НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

Маляр Василь Сафронович

УДК 621. 313.3:621.372

МЕТОДИ РОЗРАХУНКУ ДИНАМІЧНИХ РЕЖИМІВ ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ ПЕРЕТВОРЮВАЧІВ

НА ОСНОВІ СПЛАЙН-ФУНКЦІЙ

Спеціальність: 05.09.01 Електричні машини і апарати

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Львів – 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному університеті “Львівська політехніка” Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант – заслужений діяч науки і техніки України,

доктор технічних наук, професор

Лев Йосипович Глухівський,

професор кафедри електричних машин Національного університету “Львівська політехніка”

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор

Шумілов Юрій Андрійович,

професор кафедри електромеханіки Національного технічного університету “Київський політехнічний інститут”;

доктор технічних наук, професор

Мішин Володимир Іванович,

професор кафедри електричних машин і експлуатації електрообладнання Національного аграрного університету, м.Київ;

доктор технічних наук, с.н.с.

Ставинський Андрій Андрійович,

завідувач кафедри електричних машин і суднових електроенергетичних систем Українського Державного морського технічного університету, м.Миколаїв

Провідна установа: Інститут електродинаміки НАН України,

відділ електромеханічних систем (м. Київ)

Захист відбудеться “16” червня 2001 р. о “1000” год. “00” хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.02 в Національному університеті “Львівська політехніка” ( 79013, м. Львів, вул. С. Бандери, 12, ауд 114 ).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного університету “Львівська політехніка” ( Львів, вул. Професорська, 1).

Автореферат розісланий “12” травня 2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Коруд В. І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Сучасні технології значно підвищили вимоги до електромеханічних перетворювачів (ЕМП) енергії, електроприводів та систем керування ними. Електричним машинам належить провідна роль у виробництві й споживанні електричної енергії, вони є основними елементами електроприводу, тому важливим завданням є покращення їх техніко-економічних показників, створення нових їх видів з потрібними характеристиками та властивостями. Під час розроблення нових ЕМП, а також систем керування ними однією з найбільш важливих і відповідальних задач є отримання інформації про їх поведінку в усталених та динамічних режимах роботи. Серед останніх розрізняють перехідні процеси та періодичні. Періодичним процесом називають такий, при якому струми, напруги, потокозчеплення обмоток тощо – є періодичними функціями часу. До періодичних процесів належать і усталені номінальні симетричні режими більшості ЕМП, однак системи диференціальних рівнянь (ДР), що їх описують, шляхом перетворення координат приводяться до систем алгебричних рівнянь і їх розв’язання не викликає труднощів. В той же час існує великий клас різноманітних задач електромеханіки, розв’язання яких вимагає застосування спеціальних, більш складних математичних методів. Зокрема, до таких належить аналіз періодичних процесів, що мають місце при живленні обмоток електричних машин несинусоїдними напругами, різні види, так званих, анормальних режимів, режими великих коливань роторів, усталені режими електричних машин нетрадиційного виконання, які мають вентилі в обмотках, та інші.

Сучасні досягнення в сфері електромеханіки, обчислювальної математики та комп'ютерної техніки створюють передумови для подальшого розвитку методів аналізу процесів в ЕМП з метою розв'язання на сучасному рівні різноманітних задач динаміки. В свою чергу розроблюваний метод математичного моделювання динамічного режиму передбачає використання відповідного рівня адекватності математичних моделей електричних машин.

Актуальність теми. Проблема аналізу методами математичного моделювання та комп'ютерного симулювання динамічних режимів ЕМП вимагає подальшого розвитку та вдосконалення методів, придатних для їх дослідження на стадії проектування. Відомі методи розрахунку динамічних режимів мають вузьку спрямованість і вимагають для кожної задачі окремого підходу, який враховує її специфіку, й не можуть служити основою для реалізації системного підходу до аналізу нелінійних ЕМП, незалежно від ступеня їх складності й математичного рівня опису електромагнітних зв'язків. Методи аналізу періодичних режимів не об'єднані спільною математичною основою, хоча така можливість безпосередньо випливає з фізичної єдності явищ, які їх супроводжують. Щодо електричних машин нетрадиційного виконання, зокрема, суміщених, то тут практично відсутні нелінійні математичні моделі та ефективні методи розрахунку їх режимів і характеристик, а використання математичного апарату загальної теорії електричних машин не забезпечує достовірності отриманих результатів. Далека від свого завершення і проблема математичного моделювання перехідних процесів в електричних машинах, особливо спеціальних конструкцій, які мають напівпровідникові елементи в контурах. Відомі алгоритми орієнтовані здебільшого на явні методи інтегрування ДР, що є невиправданим з причини їх жорсткості. Отже, задача створення загального чисельного методу моделювання періодичних режимів роботи ЕМП на єдиній математичній основі, який би давав змогу використовувати математичні моделі ЕМП високого рівня адекватності й був ефективний з точки зору точності та затрат машинного часу, є актуальною. Вимагають подальшого опрацювання й математичні моделі конкретних ЕМП, особливо нетрадиційного виконання, а також методи й алгоритми розрахунку перехідних процесів у них.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках науково-дослідних робіт Національного університету “Львівська політехніка”, тематика яких відповідає координаційним цільовим та галузевим програмам:

- координаційному плану АН УРСР з комплексної проблеми “Теоретическая электротехника, электроника и моделирование” на 1981-85 рр.;

- координаційному плану АН УРСР з комплексної проблеми “Научные основы электроэнергетики” на 1985-90 рр.;

- наказу № 15 Держкомітету України з питань науки і технології від 1.03.1993р., реєстр.№ 5.51.06/093-93, розділ – “Ресурсозберігаючі електромеханічні системи”;

- тематичному плану науково-дослідних робіт Міносвіти України за науковим напрямком – “Екологічно чиста енергетика та ресурсозберігаючі технології”.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є удосконалення існуючих і розроблення нових високоефективних проблемно-орієнтованих методів аналізу динамічних режимів роботи ЕМП електричної енергії та створення на їх підставі математичних моделей періодичних і перехідних процесів в електричних машинах змінного струму загальнопромислового та нетрадиційного виконання, які базуються на використанні їх математичних моделей високого рівня адекватності, в яких враховуються всі важливі чинники, що впливають на поведінку машин в динамічних режимах роботи.

Об'єктом дослідження є динамічні режими роботи електромеханічних перетворювачів енергії.

Предметом дослідження є розвиток нелінійної теорії та методів розрахунку й математичного моделювання процесів в електричних машинах на основі сучасних досягнень в сфері електромеханіки й обчислювальної математики та рівня розвитку комп’ютерної техніки.

Методи дослідження. Розроблений в дисертації метод розрахунку періодичних процесів базується на теорії сплайн-апроксимацій функцій, чисельних методів розв’язування крайових задач для систем нелінійних ДР, диференціального та ітераційного методів розв’язування нелінійних систем алгебричних рівнянь, а також матричного числення та векторної алгебри. Визначення асимптотичної стійкості періодичних режимів базується на якісній теорії ДР. Термомеханічні процеси в пусковій обмотці синхронного двигуна досліджуються шляхом розв’язання методом скінченних різниць ДР в частинних похідних, що описують нестаціонарний тепловий процес, та методів теоретичної механіки. Алгоритм розрахунку перехідних процесів розроблений на основі методу ФДН та теорії сплайнів. Для представлення характеристик намагнічування (ХН) використовуються згладжувальні кубічні сплайни та сплайни Ерміта. В основу розроблених математичних моделей електричних машин покладено методи теорії нелінійної електротехніки. Розроблені програми розрахунку базуються на сучасних досягненнях у сфері алгоритмізації та програмування.

Для досягнення поставленої мети розв’язано наступні задачі:

· проаналізовано існуючі методи розрахунку динамічних режимів роботи електротехнічних пристроїв;

· розроблено загальний метод розрахунку нелінійних періодичних режимів роботи ЕМП;

· опрацьовано нелінійні динамічні математичні моделі електричних машин загальнопромислового призначення;

· з позицій нелінійної теорії ЕМП сформовано динамічні математичні моделі синхронних машин нетрадиційного виконання;

· розроблено математичні моделі найважливіших нелінійних періодичних процесів електричних машин змінного струму класичної конструкції та спеціальних;

· удосконалено неявний метод розрахунку перехідних процесів в ЕМП на основі сплайн-функцій;

· розроблено методику та математичну модель розрахунку нестаціонарного нагрівання стержнів пускової обмотки синхронного двигуна під час пуску і механічних напружень у них;

· проведено методом комп’ютерного симулювання широкий спектр досліджень по перевірці та аналізу запропонованих теоретичних положень;

· розроблено алгоритми сплайн-апроксимацій ХН електротехнічних сталей та сформульовані рекомендації щодо їх вибору та застосування;

· виконано експериментальні дослідження з метою перевірки адекватності розроблених математичних моделей конкретних динамічних режимів електричних машин;

· розроблено нові конструктивні схеми обмоток, виготовлено й досліджено натурні зразки суміщеної синхронної машини та машини зі збудженням від додаткової обмотки статора (ДОС).

Наукова новизна одержаних результатів.

· Розвинено нелінійну теорію періодичних процесів в електричних машинах в сфері чисельних методів аналізу.

· Розроблено диференціальний сплайн-метод розрахунку періодичних процесів в ЕМП, який відзначається високою ефективністю і дає змогу отримати залежності координат режиму на періоді, не вдаючись до розрахунку перехідного процесу, та досліджувати поведінку ЕМП в періодичному режимі при зміні будь-якої координати або параметра, що важливо для виконання оптимізаційних розрахунків.

· Запропоновано метод визначення асимптотичної стійкості періодичних режимів ЕМП, який дає змогу у процесі розрахунку диференціальним сплайн-методом характеристик періодичних процесів, відрізняти стійкі режими від нестійких.

· Розвинено теоретичні засади та методологічні основи математичного моделювання суміщених синхронних машин, на базі яких створені математичні моделі високого рівня адекватності, які дають можливість досліджувати їх поведінку в різних експлуатаційних режимах з урахуванням зумовленого насиченням взаємного впливу обмоток з різною кількістю пар полюсів та здійснювати синтез їх обмоток.

· Отримали подальший розвиток методи математичного моделювання перехідних процесів в електричних машинах змінного струму, у тому числі з вентилями в обмотках, на основі розробленого на базі сплайн-функцій і методу ФДН алгоритму чисельного інтегрування ДР, який в порівнянні з відомими методами забезпечує вищу ефективність при тій же точності.

· На основі диференціального сплайн-методу розрахунку асинхронних характеристик розроблено метод математичного моделювання термомеханічних процесів у пусковій обмотці синхронного двигуна, яка дає змогу досліджувати динаміку нагрівання стержнів під час пуску, а також розраховувати зумовлені нагріванням механічні напруження в них та здійснювати оптимізацію геометрії пускової обмотки.

· Вперше на спільній математичній основі розроблено комплекс нелінійних математичних моделей періодичних та перехідних процесів електричних машин, в яких враховується насичення основного кола й шляхів розсіяння, витіснення струму, полігармонічного характеру напруг живлення, наявності в обмотках напівпровідникових елементів, що дає змогу уніфікувати математичні моделі електричних машин, призначені для розрахунку перехідних та періодичних процесів, на основі розрахунку динамічних параметрів.

· Удосконалено методи і способи апроксимації ХН електротехнічних сталей та сформульовані рекомендації щодо їх вибору та застосування для розрахунку динамічних режимів ЕМП.

Практичне значення одержаних результатів

Результати теоретичних досліджень покладені в основу розроблених алгоритмів і комп’ютерних програм, більшість з яких виконані на замовлення науково-дослідних та проектно-конструкторських організацій і послужили основою для виконання низки науково-дослідних робіт, як госпдоговірних, так і держбюджетних. Розроблені програми дають змогу суттєво знизити вартість та терміни виконання проектно-конструкторських робіт за рахунок заміни фізичного моделювання математичним. Розроблені загальні методи аналізу можуть бути використані для розрахунку динамічних режимів ЕМП, які не знайшли відображення в дисертації.

Під керівництвом та за безпосередньою участю автора виконані наступні науково-дослідні роботи, які послужили основою дисертації: “Исследование влияния исполнения пусковой обмотки синхронного двигателя на распределение токов по стержням и ее термомеханические характеристики”, ГР№1830035897, 1985р. (наук. кер.); “Розработка элементов системы автоматизированного проектирования синхронных машин”, ГР№01850055812, 1989р. (наук. кер.); “Разработка программы расчета электромагнитных процессов в асинхроном двигателе при работе с механизмами с периодически изменяющейся нагрузкой”, ГР№01900037707, 1990р. (наук. кер.); “Математическое и программное обеспечение для исследования несимметричных и несинусоидальных режимов асинхронных двигателей (компоненты САПР)”, ГР№01880085373, 1989р. (відп.вик.); “Исследование переходных процессов и устойчивости работы синхронного двигателя с учетом быстродействующих полупроводниковых систем возбуждения и насыщения магнитопровода”, ГР№79043707, 1980р. (відп. вик.); “Численное моделирование динамических режимов синхронных машин с учетом насыщения”, ГР№81032396, 1982р. (відп. вик.); “Разработка научных основ создания бесщеточных синхронных генераторов совмещенного исполнения”, ГР№01890040140, 1991р. (відп. вик.); “Розробка математичних моделей, алгоритмів і програмного забезпечення для систем автоматизованого проектування електричних машин і чисельного моделювання процесів у спеціальних електричних машинах”, ДР№01910048848, 1993р. (відп. вик.); “Розробка теоретичних основ, математичної моделі та макетного зразка безконтактного суміщеного синхронного генератора” ДР№0396U002611, 1995р. (відп. вик.); “Розробка україномовної навчальної діалогової автоматизованої системи проектування явнополюсних синхронних машин”, ДР№0194U029596, 1995р. (відп. вик.).

Результати досліджень впроваджені в ЦПКТБ КЭМ (філія ВНИИЭлектромаш, м.С.-Петербург), в НИЦ “Завода им. Вл. Ильича” (м.Москва) та використовуються в навчальному процесі Національного університету “Львівська політехніка” для курсового та дипломного проектування у вигляді комплексу програм діалогового проектування електричних машин.

Особистий внесок здобувача. До дисертаційної роботи увійшли теоретичні положення, методи й алгоритми, отримані автором особисто. В опублікованих у співавторстві наукових працях автору дисертації належать:

в [1] – розділ 3: “Електричні генератори автономних електроенергетичних установок” (68с.); в [7, 13, 14, 23] – постановка задачі, розробка основних теоретичних положень, аналіз результатів математичного моделювання; в [32, 35, 41, 47] – розробка методу, вивід основних співвідношень; в [19, 42, 43, 59] – метод розрахунку пускових характеристик синхронної машини, методика, алгоритм та програма розрахунку нестаціонарного нагрівання демпферної обмотки; в [12, 17, 20, 24, 34, 40, 44, 49] – вивід формул, алгоритм розрахунку; в [12, 15, 16, 21, 31, 38, 39, 45, 46, 50, 52, 58] – математичні моделі електричних машин та алгоритми й програми розрахунку режимів і характеристик; в [9, 22, 25, 37] – розроблення алгоритмів, цифрових моделей і їх програмна реалізація; в [27, 30, 54, 55] – участь у розробленні математичної моделі та виконання розрахунків; в [28] – спосіб розміщення обмоток на роторі; в [29] – ідея виконання стержня з двох частин та аналіз запропонованого рішення.

Апробація результатів дисертації. Основні результати виконаних досліджень доповідались на:

Всесоюзних науково-технічних конференціях “Проблемы нелинейной электротехники”: I-ій – м. Київ, 1981р.; II-ій – м. Київ, 1984р.; III-ій – м. Київ, 1988р.; Всесоюзних науково-технічних конференціях “Динамические режимы работы электрических машин и электроприводов”: III-ій - м. Грозний, 1982р.; IV-ій – м. Дніпродзержинськ, 1985 р.; V-ій – м. Каунас, 1988 р.; VI-ій – м. Бішкек, 1991р.; Всесоюзному науково-технічному семінарі “Опыт проектирования и производства электрических машин автономных электрических систем”, м.Єреван, 1985р.; Республіканській науково-технічній конференції “Перспективы развития электромашиностроения на Украине”, м. Харків, 1988р.; Всесоюзній конференції “Современные проблемы электромеханики”, м. Москва, 1989р.; Науково-технічному семінарі “Математическое моделирование процессов и аппаратов”, м.м. Москва-Іваново, 1990р.; Всесоюзній науково-технічній конференції “Надежность машин, математическое и машинное моделирование задач динамики. Моделирование-91”, м.Кишинів, 1991р.; Семінарі “Пути повышения эффективности и надежности электрических машин переменного тока”, м. Київ, 1991р.; II-ій Всесоюзній науково-технічній конференції з теоретичної електротехніки, м. Вінниця, 1991р.; Міжнародній конференції “Проблеми українізації комп’ютерів”, м. Львів, 1991р.; XV-ій Міжнародній науково-технічній конференції з основ електротехніки та теорії кіл “SPETO-15”, м. Глівіце (Польща), 1992р.; Міжнародній науково-технічній конференції, присвяченій 150-річчю від дня народження І.Пулюя, м. Львів, 1995р.; Міжнародних науково-технічних конференціях “Математичне моделювання в електротехніці й електроенергетиці”; I-ій – м. Львів, 1995р.; II-ій – м. Львів, 1997р.; Науково-технічній конференції, присвяченій 100-річчю від дня народження видатного українського вченого-електромеханіка Тихона Губенка, м. Львів, 1996р.; V-ій Міжнародній науково-технічній конференції “Гідроелектростанція в електроенергетичній системі”, м. Люблін (Польща), 1998р.; Науково-технічній конференції “Проблеми автоматизованого електропривода”, Крим, (м. Алушта), 1998р.; III-ій Міжнародній науково-технічній конференції “Математичне моделювання в електротехніці, електроніці та електроенергетиці”, м. Львів, 1999р.; Спільній українсько-польській школі-семінарі “Актуальні проблеми теоретичної електротехніки: наука і дидактика”, м. Львів/Крим (м.Алушта), 1999р.; Міжнародній конференції “Сучасні проблеми засобів телекомунікації, комп’ютерної інженерії та підготовки кадрів” “TCSET’ 2000”, м.м. Львів-Славсько, 2000р.; Міжнародній науково-технічній конференції “Чиста енергія” (Clean Energy, TACIS), м.Львів, 2000р.; На семінарах Наукової Ради НАН України з комплексних проблем “Наукові основи електроенергетики”: м. Львів, 1981р. , м. Львів, 1998р., а також на науково-технічних конференціях Національного університету “Львівська політехніка”, м.Львів, 1980-1999 р.р.

Публікації. Основні положення дисертації відображені в 59 публікаціях, у тому числі: в одному навчальному посібнику, 26 статтях, з яких 25 у фахових наукових виданнях, 3 депонованих статтях, 25 матеріалах і тезах конференцій та семінарів, 2 інформаційних листках, двох заявках на винахід.

Структура й обсяг дисертації: Дисертація складається зі вступу, семи розділів, висновків по роботі, списку використаних джерел із 367 найменувань, двох додатків, що підтверджують впровадження результатів роботи. Загальний обсяг роботи – 343 сторінки, у тому числі 271 сторінка основного тексту, 80 рисунків і чотири таблиці – обсяг 31 сторінка.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано необхідність проведення досліджень, сформульовано мету та основні задачі роботи, дана загальна її характеристика.

У першому розділі розглянуто основні проблеми та задачі математичного моделювання динамічних режимів ЕМП, зроблено огляд літератури за темою дисертації та обгрунтовано вибір напрямку досліджень.

У другому розділі викладено математичні основи розроблених методів аналізу динамічних режимів ЕМП.

Розрахунок періодичних процесів. Суть методу розглянемо на прикладі нелінійного ДР першого порядку, яке описує періодичний процес, вигляду

+z=0, (1)

у якому y=y(x,t)=y(x,t+T), z=z(y,x,t)=z(y,x,t+T) – T-періодичні функції часу, причому до функції z входить періодичне збурення. Розв’язком рівняння (1) є T-періодична залежність x=x(t)=x(t+T), задача пошуку якої розглядається як крайова для нелінійного ДР (1) з періодичними крайовими умовами.

Апроксимуємо залежність y=y(x,) кубічним сплайном на сітці N+1 вузлів періоду, який на кожній j-й часовій ділянці hj = tj – tj-1 має вигляд

y(t)= aj+ bj (tj –) + cj (tj –)2 + dj (tj –)3, (2)

де aj, bj, cj, dj – коефіцієнти сплайна.

Записавши рівняння (1) для кожного вузла періоду та врахувавши умови неперервності сплайна (2) і першої та другої похідних, а також крайові умови

j=j+N (j=aj, bj, cj, dj), (3)

отримаємо систему скінченних рівнянь N-го порядку

=0, (4)

де Н – квадратна матриця, елементи якої визначаються сіткою вузлів періоду; (y1 ,…, yN)т ; (z1 ,…, zN)т – вектори, складені зі значень відповідних величин у вузлах сітки. (Тут і надалі верхній індекс “т” означає транспонування). Якщо вихідне ДР (1) нелінійне, то отримана система (4) алгебричних рівнянь буде також нелінійною. Її розв’язком є сіткове відображення (x1 ,…, xN)т незалежної змінної x(t) = x(t+T) на періоді.

Динамічні режими ЕМП описуються нелінійними системами ДР вигляду

=0, (5)

де =(y1 ,…, ym)т; =(x1 ,…, xm)т; =(z1 ,…, zm)т, яка апроксимується нелінійною системою скінченних рівнянь mN-го порядку

Hc=0 , (6)

де Hс=diag(H,...,H) – блочно-діагональна матриця, яка складається з m однакових матриць H; , – вектори, складені з векторів та .

Розв’язок системи (6) знаходиться диференціальним методом, для чого до неї вводиться параметр. В роботі застосовуються два способи його введення. Зокрема, якщо система ДР (5) неавтономна, то параметр у систему (6) вводиться шляхом множення вузлових значень вимушуючої дії (збурення) на скалярний параметр . У результаті після диференціювання по вона має вигляд

Яс, (7)

де

Яс =. (8)

Інтегруючи матрично-векторне ДР (7) одним із чисельних методів у межах від =0 до =1, отримуємо значення вектора , яке необхідно розглядати як наближене до кореня нелінійної системи (6), тому його уточнюємо ітераційним методом Ньютона у відповідності з формулами

; Яс, (9)

де – вектор нев’язок системи (6) при . У випадку відсутності збурюючої дії в системі (5) ДР задаємось довільним значенням вектора , обчислюємо вектор нев’язок рівняння (6) і утворюємо параметризовану систему у вигляді

Нс. (10)

Залежність вектора від параметра знаходимо шляхом чисельного інтегрування векторного ДР

Яс. (11)

Взаємозв’язок між функціями , та існує тільки в одних і тих же вузлах періоду, у зв’язку з чим похідні, які входять до (7) та (8), мають вигляд

; ; (12а,б)

; . (12в,г)

Симетрія періодичних процесів. Під час розрахунку диференціальним сплайн-методом періодичних режимів роботи ЕМП використання умов симетрії дає змогу суттєво зменшити порядок системи алгебричних рівнянь, які апроксимують ДР. Так, якщо в періодичному процесі залежності від часу k-ої (k = k(t)) та l-ої (l = l(t)) координат задовільняють умовам k (t)=l(+t), то такий процес є -симетричним. Зокрема, для m-фазних обмоток =2/m. Симетрія періодичного процесу в багатофазному ЕМП дає змогу виключити з розгляду змінні стану усіх фаз, крім однієї. Крім того, в деяких задачах процеси розглядаються на півперіоді.

Розрахунок лінійних електричних кіл несинусоїдного струму сплайн-методом зводиться до розв'язання лінійної системи скінченних рівнянь. При цьому об’єм обчислень менший, ніж при використанні рядів Фур’є. Переваги методу особливо суттєві у випадку розрахунку складних електричних кіл, оскільки матриця Н однакова для всіх змінних стану. Підвищення точності здійснюється шляхом збільшення кількості N вузлів на періоді.

Розрахунок характеристик періодичних процесів. На практиці часто необхідно розраховувати залежність значень координат, що характеризують періодичний процес, від деякої однієї координати, що прийнята за незалежну, наприклад ?. Для її розрахунку необхідно нелінійну систему (6) продиференціювати по цій координаті. У результаті отримаємо систему ДР, що відрізняється від (7) вектором правих частин, інтегруючи яку в межах зміни незалежної координати ?, отримаємо характеристику (). Під час інтегрування можливі випадки, коли похідні всіх координат вектора по ? прямують (рис.1) до нескінченності. При підході до таких точок необхідно здійснити перехід від системи ДР аргументу до системи, в якій аргументом буде будь-яка інша компонента вектора , що зводиться до перестановки місцями відповідного стовпця матриці Якобі і вектора правих частин. Як приклад, на рис.1, 2 наведені результати розрахунку сіткової характеристики періодичного процесу ферорезонансного контура при нарощуванні прикладеної напруги пропорційно до .

Рис.1. Залежності від значень струмів у Рис.2. Криві струму на періоді, які

першому (і1), п'ятому (і5) та десятому (і10) відповідають трьом точкам характеристики:

вузлах періоду. 1,3 – стійкі; 2 – нестійка.

Асимптотична стійкість періодичних розв'язків. Дослідження періодичного режиму на асимптотичну стійкість з використанням сплайн-методу полягає в наступному. Враховуючи, що у результаті збурення стаціонарного режиму, вузлові значення координат періодичного режиму змінюються в часі, отримане шляхом сплайн-апроксимації рівняння буде також диференціальним

=0. (13)

Прирівнявши вираз для повного диференціалу від лівої частини рівняння (13) до нуля, отримаємо лінеаризоване рівняння

=0, (14)

яке дає змогу здійснити аналіз асимптотичної стійкості одним із відомих методів якісної теорії лінійних ДР. Однак під час розрахунку характеристик періодичних процесів диференціальним сплайн-методом достатньо слідкувати лише за знаком вільного члена характеристичного рівняння – визначника det(Яc). Оскільки розрахунок починається зі завчасно відомого стійкого розв’язку (здебільшого нульового), то зміна знаку свідчить про перехід на нестійку частину характеристики, а повторна зміна знаку det(Яc) свідчить про повернення на стійку частину. Ці переходи відбуваються в особливих точках (рис.1).

Перехідні процеси. Перехідні процеси в електричних машинах описуються нелінійними системами ДР, які є жорсткими, у зв'язку з чим для їх інтегрування необхідно застосовувати неявні методи. Практика інтегрування ДР методом ФДН з автоматичним вибором кроку та порядку полінома показує, що останній, як правило, не перевищує трьох. Враховуючи сказане, запропоновано при побудові апроксимаційного многочлена використовувати кубічні сплайни дефекту 1. При цьому алгебричний аналог системи (5) ДР має вигляд

=0, (15)

де

2 =; 1 =; 0 =; 2 = ; 1 =; 0 =.

Розв'язком системи (15) є значення вектора , для знаходження якого ітераційним методом Ньютона необхідно мати значення координат режиму у двох попередніх точках. Для цього використовуємо природний кубічний сплайн на двоточковому шаблоні. У результаті отримаємо

. (16)

Сучасні ЕМП нерідко мають в обмотках вентилі, які в неявних методах замінюються активними опорами, значення яких під час комутації змінюються стрибком. Для визначення моменту переходу струму k---го вентиля через нуль необхідно у рівняння вигляду (15) підставити значення ik = 0 і визначити значення кроку hj. Тоді кількість невідомих струмів зменшиться на одиницю, проте невідомим буде крок hj, якому відповідає значення струму ik = 0. Отже, розв'язавши систему (15) за описаної вище умови, знаходимо не тільки крок hj, але й значення всіх решти координат режиму в цій точці. Змінивши значення опору вентиля k-го контура, продовжуємо інтегрування, починаючи з формули (16), а потім переходимо на формулу (15).

Апроксимація ХН кубічним сплайном, що проходить через таблично задані вузли, не забезпечує гладкості кривої, оскільки табличні значення мають експериментальне походження, а осциляції ХН призводять до розбіжності ітераційного процесу. Ця проблема вирішується шляхом використання згладжувального кубічного сплайна дефекту , алгоритм побудови якого викладений в роботі. Для розв’язування багатьох задач електромеханіки достатньо, щоб ХН мала неперервну лише першу похідну. Для таких випадків пропонується використовувати апроксимацію ХН кубічним сплайном дефекту 2.

У третьому розділі опрацьовано динамічні математичні моделі асинхронних та синхронних машин загальнопромислового призначення та спеціальних, серед яких: явнополюсні синхронні машини (ЯСМ) зі збудженням від ДОС за рахунок енергії вищих гармонік магнітного поля в повітряному проміжку та синхронні машини зі збудником, суміщеним в одному магнітопроводі з основною машиною. В основу математичних моделей електричних машин покладена нелінійна теорія ЕМП, на підставі якої розроблені алгоритми та програми розрахунку динамічних параметрів та потокозчеплень контурів. Розглядаються електричні машини з шихтованим магнітопроводом з представленням останнього на основі розгляду магнітного поля з позицій магнітних кіл.

Під час розрахунку періодичних процесів в електричних машинах методом розв'язування крайової задачі диференціальним сплайн-методом електромагнітні параметри необхідно обчислювати для фіксованих значень кута повороту ротора, у зв'язку з чим відпадає необхідність розрахунку коефіцієнтів ЕРС обертання, що суттєво зменшує об'єм обчислень і є однією з позитивних сторін методу. Іншим шляхом виключення кута є перетворення координат.

Асинхронні машини (АМ). В роботі використовуються: система ортогональних осей x, y, яка є перетвореною як для обмотки статора, так і для обмотки ротора; система осей , , (“загальмований ротор”), в якій обмотка статора не перетворюється, а обмотка ротора зводиться до трифазної загальмованої. Необхідність переходу до перетворених координат під час аналізу періодичних процесів пояснюється тим, що внаслідок переміщення ротора відносно статора періоди залежностей від часу змінних стану їх контурів у фізичних осях, за виключенням деяких випадків, не тільки не рівні між собою, але й несумірні.

В математичних моделях АМ врахування насичення магнітопроводів реалізовано за допомогою використання нелінійних залежностей модулів зображувальних векторів потокозчеплень контурів від модулів зображувальних векторів струмів. Розглядаються потокозчеплення, зумовлені основним магнітним полем та полями розсіяння, для чого використовуються ХН основного магнітного кола та шляхів розсіяння. Потокозчеплення пазового розсіяння представлене у вигляді суми лінійної та нелінійної частин. До першої відносяться потокозчеплення з потоками розсіяння, які перетинають зайняті обмотками частини пазів, а до других – потокозчеплення з потоками розсіяння, які замикаються через шліци або містки. З метою урахування явища витіснення струмів у стержнях короткозамкненого ротора паз розділяється по висоті на n шарів. У результаті при розгляді процесів в осях з урахуванням приведення обмотки ротора до трифазної отримаємо на роторі n трифазних обмоток, які мають взаємоіндуктивний зв’язок по шляхах основного магнітного потоку та потоків розсіяння, для обчислення яких виведені формули.

Явнополюсна синхронна машина. Насичення магнітопроводу машини враховується шляхом представлення магнітопроводу розгалуженою заступною схемою, в якій ярмо якоря і полюс розглядаються як зосереджені магнітні опори, повітряний проміжок і зубцеві зони – як розподілені. У результаті магнітний стан ЯСМ характеризується магнітними потоками Фа полюса й Фf ярма якоря та кривою розподілу радіальної складової індукції В В() в повітряному проміжку машини. При чисельному аналізі процесів в ЯСМ континуальний розподіл індукції В замінюється дискретними значеннями в g точках полюсної поділки, сукупність яких разом з магнітними потоками полюса і ярма якоря утворюють вектор =(Фа ,Фf ,B1 ,…,Bg)т координат магнітного стану машини, компоненти якого визначаються з нелінійних ХН

Fa =Fa (Фа) ; Ff =Ff (Фf); F =F (Ф),

де Fa, Ff , F – спади магнітних напруг у ярмі якоря, полюсі та активній зоні.

Демпферна обмотка представлена n суміжними контурами, утвореними n стержнями і короткозамикаючими сегментами. Для врахування насичення шляхів розсіяння використовуються ХН у вигляді залежностей магнітних потоків, які проходять через шліци пазів, від струмів стержнів.

З використанням заступної схеми магнітопроводу та функцій розподілу витків контурів виведені формули для обчислення потокозчеплень та динамічних параметрів в осях А, В, С та d, q.

Синхронні машини нетрадиційного виконання. В роботі розглядаються ЯСМ з самозбудженням від ДОС та безконтактні суміщені синхронні машини (БССМ) неявнополюсної конструкції як найбільш перспективні для вдосконалення. Характерною особливістю цих машин є наявність обмоток різної полюсності в одній машині та вентилів в обмотках. Електромагнітні зв'язки ЯСМ зі збудженням від ДОС описані в фазних координатах. Застосування останніх є єдино можливим у випадку використання ДОС, яка має достатньо великі обмоткові коефіцієнти не тільки третьої гармоніки, а й інших. Однак, як показано в роботі, задачу аналізу процесів в ЯСМ зі збудженням від ДОС можна суттєво спростити у випадку, коли додаткова обмотка має кількість пар полюсів рівну 3р, тобто налаштована на третю гармоніку магнітного поля повітряного проміжку. Запропоновано перетворення до взаємно-ортогональних осей, яке є узагальненням перетворення Парка стосовно ЯСМ з двома обмотками на статорі різних полюсностей.

БССМ має дві групи обмоток з різними кількостями пар полюсів: р1 та р2. При насиченні магнітопроводу внаслідок різного ступеня насичення зубцевої зони уздовж полюсної поділки, між цими групами має місце електромагнітний зв'язок, тому в математичній моделі БССМ розглядаються сумісно всі обмотки машини з урахуванням реального закону їх розподілу уздовж розточки статора. Магнітопровід БССМ представляється розгалуженою заступною схемою, яка описується системою рівнянь, складеною за методом контурних магнітних потоків. Схема заміщення магнітопроводу розглядається для однієї полюсної поділки 1 обмоток першої групи з кількістю р1 пар полюсів (тоді в цю поділку увійде ціле число полюсних поділок 2 для обмоток з кількістю р2 пар полюсів). Виведені формули для обчислення потокозчеплень контурів та динамічних параметрів, а також електромагнітного моменту як функції струмів контурів статора та контурних магнітних потоків.

У четвертому розділі розроблено математичні моделі періодичних режимів ЯСМ, серед яких: режими великих коливань, усталені асинхронні режими, усталені несиметричні режими.

Математична модель динамічного режиму ЯСМ при періодичному моменті на валу розроблена з використанням координатних осей d, q, при цьому вихідна система ДР апроксимується на сітці вузлів з кроком, який не залежить від періоду обертання ротора, а визначається періодом Тм зміни моменту Мв(t) на валу. Це дає змогу обмежитись невеликою кількістю вузлів сітки.

Електромеханічні процеси трифазної ЯСМ з n стержнями на полюсі описуються системою ДР m=(5+n)-го порядку вигляду (5), в якій

; =(id ,iq ,if ,i1 ,…in ,,)т; =(d ,q ,f ,1 ,…n ,,)т; Мв (t)=М0+Мв (t); ud = –Umsin; uq = –Umscos; e1=1.5pн /J; e2=p /J,

де Um, н, – амплітуда напруги статора та її частота; – швидкість обертання ротора в ел. рад/с; р – кількість пар полюсів; J – момент інерції; – кут вибігу ротора; uf, rf – напруга та активний опір обмотки збудження; r, rl, – активні опори контурів d, q статора та демпферних.

Періодичний розв'язок знаходимо у відповідності з викладеним у розділі 2 алгоритмом. Матриці та вектори вигляду (12) мають зміст

;

; ;

= (0,0,…,0,Mj)т ; В21 =,

де Rdq, Ldqj  – значення матриць активних опорів та диференціальних індуктивностей в j-му вузлі; E = diag(1,1); dqj – квадратна матриця розміру k=3+n, в якій всі елементи нульові, за виключенням dq j (1, ) –j ; dq j (2, ) j ; Mj Мв(tj).

На кожному кроці інтегрування системи ДР вигляду (7), а також ітераційного уточнення за формулами (9) значення матриць Ldqj обчислюються у відповідності з математичною моделлю ЯСМ в осях d, q. На відміну від інтегрування ДР в часовій області, для отримання розв'язку, який забезпечує збіжність ітераційного процесу, достатньо здійснити 510 кроків інтегрування методом Ейлера. Приклад розрахунку режиму роботи явнополюсного синхронного двигуна (ЯСД) при імпульсному періодичному моменті на валу наведений на рис.3.

У процесі інтегрування по отримуємо характеристику періодичного процесу як залежність сукупності вузлових значень координат від відносної величини періодичного моменту на валу. При деякому значенні ? усі похідні прямують до нескінченності, що свідчить про перехід на нестійку частину характеристики, а це означає випадання машини із синхронізму. Отримане при цьому значення ? відповідає величині граничного за динамічною стійкістю моменту на валу двигуна (рис.4).

Рис.3. Розрахункові криві струмів якоря (і), Рис.4. Залежності значень кута вибігу у

збудження (if) та кута вибігу в режимі п'я-тому вузлі періоду від без регулю-ван-

вимушених коливань ротора. ня збудження (1) і з регулюванням (2).

Великі коливання ЯСМ за наявності регулювання збудження. Розроблений метод розрахунку режимів роботи ЯСМ при періодичній зміні моменту навантаження дає змогу досліджувати вплив регулювання збудження, яке є важливим чинником підвищення стійкості її роботи при періодичних вимушених коливаннях та зменшення коливань координат режиму.

Як видно з рис.4, при періодичному навантаженні ЯСД без регулювання збудження його перевантажувальна здатність становить Мmax 2.7Мн , в той час як за статичною характеристикою вона дорівнює 2.34Мн , а за умови регулювання збудження за законом uf = ufн –50 – зростає до 4.7Мн . Однак при цьому може значно зростати нагрівання машини.

Математичні моделі асинхронних режимів ЯСМ. Задача математичного моделювання при асинхронних режимах роботи ЯСМ розглядається у двох аспектах: при заданому постійному ковзанні ротора та при заданому моменті на валу. В обох випадках задача може розв’язуватись як за наявності напруги збудження, так і її відсутності.

При паралельній роботі ЯСМ з мережею в асинхронному режимі період зміни координат режиму в осях d, q становить Ta = 2/s, а рівняння електромагнітної рівноваги контурів мають вигляд

. (17)

Розрахунок асинхронного режиму при заданому ковзанні s = s0  здійснюється шляхом інтегрування системи ДР вигляду (7), в якій похідні вигляду (12) мають зміст

= Ldq j ; = –Rdq +1–s0) dq Ldq j ;

= (1–s0)dq ; ,

де – вектор прикладених напруг.

Розроблений алгоритм дає змогу з високою точністю і з малими затратами машинного часу розраховувати асинхронні режими ЯСМ з урахуванням у їх взаємозв'язку насичення основного магнітного шляху та шляхів розсіяння, матеріалів стержнів та їх розташування у полюсному наконечнику.

Вплив розмірів шліців пускової клітки ЯСД на розподіл струмів по стержнях при s = 1.0 ілюструє табл. 1, де наведені діючі значення струмів для двох різних значень ширини шліців: 4 мм (варіант І) і 2 мм (варіант ІІ).

Таблиця 1

№ стержня | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7

І (кА) | Вар. І | 8,46 | 7,26 | 7,42 | 7,66 | 7,74 | 7,82 | 8,74

Вар. ІІ | 7,74 | 6,85 | 6,70 | 7,21 | 7,27 | 7,29 | 7,97

Несиметричні режими ЯСМ розглядаються безпосередньо у фізичних осях, при цьому період зміни координат режиму визначається періодом зміни напруги живлення. Враховуючи умови симетрії, задача розв'язується на півперіоді.

Розроблений алгоритм орієнтований на загальний випадок роботи ЯСМ, коли обмотка статора увімкнена через активно-індуктивні опори на трифазну систему напруг. Він дає змогу розраховувати періодичні процеси як при несиметрії та несинусоїдності напруг живлення, так і при несиметрії навантаження автономного генератора. При цьому різні види несиметрії, включаючи несиметричні короткі замикання, отримуємо як часткові випадки, які реалізуються шляхом уведення відповідних числових значень опорів навантаження фаз та нульового провідника. Розроблено алгоритм розрахунку несиметричного режиму з урахуванням коливання швидкості обертання ротора, зумовленого несиметрією струмів.

В дисертації наведені експериментальні осцилограми струмів у фазах ЯСМ та результати їх розрахунку, які показали, що розбіжність не перевищує 5%.

У п’ятому розділі розроблено математичні моделі режимів роботи асинхронних двигунів (АД): в умовах періодичного моменту на валу, закон зміни якого може бути як функцією часу, так і кута повороту ротора; в умовах несиметричного та несинусоїдного живлення.

При періодичній зміні моменту навантаження в функції часу Mв = M(t)M(t+Tм), коли період Тм набагато перевищує період зміни напруги живлення, процеси в АД доцільно розглядати в осях x, y, при цьому крок сітки hj =- tj – tj-1 визначається в секундах.

В записаній у вигляді (5) системі ДР електромеханічної рівноваги АД відповідні вектори мають зміст

, =1x , 1y , 2x , 2y)т,  , і, u ,

, as =, bs =,

де індексами 1 та 2 позначені статорні та роторні координати;

; Rxy=diag(r1, r1, r2, r2).

В алгебризовану шляхом сплайн-апроксимації систему вводиться параметр множенням моменту Мв на , а в отриманій системі ДР вигляду (12) відповідні похідні мають зміст

; =0,0,0,0, bs Mj)т ; G =0,0, 2yj, –2xj)т;

;

Приклад розрахунку періодичного процесу АД в осях х, у при Тм 0.4с наведений на рис.5.

Для розрахунку режиму роботи АД у випадку, коли момент навантаження є функцією кута повороту ротора Мв=Мв()=Мв(+2), необхідно врахувати, що координати, які входять в ці рівняння під знаком похідних, залежать від кута повороту ротора, який в свою чергу є функцією часу  (t), а крок сітки при цьому hj =- j – j-1 визначається в радіанах. У результаті отримаємо залежності

w; w,

які дають змогу перейти від похідних аргументу t до похідних аргументу .

Періодичні процеси асинхронних машин в загальмованих трифазних осях. Період Т повторюваності процесу визначається періодом зміни напруги живлення. Рівняння електричної рівноваги