НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ

НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ІМ. Б.І. ВЄРКІНА

ШКЛЯРОВ Дмитро Леонідович

УДК 517.986.4

ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ В КВАНТОВОМУ КРУЗІ

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків-2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Фізико-технічному інституті низьких температур НАН України.

Науковий керівник кандидат фізико-математичних наук

Ваксман Леонід Львович,

Фізико-технічному інституті низьких

температур НАН України,

старший науковий співробітник

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Клімик Анатолій Улянович,

Інститут теоретичної фізики НАН України;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Гефтер Сергій Леонідович,

Харківський національний університет.

Провідна установа:

Інститут математики НАН України

Захист відбудеться 25.12.2001 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 Фізико-технічного інституту низьких температур НАН України за адресою: м. Харків,

пр. Леніна, 47, к. 216

З дисертацією можно ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур НАН України, м. Харків, пр. Леніна, 47.

Автореферат розісланий 24.11.2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.О.Горькавий

1

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Матеріал дисертації належить до теорії квантових груп. Ця теорія виникла у середині 80-х років під впливом квантового методу оберненої задачи розсіяння. Фундамент теорії був закладений в роботах В.Г.Дрінфельда та М.Джимбо. На початку 90-х років вона оформилась як досить самостійна дисципліна. Теорія квантових груп знайшла численні застосування в інших розділах математики та в теоретичній фізиці.

Tеорія компактних квантових груп набула достатньо завершену форму в роботах С.Вороновича, Я.Сойбельмана, М.Ноумі та інших. У випадку некомпактних квантових груп ситуація зовсім інша. Між тим, некомпактні групи та їх однорідні простори відіграють дуже важливу роль у багатьох розділах математики та фізики.

У 1997 році Л.Л.Ваксманом та С.Д.Синельщиковим було запроваджено новий клас однорідних просторів некомпактних квантових груп - квантові аналоги незвідних обмежених симетричних областей. Незвідні обмежені симетричні області постійно притягують до себе увагу фахівців з теорії функцій багатьох комплексних змінних, гармонічному аналізу та теорії представлень. З 1926-27 років, коли Е. Картан одержав повну класифікацію цих областей, суттєвий внесок в їх вивчення було зроблено Хуа Ло-Кеном, Харіш-Чандрою, А.Борелєм, Дж.А.Вольфом, М.Кехером, А.Коран'ї, І.І.Пятецьким-Шапіро та багатьма іншими.

Після появи роботи Л.Л.Ваксмана та С.Д.Синельщикова виникло питання: які типові задачі теорії функцій та гармонічного аналізу в обмежених симетричних областях мають природні квантові аналоги та які методи є адекватними при вирішенні цих задач в квантовому випадку? Основна мета цієї роботи - дати відповідь на це питання у випадку квантового аналога одиничного круга, який є найпростішим прикладом незвідної обмеженої симетричної області.

Виходячи з викладеного, результати дисертації слід відносити до нового розділу теорії квантових груп - теорії квантових обмежених симетричних областей.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Tему дисертації затверджено на засіданні Вченої ради математичного відділення ФТІНТ НАН України (протокол № 5 від 3 листопада 2000 року). Роботу виконано в рамках тематичного плану ФТІНТ за темою 1.4.10.22.6 "Алгебраїчні та геометричні методи в теорії операторів та теорії динамічних систем" (№ держреєстрації 0196U002943).

2

Мета і задачі дослідження:

1) сформулювати квантові аналоги (q-аналоги) деяких типових задач теорії функцій в одиничному крузі;

2) вирішити ці задачи в квантовому випадку та, зокрема, виявити методи, які є адекватними у дослідженні квантових симетричних обмежених областей.

Методи дослідження. У дисертації використано методи теорії операторів в гільбертових просторах, теорії q-спеціальних функцій та теорії представлень квантових універсальних огортуючих алгебр.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі результати роботи є новими та полягають у наступному:

1) сформульовано q-аналог -задачи в крузі та одержано явну формулу для рішення відповідної задачи в квантовому випадку; як наслідок, одержано q-аналог інтегрального зображення Коші-Гріна;

2) обчислено функції Гріна для q-аналогів оператора Лапласа - Бельтрамі в крузі та його квадрата;

3) описано явно власні функції квантового оператора Лапласа - Бельтрамі та одержано формулу для розкладу по цих функціях;

4) побудовано q-аналог метода квантування Ф. Березіна та одержано явну формулу для формальної деформації квантового круга.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. Методи та результати можуть бути використані при побудуванні теорії функцій в більш складних квантових обмежених симетричних областях.

Особистий внесок здобувача. Тема дослідження та постановки задач належать науковому керівнику. Майже всі основні результати одержані здобувачем самостійно. В дисертаційній роботі вказано, які результати одержано у співавторстві.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися на 8-му Міжнародному колоквіумі "Квантові групи та інтегровні системи" (Прага, червень 1999 року), на

3

центральній секційній конференції № 964 Американського Математичного Tовариства (Лоуренс, березень 2001 року) та на семінарі ФТІНТ НАН України з теорії квантових груп.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у статтях [1-3].

Об'єм та структура дисертації. Дисертація викладена російською мовою та складається з вступу, основної частини (розділи 1-5), висновків, списку використаних джерел (42 найменування) та додатків А - Г. Обсяг дисертації 132 сторінки. Обсяг списку використаних джерел 4 сторінки. Обсяг додатків 11 сторінок.

Автор щиро дякує науковому керівнику Л.Л.Ваксману за постановки задач та допомогу в роботі над дисертацією.

4

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ роботи містить визначення, які є необхідними для того, щоб сформулювати основні результати роботи, а також формулювання основних результатів. Окремі твердження наведено з доведеннями, якщо вони не потребують техніки, яку розвинуто в наступних розділах дисертації.

Опишемо стисло основні результати, які містяться в першому розділі. Почнемо з необхідних визначень.

Нехай U позначає одиничний круг:

U ={zC| |z| < 1 }

Нагадаємо, що одиничний круг є однорідним простором групи SU(1,1), причому елементи групи діють за допомогою дробово-лінійних перетворень.

Зафіксуємо деяке дійсне число q з інтервалу (0,1). Розглянемо інволютивну алгебру Pol(C)q, породжену елементом z, який задовольняє співвідношення.

z*z=q2 zz*+1-q2.

Цю алгебру можно інтерпретувати як аналог алгебри поліномів на комплексній площині. Вона є вихідним об'єктом при побудуванні теорії функцій в квантовому крузі.

Розглянемо -представлення T алгебри Pol(C)q в просторі l2(Z+), яке в стандартному базисі визначається наступним чином

T(z): ee.

Можно довести, що T - єдине з точністю до унітарної еквівалентності точне -представлення алгебри Pol(C) обмеженими операторами в гільбертовому просторі.

Нехай y = 1- z z*. Очевидно, що

y = y*, z* y = qy z*, z y = qy z; (1)

також очевидно, що будь-який елемент Pol(C) може бути представлений (причому єдиним чином) у вигляді

. (2)

Легко побачити, що спектр оператора T(y) - об'єднання прогресії q2Z+ та точки 0. Розглянемо лінійний простір, утворений елементами вигляду (2), у яких коефіцієнти - це функції на q2Z+ із скінченними носіями. За допомогою рівностей (1) цей простір можно наділити структурою -алгебри. Позначемо цю алгебру через D(U)q. Вона відіграє роль алгебри гладких функцій із компактними носіями в крузі.

5

Лінійний функціонал

(3)

(де D(U)q, - коефіцієнт з розкладання (2)) є q-аналогом SU(1,1)-інваріантного інтегралу в одиничному крузі. Будемо позначати через L2()q гільбертів простір, який є поповненням D(U)q за нормою

В класичному аналізі інтегральні оператори виникають природним чином під час вирішення диференціальних рівнянь у частинних похідних. Іноді відповідну функцію Гріна вдається обчислити явно. Так, в недавній роботі Ж.Пітрі и М.Енгліса було одержано явні формули для функції Гріна рівняння

n f =

у випадку n = 1, 2, 3 та 4 (тут - оператор Лапласа-Бельтрамі у звичайному одиничному крузі). В дисертації цей результат для n = 1 та 2 узагальнено на квантовий випадок (теореми 1.5, 1.6). Перш, ніж сформулювати відповідну теорему, введемо наступні позначення: h=ln q-2,

Нам потрібні також добре відомі позначення з теорії базисних гіпергеометричних рядів:

C.

Теорема 1. Для будь-якого D(U)q

-1G1 fd (4)

7

-2G2 fd (5)

де G1, G2 - елементи простору D(U U )'q, які визначаються рівностями

G1 (6)

G2

Добре відомо, яку важливу роль в комплексному аналізі відіграє -рівняння в комплексних областях та пов'язані з ним інтегральні зображення функцій. В дисертації сформульовано узагальнення -рівняння на випадок квантового круга та знайдено явну формулу для його рішення; за допомогою цього результату одержано q-аналог інтегрального зображення Коші-Гріна (теорема 1.7). Для того, щоб сформулювати відповідні результати, наведемо декілька визначень.

Назвемо інтегралом Лебега в квантовому крузі функціонал

на просторі D(U)q. Гільбертів простір L2()q визначимо як поповнення D(U)q за нормою

8

Теорема 2. Нехай D(U)q. Тоді

1. існує єдиний розв'язок -задачи

Ker ;

2. G1 де G1 - функція Гріна (6);

3. G1.

Важливою задачею, пов'язаною з вивченням унітарних представлень групи SU(1,1), є задача гармонічного аналізу в одиничному крузі. Вона, в свою чергу, тісно пов'язана із задачею про розклад по власних функціях оператора Лапласа - Бельтрамі та, зокрема, знаходження міри Планшереля. Відповідні формули для звичайного круга добре відомі (їх можно знайти, наприклад, в книзі С.Хелгасона "Группы и геометрический анализ"). В дисертації цей результат узагальнено на квантовий випадок.

Перш за все, опишемо одержаний в роботі q-аналог відомого інтегрального зображення Пуассона для власних функцій оператора Лапласа - Бельтрамі в крузі. Нехай C[U] позначає алгебру комплексних тригонометричних поліномів (тобто скінченних сум вигляду ). Позначимо через D(U U)'q C[U]-модуль формальних рядів з коефіцієнтами з D(U)'q. Цей векторний простір наділимо топологією по-коефіцієнтної збіжності.

У випадку звичайного круга власні функції оператора Лапласа - Бельтрамі можно одержати як інтеграл по колу від степінів ядра Пуассона

У квантовому випадку роль степінів ядра Пуассона відіграють елементи

9

простору D(U U)'q.

В підрозділі 1.5 сформульовано наступне узагальнення зображення Пуассона:

В 70-і роки А. Ліхнерович із співробітниками запропонували новий підхід до поняття квантування класичних динамічних систем - так зване деформаційне квантування. Згідно з цим підходом, результатом квантування фазового простору класичної динамічної системи є формальна деформація множення в алгебрі гладких функцій на цьому просторі.

На початку 70-х років Ф.А.Березін запропонував метод, який дає можливість побудувати квантування деякого важливого класу фазових просторів. Зокрема, метод Березіна може бути застосований у випадку, коли фазовим простором класичної системи є обмежена симетрична область із інваріантною відносно групи біголоморфних автоморфізмів дужкою Пуассона.

Другий та третій розділи є допоміжними.

Мета другого розділу - ввести ті структури теорії квантових груп, які пов'язані безпосередньо із квантовим кругом. В підрозділі 2.1 нагадується визначення квантової універсальної огортуючої алгебри Uqsl2, яка є добре відомим в теорії квантових груп узагальненням звичайної універсальної огортуючої алгебри Usl2 алгебри Лі комплексної напівпростої групи SL(2,C). В підрозділах 2.2, 2.3 та 2.4 майже всі простори, які було введено в першому розділі, наділено структурами модулей над Uqsl2 та доведено декілька ключових тверджень щодо властивостей Uqsl2-модулей, які виникають таким чином. Дія алгебри Uqsl2 в "функціональних" просторах, пов'язаних із квантовим кругом, є аналогом дії класичної універсальної огортуючої алгебри Usl2 в функціях на звичайному крузі, яка виникає з вищезгаданої дії групи SU(1,1). В підрозділі 2.3 доведено, що інтеграл (\ref{int}), який визначено в першому розділі, є Uqsl2-інваріантним. В підрозділі 2.5 показано, що квантовий оператор Лапласа - Бельтрамі є сплітаючим, тобто комутуює з дією

квантової універсальної огортуючої алгебри Uqsl2. Насправді, оператор Лапласа - Бельтрамі лише скалярним множником відрізняється від оператора, який визначається дією елемента Казиміра алгебри Uqsl2 (підрозділ 2.6).

Треба зазначити, що наявність структури Uqsl2-модулей в просторах функцій на квантовому крузі відіграє надзвичайно важливу роль в доведенні майже усіх результатів роботи, а також мотивує деякі визначення з першого розділу, зокрема, квантового оператора Лапласа - Бельтрамі та квантового інваріантного інтеграла.

В формулюванні деяких результатів роботи беруть участь квантові інтегральні оператори. Ключову роль в доведенні відповідних результатів грає те, що ці оператори є сплітаючими. Це виходить з результатів третього розділу. В цьому розділі визначено інші однорідні простори квантової групи SU(1,1) - квантовий гіперболоїд (підрозділ 3.1) та квантовий конус (підрозділ 3.4). В підрозділі 3.3 показано, що квантовий круг може бути одержаний з квантового гіперболоїду за

13

допомогою конструкції, яка є аналогом проективізації. В класичній ситуації для побудування ядер сплітаючих інтегральних операторів використовують наступне просте спостереження. Нехай X та Y - деякі SU(1,1)-простори, а - SU(1,1)-інваріантна міра на Y. Тоді оператор

f (y) (x,y) f (y)(y),

який відображає функції на Y в функції на X, є сплітаючим в тому та тільки в тому випадку, коли ядро K(x,y) є інваріантною функцією на :

K(x,y) = K(gx,gy), gSU(1,1).

В підрозділі 3.5 визначено поняття декартового добутку двох квантових просторів та узагальнено вищевикладену конструкцію на квантовий випадок. В підрозділі 3.6 побудовано інваріантні функції на декартовому добутку квантового гіперболоїда на квантовий гіперболоїд або на квантовий конус. Далі ці результати та конструкція проективізації з підрозділу 3.3 використані для побудування інваріантних ядер, пов'язаних із квантовим кругом.

Четвертий розділ містить доведення всіх основних результатів роботи, крім результата теореми 5. В цьому розділі суттєво використано техніку, яку розвинуто в розділах 2 та 3. В підрозділі 4.1 доведено теорему 1, в підрозділі 4.2 - теорему 2, а в підрозділі 4.3 - теорему 3. Доведенню теореми 4 присвячені підрозділи 4.4 та 4.5.

Результат про формальну деформацію квантового круга (теорема 5) доведено в п'ятому розділі. В цьому розділі побудовано q-аналог метода квантування Березіна. Зокрема, запроваджено й досить докладно вивчено q-аналоги операторів Тьоплиця у зважених просторах Бергмана, поняття коваріантного символу та перетворення Березіна (підрозділи 5.1 - 5.6). Основним результатом п'ятого розділу є результат про асимптотичне розвинення перетворення Березіна (підрозділ 5.3). З цього результату виходить теорема 5 (підрозділ 5.7).

14

ВИСНОВКИ

У дисертації в квантовому випадку побудовано теорію, схожу на класичну теорію функцій в одиничному крузі. Зокрема:

1. Одержано явну формулу для рішення квантового аналога -задачи в крузі, а також аналог інтегрального зображення Коші-Гріна. Відповідні класичні задачі є типовими задачами комплексного аналізу.

2. Обчислено функції Гріна для квантового оператора Лапласа - Бельтрамі та його квадрата, тобто вирішено типову задачу теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних.

3. Описано явно власні функції квантового оператора Лапласа - Бельтрамі та одержано формулу для розкладу по цих функціях. Ця задача - типова задача гармонічного аналізу.

4. Запроваджено q-аналог метода квантування Березіна та одержано явні формули для формальної деформації квантового круга за методом Березіна.

Виявлено, що найбільш адекватними методами у вирішенні задач теорії функцій в квантовому крузі є методи теорії операторів в гільбертових просторах, теорії q-спеціальних функцій та теорії представлень. Методи та результати можуть бути використані при побудуванні теорії функцій в більш складних квантових обмежених симетричних областях.

15

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1)Л.Л. Ваксман, Д.Л. Шкляров. "Интегральные представления функций в квантовом круге I"/ / Математическая физика, анализ, геометрия. - 1997.- № 4. - С. 286 - 309.

2)D. Shklyarov, S. Sinel'shchikov, L. Vaksman. "A q-analogue of the Berezin quantization method"/ / Letters in Mathematical Physics. - 1999. - V. 49. - № 3. - P. 253 - 261.

3)D. Shklyarov. "q-Analogues for Green functions for powers of the invariant Laplacian in the unit disc"/ / Математическая физика, анализ, геометрия. - 2000. - № 3. - Р. 345 - 365.

16

Шкляров Д.Л. Теорія функцій в квантовому крузі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Фізико-технічний інститут низьких температур НАН України, Харків, 2001.

Дисертаційна робота належить до теорії квантових груп. Вивчено найпростіший однорідний простір квантової групи SU(1,1) - q-аналог одиничного круга в комплексній площені.

Сформульовано q-аналог -задачи в одиничному крузі та одержано явну формулу для рішення квантової -задачи. Одержано q-аналог інтегрального зображення Коші-Гріна. Введено q-аналог оператора Лапласа - Бельтрамі та обчислено функції Гріна цього оператора та його квадрата. За допомогою деякого q-аналога інтегрального зображення Пуассона описано явно власні функції квантового оператора Лапласа - Бельтрамі. Одержано формулу для розкладу по цих функціях, зокрема, знайдено міру Планшереля. Побудовано q-аналог метода квантування Березіна. Зокрема, запроваджено та вивчено q-аналоги операторів Тьоплиця у зважених просторах Бергмана, поняття коваріантного символа та перетворення Березіна.

Ключові слова: q-аналог, квантовий круг, диференціальне числення, оператор Лапласа - Бельтрамі, інваріантний інтеграл, метод квантування Березіна, квантова група, квантова універсальна огортуюча алгебра.

Шкляров Д.Л. Теория функций в квантовом круге. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Физико-технический институт низких температур НАН Украины, Харьков, 2001.

Диссертационная работа относится к теории квантовых групп. В работе изучено простейшее однородное пространство квантовой группы SU(1,1) - q-аналог единичного круга в комплексной плоскости. Сформулированы и решены задачи, обобщающие на квантовый случай некоторые известные задачи теории функций и гармонического анализа в обычном единичном круге.

Исходным объектом всех построений является некоторая хорошо известная в теории квантовых групп некоммутативная инволютивная алгебра, интерпретируемая в настоящей работе как алгебра функций на квантовой плоскости. С ее помощью построена алгебра финитных функций в квантовом круге, играющая в квантовом случае роль алгебры гладких функций с компактными носителями в обычном круге. На алгебре финитных функций построен функционал, являющийся

17

q-аналогом интеграла по SU(1,1)-инвариантной мере в круге. Введен q-аналог пространства L2 по

инвариантной мере. С помощью некоторого известного дифференциального исчисления над алгеброй полиномов на квантовой плоскости построено дифференциальное исчисление над алгеброй финитных функций в квантовом круге. Введен q-аналог (SU(1,1)-инвариантного) оператора Лапласа - Бельтрами.

Доказано, что квантовый оператор Лапласа - Бельтрами является самосопряженным ограниченным обратимым оператором в пространстве L2 по инвариантной мере в квантовом круге. Вычислены функции Грина этого оператора и его квадрата. Этот результат является обобщением на квантовый случай недавнего результата М.Энглиса и Ж.Питри.

Сформулирована -задача в квантовом круге и найдена явная формула, описывающая ее решение. Как следствие, получен q-аналог интегрального представления Коши-Грина. В случае обычного круга соответствующие формулы были получены П.Шарпентье.

Построен q-аналог интегрального представления Пуассона для собственных функций оператора Лапласа - Бельтрами. Получена формула разложения по этим функциям (в частности, найдена мера Планшереля). В случае обычного круга соответствующие формулы хорошо известны (их, к примеру, можно получить как частный случай некоторых результатов С.Хелгасона по гармоническому анализу на симметрических пространствах).

Построен q-аналог метода квантования Березина. В частности, введены и подробно изучены q-аналоги операторов Теплица во взвешенных пространствах Бергмана, понятия ковариантного символа и преобразования Березина. С помощью метода Березина получены явные формулы для формальной деформации квантового круга. Этот результат существенно дополняет недавние исследования С. Климека и А. Лесневского.

В доказательствах практически всех основных теорем существенно используется наличие в пространствах "функций" на квантовом круге структуры модулей над квантовой универсальной обертывающей алгеброй Uqsl2. Эта структура играет в квантовом случае такую же роль, как и естественное действие группы SU(1,1) в функциях на обычном круге. Одно из ключевых наблюдений состоит в том, что большинство рассматриваемых в работе линейных операторов (квантовый оператор Лапласа - Бельтрами, квантовый оператор внешнего дифференцирования и т. д.) оказываются сплетающими, то есть, коммутирующими с действием алгебры Uqsl2.

Работа состоит из пяти разделов.

Первый раздел содержит исходные определения теории функций в квантовом круге, а также формулировки основных результатов.

Цель второго раздела - ввести те структуры теории квантовых групп, которые связаны непосредственно с квантовым кругом. В этом разделе напоминается определение квантовой

18

универсальной обертывающей алгебры Uqsl2 и все основные "функциональные пространства" в квантовом круге наделяются структурами модулей над этой алгеброй. Кроме того, доказываются некоторые важные для дальнейшего утверждения о структуре построенных Uqsl2-модулей.

Третий раздел работы посвящен подробному изучению понятия интегрального оператора в квантовом случае. Основная цель этого раздела - построить ядра квантовых сплетающих интегральных операторов (квантовых интегральных операторов, коммутирующих с действием квантовой универсальной обертывающей алгебры Uqsl2).

Четвертый раздел содержит доказательства всех основных результатов работы, кроме результата о формальной деформации квантового круга. Доказательства существенно используют технику, развитую во втором и третьем разделах.

Доказательству результата о формальной деформации квантового круга посвящен пятый раздел. В нем построен q-аналог метода квантования Березина.

В конце работы приведены выводы, список литературы и дополнения.

Ключевые слова: q-аналог, квантовый круг, дифференциальное исчисление, оператор Лапласа - Бельтрами, инвариантный интеграл, метод квантования Березина, квантовая группа, квантовая универсальная обертывающая алгебра.

Shklyarov D.L. Function theory in the quantum disc. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.01.01 – mathematical analysis. - Institute for Low Temperature Physics and Engineering, Kharkov, 2001.

The thesis concerns quantum group theory. The simplest homogeneous space of the quantum group SU(1,1) is studied, namely, a q-analogue of the unit disc within the complex plain.

A q-analogue of the -problem in the unit disc is formulated and an explicit formula for the solution of the quantum -problem is obtained. A q-analogue of the Cauchy-Green integral representation is obtained. A q-analogue of the Laplace - Beltrami operator is introduced and the Green functions for it and its square are produced. Eigenfunctions of the quantum Laplace – Beltrami operator are described explicitly by means of a q-analogue of the Poisson integral representation. A formula of expansion in these functions is produced and the Plancherel measure is found. A q-analogue of the Berezin quantization method is constructed. In particular, q-analogues of the Toeplitz operators in the weighted Bergman spaces, the notion of covariant symbol, and the Berezin transform are introduced and studied.

Key words: q-analogue, quantum disc, differential calculus, Laplace - Beltrami operator, invariant integral, Berezin quantization method, quantum group, quantum universal enveloping algebra.