия устойчивости на коэффициенты фильтров с округлением к ближайшему целому и с округлением путем отбрасывания дробной части.

Численно исследовано и проведено классификацию режимов неустойчивости для двумерных систем с округлением. Для двумерных фильтров с округлением описаны режимы неустойчивости “постоянное смещение” и “автоколебания”, которые несколько похожи на одномерные одноименные режимы, а также найден режим неустойчивости, что не имеет аналогов в одномерном случае. При возникновении этого режима неустойчивости период в строке изменяется от строки к строке в целое число раз. Этот режим позволяет получать долгопериодические колебания, которые практически тяжело отличить от хаоса. Для режимов режимы неустойчивости “постоянное смещение” и “автоколебания” получены аналитические условия возникновения неустойчивости для фильтров некоторого класса.

Рассмотрено влияние операций округления при реализации алгоритмов численного исследования устойчивости на правильность работы этих алгоритмов. Получены рекомендации на выбор количества разрядов для реализации алгоритмов с использованием быстрого преобразования Фурье и проведено сравнение влияния округления на реализацию этого алгоритма по сравнению с другими.

Ключевые слова: двумерный цифровой фильтр, округление, устойчивость, режимы неустойчивости, второй метод Ляпунова.

Asarov I.V. Influence of round-off errors on stability of two-dimensional digital filters. — Manuscript.

Ph.D. thesis by speciality 05.12.13 - Radio engineering devices and means of telecommunications. – National university "Lviv polytecnics", Lviv, 2001.

Ph.D. thesis is dedicated to investigation of stability of linear two-dimensional (2-D) digital filters and 2-D filters with round-off operation in fixed-point arithmetic. The algorithm for obtaining analytical expression of impulse response for some kind of filters was proposed. Due to this expression an attempt was made to investigate stability of linear filters. The region of stability in the space of filter parameters for filters with round-off to the nearest digit number was found. Second Lyapunov's method on stability of 2-D filters was expanded on a class of piece-wise continuous functions. The conditions on stability for systems with round-off to the nearest digit-number were established.

For numerical methods, which are used in stability investigations it was established the necessary accuracy for computation, which guarantees reliable results.

Key words: two-dimensional digital filter, rounding off, stability, modes of instability, second Lyapunov's method.