Мiнiстерство освiти i науки України

Чернiвецький нацiональний унiверситет

iменi Юрiя Федьковича

Пасiчник Галина Савелiївна

УДК 517.956.4

ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ -ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ

ЗI ЗРОСТАЮЧИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ

01.01.02 – диференцiальнi рiвняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Чернiвцi – 2001

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана у вiддiлi математичної фiзики Iнституту прикладних

проблем механiки i математики iм. Я.С. Пiдстригача НАН України

Науковий керiвник – доктор фiзико-математичних наук,

професор Iвасишен Степан Дмитрович,

Чернiвецький нацiональний унiверситет

iменi Юрiя Федьковича, завiдувач кафедри

математичного моделювання

Офiцiйнi опоненти: доктор фiзико-математичних наук,

професор Лавренюк Сергiй Павлович,

Львiвський нацiональний унiверситет

iменi Iвана Франка, професор кафедри

диференцiальних рiвнянь;

кандидат фiзико-математичних наук,

доцент Пукальський Iван Дмитрович,

Чернiвецький нацiональний унiверситет

iменi Юрiя Федьковича, доцент кафедри

диференцiальних рiвнянь

Провiдна установа – Iнститут математики НАН України (м. Київ),

вiддiл нелiнiйного аналiзу.

Захист вiдбудеться “ 27 “ квiтня 2001 р. о 1330 год. на засiданнi спецiалiзованої вченої ради

К 76.051.02 в Чернiвецькому нацiональному унiверситетi iменi Юрiя Федьковича за адресою: 58012, м. Чернiвцi, вул.Коцюбинського, 2, навчальний корпус N1, аудиторiя 8.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Юрiя Федьковича (м. Чернiвцi, вул. Лесi Українки, 23).

Автореферат розiсланий “ 24 “ березня 2001 р.

Вчений секретар

спецiалiзованої вченої ради Садовяк А.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. У теорiї задачi Кошi для параболiчних систем одним з найважливiших понять є поняття фундаментальної матрицi розв'язкiв. Фундаментальна матриця розв'язкiв задачi Кошi (ФМРЗК) iстотно використовується для вивчення внутрiшнiх властивостей розв'язкiв пара-болiчних систем, дослiдження коректної розв'язностi задачi Кошi в широких функцiональних просторах, одержання iнтегрального зображення розв'язкiв, установлення локальної розв'язностi задачi Кошi для нелiнiйних систем, дослiдження можливостi продовження розв'язкiв на ширший часовий iнтервал та iн.

ФМРЗК для параболiчних за Петровським систем будувалась, вивчалась i застосовувалась у працях I.Г. Петровського, О.О. Ладиженської, С.Д. Ейдельмана, В. Погожельського (W. Pogor-zel-ski), Л.Н. Слободецького, Д.Г. Аронсона (D.G. Aronson), М.I. Матiйчука та iн., для -парабо-лiч-них систем, в яких на вiдмiну вiд параболiчних за Петровським систем кожна просторова змiнна може мати свою вагу стосовно часової змiнної, – в працях С.Д. Ейдельмана, С.Д. Iвасишена та iн. У цих працях припускалось, що умова параболiчностi є рiвномiрною, а коефiцiєнти систем – об-ме--женими.

Природним i важливим, як з точки зору теорiї рiвнянь з частинними похiдними, так i їх практичних застосувань, було намагання одержати аналогiчнi результати про ФМРЗК для випадку систем з рiзними виродженнями й особливостями, наприклад, коли порушується умова рiв-но-мiр-ної параболiчностi або коефiцiєнти системи є зростаючими, тобто прямують до нескiнченностi при .

У рядi праць А.С. Калашникова, А.В. Глушака i С.Д. Шмулевича, С.Д. Iвасишена, О.Г. Возняк та iн. розглядались параболiчнi за Петровським i -параболiчнi системи з виродженнями на початковiй гiперплощинi, для яких побудована й дослiджена ФМРЗК.

ФМРЗК для параболiчних за Петровським систем зi зростаючими коефiцiєнтами будувалась i вивчалась Я.I. Житомирським, С.Д. Ейдельманом, Ф.О. Порпером та iншими авторами. При цьому С.Д. Ейдельманом уведено важливе поняття дисипативностi системи i розглянуто певний клас систем зi зростаючими коефiцiєнтами, якi зводяться до дисипативних.

Аналiз одержаних на даний час результатiв про ФМРЗК показує, що задача Кошi для параболiчних систем з усiлякими виродженнями дослiджена ще недостатньо. Зокрема, невиріше-ни-ми є такi питання:

– побудова й дослiдження ФМРЗК для систем зi зростаючими коефiцiєнтами, коли цi системи є рiвномiрно -параболiчними, а також параболiчними за Петровським i -параболiчними при наявностi в них вироджень на початковiй гiперплощинi;

– дослiдження коректної розв'язностi задачi Кошi та у випадку сильного виродження задачi без початкових умов для вищевказаних систем.

Вирiшенню цих питань присвячена дисертацiйна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiя виконана в рамках науково-дослiдної роботи "Розробка методiв дослiдження та побудови розв'язкiв некласичних та умовно-коректних задач для рiвнянь iз частинними похiдними" (номер держреєстрацiї 0197U008960), що виконується у вiддiлi математичної фiзики Iнституту прикладних проблем ме-ханiки i математики iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, спiвробiтником якого є автор ди-сер-та-цiї.

Мета i задачi дослiдження. Метою роботи є дослiдження задачi Кошi для невироджених, а також з виродженням на початковiй гiперплощинi -параболiчних систем зi зростаючими коефiцiєнтами, зокрема одержання для таких систем результатiв, подiбних до вiдомих у теорiї задачi Кошi для параболiчних за Петровським систем.

Безпосереднiми задачами дослiдження систем, що розглядаються, є:

– побудова й одержання оцiнок ФМРЗК та її похiдних;

– дослiдження властивостей потенцiалiв, породжених ФМРЗК;

– знаходження умов розв'язностi у вiдповiдних функцiональних просторах задачi Кошi для невироджених або слабко вироджених систем та задачi без початкових умов у випадку сильного ви-родження.

Об'єкт дослiдження: задача Кошi для -параболiчних систем зi зростаючими коефiцiєнтами.

Предмет дослiдження: фундаментальна матриця розв'язкiв задачi Кошi, породженi нею потенцiали, розв'язнiсть задачi Кошi i задачi без початкових умов.

Методи дослiдження: метод Левi, методи теорiї потенцiалiв.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiї вперше одержанi такi результати:

1) означенi дисипативнi -параболiчнi системи без вироджень i з виродженням на початковiй гiперплощинi;

2) побудована й дослiджена ФМРЗК для таких систем зi зростаючими коефiцiєнтами:

– дисипативних -параболiчних,

– деяких -параболiчних систем, що зводяться до дисипативних,

– дисипативних параболiчних за Петровським та -параболiчних з виродженням на по-чатковiй гiперплощинi,

– деяких параболiчних за Петровським та -параболiчних систем, що зводяться до дисипативних i мiстять виродження на початковiй гiперплощинi;

3) встановленi такi властивостi потенцiалiв, породжених ФМРЗК для вказаних у пунктi 2) систем:

– одержанi оцiнки й дослiджена гранична поведiнка при iнтегралiв Пуассона функцiй та узагальнених мiр iз спецiальних вагових просторiв;

– знайденi умови на густину об'ємних потенцiалiв, за яких цi потенцiали є розв'язками неоднорiдних систем iз вiдповiдних просторiв;

4) встановлена розв'язнiсть, а в окремих випадках i коректна розв'язнiсть, задачi Кошi для невироджених або слабко вироджених систем з пункту 2) та задачi без початкових умов для сильно вироджених систем.

Зазначимо, що одержанi для -параболiчних систем результати є не лише поширенням на ширший клас систем вiдомих результатiв для параболiчних за Петровським систем, але й iстотно доповнюють останнi. Деякi з них є цiлком новими для рiвнянь i систем, параболiчних за Петровським.

У дисертацiї модифiкованi методи, якi розробленi при дослiдженнi задачi Кошi для параболiчних за Петровським систем з обмеженими i зростаючими коефiцiєнтами та -па-ра-бо-лiч-них систем з обмеженими коефiцiєнтами.

Практичне значення одержаних результатiв. Дослiдження мають теоретичний характер. Їх результати можуть використовуватись при подальших дослiдженнях коректної розв'язностi та властивостей розв'язкiв задачi Кошi для параболiчних за Петровським i -параболiчних систем зi зростаючими коефiцiєнтами, а також у спектральнiй теорiї операторiв, породжених вiд-по-вiд-ни-ми елiптичними системами.

Особистий внесок здобувача. Основнi результати дисертацiї одержанi автором самостiйно. У спiльних з науковим керiвником роботах [1, 3, 5, 8] С.Д. Iвасишену належить постановка задач i аналiз одержаних результатiв.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дослiджень, що включенi до дисертацiї, до-по-вi-да-лися на: мiжнародних конференцiях "Сучаснi проблеми математики"(Чернiвцi, 1998 р.) i "Nonlinear Partial Differential Equations" (Львiв, 1999 р.); всеукраїнськiй конференцiї "Новi пiд-ходи до розв'язання диференцiальних рiвнянь"(Дрогобич, 1997 р.); науковiй конференцiї, при-свяченiй Я.С.Пiдстригачу (Львiв, 2000 р.); наукових семiнарах Iнституту прикладних проблем механiки i математики iм. Я.С. Пiдстригача НАН України (Львiв-Чернiвцi, 1997 – 2000 рр.) та ма-те-матичного факультету Чернiвецького нацiонального унiверситету iм. Ю. Федьковича (Чернiвцi, 1999 – 2000 рр.).

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiї опублiкованi в 8 працях, з них 3 – у наукових журналах, 2 – у збiрниках наукових праць, 3 – у матерiалах конференцiй. Серед публiкацiй 5 праць у наукових фахових виданнях з перелiку N1 ВАК України вiд 9.06.1999.

Структура i обсяг роботи. Дисертацiя складається з перелiку умовних позначень i скорочень, вступу, чотирьох роздiлiв, висновкiв i списку використаної лiтератури, який мiстить 79 найменувань. Повний обсяг роботи становить 140 сторiнок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керiвнику професору С.Д. Iвасишену за постановку задачi та змiстовнi консультацiї.

ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi обгрунтовується актуальнiсть теми, ставляться мета i задачi дослiдження, указується на зв'язок дисертацiї з науковою темою вiддiлу математичної фiзики Iнституту прикладних проблем механiки i математики iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, де вона виконана, наводяться основнi результати, вiдзначається їх новизна, практичне значення й апробацiя.

Оскiльки дисертацiйна робота присвячена ФМРЗК та її застосуванням до питань розв'язностi задачi Кошi, то в першому роздiлi робиться огляд в основному тих праць, в яких вивчалась i застосовувалась ФМРЗК для параболiчних систем.

У роздiлi 2 наведенi результати про ФМРЗК для -параболiчних систем зi зростаючими кое-фiцiєнтами. Тут означенi дисипативнi -параболiчнi системи. Для таких систем та деяких систем, що зводяться до дисипативних, на коефiцiєнти яких та характеристику дисипацiї накла-дається два набори умов, побудована ФМРЗК та одержанi для неї i її похiдних оцiнки.

Нехай …-- заданi натуральнi числа;…; - найменше спiльне кратне чисел …, – задане додатне число; якщо , то…– координати точки. Kористуватимемось ще такими позначеннями:…, якщо– мультиiндекс;… – спецi-аль-нi вiдстанi мiж точ-ка-ми …,.., якщо.., ..– множина всiх стовпцiв висоти .. з ком-плек--сними елементами.

У другому роздiлi розглядається система рiвнянь вигляду

… (1)

де… , – квадратнi матрицi порядку .

Пiдроздiл 2.1 мiстить основнi означення, припущення про коефiцiєнти системи (1) та властивос-тi ФМРЗК для допомiжної системи, яка є головним членом формули для ФМРЗК для системи (1).

Означення 1. Систему (1) називатимемо дисипативною -параболiчною в…, якщо iснує неперервна функцiя…, яка задовольняє такi умови: 1) при ; 2) функцiї, …, обмеженi; 3) система рiвнянь

…

з обмеженими коефiцiєнтами i додатковою просторовою змiнною є рiвномiрно на… -параболiчною, де…... Функцiя при цьому називається характеристи-кою дисипацiї системи (1).

У роботi використовуються наступнi умови на коефiцiєнти, системи (1).

А1. Система (1) є дисипативною -параболiчною в … з характеристикою дисипацiї .

А2. Коефiцiєнти системи (1) мають неперервнi похiднi,…., для яких справджуються оцiнки

…

де….; функцiї, ..., як функцї , є неперервними рiвномiрно щодо.

А3. Похiднi,…… задовольняють локальну умову Гельдера за з показ-ником вiдносно вiдстанi рiвномiрно щодо.

Можливий iнший набiр умов, який не вимагає великої гладкостi коефiцiєнтiв, але накладається спецiальне обмеження на характеристику дисипацiї .

Б1. Виконується умова А1.

Б2.:…; функцiї, ….. як фун-кцї , є неперервними рiвномiрно щодо ….

Б3. Характеристика дисипацiї задовольняє такi умови:

1)…

2)…:, де – досить мале додатне число, вибором якого в конкретнiй ситуацiї розпоряджаємось.

Нехай … – функцiя, яка зв'язана з характеристикою дисипацiї одним з таких наборiв умов:

А4. …при; iснують локально неперервнi за Гельдером з показником з умови А3 похiднi,… , якi пов'язанi з характеристикою дисипацiї умовою ….., де……. – досить мале додатне число, вибором якого в кожнiй конкретнiй ситуацiї розпоряджаємось;

Б4. …при; iснують похiднi ….., для яких справлжуються нерівності……, де…, з умови Б2, -- досить мале додатне число, ви-бором якого в конкретнiй ситуацiї розпоряджаємось.

У пунктi 2.2.2 для дисипативної -параболiчної системи (1) побудована ФМРЗК та одер-жанi оцiнки матрицi i її похiдних.

Теореми 2.1–2.2. Нехай для системи (1) виконуються умови А1–А3 або Б1 – Б3. Тодi для неї iснує ФМРЗК…………., для якої справджуються у випадку умов А1—А3 оцiнки

… (2)

і

… (3)

де i – додатнi сталi, а – будь-яка функцiя, що задовольняє умову А4, а у випадку умов Б1–Б3 – оцiнки

… (4),(5)

де – довiльно фiксоване додатне число, …….i

…. (6)

де……..а – будь-яка функцiя, що задовольняє умову Б4.

В оцiнках (2) –(6)…

У пунктi 2.2.3 розглянутий клас -параболiчних систем, якi можна звести до дисипативних i для яких, отже, iснує ФМРЗК. Нехай… i функцiя ……… така, що….. Розгляда-ються функцiї

, …… (7)

і

. .. (8)

де в кожнiй конкретнiй ситуацiї вибирається спецiальним чином, – досить велике додатне число, а число таке, що справджується нерiвнiсть……...

Використовується наступний набiр умов з функцiєю з (7).

В1. Функцiї ……., обмеженi й система (1) рiвномiрно -параболiчна в.

В2. Виконуються умови А1 і А3.

В3. Для системи (1) iснує спряжена за Лагранжем система, для коефiцiєнтiв якої виконується умова В2.

Теорема 2.3. Нехай для системи (1) виконуються умови В1 і В2. Тодi для цiєї системи iснує ФМРЗК , для якої справджуються оцiнки

… . (9)

де…– функції з (7) і (8).

За умов В1 –В3 для ФМРЗК системи (1) встановлена властивiсть нормальностi та формула згор-тки.

Роздiл 3 присвячений одержанню результатiв, аналогiчних результатам роздiлу 2, для -па-раболiчних системи зi зростаючими коефiцiєнтами (як дисипативних, так i тих, що зводяться до них) при наявностi певних вироджень на початковiй гiперплощинi.

У цьому роздiлi розглядаються системи N рiвнянь вигляду

… (10)

та

.., (11)

де – квадратнi матрицi порядку – неперервнi на вiдрiзку фун-кцiї, для яких…, причому функцiя монотонно неспадна.

Системи з виродженням (10) i (11) називаємо дисипативними в…, якщо такою є система (1) та система без виродження i без члена з коефiцiєнтом вiдповiдно.

Для коефiцiєнта з (11) припускаємо виконаною умову

Б5. Функцiя визначена в…, обмежена, неперервна за i задовольняє умову Гельдера з показником з умови Б2.

Пiдроздiл 3.1 мiстить допомiжнi факти, а в 3.2 доводяться теореми про ФМРЗК, аналогiчнi тео-ремам 2.1–2.3 для систем без вироджень.

За умов А1–А3 на коефiцiєнти системи (10) доводиться iснування i правильнiсть оцiнок для по-хiдних вiд ФМРЗК, якi одержуються з (2) i (3) замiною на…

….– на…. а – функцiя з умови А4; за умов Б1–Б3 і Б5 – iснування ФМРЗК i правильнiсть оцiнок, якi одержуються з (4) –(6) замiною … на…., .. – на…, а – функцiя з умови Б4.

Припускаючи, що система (10) мiстить слабке виродження, тобто , для ФМРЗК за умов В1 i В2 справджуються оцiнки, що одержуються з (9) замiною на…. – на…, з функцією з (7) і

(12)

За умови В3 доведена також властивiсть нормальностi та формула згортки для ФМРЗК.

У роздiлi 4 наведенi властивостi iнтегралiв Пуассона та об'ємних потенцiалiв,породжених ФМРЗК, якi побудованi та вивченi в роздiлах 2 i 3. Цi властивостi застосованi до дослiдження розв'язностi -параболiчних систем зi зростаючими коефiцiєнтами i звичайними початковими умовами, коли виродження на початковiй гiперплощинi вiдсутнє або слабке, та без початкових умов у випадку сильного виродження.

У пiдроздiлi 4.1 дослiджено властивостi iнтегралiв Пуассона, породжених ФМРЗК для систем (1) i (10) за умов А1–А3 або В1–В3. Для формулювання результатiв вводяться норми i простори

функцiй та узагальнених мiр.

Нехай … – заданi числа такi, що…, де – cта-ла з оцiнок ФМРЗК для вiдповiдних систем. Розглянемо функцiї

…

де…– функцiя вiдповiдно з оцiнок ФМРЗК.

Для вимiрної за при кожному фiксованому … функцiї u ….. означимо норми

…

Формальною замiною злiва на…, на …введенi норми …..і….

Використовуватимемо простори, …всiх вимiрних функ-цiй.…, для яких скiнченними є вiдповiдно норми … ;... – простори всiх -значних узагальнених борельових мiр , для яких скiнченними є відповiдно iнтеграли

...

і аналогічні … , де – повна варiацiя; простори……всiх вимiрних функ-цiй..., для яких скiнченними є вiдповiдно норми і аналогічні з…, а також простори ., аких неперервних функцiй….., що вiдповiдно при …

…

У термiнах вищеозначених норм оцiнено такi функцiї, якi називаються iнтегралами Пуассона вiдповiдно функцiї та узагальненої мiри:

(13)

(14)

За умов А1–А3 чи В1, В2, …чи …., … чи…норми і оцiнюються через вiдповiднi норми i .З'ясовано, в якому сенсi нтеграли (13) i (14) задоволь-ня-ють початкову умову.

У пiдроздiлi 4.2 встановленi властивостi об'ємних потенцiалiв

… (15) де – ФМРЗК для системи

. . . (16)

та

… (17)

де – ФМРЗК для системи

… (18)

яка мiстить як слабке, так i сильне виродження.

Для функцiї ………. використовуються такi умови:

Г1. функцiя неперервна i задовольняє умову Гельдера вiдносно вiдстанi з показником ;

Г2p. для довiльного … скiнченними є величини ……………

Г3p. умова одержується з Г2p замiною на … i … вiдповiдно;

Г4p. для довiльного … скiнченними є величини …

Г5p. умова одержується з Г4p замiною на … i … вiдповiдно;

Г6. функцiя неперервна i задовольняє таку умову Гельдера:…

Де…– функцiя, яка задовольняє умову …., а – стала з оцiнок ФМРЗК;

Г7. для довiльного скiнченними є величин …. де стала така ж, як в умовi Г6.

У пiдроздiлi 4.2 знайденi формули диференцiювання та оцiнки iнтегралiв (15) i (17) у термiнах норм … вiдповiдно.

Одержанi в роздiлах 2 i 3 та пiдроздiлах 4.1 i 4.2 результати про ФМРЗК i властивостi потенцi-а-лiв використовуються при дослiдженнi для неоднорiдних систем розв'язностi задачi Кошi у випад-ку слабкого виродження i задачi без початкових умов, коли виродження сильне. Наве-демо деякi ре-зультати такого дослiдження, якi доведенi в пiдроздiлi 4.3.

Теорема 4.1. Нехай для системи (16) виконуються умови А1 –А3. Тодi правильними є такi

твердження:

1) якщо ……i функцiя задовольняє умови Г1 та Г2p , ... , то функцiя

… (19)

є розв'язком системи (16) таким, що

… (20)

при

… (21)

i при

… (22)

2) якщо … i для функцiї виконуються умови Г1 та Г21 , то функцiя

…. (23)

є розв'язком системи (16), який задовольняє такi умови:

(24)

i

… (25)

Аналогiчна теорема доведена для системи (18) у випадку слабкого виродження, якщо ….. i для функцiї …. виконуються умови Г1 та Г4p ,…, лише у (19) i (23) потрiбно замiнити на , в (20) –(22) i (24),(25) … на …., а … – на …..,.

Теорема 4.3. Якщо для системи (16) виконуються умови В1, В2 ,а для функцiї – Г1 та Г3p , то правильнi обидва твердження теореми 4.1, тiльки в них треба замiнити вiдповiдно на …...

Якщо ж додатково припускати виконання умови В3, то розв'язки, що визначаються формулами (19) i (23), є єдиними в класi функцiй, якi задовольняють умову

…

Подiбна теорема правильна для системи (18) у випадку слабкого виродження.

Наведемо умови, за яких iснує єдиний розв'язок сильно виродженої системи (18) без початко-вих умов.

Теорема 4.5. Нехай для системи (18) виконуються умови А1–А3 …. Якщо за-до--вольняє умови Г6 i Г7, то функцiя … є розв'язком системи (18), для якого справджується оцiн-ка …

Цей розв'язок єдиний, якщо єдиним є вiдповiдний розв'язок задачi Кошi для системи (10) в .. при довiльному

ВИСНОВКИ

Дисертацiя присвячена побудовi, дослiдженню та деяким застосуванням фундаментальної

матрицi розв'язкiв задачi Кошi для -параболiчних систем зi зростаючими коефiцiєнтами.

У дисертацiї вперше одержанi такi результати:

1) означенi дисипативнi -параболiчнi системи без вироджень i з виродженням на почат-ковiй гiперплощинi;

2) побудована й дослiджена фундаментальна матриця розв'язкiв задачi Кошi для таких систем зi зростаючими коефiцiєнтами:

– дисипативних -параболiчних,

– деяких -параболiчних систем, що зводяться до дисипативних,–

дисипативних параболiчних за Петровським та -параболiчних з виродженням на почат-ковiй гiперплощинi,

– деяких параболiчних за Петровським та -параболiчних систем, що зводяться до дисипа-тивних i мiстять виродження на початковiй гiперплощинi;

3) встановленi такi властивостi потенцiалiв, породжених фундаментальною матрицею роз-в'яз-кiв задачi Кошi для вказаних у пунктi 2) систем:

– одержанi оцiнки й дослiджена гранична поведiнка при iнтегралiв Пуассона функцiй та узагальнених мiр iз спецiальних вагових просторiв;

– знайденi умови на густину об'ємних потенцiалiв, за яких цi потенцiали є розв'язками неодно-рiдних систем iз вiдповiдних просторiв;

4) встановлена розв'язнiсть, а в окремих випадках i коректна розв'язнiсть, задачi Кошi для не-вироджених або слабко вироджених систем з пункту 2) та задачi без початкових умов для сильно ви-роджених систем.

Одержанi для -параболiчних систем результати є не лише поширенням на ширший клас систем вiдомих результатiв для параболiчних за Петровським систем, але й iстотно доповню-ють останнi. Деякi з них є цiлком новими для рiвнянь i систем, параболiчних за Петровським.

Для обгрунтування результатiв дисертацiйної роботи модифiкованi методи, якi розробленi при дослiдженнi задачi Кошi для параболiчних за Петровським систем з обмеженими i зростаючи-ми коефiцiєнтами та -параболiчних систем з обмеженими коефiцiєнтами.

Результати дисертацiї мають теоретичний характер. Вони можуть використовуватись при по-дальших дослiдженнях коректної розв'язностi та властивостей розв'язкiв задачi Кошi для парабо-лiчних за Петровським i -параболiчних систем зi зростаючими коефiцiєнтами, а також у спек-тральнiй теорiї операторiв, породжених вiдповiдними елiптичними системами.

Основнi результати дисертацiї опублiкованi в працях:

1. Івасишен С.Д., Пасiчник Г.С. Про фундaментальну матрицю розв'язкiв за-дачi Кошi для диси-па-тив--них -параболiчних систем з виродженням на по--чат-ковiй гiперплощинi // Доп. НАН Ук-ра--ї--ни. – 1999. – N6. – С. 18–22.

2. Пасiчник Г.С. Про розв'язнiсть задачi Kошi для -параболiчних систем зi зростаючими ко-е-фi--цiєн-тами // Мат. методи та фiз.- мех. По-ля. – 1999. – Т.42, N3.– С.61–65.

3. Iвасишен С.Д., Пасiчник Г.С.Про задачу Кошi для -параболiчних сис-тем зi зростаючими ко-е-фiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 2000. – Т.52, N11. – С. 1484–1496.

4.Пасiчник Г.С.Про фундаментальну матрицю розв'язкiв задачi Кошi для ди-сипативних -па-ра-болiчних систем // Вiсник Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1999. – Вип. 54. – С. 140–151.

5. Пасiчник Г.С., Iвасишен С.Д. Про фундаментальну матрицю розв'яз-кiв задачi Кошi для од-ного класу параболiчних систем з необмеженими ко-ефi-цiєнтами i виродженнями на початковiй гiперплощинi // Наук. вiс-ник Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 76. Математика. – Чернiв-цi: Рута, 2000. – С. 82–91.

6. Пасiчник Г.С. Фундаментальна матриця розв'язкiв задачi Кошi для ди-сипативних -парабо-лiч-них систем з виродженням на початковiй гi-пер--площинi // Сучаснi проблеми математики: Mате-рiа-ли мiжнародної наук. конф. Ч.2. – Чернiвцi—Київ, 1998. – С.183-186.

7. Pasichnyk H.S. On Cauchy problem for desipative -parabolic sys// International Con"NonPartial Differential Equa-tions" (Lviv, August 23—29, 1999): Book of abstracts. – Lviv, 1999. – P. 159.

8. Березан Л., Iвасишен С., Пасiчник Г. Фундаментальнi матрицi роз-в'язкiв задачi Кошi для -параболiчних систем з виродженнями на по-чат-ковiй гiперплощинi // Всеукра-їн-сь-ка наук. конф. "Новi пiдходи до роз-в'язання диференцiальних рiвнянь"(15—19 верес-ня 1997 р., Дрогобич): Тези доп. – К., 1997. – С.15.

Анотацiя

Пасiчник Г.С. Задача Кошi для -параболiчних систем зi зростаючи-ми коефiцiєн-та-ми. – Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-мате-ма-тич-них наук за спецi-аль-нiс-тю 01.01.02 – диференцiальнi рiвняння. Чер-нi-вецький нацiональний унiверситет iменi Юрiя Федь-ко-вича, Чернiвцi, 2001.

Дисертацiя присвячена побудовi, дослiдженню та деяким застосуван-ням фунда-мен-таль-ної мат-ри-цi розв'язкiв задачi Кошi для -параболiч-них систем зi зростаючими кое-фi-цiєн-тами.

У дисертацiйнiй роботi означенi дисипативнi -параболiчнi системи без вироджень i з виродженням на початковiй гiперплощинi. Для таких сис-тем, на коефuцiєнти яких та характеристику дисипацiї накладається два набори умов, та деяких систем, що зводяться до дисипативних, побу-до-вана фундаментальна матриця розв'язкiв задачi Кошi та одер-жанi для неї та її похiдних оцiнки. Одержанi оцiнки й дослiджена гранична пове-дiнка при iнтегралiв Пуассона функцiй та узагальнених мiр iз спе-цiальних вагових прос-то--рiв. Знайденi умови на густину об'ємних по-тен-цiалiв, за яких цi потенцiали є роз--в'язками неоднорiдних систем iз вiдповiдних просторiв. Властивостi iнтегралiв Пу-ас-сона та об'ємних по-тен-цiалiв застосованi до встановлення розв'язностi, а в окремих випад-ках i коректної розв'язностi, задачi Кошi для невироджених або слабко ви-роджених на початковiй гiперплощинi систем та задачi без початкових умов для сильно вироджених систем.

Ключовi слова: параболiчна за Петровським система рiвнянь з частинними похiдни-ми, -па-ра-болiчна система, дисипативна система, ви-род--ження на початковiй гiперпло-щи-нi, задача Кошi, фундаментальна мат-ри--ця розв'язкiв задачi Кошi, iнтеграл Пуассона, об'ємний потенцiал,ко---ректна розв'язнiсть.

Abstract

Pasichnyk H.S. The Cauchy problem for -parabolic systems with growing coeffi– Manuscript.

The thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph.D.), speciality 01.01.02 – Differential Equa– Yurij Fedkovych Chernivtsi National University, Chernivtsi, 2001.

Thesis is devoted to the constructing, study and some applications of a fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem for -pa---systems with growing coefficients. In the thesis the di-parabolic systems without degenerations and with degene-tion on an initial hyperplane are defined. For such systems, on the coeof which and characteristic of the dissipation two sets of conditions are put, and for some systems, which are reduced to the di-ssipative systems, a fundamental matrix of solutions of the Cauchy probis constructed, estimates for it and for its derivatives are obEstimates of the Poisson integrals of functions and ge-lized measures from special spaces are obtained. An asymptotic behaas for them is investigated. The conditions on a density of volume potentials are found, under which these potentials are so-lu-tions of nonhomogeneous systems from corresponding spaces. The pro-per-ties of the Poisson integrals and volume potentials are used to an es-tablishment of solvability, and partially to a correct resolvability, of the Cauchy problem for nondegenerate or weak degenerate on an initial hyperplane of systems and of the problem without initial conditions for strong degenerate systems.

Key words: parabolic by Petrovsry system of equations with partial derivatives, -parabolic system, dissipative system, degenerations on ini-tial hyperplane, Cauchy problem, fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem, Poisson integral,volume potential, correct resol-va-bility.

Аннотация

Пасечник Г.С. Задача Коши для -параболических систем с растущими коэффициентами. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёнoй степени кандидата физико-матема-тических наук по специаль-нос-ти 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича, Черновцы, 2001.

Диссертация посвящена построению, исследованию и некоторым приме-не-ниям фундамен-таль-ной матрицы решений задачи Коши для -параболи-чес-ких систем с растущими коэффициентами.

В диссертационной работе впервые получены такие результаты:

1) определены диссипативные -параболические системы без вы-рож---дений и с вырождением на начальной гиперплоскости;

2) построена и исследована фундаментальная матрица решений задачи Ко-ши для таких систем с растущими коэффициентами:

– диссипативных -параболических,

– некоторых -параболических систем, сводящихся к диссипативным,

– диссипативных параболических по Петровскому и -параболических с вырождением на начальной гиперплоскости,

– некоторых параболических по Петровскому и -параболических сис---тем, сводящихся к диссипативным и вырождающихся на начальной гипер-плос-кости;

3) установлены такие свойства потенциалов, порождённых фундамен-таль-ной матрицей решений задачи Коши для систем из пункта 2):

– получены оценки и исследовано поведение при интегралов Пу--ас-сона функций и обобщённых мер из специальных весовых пространств;

– найдены условия на плотность объёмных потенциалов, при которых эти потенциалы являются решениями неоднородных систем из соот-вет-ству-ю-щих пространств;

4) установлена разрешимость, а в отдельных случаях и корректная раз-решимость, задачи Коши для невырождающихся или слабо вырождающихся систем из пункта 2) и задачи без начальных условий для сильно вырож-ден-ных систем.

Полученные для -параболических систем результаты являются не толь-ко распространением на более широкий класс систем известных ре-зуль-татов для параболических по Петровскому систем, но и существенно дополняют их. Некоторые из них являются новыми для уравнений и систем, па-раболических по Петровскому.

Для обоснования результатов диссертационной работы модификованы методы, разработанные при исследовании зидачи Коши для параболических по Петровскому систем с ограниченными и растущими коэффициентами и -па-раболических систем с ограниченными коэффициентами.

Результаты диссертации и методика доказательств имеют теоретичес-кое значение. Они могут быть использованы при дальнейших исследованиях кор-ректной разрешимости и свойств решений для параболических по Пет-ров-скому и -параболических систем с растущими коэффициентами, а так-же в спектральной теории операторов, порождённых соответствующими эл-лип-тическими системами.

Ключевые слова: параболическая по Петровскому система уравнений в

частных производных, -параболическая система, диссипативная система, вырождения на начальной гиперплоскости, задача Коши, фундаментальная мат-рица решений задачи Коши, интеграл Пуассона, объёмный потенциал, кор-ректная разрешимость.