НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ЛЕЩИНСЬКИЙ Олег Львович

УДК 519.21

ФРАКТАЛЬНІ РОЗПОДІЛИ

ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН,

ПРЕДСТАВЛЕНИХ ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ

спеціальність 01.01.05 –– теорія ймовірностей і

математична статистика

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата

фізико-математичних наук

Київ – 2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук

Працьовитий Микола Вікторович,

Національний педагогічний університет

імені М.П.Драгоманова,

завідуючий кафедрою вищої математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України,

Ядренко Михайло Йосипович,

Київський університет імені Тараса Шевченка,

кафедра теорії ймовірностей

та математичної статистики.

кандидат фізико-математичних наук,

Торбін Григорій Мирославович,

Національний педагогічний університет

імені М.П.Драгоманова,

кафедра вищої математики.

Провідна установа: Національний технічний університет України

"Київський політехнічний інститут",

кафедра математичного аналізу та теорії

ймовірностей

Захист відбудеться " 27 " березня 2001 року о 15 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02

Інституту математики НАН України

за адресою:

01601, МСП, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись

в бібліотеці Інституту математики НАН України

(01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3).

Автореферат розісланий " 25 " січня 2001 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Значення ланцюгових дробів в математиці і її застосуваннях добре відоме. Але можливості їх використання в теоретичних і прикладних задачах ще далеко не вичерпані. Елементарні ланцюгові дроби були зручним інструментом для розв'язання ряду важливих наукових математичних проблем, широко вони застосовуються і сьогодні. В дисертаційній роботі вони використовуються в дещо нетрадиційній ролі, а саме: для аналітичного задання і дослідження локально складних функцій та розподілів ймовірностей, які мають фрактальні властивості.

Дисертаційне дослідження присвячене, в основному, розподілам випадкових величин, представлених елементарним ланцюговим дробом та Qµ-зображенням, елементи яких є випадковими (незалежними або такими, що їх набори утворюють складений ланцюг Маркова), і функціям, породженим перетворювачами (з короткою пам'яттю) елементів ланцюгового зображення аргумента в цифри s-адичного зображення функції. Iнтерес до таких математичних об'єктів обумовлений багатьма обставинами.

В переважній більшості такі розподіли є сингулярними (неперервними і зосередженими на нуль-множинах в розумінні міри Лебега), а клас описаних і детально вивчених сингулярних розподiлiв на сьогоднішній день ще досить вузький. Однiєю з причин цього є “аналiтичнi” труднощі в їх заданні i вивченнi. Оскільки носії сингулярних розподілів є нуль-множинами, то їх серйозне дослідження з урахуванням локальних будов i властивостей практично неможливе без використання дробових розмiрностей i мiр Хаусдорфа дробового порядку (фрактального аналiзу).

Зручним iнструментом при вивченнi структури (вмісту дискретної, сингулярної та абсолютно неперервної компонент) деякого класу розподiлів є теорема Джессена-Вiнтнера, яка стверджує, що збiжний ряд з незалежних дискретно розподiлених випадкових величин має чистий тип розподiлу, тобто чисто дискретний, чисто сингулярний чи чисто абсолютно неперервний; але вона не вiдповiдає на питання коли який? Задача поглиблення теореми Джессена-Вінтнера (відшукання критеріїв абсолютної неперервності та сингулярності) сьогоднi є нерозв'язаною і досить складною. Тому на шляху розв'язання цiєї задачi дослiдники розглядали її частковi аспекти, іноді успішно розв'язуючи її в певних класах випадкових величин. Тут слід відмітити роботи Марсальї [Marsalia G.], Працьовитого М.В., Торбіна Г.М., Виннишина Я.Ф., Мороки В.А., Райха [Reich J.I.], Солом'яка [Solomyak B.]. При цьому виникла гіпотеза про існування досить широкого класу чистих розподілів, що є граничними для послідовностей дискретно розподілених випадкових величин, "схожих" з розподілами типу Джессена-Вінтнера. Гіпотеза підтвердилась і в дослідженнях Працьовитого М.В., Торбіна Г.М. з'явились випадкові величини з незалежними Q-, Qµ-, Q*-знаками, для яких був доведений аналог теореми Джессена-Вінтнера з повним поглибленням (критеріями дискретності, сингулярності, абсолютної неперервності). Розроблені при цьому методи дослідження структури і фрактальних властивостей розподілу спокушували на поширення їх на інші класи випадкових величин. З'явилась ідея ширше використовувати різні способи задання чисел, зокрема їх ланцюгове представлення.

В теорії сингулярних розподілів і фрактальному аналiзi iснує спільна проблема в ефективному (“аналiтично зручному”) представленнi об'єктів дослідження, частково подолати яку допомагає ланцюгове представлення, яке породжує на числовій прямій свою "геометрію" і свої метричні співвідношення, принципово відмінні від тих, що породжуються поліосновними представленнями, і приводить до широкого класу фракталiв, дозволяє їх описувати i вивчати. Для досліджуваних випадкових величин багато з таких фракталiв виступають в ролi спектрiв (мінімальних замкнених множин, на яких зосереджений розподіл) чи носiїв щільності розподілу.

Добре розроблений апарат ланцюгових дробiв, їх метрична теорiя, яка закладена в роботах О.Я.Хiнчина з використанням мiри Лебега, i продовжена в роботах Гуда (Good J.T.), Ярнiка (Jarnik V.), Хiрста (Hirst K.E.), Роджерса (Rogers C.A.), Хенслі (Hensley D.), Кузiка (Cusick T.W.), Кiннi (Kinney J.R.) й Пiтчера (Pitcher T.S.) з використанням мiр Хаусдорфа дробового порядку послужив вiдправним пунктом для введення в розгляд випадкової величини представленої ланцюговим дробом, вивчення якої розширює клас дослiджуваних випадкових величин, приводить до широкого класу фракталiв, що не володiють властивостями самоподiбностi, дозволяє сформулювати i розв'язувати ряд задач, якi ставились i розв'язувались для названих вище випадкових величин.

У зв'язку з цим виникає нетривіальна задача обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича спектрів сингулярно розподілених випадкових величин цього класу. Складність її полягає у відсутності певної геометричної самоподібності і для її розв'язання в роботі запропоновано новий метод.

Відомо (М.В.Працьовитий), що існує лише три чистих типи сингулярних розподілів, які суттєво відрізняються за фрактальними властивостями спектра, а всі інші є їх сумішами. Тому з'ясування структури розподілу у випадку його сингулярності та знаходження критеріїв його належності до кожного з чистих типів – актуальна і нетривіальна задача.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження дисертації відповідає планам дослідженя з фрактального аналізу, які здійснюються на кафедрі вищої математики НПУ імені М.П.Драгоманова.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є дослідження структури (вмісту дискретної, абсолютно неперервної та сингулярної компонент), метричних і топологічних властивостей розподілів випадкових величин, заданих розподілами елементів свого елементарного ланцюгового представлення та Qµ-символів свого поліосновного Qµ-представлення, а також функцій, породжених перетворювачами (з короткою пам'яттю) елементів ланцюгового зображення аргумента в цифри s-адичного зображення функції.

В роботі ставились такі основні задачі:

1. Дослідити випадкову величину x0, представлену елементарним ланцюговим дробом з незалежними однаково розподіленими елементами:

·

·

·

·

2. Дослідити випадкову величину, послідовні двійки елементів ланцюгового представлення якої утворюють однорідний складений ланцюг Маркова, вивчити метричні, включаючи фрактальні, властивості її спектра, знайти критерій належності її розподілу до канторівського типу та критерій наявності атомів.

3. Ввести в розгляд та вивчити властивості Qµ-представлення чисел, створити основи метричної теорії таких представлень з використанням мір Лебега і Хаусдорфа, а також розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

4. Довести чистоту, встановити тип і властивості розподілу випадкової величини з незалежними символами свого Qµ-представлення.

5. Для Qµ-представлення чисел розв'язати задачу про міру Лебега множини чисел відрізка [0;1], "хвости" яких не перевищують заданого числа x, що є аналогом задачі Гаусса-Кузьміна для ланцюгових дробів.

6. Дослідити диференціальні і фрактальні властивості функцій, заданих перетворювачами (з короткою пам'яттю) елементів ланцюгового зображення аргумента в цифри s-адичного зображення функції.

Методи дослідження. В роботі використовувались методи теорії ймовірностей, теорії міри, математичного аналізу та методика, запропонована М.В.Працьовитим для вивчення фракталiв і фрактальних розподілів ймовірностей, заданих за допомогою поліосновних Q-представлень. Не дивлячись на принципову рiзницю мiж ланцюговими дробами та Q-представленнями, деякi з одержаних результатiв дуже схожi на результати для згаданих представлень, що заставляє замислитись над бiльш глибокими узагальненнями.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними науковими результатами, що виносяться на захист, є:

1. Для випадкової величини, представленої елементарним ланцюговим дробом з незалежними однаково розподіленими елементами:

1.1. Отримано вирази функції розподілу та її похідної, описано спектр та носій.

1.2. Встановлено чистоту розподілу і повністю вивчено його структуру, а саме: доведено, що у випадку неперервності розподіл є сингулярним.

1.3. Вивчено топологічні і метричні, включаючи фрактальні, властивості спектра (множини точок росту функції розподілу).

1.4. Доведено чистоту сингулярного розподілу (належність до одного з чистих типів: канторівського, салемівського, квазіканторівського), знайдено необхідні і достатні умови належності його до канторівського та салемівського типів та встановлено неможливість квазіканторівського розподілу.

2. Для випадкової величини, послідовні двійки елементів ланцюгового представлення якої утворюють однорідний ланцюг Маркова, вивчено метричні, включаючи фрактальні, властивості спектра, знайдено критерій належності розподілу до канторівського типу та критерій наявності атомів.

3. Введено в розгляд Qµ-представлення чисел, закладено основи метричної теорії таких представлень з використанням мір Лебега і Хаусдорфа, а також розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

4. Доведено чистоту, вивчено структуру і властивості розподілу випадкової величини з незалежними символами свого Qµ-представлення.

5. Для Qµ-представлення чисел розв'язано задачу про міру Лебега множини чисел відрізка [0;1], "хвости" яких не перевищують заданого числа x, що є аналогом задачі Гаусса-Кузьміна для елементарних ланцюгових дробів.

6. Введено в розгляд і вивчено властивості недиференційовних функцій, заданих перетворювачами елементів ланцюгового зображення аргумента в цифри s-адичного зображення функції без пам'яті та з пам'яттю довжиною в один знак.

Всі вони є новими і строго доведеними.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану дослідження і постановка задач належить науковому керівнику та співавтору наукових праць –– М.В.Працьовитому. Всі результати, які виносяться на захист, належать автору.

Теоретичне і практичне значення одержаних результатів. Робота носить в основному теоретичний характер. Досліджені класи розподілів випадкових величин дещо збагачують індивідуальну теорію сингулярних розподілів ймовірностей. Отримані в термінах теорії ймовірностей результати можна трактувати і в термінах метричної теорії ланцюгових дробів. Є надія, що використані методи і підходи можуть бути застосованими в дослідженнях неелементарних та гіллястих ланцюгових дробів.

Отримані в роботі наукові результати можуть бути використані в дослідженнях з теорії йомвірностей, метричної теорії чисел, теорії функцій, фрактальної геометрії та фрактального аналізу тощо, які ведуться сьогодні в різних наукових центрах, зокрема в Інституті математики НАН України, Інституті прикладної математики і механіки НАН України, Міжнародному математичному центрі НАН України, Національному університеті імені Тараса Шевченка, Національному технічному університеті України "Київський політехнічний інститут", Національному педагогічному університеті імені М.П.Драгоманова, Одеському політехнічному університеті, Львівському національному та Донецькому державному університетах тощо.

Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідались на багатьох наукових конференціях, наукових семінарах Інституту математики НАН України, Національного педагогічного університету імені М.П.Драгоманова, Національного університету імені Тараса Шевченка, зокрема на:

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Публікації по темі дисертації. Результати дисертації опубліковано в 15 друкованих працях, серед них 7 статей та 8 тез доповідей на міжнародних конференціях. Основні результати опубліковані в 4 статтях.

Структура та об'єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, що об'єднують 13 підрозділів, висновків та списку використаних джерел з 146 найменувань. Обсяг дисертації 129 сторінок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ присвячений обгрунтуванню актуальності дослідження, огляду найбільш близьких до теми дисертації проблем та результатів, опису основних об'єктів, формулюванню мети та основних задач дослідження. В ньому подається короткий виклад основних результатів, відображається наукова новизна і практичне значення, апробація основних положень дисертації.

В першому розділі "Фрактальні об'єкти на ланцюгових дробах" наводяться деякі означення та результати з теорії елементарних ланцюгових дробів, фрактального аналізу та теорії розподілів, необхідні для подальшого викладу. Тут формулюються основні задачі і обгрунтовуються початкові результати стосовно структури та властивостей випадкової величини, представленої елементарним ланцюговим дробом, елементи якого є незалежними випадковими величинами. А також вивчаються властивості функцій, заданих перетворювачами елементів ланцюгового зображення аргумента.

В підрозділі 1.1 розглядається подання раціонального числа x у вигляді:

, (1.1.1)

а ірраціонального –– у вигляді

, (1.1.2)

яке називається розкладом числа x в елементарний ланцюговий дріб (далі –– ланцюговий дріб), при цьому a0 –– ціле, а ak (k О N) –– натуральні числа, які називають його неповними частками або елементами (далі –– елементами). Наводяться деякі відомості з теорії представлень чисел елементарними ланцюговими дробами, описано властивості підхідних дробів, розглянуто наближення дійсних чисел їх підхідними дробами. Завершується підрозділ 1.1 вивченням елементів ланцюгового представлення як функцій зображуваного числа.

В підрозділі 1.2 розглядається метрична теорія і фрактальний аналіз множин ланцюгових дробів. Формулюється основна задача метричної теорiї ланцюгових дробiв: визначення мiри множини чисел, розклади яких в ланцюговий дріб володiють певними властивостями, точнiше: елементи яких мають дані властивості (наприклад, належать певним множинам: A[ Vn] = { x: an(x) О Vn , Vn М N, n=1,2,…,}), змiстом якої є сукупнiсть методiв для розв'язання подiбного роду задач.

Метрична теорiя ланцюгових дробiв, яка вивчає мiру Лебега множин чисел, заданих характеристичними властивостями елементiв їх зображення, закладена в роботах О.Я.Хiнчина, деякі результати якого наводяться в цьому підрозділі. З точки зору цiєї теорiї всi нуль-множини нерозрiзнюванi. Для порiвняння таких множин потрібний бiльш тонкий апарат, яким може бути теорія a-мiри Хаусдорфа та розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

В підрозділі 1.2 наводиться означення міри Хаусдорфа та розмірності Хаусдорфа-Безиковича з подальшим викладенням їх основних далі вживаних властивостей.

Число a0(E)=inf{a: Ha(E)=0}, де Ha(E)= , E М , d(Ei) –– діаметр Ei , інфімум береться по всеможливим e-покриттям множини E, називається розмірністю Хаусдорфа-Безиковича множини E.

Основними результатами цього підрозділу є теореми 1.2.5 і 1.2.6 стосовно функцій, які відображають множини відрізка [0;1] в множини тієї ж розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

Теорема 1.2.5. Якщо y = f(x) –– неперервна в кожній точці відрізка [0;1] функція, яка має скінченну кількість екстремумів, причому для кожного її проміжку монотонності існують свої константи c1<c2 такі, що 0 <c1< | f'(x)| < c2 , то для будь-якої непорожньої розмірнісно досконалої множини E М [0;1] має місце рівність a0 ( f(E)) = a0 (E).

Теорема 1.2.6 (основний результат). Якщо E –– розмірнісно досконала множина відрізка [0;1], f(x) –– неперервна на [0;1] функція з скінченною множиною максимумів (кусково-монотонна), яка не має інтервалів постійності, а в кожному інтервалі строгої монотонності має неперервну похідну і жодна точка екстремуму f(x) не належить E, то розмірності Хаусдорфа-Безиковича множин E і f(E) співпадають, тобто

a0 ( f(E)) = a0 (E).

В цьому підрозділі також наводяться наступні означення

Означення 1.2.6. Множина E М M називається фрактальною в широкому розумiннi (в розумінні Б.Мандельброта), якщо a0 (E) >DT(E), де DT(E) –– топологiчна розмiрнiсть множини E.

Означення 1.2.7. Множина E М M називається фрактальною в вузькому розумiннi, якщо a0 (E) є дробовим числом.

Означення 1.2.10. Точка x називається точкою росту функцiї розподiлу F(x), якщо F(x+e)–F(x–e)>0 для будь-якого e > 0.

Означення 1.2.11. Спектром SF функцiї розподiлу F(x) (розподілу ймовірностей з фнукцією розподілу F(x)) називається множина всiх точок росту F(x).

Означення 1.2.12. Носiєм розподiлу випадкової величини x з функцiєю розподiлу F(x) називається множину

NF ={x: }.

Означення 1.2.13. Розподiл ймовiрностей називається фрактальним, якщо його спектр або носiй є фрактальною множиною. При цьому, якщо його спектр є фракталом, то розподіл називається зовнішньо фрактальним, якщо ж фракталом є носій, то розподіл називається внутрішньо фрактальним.

Означення 1.2.14. Розподiл випадкової величини називається сингулярним, якщо його функцiя розподiлу сингулярна, тобто неперервна i її похiдна майже скрiзь (в розумiннi міри Лебега) дорiвнює нулю.

Означення 1.2.15. Сингулярну функцію розподілу F(x) називається функцією розподілу

1? канторівського типу (С-типу), якщо міра Лебега l(SF)=0;

2? салемівського типу (S-типу), якщо SF=;

3? квазіканторівського типу (K-типу), якщо SF –– ніде не щільна множина і l(SF)>0.

В цьому підрозділі вивчаються властивості множини канторівського типу ланцюгових дробів з інтервалу (0;1), ланцюгове представлення яких містить елементи виключно з фіксованої множини натуральних чисел.

В підрозділі 1.3 розглядається випадкова величина x=x[ f;||Pik||], представлена у виглядi елементарного ланцюгового дробу

x=[0; h1 h2 ,…, hk ,…], (1.3.1)

елементи hk якого є незалежними випадковими величинами, якi приймають значення 1,2,…,i,… з ймовiрностями p1k , p2k , … , pik , … вiдповiдно, де pik і 0, , і задачі з нею пов'язані.

Отримано вираз функцiї розподiлу випадкової величини x=x[ f;||Pik||], а також описані її спектр і носій: функція розподілу Fx(x) випадкової величини x представляється у виглядi:

Fx(x) = 0 при x Ј 0, Fx(x) =1 при x і 1 i

, (1.3.2)

якщо x –– ірраціональне число [0;1], де

В рацiональних точках [0;1] Fx(x) є продовженням (1.3.2) по неперервностi справа.

Лема 1.3.1. Спектром розподiлу випадкової величини x є множина

A={x: x О [0;1), pak(x)k >0 " k О N },

доповнена рацiональними точками [0;1], якi є граничними для неї.

Підрозділ 1.4 "Канторовські проектори на ланцюгових дробах" розвиває ідеї досліджень М.В.Працьовитого загальної теорії канторівських проекторів.

Нехай x=[0; a1(x), … , ak(x),…] –– зображення ірраціонального числа x О [0;1) у вигляді нескінченного ланцюгового дробу. Зафiксуємо розклад множини натуральних чисел таким чином:

N = N1 И N2 И … И Nm, Ni З Nj = Ж, i № j.

Розглянемо множину E:

E = { e1, e2, … , em } М { 0, 1, … , n-1 }, m < n, ei < ei+1, i = 1, …, m-1.

Визначимо функцiю:

(1.4.1)

де aj(y)=ei, якщо aj(x) О Ni, i = 1, …, m, j О N. (1.4.2)

Теорема 1.4.1 (основний результат). Функцiя y = f(x), яка визначається рiвностями (1.4.1) та (1.4.2) вiдображає множину [0;1] З I на множину канторiвського типу CnE, що складається з точок вiдрiзка [0;1], якi зображаються n-адичним дробом за допомогою цифр з множини E.

При цьому:

I. Довiльна точка y О CnE є образом множини Ty , яка:

1а) складається з єдиної точки тодi i тiльки тодi, коли в n-адичному розкладі y мiстить тільки тi ei, вiдповiднi Ni яких складаються з одного елемента;

1б) скiнченна тодi i тільки тодi, коли n-адичне зображення y має на скiнченнiй кiлькостi мiсць тi ei , якi вiдповiдають скiнченним Ni , при умовi, що iншi мiсця зайнятi елементами ej , такими, що Nj мають по одному елементу;

2) зчисленна тодi i тільки тодi, коли y в n-адичному розкладі має на скiнченнiй кiлькостi мiсць тi ei , якi вiдповiдають не бiльш нiж зчисленним Ni , при умовi, що на нескiнченнiй кiлькостi мiсць знаходяться тi ej , якi вiдповiдають Nj , що складаються з одного елемента;

3) континуальна тодi i тільки тодi, коли n-адичне зображення y на нескiнченнiй кiлькостi мiсць має тi ej , якi вiдповiдають Nj , що складаються бiльш нiж з одного елемента.

II. Множина D1 точок y, що є образами скiнченного числа точок x О [0;1], буде:

1? порожньою тодi i тільки тодi, коли в кожнiй множинi Ni мiститься бiльш нiж один елемент;

2? зчисленною тодi i тільки тодi, коли тільки одна множина з усiх Ni мiстить один елемент;

3? континуальною тодi i тільки тодi, коли хоч би двi множини з Ni мiстять по одному елементу.

Теорема 1.4.2 (основний результат). Канторівський проектор f(x) є неперервною функцією в ірраціональних і розривною в раціональних точках відрізка [0;1].

Теорема 1.4.3 (основний результат). При n і 3 канторівський проектор y=f(x) майже скрізь недиференційовний.

Розглянуті в підрозділі 1.4 функції задавались перетворювачами елементів без пам'яті, тобто такими, які перетворювали k-ий елемент ланцюгового зображення аргумента x, незалежно від того, як вони перетворили всі його попередні елементи. Породжені ними функції називались канторівськими проекторами і були розривними в раціональних точках x О [0;1]. В підрозділі 1.5 досліджувалась можливість звільнитись від цього "недоліку", розглянувши перетворювачі зі скінченною пам'яттю, тобто ті, що при перетворенні k-ого елемента враховують результати перетворення скінченної кількості попередніх елементів. Результати досліджень містяться в наступних теоремах:

Теорема 1.5.1 (основний результат). Кожний перетворювач елементів ланцюгового зображення аргумента x в цифри s-адичного (s=2) представлення функції y з об'ємом пам'яті в один елемент породжує функцію, розривну на всюди щільній множині точок відрізка [0;1].

Функція, породжена таким перетворювачем, може бути представлена у вигляді

,

причому A № Ж або A= Ж,

(1.5.1)

або (1.5.2)

причому bk(x) = 0, якщо ak(x) не існує.

Наслідок 1. Функція, породжена перетворювачем (1.5.1), розривна на множині раціональних точок відрізка [0;1].

Наслідок 2. Функція, породжена перетворювачем (1.5.2), розривна на всюди щільній підмножині множини ірраціональних точок відрізка [0;1].

Теорема 1.5.2 (основний результат). Функція, породжена перетворювачем (1.5.1), є ніде не диференційовною.

В розділі 2 "Qµ-представлення чисел і математичні об'єкти, з ним пов'язані" вводяться -, -зображення чисел [0;1), що є певними аналогами Q-, Q*-зображень та ланцюгового представлення. З їх допомогою задаються множини i випадковi величини з незалежними -знаками, вивчаються метричнi властивостi перших i структура розподiлiв останнiх. Встановлено критерiї канторовостi, наведенi достатнi умови абсолютної неперервностi i фрактальностi розподiлу такої випадкової величини. Для випадкової величини, представленої -зображенням, знайдено критерій дискретності, сингулярності, абсолютної неперервності x, вираз функції розподілу, описано спектр і носій, вивчено їх самоподібні і фрактальні властивості. Для -представлення чисел розв'язано задачу про міру Лебега множини Em(x) чисел Zn(u)=, де u= –– -представлення числа u; ak=ak(u);

En(x)={ u : u О [0;1], Zn(u) < x},

яку для ланцюгових дробів поставив Гаусс, а розв'язав її до кінця Р.О.Кузьмін. Розгляд -зображення є природним ще й тому, що функція розподілу випадкової величини, представленої елементарним ланцюговим дробом з незалежними елементами, має саме таке зображення.

В підрозділі 2.1 вводиться в розгляд -представлення чисел, вивчаються його властивості та обгрунтовується доцільність введення такого представлення.

Означення 2.1.1. Зображення числа x О [0;1) у вигляді

x = , (2.1.1)

де ak(x) О N0 ; qi О Qµ = { q0 , q1 , ... , qk , ...}, qi >0, q0 + q1 + ... + qk + ...=1 ; a0=0 і

, (2.2.2)

якщо ak >0, називається -зображенням числа x, а число ak (x) –– k-им -знаком (елементом) x.

Центральним результатом підрозділу 2.2 є

Теорема 2.2.1 (основний результат). Міра Лебега l множини

En(x)={ u : u О [0;1], Zn(u) < x},

де u= –– -зображення числа u, ak=ak (u) О N, Zn(u)= не залежить від n і дорівнює x, тобто l[ En(x)]=x.

В підрозділі 2.3 викладені результати дослідження структури, а в підрозділі 2.4 –– фрактальних властивостей розподілів випадкових величин, заданих розподілами елементів свого -представлення.

Тут розглядається випадкова величина , -символи hk якої є незалежними випадковими величинами, що набувають значень 0,1,...,s,... з ймовірностями p0k, p1k , ..., psk , ... відповідно p0k +...+ psk +...=1 " k О N).

Теорема 2.4.1. Якщо існує m О N таке, що для всіх k > m pik > 0 для кожного i О K № N , і при цьому нескінченний добуток розбігається до нуля, то розподіл випадкової величини x є зовнішньо фрактальним сингулярним розподілом канторівського типу з генетично самоподібним або N-самоподібним спектром, розмірність Хаусдорфа-Безиковича якого є розв'язком рівняння .

Теорема 2.4.2 (основний результат). Випадкова величина з незалежними -символами hk , для якої існує номер m О N такий, що для всіх k і m виконуються умови

pik > 0 при всіх i О V Н N0, k О M ={ kn}, kn = m+d(n-1) і

pik = 0 при i О N0 \ V, де d –– фіксоване натуральне число;

pik > 0 при всіх i О W № N0, k О M, і

pik =0 при i О N0 \ W;

має зовнішньо фрактальний сингулярний розподіл канторівського типу, розмірність Хаусдорфа-Безиковича спектра Sx якого є розв'язком рівняння

.

Теорема 2.4.3. Якщо –– випадкова величина з незалежними однаково розподіленими -символами hk , то множина

M= { x: ni(x)= " k О N, i О N0 },

де Ni(x,k) –– кількість символів i в -зображенні x до k-го місця включно, належить носію її розподілу, а отже, розмірність Хаусдорфа-Безиковича останнього задовольняє нерівність

a0 (Nx) і .

В розділі 3 вивчається структура і фрактальні властивості розподілу випадкової величини x0, елементи ланцюгового представлення якої є незалежними однаково розподіленими та випадкової величини x, послідовні двійки елементів ланцюгового представлення якої утворюють складений однорідний ланцюг Маркова. Спектр Sx0 з точністю до зчисленної множини співпадає з множиною A[V], де

A[V]={ x: pai(x)}>0, ai(x) О V, i О N }.

Критерiєм дискретностi для випадкової величини x0 є твердження: x0 має дискретний розподiл тодi i тільки тодi, коли .

В підрозділі 3.1 вивчається структура розподілу випадкової величини x0.

Теорема 3.1.1. Якшо ймовірнісний вектор =(p1 , p2 , ... , pk , ...) має принаймні одну нульову координату, тобто iснує ps = 0, то розподiл випадкової величини x0 є сингулярним розподiлом канторiвського типу.

Теорема 3.1.2. Випадкова величина x0 матиме сингулярний розподiл канторiвського типу ( l(Sx0)=0) тодi i тiльки тодi, коли iснуватимуть в матрицi || pik || елементи ps , ps1 , ps2 такi, що ps=0 i ps1ps2 № 0.

Теореми 3.1.1, 3.1.2 дають критерії сингулярності канторівського типу.

Теорема 3.1.4. Якщо елементи hk випадкової величини x0 розподiленi однаково, причому pi > 0 для " i О N, то розподiл x0 є сингулярним розподiлом салемівського типу.

Підсумовує результати щодо структури розподілу випадкової величини наступна

Теорема 3.1.5. Випадкова величина x0 =[0; h1 ,h2 , ... , hk , ...] з незалежними однаково розподіленими елементами hk свого елементарного ланцюгового представлення має:

1) дискретний розподіл тоді і тільки тоді, коли ;

2) сингулярний розподіл тоді і тільки тоді, коли , причому він

a) канторівського типу тоді і тільки тоді, коли $ pi = 0: pi О (p1 , p2 , ...)=|| pi ||;

b) салемівського типу тоді і тільки тоді, коли pi > 0 " i О N.

В підрозділі 3.2 розглядаються фрактальні властивості розподілу випадкової величини x0.

Означення 3.2.1. Число am (E) =inf { a : ma (E) = 0 }, де

,

де нижня грань береться за всеможливими m-e - покриттями множини E вiдрiзками [iнтервалами] wi з мiрою m(wi) Ј e , називається розмiрнiстю Біллінгслі множини E або розмірністю Хаусдорфа-Безиковича вiдносно мiри m..

Теорема 3.2.1. Кожна множина A[V] вiдносно ймовiрнiсної мiри mx0 , яка вiдповiдає розподiлу випадкової величини x0 з незалежними однаково розподіленими елементами свого елементарного ланцюгового представлення, є фрактальною i її розмiрнiсть Біллінгслі вiдносно mx0 задовольняє рiвняння .

Наслiдок. Якщо вектор =(p1 , p2 , ... , pk , ...), який задає розподiл випадкової величини x0 , мiстить нулi, то спектр Sx0 розподiлу x0 є фрактальним вiдносно мiри mx0 , вiдповiдної розподiлу x0 , i його розмiрнiсть Біллінгслі задовольняє рiвняння .

Підрозділ 3.3 присвячений розподілу випадкової величини x, послідовні двійки елементів ланцюгового представлення якої утворюють однорідний ланцюг Маркова. Основні результати цього підрозділу наступні.

Лема 3.3.1. Функція розподілу Fx(x) випадкової величини x в ірраціональній точці x представляється у вигляді

, (3.3.2)

де tk(x) = , I –– множина ірраціональних чисел,

,

Лема 3.3.2. Спектром розподілу випадкової величини x є замикання множини

B = { x: x О [0;1] , " k О N }.

Наслідок. Якщо матриця перехідних ймовірностей ||pik|| не має неприродних нулів, то функція розподілу випадкової величини є строго зростаючою.

Теорема 3.3.1. Якщо для будь-якого набору натуральних чисел ( i1 , i2 , …, ik , …) :

, (3.4.3)

то розподіл атомів не має. Якщо ж нескінченний добуток (3.4.3) збігається, то точка

x0 = [0; i1 , i2 , …, ik , …] є атомом розподілу x.

Наслідок. Розподіл x є неперервним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого набору натуральних чисел (i1 , i2 , …, ik , …) має місце (3.4.3).

Теорема 3.3.2 (основний результат). Якщо матриця перехідних ймовірностей ||pik|| містить принаймні один неприродний нуль, то спектр розподілу випадкової величини x має міру Лебега рівну нулю.

Теорема 3.3.3 (основний результат). Розмірність Біллінгслі множини

відносно міри m, що відповідає розподілу випадкової величини x з незалежними однаково розподіленими елементами свого елементарного ланцюгового представлення hk (P{hk = s} =ps > 0), задовольняє рівняння:

1) , якщо c1=c2=c3 ;

2) , якщо c1 = c2 № c3;

3) , якщо c3 = c1 № c2;

4) , якщо c1 № c2 = c3;

і є дробовим числом.

Наслідок. –– N-самоподібний фрактал.

ВИСНОВКИ

1. Для випадкової величини, представленої елементарним ланцюговим дробом з незалежними однаково розподіленими елементами:

1.1. Отримано вирази функції розподілу та її похідної, описано спектр та носій.

1.2. Встановлено чистоту розподілу і повністю вивчено його структуру, а саме: доведено, що у випадку неперервності розподіл є сингулярним.

1.3. Вивчено топологічні і метричні, включаючи фрактальні, властивості спектра (множини точок росту функції розподілу).

1.4. Доведено чистоту сингулярного розподілу (належність до одного з чистих типів: канторівського, салемівського, квазіканторівського), знайдено необхідні і достатні умови належності його до канторівського та салемівського типів та встановлено неможливість квазіканторівського розподілу.

2. Для випадкової величини, послідовні двійки елементів ланцюгового представлення якої утворюють однорідний ланцюг Маркова, вивчено метричні, включаючи фрактальні, властивості спектра, знайдено критерій належності розподілу до канторівського типу та критерій наявності атомів.

3. Введено в розгляд Qµ-представлення чисел, закладено основи метричної теорії таких представлень з використанням мір Лебега і Хаусдорфа, а також розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

4. Повністю вивчено структуру і властивості розподілу випадкової величини, заданої розподілами елементів свого поліосновного Qµ-представлення, які є незалежними.

5. Для Qµ-представлення чисел розв'язано задачу про міру Лебега множини чисел відрізка [0;1], "хвости" яких не перевищують заданого числа x, що є аналогом задачі Гаусса-Кузьміна для елементарних ланцюгових дробів.

6. Введено в розгляд і вивчено властивості недиференційовних функцій, заданих перетворювачами елементів ланцюгового зображення аргумента в цифри s-адичного зображення функції без пам'яті та з пам'яттю довжиною в один знак.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

1. Працьовитий М.В., Лещинський О.Л. Властивості випадкових величин, заданих розподілами елементів свого Qµ-зображення // Теорія ймовірностей та мат. статистика. –– 1997. –– № 57. –– С.134-140.

2. Працьовитий М.В., Лещинський О.Л. Фрактальні властивості розподілів випадкових величин, заданих розподілами елементів свого ланцюгового зображення // Фрактальний аналіз та суміжні питання. –– Київ: ІМ НАН України –– НПУ імені М.П.Драгоманова. –– 1998. –– № 1. –– С.73-75.

3. Лещинський О.Л. Канторівські проектори на ланцюгових дробах // Фрактальний аналіз та суміжні питання. –– Київ: ІМ НАН України –– НПУ імені М.П.Драгоманова. –– 1998. –– № 1. –– С.76-83.

4. Лещинський О.Л. Елементарні ланцюгові дроби з нечіткими елементами // Фрактальний аналіз та суміжні питання. –– Київ: ІМ НАН України –– НПУ імені М.П.Драгоманова. –– 1998. –– № 2. –– С.101-114.

5. Лещинський О.Л. Розподіли випадкових величин, послідовні двійки елементів ланцюгового представлення яких утворюють однорідний ланцюг Маркова // Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. –– 1999. –– № 1. –– С.166-175.

6. Лещинський О.Л., Працьовитий М.В. Один клас сингулярних розподілів випадкових величин, представлених елементарним ланцюговим дробом з незалежними елементами // Сучасні фізико-математичні дослідження молодих науковців вузів України: Зб. наук. праць. –– Київ: Київ.нац.ун-т ім.Т.Г.Шевченка, 1995. –– С.20-30.

7. Коломієць Д.С., Лещинський О.Л. Фрактальні об'єкти на ланцюгових дробах // Фрактальний аналіз та суміжні питання. –– Київ: ІМ НАН України –– НПУ імені М.П.Драгоманова. –– 1998. –– № 2. –– С.166-170.

8. Лещинский О.Л. Нечеткие фракталы // Семинар-совещание "Фрактальные объекты в математике, в физике и биологии", 25 - 27 апреля 1991 г., Славянск.: Тез. докл. –– Киев, 1991. - С. 5-6.

9. Лещинський О.Л. Випадкова величина, представлена - зображенням своїх елементів // П'ята Мiжнародна Наукова конференцiя iм.акад. М. Кравчука, Київ, 1996 р.: Тез. доп. –– Київ, 1996. –– С. 240.

10. Лещинський О.Л. Фрактальні властивості розподілів випадкових величин з незалежними однаково розподіленими елементами свого ланцюгового зображення // Шоста Мiжнародна Наукова конференцiя iм. акад. М. Кравчука, Київ, 15-17 травня 1997 р.: Тез. доп. –– Київ, 1997. –– С.252.

11. Лещинський О.Л. Взаємна ортогональність розподілів випадкових величин з незалежними елементами свого ланцюгового представлення // Сьома Мiжнародна Наукова конференцiя iм. акад. М.Кравчука, Київ, 14-16 травня 1998 р.: Тез. доп. –– Київ, 1998. –– С. 282.

12. Лещинський О.Л., Працьовитий М.В. Випадкова величина, представлена елементарним ланцюговим дробом з незалежними елементами // Четверта Міжнародна Наукова конференція ім. акад.М.Кравчука, Київ, 11-14 травня 1995 р.: Тез.доп. –– Київ, 1995. –– С.151.

13. Лещинський О.Л., Школьний О.В. Фрактальні властивості випадкових величин, цифри ланцюгового та уявно-t-адичного представлення яких утворюють однорідний ланцюг Маркова // Восьма Мiжнародна Наукова конференцiя iм. акад. М.Кравчука, Київ, 2000 р.: Тез. доп. –– Київ, 2000. –– С.449.

14. Pratsiovytyi M., Leshchynskyi O. The Q*µ-representation and a distribution connected with it // Voronoi Conference on Analytic Number Theory and Space Tilings: Abstracts. –– Kyiv:Institute of Mathematics Nat. Acad. Sci. Ukraine,1998. –– P.51-52.

15. Oleg L. Leschynskyi Random variables which elements of their continuos fractions representation form a complex Markov's chain // The Third Ukrainian-Scandinavian Conference in Ptobability Theory and Mathematical Statistics: Abstracts. –– Kyiv: The National Taras Shevchenko University, 1999. –– P.90.

Лещинський О.Л. Фрактальнi розподiли випадкових величин, представлених ланцюговими дробами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика. Інститут математики НАН України, Київ, 2000.

Дисертація присвячена вивченню структури (вмісту дискретної, абсолютно неперервної та сингулярної компонент), метричних і топологічних властивостей розподілів випадкових величин, заданих розподілами елементів свого елементарного ланцюгового представлення та Qµ-символів свого поліосновного Qµ-представлення, а також функцій, породжених перетворювачами (з короткою пам'яттю) елементів ланцюгового зображення аргумента в цифри s-адичного зображення функції.

Для всіх розподілів доведено чистоту, отримано вираз функції розподілу і її похідної, повністю розв'язано задачу про структуру, описано спектр і носій, досліджено їх топологічні і метричні, включаючи фрактальні, властивості. Детально вивчено диференціальні властивості функцій, заданих перетворювачами елементів ланцюгового зображення аргумента.

Ключові слова: елементарний ланцюгових дріб, Qµ- i Q*µ-представлення чисел, структура розподілу, сингулярний розподіл, спектр розподілу, носій розподілу, розмірність Біллінгслі, розмірність Хаусдорфа-Безиковича, фрактал

Leshchynskyi O.L. Fractal distributions of random variables represented by continued fractions. –– Manuscript.

The thesis fora scientific degree of Candidate of Physics and Mathematics Sciences, speciality 01.01.05 –– probability theory and mathematical statistics. –– Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2000.

The thesis is dedicated to research of structure (content of discrete, absolutely continuous and singular components), topological, metric and fractal properties of distribution of random variables, represented by distributions of their elements of continued fraction decomposition and Qµ-symbols of polybasic Qµ-representation. Also we investigate fractal nondifferentiable functions defined by transformers (without memory and with one-symbol memory) of elements of argument represented by continued fraction to s-adic digit of fuction representation.

For all distribution under consideration the purity is proved; expressions for distribution and its derivatie are found; the problem on structure of distribution is solved;